Artikli fail

Õpilaste lahendusstrateegiad proportsionaalse mõtlemise
ülesannetes
Kait Kleemann, Oru Kool
Jüri Kurvits, Tallinna Ülikool, Helsingi Ülikool
Proportsionaalse mõtlemise mõiste
Teise kooliastmesse jõudes puutuvad õpilased matemaatikas kokku selliste
keeruliste mõistetega nagu osamäär, suhe ja proportsionaalsus. Õpetajate ja
uurijate seas ollakse üksmeelel, et loetletud mõistetega mõtestatult arutlemine
osutub õpilaste jaoks tõeliseks väljakutseks (Nabors, 2002). Vastavate
mõistete sisuline mõistmine mängib aga õpilase arengus kriitilist rolli ning
proportsionaalset mõtlemist peetakse gümnaasiumi matemaatika nurgakiviks
(Lesh jt, 1988). Samuti on proportsionaalne mõtlemine üheks parimaks
indikaatoriks ratsionaalarvu mõiste ning selle erinevate tähenduste ja
esitusviiside sisulise mõistmise hindamisel (Lamon, 2012).
Proportsionaalset mõtlemist on aastaid käsitletud katusmõistena, mis hõlmab
erinevaid ratsionaalarvuga seotud mõisteid, seoseid ja kontekste. Sageli
vältisid uurijad selle korrektset defineerimist ning piirdusid pigem selliste
situatsioonide kirjeldamisega, kus õpilane või täiskasvanu ei mõtle
proportsionaalselt (Lamon, 2012). Van de Walle (2007) järgi on antud
mõiste defineerimine ühe või kahe lihtsa lausega lausa võimatu. Näiteks
Lesh (1988) koos kolleegidega kirjutab, et proportsionaalne mõtlemine sisaldab
endas oskust:
tajuda multiplikatiivseid seoseid suuruste vahel ning nende üheaegseid
muutusi;
võrrelda mitut suhtarvu;
informatsiooni killukesi mälus salvestada ning töödelda.
Proportsionaalne mõtlemine on Leshi jt arvates tihedalt seotud järelduste
tegemise ja prognoosimisega ning sisaldab nii kvalitatiivset kui ka kvantitatiivset
mõtlemist.
Lamon’i (2012) järgi tähendab proportsionaalne mõtlemine aga arutluskäiku
üles ja alla (reasoning up and down) situatsioonides, kus suuruste vahel
on konstantne multiplikatiivne seos. Multiplikatiivsetest seostest ning vastavatest
strateegiatest saab täpsemalt lugeda J. Kurvitsa (2008) artiklist
„Multiplikatiivne mõtlemine – probleem koolimatemaatikas“. Järgnevalt
selgitame üles ja alla arutluskäiku näite 1 abil.
3 1
Näide 1. Oletame, et tervest on . Esitame 1 antud ter-
4 2
vest.
23

Tabel 1. Arutluskäigu üles ja alla selgitus
Mõtleme
Kuna 6 osale vastab 4
3 ,
Alustame esialgse murruga
siis 2 osale peaks vastama 4
1 ning
Tekib uus terve (ühik)
8 osale vastab 4
4 või üks terve.
Nüüd esialgse terve (ühiku)
juurde tagasi
Ütleme
Kuna
on üks terve, siis
Esitame
1
1 tervest
2
on
1
1 .
2
Seega on ülesannete lahendamine proportsionaalse mõtlemise abil omaette
protsess, mitte lihtsalt õige tehte valimine. See on võimas tööriist, millest
on abi nii matemaatiliste kui ka paljude teiste eluliste ning teaduslike probleemide
lahendamisel (Fernandez jt, 2010).
Proportsionaalne mõtlemine on ühenduslüliks üleminekul alg- ja põhikooli
matemaatika juurest keerukama ja abstraktsema matemaatika juurde, seetõttu
on antud teema põhikooli matemaatikas olulise tähtsusega. Põhikoolis
läheb proportsionaalse mõtlemise oskust vaja eelkõige sellistes ainetes nagu
keemia, füüsika, geograafia ja bioloogia. Samuti on seda vaja vanemate
klasside matemaatikatundides näiteks sarnasuse, tõenäosuse ja funktsioonidega
tegeledes.
24

Proportsionaalse mõtlemise areng
Proportsionaalne mõtlemine areneb väga aeglaselt ja uurimused on näidanud,
et ka enamusel täiskasvanutest ei ole see täielikult välja arenenud
(Lamon, 2012; Noelting, 1980; Tourniaire jt, 1985). Seega ei kujune proportsionaalne
mõtlemine iseenesest aastate jooksul ega ole miski, mida
saaks konkreetse teemana selgeks õpetada. See koosneb paljude erinevate
teemade sisulisest mõistmisest (joonis 1) ning areng nõuab aega (Proportional
reasoning, 2007).
Joonis 1. Ülevaade oskustest ja teemadest, millest koosneb proportsionaalne mõtlemine
Teadlaste arvates võib proportsionaalse mõtlemise arenemist kirjeldada õppimise
trajektoorina kvalitatiivselt mõtlemiselt multiplikatiivseni (Kurvits,
2011; Steinthorsdottir jt, 2009).
Kvalitatiivne mõtlemine põhineb intuitiivsetel teadmistel suhetest ilma arvuliste
seosteta. See tähendab näiteks, et arvulist vastust leidmata saadakse
aru, et kui töölisi on rohkem, siis tehakse töö ära lühema ajaga.
Kvalitatiivsele tasemele järgneb eelproportsionaalse mõtlemise tase, millel
on laps võimeline märkama lihtsamaid multiplikatiivseid seoseid suuruste
vahel. Kuid üldjuhul kasutab ta probleemide lahendamisel strateegiaid, mis
on oma olemuselt aditiivsed.
Aditiivne strateegia põhineb liitmisel ja nooremas eas märkabki laps suuruste
vahel vaid aditiivseid seoseid. Kui hakatakse korrutustabelit õppima,
siis vaadeldakse sageli korrutamist kui järjestikust liitmist. Nii saab õpilane
paremini aru korrutamise sisust ja korrutustabeli vajalikkusest. Liitmine on
lapse jaoks paremini arusaadav ja „käegakatsutavam“ kui korrutamine ning
25

kui ülesanded muutuvad keerukamaks, siis pöördub laps korrutamiselt tagasi
liitmist sisaldavate strateegiate juurde.
Eelproportsionaalsel tasemel olevad õpilased võivad märgata lihtsamaid
multiplikatiivseid seoseid. Näiteks võivad nad märgata, et teatud suurus on
kaks või kolm korda suurem teisest ning oskavad seda multiplikatiivset
seost probleemi lahendamisel kasutada. Kuid üldjuhul kasutatakse ülesannete
lahendamisel strateegiaid, mis on oma olemuselt aditiivsed. Üheks populaarseks
meetodiks on näites 3 illustreeritud korduva liitmise strateegia
(build-up strategy), mida tegelikult Eesti koolides ei õpetata.
Proportsionaalne mõtlemine on välja arenenud, kui õpilane suudab näha
multiplikatiivseid seoseid ühe suhte sees (within ratio) ja kahe suhte vahel
(between ratios) (Kurvits, 2011). Vastavad seosed võivad seejuures olla
väljendatud nii täisarvuliselt kui ka murdarvuliselt (Steinthorsdottir jt,
2009). Piaget’ teooria kohaselt ei ole laps võimeline multiplikatiivset mõtlemist
kasutama enne 11. eluaastat, s.t mitte enne, kui ta on jõudnud formaalsete
operatsioonide tasemele (Lesh jt, 1988).
Ühe suhte sees ja kahe suhte vahel olevaid multiplikatiivseid seoseid saab
eristada selle järgi, kuidas tekstülesande andmete põhjal võrre moodustatakse.
Erinevates õpikutes käsitletakse seda erinevalt (Nurk jt, 2000, lk
124–127; Kaldmäe jt, 2011, lk 100–102). Öeldut selgitatakse järgneva näite
2 abil.
Näide 2.
6 kassi toitmiseks kulub 4 konservi kassitoitu. Mitu konservi kulub 48 kassi
toitmiseks?
Selle teksti põhjal võiks koostada võrde kas kujul
või hoopis kujul
6 4
48 x
6
4
(2)
Kui räägitakse suhte sees ja kahe suhte vahel olevatest seostest, siis on oluline
vahet teha, kumba esitust mõeldakse. Toetudes teiste autorite käsitlusele
(Baxter, 2001; Steinthorsdottir jt, 2009), kasutatakse antud artiklis viimasena
toodud kuju (2). See tähendab, et ühe situatsiooni kohta käivat kahte
erinevat mõõdet vaadeldakse kui seost ühe suhte sees. Ühe ja sama suuruse
kaks erinevat väärtust erinevates situatsioonides kirjeldavad seost kahe
suhte vahel. Antud ülesande puhul on seega sisemine seos 6 kassi ja 4 konservi
vahel, s.o 6 : 4 = 1,5. Kuid 48 kassi ja 6 kassi vahelist suhet käsitletakse
kui kahe suhte vahel olevat seost, s.o 48 : 6 = 8.
Järgnevalt vaadeldakse lähemalt erinevaid proportsionaalse mõtlemise
ülesandeid.
48
x
(1)
26

Ülesannete tüübid proportsionaalse mõtlemise hindamiseks
Projekti The Rational Number Project (TRNP) raames on uurimisrühm välja
töötanud kolm järgnevat ülesannete tüüpi (Cramer jt, 1993), mis võimaldavad
uurida õpilaste proportsionaalse mõtlemise arengut.
1. Kvalitatiivse ennustamise ja võrdlemise ülesanded (qualitative prediction
and comparison problems), mille lahendamisel ei toetuta arvulistele
väärtustele. Arvuliste võrdluste puhul võib õpilane kasutada tehniliselt
meelde jäetud meetodeid või reegleid, kuid kvalitatiivse võrdlemise ja ennustamise
puhul peab ta mõistma esitatud seoseid sisuliselt. Kvalitatiivne
mõtlemine võimaldab oma tulemuse õigsust hinnata ning ülesannete lahendamiseks
sobivaid parameetreid määrata. Proportsionaalne mõtlemine eeldab
sellist tüüpi mõtlemise oskust.
2. Arvulise võrdlemise ülesanded (numerical comparison problems).
Nendes ülesannetes on antud kaks suhtarvu, mida tuleb omavahel võrrelda.
Ülesannete keerukusaste sõltub sellest, kas suhtarvude sees on täisarvulised
või murdarvulised seosed. Uuringud näitavad (Cramer jt, 1993; Hart,
1984), et kui täisarvuliste suhete korral lahendab enamik õpilasi ülesande
õigesti, siis murdarvulise suhte puhul pöörduvad paljud aditiivsete strateegiate
juurde, mis viivad vale vastuseni.
3. Võrdelise ja pöördvõrdelise seose ülesanded (missing-value problems)
ehk ülesanded, mille puhul kolm suurust on antud ja neljas tuleb leida. Suuruste
vahel on kas võrdeline või pöördvõrdeline seos. Ülesannete lahenduse
edukus sõltub ka siin sellest, kas multiplikatiivsed seosed arvude vahel on
täisarvulised või murdarvulised.
Näiteid iga ülesandetüübi kohta leiab J. Kurvitsa (2011) artiklist „Proportsionaalse
mõtlemise areng“.
Proportsionaalse mõtlemise ülesannete lahendusstrateegiad
Et proportsionaalse mõtlemise ülesandeid on võimalik lahendada erinevate
strateegiate abil, on strateegia valik oluline näitaja õpilase proportsionaalse
mõtlemise arengu hindamisel.
Kirjanduse põhjal võib välja tuua järgmised proportsionaalse mõtlemise
ülesannete lahendusstrateegiad (Cramer jt, 1993).
Ühe ühiku strateegia
Antud strateegiat iseloomustab küsimus „kui palju on ühe kohta?“. Näiteks
leitakse kõigepealt ühiku hind, liikumise kiirus ühe tunni kohta, 1%-le vastav
osa vms ja selle järgi arvutatakse vastus ülesandes esitatud küsimusele.
Kordistamise strateegia
Kui kahe kassi toitmiseks kulub 5 konservi, siis mitu konservi kulub kuue
kassi toitmiseks? Kuus kassi on kolm korda rohkem kui kaks kassi, seega
27

kulub 3 korda rohkem toitu: 5 3 15
konservi. Lahendamise edukus sõltub
sellest, kas vastavate suuruste vahel on täisarvulised või murdarvulised
seosed. Lahendus saadakse kas korduva liitmise teel või otse korrutades.
Harilike murdude strateegia
Selle strateegia puhul ei vaatle õpilane suurustega seotud ühikuid, vaid
keskendub arvudevahelistele multiplikatiivsetele seostele. Ta käsitleb suhteid
hariliku murru kujul ning lahendab ülesanded hariliku murru põhiomadust
kasutades. Näiteks kui kahe kassi toitmiseks kulub 5 konservi, siis õpilane
vaatleb seda kui murdu 5
2 . Et leida, kui palju läheb vaja 6 kassi toitmiseks,
korrutab ta murru lugejat ja nimetajat 3-ga ehk
2 3
53
6
15
ning jõuab
vastuseni, et tarvis on 15 konservi.
Võrde põhiomaduse strateegia
See on mehaaniline lahendus, mille käigus kasutatakse võrde põhiomadust.
Mitmete uurimuste põhjal (Lesh jt, 1988; Norton, 2005) on selgunud, et
antud lahendusmeetodi sisuline arusaamine jääb puudulikuks ning seda kasutatakse
pigem proportsionaalse mõtlemise vältimiseks.
Konkreetse ülesande puhul kasutatav lahendusmeetod sõltub ülesande keerukusest
ja kontekstist, selles sisalduvatest arvandmetest, kasutatavatest
abivahenditest (nt kalkulaator), õpilase teadmistest ja tema proportsionaalse
mõtlemise tasemest.
Uurimismetoodika ja valimi kirjeldus
Järgnevas esitatakse mõningaid tulemusi uurimusest, mille raames uuriti
Läänemaal Linnamäel asuva Oru Kooli õpilaste proportsionaalset mõtlemist.
Uuringus osalesid selle põhikooli kõik 6. – 9. klasside õpilased, neid
oli kokku 30. Antud uurimuse objektiks oli proportsionaalse mõtlemise
arenguga seotud õppimise trajektoor ning vastavad arengutasemed. Samuti
püüti selgitada, milliseid strateegiaid kasutavad õpilased proportsionaalse
mõtlemise ülesannete lahendamiseks ning kuidas on nende strateegiate valik
seotud proportsionaalse mõtlemise tasemetega.
Uuring koosnes kahest osast. Esmalt lahendasid õpilased kirjalikult 18st
tekstülesandest koosneva testi. Kasutatud ülesannete tüübid ning vastavate
ülesannete arv on esitatud tabelis 2. Lisaks kirjeldatud kolmele ülesande
tüübile sisaldas test ka avatud ülesandeid, mis andsid lisainformatsiooni
õpilaste mõttekäikude ja arengutaseme kohta. Iga tüübi alla kuulus erineva
keerukusastmega ülesandeid.
Antud artikli raames kirjeldatakse lahendusstrateegiaid, mida õpilased kasutasid.
Samuti tuuakse näiteid õpilaste lahendustest ja nende selgitustest.
28

Tabel 2. Ülevaade testis sisaldunud ülesannetest
Ülesannete tüübid
Ülesannete arv
Kvalitatiivse ennustamise ja võrdlemise ülesanded 4
Arvulise võrdlemise ülesanded 5
Võrdelise ja pöördvõrdelise seose ülesanded 6
Avatud ülesanded 3
Õpilaste poolt kasutatud lahendusstrateegiad
Õpilased ei olnud enne testi läbiviimist teadlikud selle sisust. Iga klass oli
õppinud oma tavapärase programmi alusel, ilma et neid oleks kuidagi spetsiaalselt
ette valmistatud. Testi ülesanded olid sellised, mida oli võimalik
lahendada erinevate võtete abil. Uurijatele pakkus eeskätt huvi see, milliseid
võtteid õpilased kasutavad siis, kui nad ei ole seda teemat vahetult enne
harjutanud. Lisaks taheti välja selgitada, kuivõrd mõtestatud on lahenduskäigud
ning kui palju kasutatakse tehnilisi võtteid.
Üheks levinud võtteks, mida õpilased testide lahendamisel kasutasid, võib
lugeda korduva liitmise strateegiat. Sisuliselt on tegu sarnase strateegiaga
kui Crameri (1993) poolt kirjeldatud kordistamine, kuid enamasti kasutatakse
selle puhul siiski liitmist korrutamise asemel. Mõnel juhul võivad
õpilased kasutada ka lihtsamaid korrutamistehteid, kuid eelistavad siiski
liitmist. Näites 3 kirjeldatakse antud strateegia kasutamist joonise 2 abil.
Näide 3.
Kolme poisi kohta on klassis 4 tüdrukut. Mitu tüdrukut on klassis, kui poiste
arv on 9?
Joonis 2. Näide korduva liitmise strateegia kasutamisest
Seda võtet koolis otseselt ei õpetata, vaid õpilased leiavad selle ise, sest
sisu on nende jaoks lihtne ning loogiline. Ka need õpilased, kes paljude
ülesannete puhul kasutasid mõnda järgnevas kirjeldatud strateegiatest,
29

pöördusid aeg-ajalt korduva liitmise strateegia juurde tagasi kas lahenduse
kontrollimiseks või otsisid sellest abi keerukamate ülesannete lahendamisel.
Murdarvuliste multiplikatiivsete seoste puhul ei pruugi see strateegia
õige vastuseni viia, samuti ei jõuta sel teel õige lahenduseni pöördvõrdelise
seose ülesannete puhul.
Järgmine võte, mida õpilased kasutasid, ilma et seda otseselt õpetatud
oleks, tuleneb korduva liitmise strateegiast, kuid selle abil on võimalik jõuda
ka murdarvuliste seostega ülesande puhul õige vastuseni. Selle võtte puhul
on õpilane võimeline tekitama uusi ühikuid (terveid) ja siis liitma vastavaid
osi. Seda võtet võiks nimetada korduva liitmise teiseks tasemeks.
Näites 4 selgitatakse antud strateegiat testist pärit ülesande põhjal.
Näide 4.
Matkajad läbivad 3 tunniga 9 km. Mitme tunniga läbivad nad 33 km, kui
liikumise kiirus jääb samaks?
Seosest 3 tunniga läbitakse 9 km jõutakse järelduseni, et 1 tunniga läbitakse
3 km ning lahendatakse ülesanne järgmiselt:
9 9 9 9 3 33 (km)
3 3
3
31
11
(h).
Või leitakse, et 2 tunniga läbitakse 6 km ning lahendatakse nii:
9 9 9 6 33 (km)
3 3
3
2 11
(h).
Seega oskavad korduva liitmise teise taseme strateegiat kasutavad õpilased
tekitada sisuliselt uue ühiku (terve) ning seda ülesande edasisel lahendamisel
kasutada, mis ongi sisuliselt eelpool kirjeldatud arutluskäigu üles ja alla
rakendamine.
Selle strateegia abil võib antud ülesandele leida veel mitmeid erinevaid lahenduskäike.
Ühte võimalikku varianti demonstreeritakse joonisel 3. Lahenduse
aluseks on võetud, et kui 3 tunniga läbitakse 9 km, siis 1 tunniga
läbitakse 3 km.
Joonis 3. Näide korduva liitmise teise taseme strateegia kasutamisest
30

Tuleb märkida, et seda strateegiat kasutavad õpilased ei vaatle kunagi suhet
hariliku murru kujul. Nad saavad aru, millised kaks suurust on omavahel
seotud ja mõistavad, et kui ühte neist teha väiksemaks, siis teist tuleb „sama
palju“ väiksemaks teha või kui üht võtta mitu korda, siis tuleb ka teist
võtta sama arv kordi.
Korduva liitmise teise taseme kasutamine võimaldab mõnikord arvutamist
lihtsustada ning seda oskavad võimekamad õpilased kalkulaatori puudumisel
ära kasutada.
Mõnel juhul võivad seda strateegiat kasutavad õpilased läbi teha päris mahuka
mõtlemise tsükli ning jõuda nii õige lahenduseni. Nad ei suuda näha
lihtsamat teed, kuna see võte tundub usaldusväärne ja loogiline ning nad
teavad, et see viib vastuseni. On üllatav, kui keerukaid mõtestatud arutlusi
ollakse võimelised tegema. Vaatleme veel ühe õpilase lahendust näites 4
kirjeldatud ülesandele matkajate liikumise aja leidmise kohta, kus vastus
saadakse üsna keerulist teed pidi.
Õpilane alustas lahendamist korduva liitmise teel:
9 9 9 9 36 (km)
3 3
3
3 12
(h).
Seejärel märkas ta, et 36 on suurem kui küsitud 33 ja tõmbas esimesest
avaldisest viimase 9 maha ning kirjutas selle asemel 6. Tõmbas 36 maha ja
kirjutas selle asemele 33.
Edasi hakkas mõtlema, kui palju peaks teises avaldises viimase kolme asemel
liitma, et õiget vastust saada. Selleks arutles järgnevalt:
9 : 2 = 4,5;
4,5 + 1,5 = 6;
3 : 2 = 1,5.
„Kui 9-le liidan 1,5, siis 3-le pean liitma umbes 0,5, et sama tuleks ja liiga
palju ei liidaks.“
Paluti selgitada, kuidas ta leidis, et tuleb liita 0,5.
Järgnes pikk mõttepaus ja sellele küllaltki ebakindel selgitus: „Ma tean, et
kui liidan 1,5 + 1,5 + 1,5, saan vastuseks 4,5 ja see on sama, nagu 0,5 +
+ 0,5 + 0,5 = 1,5. Nii et kui ma tahan teada, kui palju aega läheb 33 km läbimiseks,
siis kui liidan 9 + 9 + 9 + 4,5 + 1,5 saan vastuseks 33 ja samamoodi
3 + 3 + 3 + 1,5 + 0,5 tuleb vastuseks 11. Üksteist tundi peaks aega
minema.“
Järgmine laialt kasutusel olev võte, mida kirjeldas ka Cramer, on ühiku
strateegia. Väga sageli kasutatakse seda kiirusega seotud ülesannetes või
teiste selliste ülesannete puhul, kus ühe ühiku kohta leitaval suurusel on
mingi konkreetne nimetus või õpilane oskab seda enda jaoks sõnastada.
Kui ühe ühiku kohta on suurus välja arvutatud, siis edasine lahendus jätkub
31

sõltuvalt ülesandest kas korrutamise või jagamise teel.
Joonis 4 kirjeldab, kuidas õpilane lahendas testi ülesande ühiku strateegiat
kasutades.
Joonis 4. Näide ühiku strateegia kasutamisest
Ühiku strateegiat õpetatakse lastele sageli ja seda loetakse mõtestatud lahendusvõtteks.
Testi lahenduste uurimisel selgus, et need õpilased, kes ei
ole korduva liitmise strateegiatelt edasi liikunud korrutamise juurde, võivad
küll mõnel juhul välja arvutada suuruse ühe ühiku kohta ja kasutada lahenduse
lõpuni viimisel korduvat liitmist, kuid sel juhul on tegemist siiski korduva
liitmise strateegia teise taseme lahendusega. Vahe on selles, kuidas
leitakse ühele ühikule vastav suurus. Kui nähakse peast tuttavaid kordseid
seoseid ja lahendatakse ülesanne nende abil, ei ole tegemist ühiku strateegia
kasutamisega. Seda strateegiat kasutav õpilane oskab ühele ühikule vastava
suuruse leida jagamistehte abil ning selle tehte sisu on tema jaoks selgesti
mõistetav. Ta on võimeline välja arvutama mingi suuruse ühe ühiku
kohta ja teab, kuidas seda kasutada edasise lahendamise juures. See strateegia
on multiplikatiivse iseloomuga.
Kui lasta õpilastel oma lahenduskäike põhjendada, siis on võimalik aru
saada, millisel juhul kasutatakse formaalselt äraõpitud tehteid ja millal on
ülesande lahendamine mõtestatud. Kahe õpilase puhul tuli välja, et ühiku
strateegiat kasutati tehnilise võttena. Nad teadsid, et ühe ühiku kohta suuruse
leidmiseks tuleb teha jagamistehe ja puuduva suuruse leidmiseks tuleb
saadud vastus otsitava suhte teadaoleva liikmega korrutada. Selline võte
viiks aga viimatiesitatud ülesande puhul vale tulemuseni. Need õpilased
kasutasid seda strateegiat valesti ka pöördvõrdelise seose ülesannetes.
Ühiku strateegiat ei ole võimalik niisama lihtsalt kasutada kõikide ülesandetüüpide
lahendamiseks. Seetõttu võib õpilane, kes toetub ainult sellele
strateegiale, teatud olukordades hätta jääda. Need on ülesanded, mille puhul
ei ole võimalik sõnastada küsimust „kui palju on ühe kohta?“ või nõuab
sellise küsimuse esitamine suhete mõistmist väga heal tasemel. Samuti ei
ole selle strateegia kasutamine alati otstarbekas, sest võib asjatult nõuda
keerukate jagamistehete sooritamist.
Üks väga oluline strateegia oli kordistamine. See tähendab, et kasutati
arvandmete vahelisi multiplikatiivseid seoseid ning puuduv suurus leiti ja-
32

gamise ja korrutamise teel. Erinevalt Crameri kirjeldusest ei loeta siin kordistamiseks
seda, kui lahenduseni jõutakse korduva liitmise teel. Oluline
on, et kordistamise puhul ei vaadelda kaht omavahel seotud arvu jäiga tervikuna,
millega saab vaid paarikaupa opereerida, vaid mõistetakse arvude
vahelisi multiplikatiivseid seoseid ning osatakse neid kasutada. Proportsionaalse
mõtlemise arenemise seisukohast on oluline, et õpilane hakkaks
multiplikatiivseid seoseid mõistma ja kasutama ning lisaks absoluutsele
võrdlemisele kasutaks suhtelist võrdlemist (Baxter, 2001). Seetõttu on vajalik
eristada seda strateegiat korduva liitmise omast. Seda võtet kasutav õpilane
võib sõnastada oma lahenduse näiteks nii: „Kui 4 km läbimiseks kulub
3 tundi, siis 24 km läbimiseks kuluva aja leidmiseks jagan 24 : 4 6. See
tähendab, et teepikkus on 6 korda suurem, järelikult kulub ka 6 korda rohkem
aega.“ Selle strateegia puhul on võimalik multiplikatiivseid seoseid
kasutada ka siis, kui need ei ole peast leitavad või tuttavad. Kahe arvu vahelise
erinevuse leidmiseks kasutatakse jagamistehet. Näide 5 illustreerib
antud strateegia kasutamist joonise 6 abil.
Näide 5.
Alloleval joonisel on kaks fotot. Väiksema laius on 6 cm, pikkus 8 cm.
Klient tahtis seda fotot suuremas formaadis ja sellepärast fotograaf suurendas
väiksemat pilti. Ta sai uue foto, mille pikkuseks on 12 cm. Leia suurema
foto laius.
Joonis 5. Testis kasutatud ülesande joonis
Joonis 6. Näide kordistamise strateegia kasutamisest
Võrde põhiomaduse strateegiat esines ainult osades 9. klassi lahendustes.
Vestluse käigus paluti õpilastel selgitada, mida selline lahendus sisuliselt
tähendab. Kui Lesh jt (1988) kirjutasid oma töös, et õpilased kasutavad an-
33

tud meetodit harva ning pigem proportsionaalse mõtlemise vältimiseks, siis
seda kinnitavad ka antud uuringu tulemused. Enamik seda strateegiat kasutanud
õpilasi suutis põhjendada, mida selles sisalduvate tehetega arvutatakse
ning oleksid osanud need ülesanded lahendada ka mõne teise siin kirjeldatud
strateegia abil. Nad said aru, millises situatsioonis sai võrret kasutada
ning mõistsid, et pöördvõrdelise seose ülesande puhul viiks selline võte
vale lahenduseni. Vaid ühe õpilase puhul selgus, et võrde põhiomaduse võte
oli omandatud tehniliselt ühte kindlat tüüpi ülesannete lahendamiseks ja
sellel ei olnud tema jaoks muud sisu, kui et arvud tuleb vastavalt üksteise
alla paigutada ja siis risti läbi korrutada. Seda strateegiat kasutanud õpilased
ütlesid, et kasutavad antud võtet seetõttu, et nii on võimalik palju lihtsama
vaevaga vastuseni jõuda.
Hariliku murru kuju ja selle põhiomaduse kasutamist esines vaid väga
väheste õpilaste üksikutes lahendustes. Vaid üks 9. klassi poiss kasutas kahe
suhte võrdlemisel harilike murdude kuju, kuid ka tema jõudis vale järelduseni.
Kui intervjuu käigus juhiti õpilaste tähelepanu selle võimaluse kasutamisele,
siis isegi need, kes mõistsid sellise üleskirjutuse sisu, väitsid, et
see nõuab liiga keerukat mõtlemist ning palju lihtsam on kaks arvu omavahel
läbi jagada ning siis neid kümnendmurruna võrrelda.
Nii kirjanduse kui ka õpilaste tööde ning intervjuu tulemuste analüüsimise
põhjal on selge, et kasutatavad lahendusstrateegiad on otseselt seotud sellega,
milliseid seoseid on õpilased võimelised arvude vahel märkama ja kasutama.
See omakorda on võtmenäitaja proportsionaalse mõtlemise arengu
juures.
Kokkuvõte
Kahjuks ei mahu antud artiklisse empiirilise uurimuse andmete põhjal
konstrueeritud proportsionaalse mõtlemise arengumudel. Samuti ei jõuta
selgitada, kuidas on eelpool kirjeldatud strateegiate valik seotud proportsionaalse
mõtlemise tasemetega. Kuid õpilaste poolt kasutatud lahendusstrateegiate
rohkus võib matemaatikaõpetajate jaoks osutuda suureks üllatuseks.
Kindlasti ei ole paljud praktiseerivad pedagoogid neid endale teadvustanud.
Sellepärast otsustatigi antud artiklis keskenduda just vastavatele
ülesannetele ning nende lahendusstrateegiatele.
Kahjuks pööratakse ratsionaalarvuga ja proportsionaalsusega seotud teemade
õpetamisel suuremat tähelepanu teatud faktide ja algoritmide pähe
õppimisele ning puhtformaalsete võtete „treenimisele“. Seetõttu jääb vastavate
mõistete, tähenduste ja seoste sisuline mõistmine puudulikuks ning
proportsionaalne mõtlemine ei arene täielikult välja. Tegelikult toetavad ka
Eesti kooliõpikud sellist lähenemist vastavate teemade õpetamisele. Kuid
õppimine peab olema mõtestatud, tunnis ei peagi võimalikult palju tüüp-
34

ülesandeid lahendama. Kahjuks need tüübid lähevad kõik meelest ning näiteks
mõne aasta pärast on õpilane võimeline liitma harilikke murde ainult
kalkulaatori abiga. Rääkimata juba protsentarvutusest, mille tegelik sisu
jääb enamusele arusaamatuks.
Võrdelise seose ülesannete lahendamisel tuleks vältida võrde põhiomaduse
strateegia tutvustamist, vähemalt algul. Pole mõtet kohe alustada formaalsete
võtete „treenimisega“. Õpilastele tuleks anda võimalus lahendada lihtsamaid
multiplikatiivseid seoseid sisaldavaid ülesandeid iseseisvalt või
rühmas ning seejärel analüüsida koos erinevaid lahendusi ja ideid. Enne
reeglite tutvustamist peaks õpetaja ennast õpilaste mitteformaalsete strateegiatega
kurssi viima. Seejärel on lihtsam õpilasi juhendada keerulisemate
probleemide juures.
Kirjandus
1. Baxter, G.P. & Junker, B. (2001). Designing cognitive-developmental
assessments: A case study in proportional reasoning. The annual meeting
of the National Council for Measurement in Education. Seattle,
Washington. URL http://www.stat.cmu.edu/~brian/rpm/baxterjunkernc
me.pdf (5.02.2012).
2. Cramer, K., Post, T. (1993). Connecting research to teaching proportional
reasoning. Mathematics Teacher 86(5), 404–407.
3. Fernandez, C., Linares, S., Modestou, M., Gagatsis, A. (2010). Proportional
reasoning: How task variables influence the development of
students’ strategies from primary to secondary school. Acta Didactica
Universitatis Comenianae – Mathematics (10), 1–18.
4. Hart, K. M. (1984). Ratio: Children´s strategies and errors. London:
NFER-NELSON Publishing Company Ltd.
5. Kaldmäe, K., Kontson, A., Matiisen, K., Pais, E. (2011). Matemaatika
õpik 7. klassile. Tallinn: Avita.
6. Kurvits, J. (2008). Multiplikatiivne mõtlemine – probleem koolimatemaatikas.
Koolimatemaatika XXXV. Tartu: TÜ Kirjastus, 29–33.
7. Kurvits, J. (2011). Proportsionaalse mõtlemise areng. Koolimatemaatika
XXXVIII. Tartu: TÜ Kirjastus, 34–39.
8. Lamon, S. J. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding:
essential content knowledge and instructional strategies for teachers.
New York: Routledge.
9. Lesh, R., Post, T., Behr, M. (1988). Proportional reasoning. Number
Concepts and Operations in the Middle Grades. Reston, VA: Lawrence
Erlbaum & NCTM, 93–118.
10. Nabors, W. (2002). On the path to proportional reasoning. Proceedings
of the 26 th Annual Conference International Group for the Psychology
35

of Mathematics Education (3). Norwich, UK: University of East Anglia,
385–401.
11. Noelting, G. (1980). The development of proportional reasoning and
the ratio concept. Part 1 – Differentiation of stages. Educational Studies
in Mathematics (11), 217–253.
12. Norton, S. J. (2005). The construction of proportional reasoning. Proceedings
of the 29 th Annual Conference International Group for the
Psychology of Mathematics Education (4). Melbourne, Australia: University
of Melbourne, 17–24.
13. Nurk, E., Telgmaa, A., Undusk, A. (2000). Matemaatika VII klassile.
Tallinn: Koolibri.
14. Proportional Reasoning: A Research Based Unit of Study for Middle
School Teachers (2007). Rhode Island: Department of Education Office
of Instruction.
15. Steinthorsdottir, O. B., Sriraman, B. (2009). Icelandic 5th-grade girls’
developmental trajectories in proportional reasoning. Mathematics Education
Research Journal (21), 6–30.
16. Tourniaire, F., Pulos, S. (1985). Proportional reasoning: A review of
the literature. Educational Studies in Mathematics (16), 181–204.
17. Van de Walle, J. A. (2007). Elementary and middle school mathematics:
Teaching Developmentally. Boston, MA: Pearson Education.
Students’ reasoning strategies in proportional reasoning
problems
Kait Kleemann, Oru School
Jüri Kurvits, Tallinn University, University of Helsinki
Summary
Proportional reasoning has been described as a watershed concept, a cornerstone
of higher mathematics. Proportionality is a fundamental concept
in middle grades mathematics and plays a critical role in students’ mathematical
development. It has important implications for higher-level mathematics
and can be seen as a link between elementary school arithmetic and
the more abstract high school mathematics. Furthermore, it is not only important
in mathematics but also in our everyday life as many situations revolve
around the idea of ratio and proportion.
In this paper we focus on the reasoning strategies that middle grades students
use when solving proportional word problems. In addition, we discuss
the concept of proportional reasoning and briefly describe the developmental
trajectory of proportional reasoning.
36