MATEMATIKA - ICCG

MATEMATIKA
JANUAR 2013.
VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA JE 150 MINUTA
Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor.
Upotreba digitrona nije dozvoljena.
Pažljivo pročitajte uputstvo.
Ne okrećite stranice i ne rješavajte zadatke dok to ne dozvoli dežurni nastavnik.
Test sadrži 20 zadataka.
Tokom rada možete koristiti formule koje su date na stranama 4 i 5.
Uz test je dat i list za odgovore za zadatke višestrukog izbora. Potrebno je da na
odgovarajuće mjesto pažljivo prepišete svoje odgovore za prvih 8 zadataka.
Očekuje se da je kod zadataka otvorenog tipa detaljno napisan postupak
rješavanja, da je krajnji rezultat sveden (npr. izvršeno je skraćivanje razlomaka,
sabiranje članova iste vrste) i da je napisana odgovarajuća jedinica mjere (kod
zadataka iz stereometrije).
Zadatak će se vrednovati sa 0 bodova ako je:
- netačan
- zaokruženo više ponuđenih odgovora
- nečitko i nejasno napisan
- rješenje napisano grafitnom olovkom
Grafike, geometrijske slike možete crtati grafitnom olovkom.
Ukoliko pogriješite, prekrižite i rješavajte ponovo. Ako ste zadatak riješili na više
načina, nedvosmisleno označite koje rješenje ocjenjivač boduje.
Kad završite sa rješavanjem, provjerite svoje odgovore.
Želimo vam puno uspjeha!

PRAZNA STRANA

FORMULE
2
• i 1,
z a bi,
z a bi,
a,
b
R
3 3 2 2 3 3 3
2
2
• ( a b)
a 3a
b 3ab
b , a b ( a b)(
a ab b )
m
•
n m n
a a
b c
• Vietova pravila: x1 x2
, x1
x2
a a
2
b 4ac
b
• Tjeme parabole: T(
, )
2a
4a
log
c
b 1
• log
a
b , log b log
a
b
a
log
c
a
k
k
• Skalarna projekcija vektora na osu pr x
a a cos
• Skalarni proizvod vektora preko koordinata a
1
a
2
x1x
2
y1
y2
z1z2
• Vektorski proizvod vektora preko koordinata
a a y z z y ) i ( z x x z ) j ( x y y x ) k
1 2
(
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2
• sin 2
2sin
cos
,
2
cos 2
cos sin
• sin( )
sin
cos sin cos ,
• cos( )
cos cos sin sin
•
tg
tg
tg(
)
1 tg
tg
•
sin
sin 2sin cos , sin
sin 2cos sin
2 2
2 2
•
cos
cos 2cos cos , cos
cos 2sin
sin
2 2
2 2
•
a b c
Sinusna teorema: 2R
sin
sin sin
•
2 2 2
Kosinusna teorema : a b c 2bccos
• Trougao:
ah a
absin
P , P ,
2 2
P
a b c
abc
s( s a)(
s b)(
s c)
, s , P r s , P
2
4R
• Paralelogram: P a ha
, Romb:
1
d 2
a b
P Trapez: P h
2
2
• Prizma: P 2 B M , V B
H
• Piramida: P B M ,
1
V B H 3
H
• Zarubljena piramida: P B1 B2
M , V ( B1 B1B
2
B2
)
3
4

R – oznaka za poluprečnik
• Valjak: P 2B
M 2R ( R H)
, V B
H R
H
Kupa: P B M R ( R l)
,
1 1
V B H R
H
3 3
1 2
2 2
2
• Zarubljena kupa : P ( R1 R2
( R1
R2
) l)
, V H(
R1 R1R
2
R2
)
3
4
• Sfera: P 4R
2 Lopta: V R
3
3
• Rastojanje između dvije tačke:
AB
( x
y
2
2
2
x1
) ( y2
1)
1
• Površina trougla: P x1 ( y2
y3)
x2(
y3
y1)
x3(
y1
y2)
2
k2
k1
• Ugao između dvije prave: tg
1
k k
• Rastojanje između tačke i prave:
• Kružna linija:
2
2 2
( x a)
( y b)
R
1
d
2
Ax
0
By
A
2
0
B
C
Uslov dodira kružne linije sa centrom u koordinantnom početku i prave
2 2 2
R ( 1
k ) n
2 2
x y
2 2
• Elipsa: 1, F ( ,0)
2 b
2
1
a b
a
2
2 2 2 2
Uslov dodira prave i elipse: a k b n
2 2
x y
2 2
• Hiperbola: 1, F ( ,0)
2 b
2 1
a b
a
2
2 2 2 2
Uslov dodira prave i hiperbole: a k b n
• Parabola: y 2 2px
, F ( p ,0)
2
Uslov dodira prave i parabole: p 2kn
a1 an
• Aritmetički niz: a n
a1 ( n 1)
d , Sn
n
2
n
n1
b1 (1 q )
• Geometrijski niz: b
n
b1
q
, Sn
, q 1
1
q
2
5

U sljedećim zadacima zaokružite slovo ispred tačnog odgovora.
1.
Koji od navedenih brojeva je najveći?
A. 15
B.
C. e
D. 4 , 03
Napomena: - Ludolfov broj, e - Ojlerov broj
3 boda
2.
Sabiranjem razlomaka
1 1
, a 0 i a 3dobija se:
a a 3
A.
B.
C.
2a
3
a
2 3a
2a
5
a
2 3a
2
2a 3
5
D.
2
a
3 boda
6

3. Cijena cipela je sa 55 € snižena za 20 % . Za koliko procenata treba uvećati
ovu cijenu da bi se dobila početna cijena?
A. 11 %
B. 20 %
C. 25 %
D. 30 %
3 boda
4.
Osnovni period funkcije predstavljene grafikom na slici je:
A.
2
B.
C.
3
2
D. 2
3 boda
7

5. Ako je u pravouglom trouglu sa slike a 6cm
, a b 8cm
tada jetg jednak:
A.
3
5
B.
3
4
C.
4
5
D.
4
3
3 boda
6.
Samo jedna od navedenih tvrdnji NIJE tačna. Koja?
A. Ako su a i b nenulti vektori i ako je njihov vektorski proizvod jednak nula
vektoru, a xb
0
, tada su vektori a i b kolinearni.
B. Ako su a i b nenulti vektori, tada je njihov skalarni proizvod jednak nuli
a b
0 ako i samo ako je a b .
C. Skalarni proizvod dva vektora, a b
, je komutativan.
D. Vektorski proizvod dva vektora, a xb , je komutativan.
3 boda
8

7.
Zapremina pravilnog tetraedra ivice a je:
A.
B.
C.
D.
3
a 2
12
3
a 2
3
3
a 6
12
3
a 6
3
3 boda
8.
U geometrijskom nizu 1 , 1 , 1 ... jedanaesti član je:
2 4 8
A.
B.
C.
D.
1
2
1
2
1
4
1
4
11
12
10
11
9
3 boda

Zadatke koji slijede rješavajte postupno.
9.
Skratiti algebarski razlomak i odrediti njegovu oblast definisanosti.
2
x x2
2
x 4
Rješenje:
3 boda
10

10. Za transport vode koriste se žuta i crvena burad. Ako se napune 3 žuta i 4
crvena bureta ukupno će se transportovati 360 litara vode. Ako se napuni 5
žutih buradi, a tokom transporta se prospe količina vode koja bi napunila
tačno 2 crvena bureta, dopremiće se 210 litara vode.
Koliko litara vode staje u jedno žuto, a koliko u jedno crveno bure za vodu?
Rješenje:
3 boda
11

11. Odrediti vrijednost parametara a tako da za svako R
ax
x 1
2
4
.
3
x bude
Rješenje:
4 boda
12

12. Riješiti jednačinu 1
2
log x
12 1
log
2
x
2
.
Rješenje:
5 bodova
13

13. U datom koordinatnom sistemu nacrtati grafik funkcije
1, za x 2
f( x)
.
2
( x 1) , za 2 x
4 boda
Rješenje:
14

14.
a) Uprostiti cos( A B)
cos( A B ) .
b) Izračunati
o o
cos 75 cos15 .
Rješenje:
3 boda
16

15. Simetrala pravog ugla kod tjemena A jednakokrakog pravouglog
trougla ABC siječe hipotenuzu u tački A . Pokazati da su ABA
i AAC
podudarni.
Napomena: Nacrtati skicu koja odgovara tekstu zadatka
Rješenje:
2 boda
17

16. Odrediti koordinate tjemena C paralelograma ABCD , ako su
poznate koordinate tjemena A (2, 6)
i presječna tačka
1 5
dijagonala S
,
2 2 .
Rješenje:
3 boda
18

17. Odrediti jednačinu tangente na kružnu liniju datu crtežom u tački P.
Rješenje:
5 bodova
19

2x1
18. Naći funkciju koja je inverzna funkciji ( x)
e 1
f .
Rješenje:
3 boda
20

2
19. x 1
Naći kosu asimptotu grafika funkcije y
2x
1
.
Rješenje:
4 boda
21

20.
Iz grupe od 6 žena i 5 muškaraca treba izabrati delegaciju. Na koliko se
načina može izabrati delegacija tako da se ona sastoji od pet osoba i to 2
žene i 3 muškarca.
Rješenje:
3 boda
22