Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A ⪠B) = P(A) + P ...
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A ⪠B) = P(A) + P ...
Lastnosti verjetnosti 1. Za dogodka A in B velja: P(A ⪠B) = P(A) + P ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
<strong>Lastnosti</strong> <strong>verjetnosti</strong><br />
<strong>1.</strong> <strong>Za</strong> <strong>dogodka</strong> A <strong>in</strong> B <strong>velja</strong>:<br />
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)<br />
2. <strong>Za</strong> dogodke A, B <strong>in</strong> C <strong>velja</strong>:<br />
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)<br />
− P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)<br />
+ P(A ∩ B ∩ C)<br />
Kako lahko to pravilo posplošimo še na več dogodkov<br />
Aleksandar Jurišić 1
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Če so dogodki A i , i ∈ I paroma nezdružljivi, <strong>velja</strong><br />
P( ⋃ i∈I<br />
) = ∑ i∈I<br />
P(A i )<br />
Velja tudi za neskončne množice dogodkov.<br />
Aleksandar Jurišić 2
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Aksiomi Kolmogorova<br />
Dogodek predstavimo z množico zanj ugodnih izidov;<br />
gotov dogodek G ustreza univerzalni množici;<br />
nemogoč dogodek pa prazni množici.<br />
Neprazna druž<strong>in</strong>a dogodkov D je algebra, če <strong>velja</strong>:<br />
• A ∈ D ⇒ A ∈ D<br />
• A, B ∈ D ⇒ A ∪ B ∈ D<br />
Aleksandar Jurišić 3
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Pri neskončnih množicah dogodkov moramo drugo zahtevo<br />
posplošiti<br />
• A i ∈ D,i ∈ I ⇒ ⋃ i∈I A i ∈ D<br />
Dobljeni strukturi rečemo σ-algebra.<br />
Aleksandar Jurišić 4
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Naj bo D σ-algebra v G. Verjetnost na G je preslikava P : D → R<br />
z lastnostmi:<br />
<strong>1.</strong> P(A) ≥ 0<br />
2. P(G) = 1<br />
3. Če so dogodki A i , i ∈ I paroma nezdružljivi, je<br />
P( ⋃ i∈I<br />
A i ) = ∑ i∈I<br />
P(A i ).<br />
Trojica (G, D,P) določa verjetnostni prostor. Iz teh treh aksiomov<br />
lahko izpeljemo vse ostale lastnosti <strong>verjetnosti</strong> (Hladnik, str. 12).<br />
Aleksandar Jurišić 5
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
. . . Pogojna verjetnost<br />
P(A|B) =<br />
P(B|A) =<br />
P(A ∩ B)<br />
P(B)<br />
P(A ∩ B)<br />
P(A)<br />
=⇒ P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)<br />
=⇒ P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)<br />
Skupaj dobimo: P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B).<br />
Dogodka A <strong>in</strong> B sta neodvisna, če <strong>velja</strong><br />
P(A|B) = P(A)<br />
<strong>Za</strong>to za neodvisna <strong>dogodka</strong> A <strong>in</strong> B <strong>velja</strong> P(A ∩B) = P(A) ·P(B).<br />
<strong>Za</strong> nezdružljiva <strong>dogodka</strong> A <strong>in</strong> B <strong>velja</strong> P(A|B) = 0.<br />
Aleksandar Jurišić 6
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Primer: Iz posode, v kateri imamo 8 belih <strong>in</strong> 2 rdeči krogli, dvakrat<br />
na slepo izberemo po eno kroglo. Kolikšna je verjetnost <strong>dogodka</strong>,<br />
da je prva krogla bela (B 1 ) <strong>in</strong> druga rdeča (R 2 ).<br />
<strong>1.</strong> Če po prvem izbiranju izvlečeno kroglo ne vrnemo v posodo<br />
(odvisnost), je:<br />
P(B 1 ∩ R 2 ) = P(B 1 ) · P(R 2 |B 1 ) = 8 10 · 2<br />
9 = 0.18<br />
2. Če po prvem izbiranju izvlečeno kroglo vrnemo v posodo<br />
(neodvisnost), je:<br />
P(B 1 ∩R 2 ) = P(B 1 )·P(R 2 |B 1 ) = P(B 1 )·P(R 2 ) = 8<br />
10· 2<br />
10 = 0.16<br />
Aleksandar Jurišić 7
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
. . . Pogojna verjetnost<br />
Dogodka A <strong>in</strong> B sta neodvisna, če je P(A|B) = P(A|B).<br />
P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|(A ∩ B))<br />
Dogodki A i , i ∈ I so neodvisni, če je P(A j ) = P(A j | ⋂ j−1<br />
i=1 A i),<br />
j ∈ I.<br />
<strong>Za</strong> neodvisne dogodke A i , i ∈ I <strong>velja</strong><br />
P( ⋂ i∈I<br />
A i ) = ∏ i∈I<br />
P(A i )<br />
Aleksandar Jurišić 8
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Obrazec za razbitja <strong>in</strong> Bayesov obrazec<br />
⋃<br />
Naj bo A i , i ∈ I razbitje gotovega <strong>dogodka</strong>:<br />
i∈I A i = G <strong>in</strong><br />
dogodki so paroma nezdružljivi A i ∩ A j = N,i ≠ j. Tedaj je<br />
za vsak dogodek B<br />
P(B) = ∑ i∈I<br />
P(A i ) · P(B|A i )<br />
Na stvar lahko pogledamo tudi kot na dvokoračni poskus: v prvem<br />
koraku se zgodi natanko eden od dogodkov A i , v drugem pa B.<br />
Aleksandar Jurišić 9
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Včasih nas zanima po uspešnem izhodu tudi drugega koraka,<br />
verjetnost tega, da se je na prvem koraku zgodil dogodek A i .<br />
Odgovor dobimo iz zgornjega obrazca <strong>in</strong> mu pravimo Bayesov<br />
obrazec:<br />
P(A k |B) = P(A k) · P(B|A k )<br />
∑<br />
i∈I P(A i) · P(B|A i )<br />
Aleksandar Jurišić 10
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov<br />
O zaporedju neodvisnih poskusov X 1 , X 2 ,...,X n , ... govorimo<br />
tedaj, ko so <strong>verjetnosti</strong> izidov v enem poskusu neodvisne od tega,<br />
kaj se zgodi v drugih poskusih.<br />
<strong>Za</strong>poredje neodvisnih poskusov se imenuje Bernoullijevo<br />
zaporedje, če se more zgoditi v vsakem poskusu iz zaporedja<br />
neodvisnih poskusov le dogodek A z verjetnostjo P(A) = p ali<br />
dogodek A z verjetnostjo P(A) = 1 − P(A) = 1 − p = q.<br />
Primer: Primer Bernoullijevega zaporedja poskusov je met kocke,<br />
kjer ob vsaki ponovitvi poskusa pade šestica (dogodek A) z<br />
verjetnostjo P(A) = p = 1/6 ali ne pade šestica (dogodek A) z<br />
verjetnostjo P(A) = q = 5/6.<br />
Aleksandar Jurišić 11
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
V Bernoullijevem zaporedju neodvisnih poskusov nas zanima,<br />
kolikšna je verjetnost, da se v n zaporednih poskusih zgodi dogodek<br />
A natanko k–krat.<br />
To se lahko zgodi na primer tako, da se najprej zgodi k–krat<br />
dogodek A <strong>in</strong> nato v preostalih (n − k) poskusih zgodi nasprotni<br />
dogodek A:<br />
P(<br />
k⋂<br />
(X i = A) ∩<br />
n⋂<br />
(X i = A)) =<br />
k∏<br />
P(A) ·<br />
n∏<br />
P(A) = p k · q n−k<br />
i=1<br />
i=k+1<br />
i=1<br />
i=k+1<br />
Aleksandar Jurišić 12
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Dogodek P n (k), da se dogodek A v n zaporednih poskusih zgodi<br />
natanko k–krat, se lahko zgodi tudi na druge nač<strong>in</strong>e <strong>in</strong> sicer je<br />
teh toliko, na kolikor nač<strong>in</strong>ov lahko izberemo k poskusov iz n<br />
poskusov. Teh je ( n<br />
k)<br />
. Ker so ti nač<strong>in</strong>i nezdružljivi med seboj, je<br />
verjetnost <strong>dogodka</strong> P n (k) enaka<br />
P n (k) =<br />
( n<br />
k)<br />
p k (1 − p) n−k<br />
Tej zvezi pravimo Bernoullijev obrazec.<br />
Aleksandar Jurišić 13
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
. . . Bernoullijevo zaporedje neodvisnih poskusov<br />
Primer: Iz posode, v kateri imamo 8 belih <strong>in</strong> 2 rdeči krogli, na<br />
slepo izberemo po eno kroglo <strong>in</strong> po izbiranju izvlečeno kroglo<br />
vrnemo v posodo. Kolikšna je verjetnost, da v petih poskusih<br />
izberemo 3–krat belo kroglo<br />
Dogodek A je, da izvlečem belo kroglo. Potem je<br />
p = P(A) = 8<br />
10 = 0.8<br />
q = 1 − p = 1 − 0.8 = 0.2<br />
Verjetnost, da v petih poskusih izberemo 3–krat belo kroglo, je:<br />
( 5<br />
P 5 (3) = 0.8<br />
3)<br />
3 (1 − 0.8) 5−3 = 0.205<br />
Aleksandar Jurišić 14
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Računanje P n (k)<br />
Uporaba rekurzije: P n (0) = q n<br />
P n (k) =<br />
(n − k + 1)p<br />
P n (k − 1), k = 1,...<br />
kq<br />
Stirl<strong>in</strong>gov obrazec:<br />
n! ≈ √ ( n<br />
) n.<br />
2πn<br />
e<br />
Poissonov obrazec: za p blizu 0 P n (k) ≈ (np)k e −np<br />
k!<br />
Laplaceov točkovni obrazec:<br />
P n (k) ≈<br />
1<br />
√ e −(k−np)2 2npq<br />
2πnpq<br />
Aleksandar Jurišić 15
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Računanje P n (k)<br />
Program R: Vrednost P n (k) dobimo z ukazom<br />
db<strong>in</strong>om(k,size=n,prob=p)<br />
> db<strong>in</strong>om(50,size=1000,prob=0.05)<br />
[1] 0.05778798<br />
Aleksandar Jurišić 16
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Izpeljava rekurzivne zveze<br />
P n (k)<br />
P n (k − 1) =<br />
( n<br />
)<br />
k p k q n−k<br />
( n<br />
)<br />
k−1 p<br />
k−1<br />
q = n−k+1<br />
Torej je res:<br />
=<br />
P n (k) =<br />
n! (k − 1)!(n − k + 1)! p<br />
k!(n − k)! n! q<br />
=<br />
(n − k + 1)p<br />
kq<br />
(n − k + 1)p<br />
P n (k − 1), k = 1,...<br />
kq<br />
Aleksandar Jurišić 17
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Laplaceov <strong>in</strong>tervalski obrazec<br />
<strong>Za</strong>nima nas, kolikšna je verjetnost P n (k 1 , k 2 ), da se<br />
v Bernoullijevem zaporedju neodvisnih poskusov v n zaporednih<br />
poskusih zgodi dogodek A vsaj k 1 –krat <strong>in</strong> manj kot k 2 –krat.<br />
Označimo x k = k−np √ npq<br />
<strong>in</strong> ∆x k = x k+1 − x k = 1 √ npq<br />
.<br />
Tedaj je, če upoštevamo Laplaceov točkovni obrazec<br />
P n (k 1 , k 2 ) =<br />
k 2 −1<br />
∑<br />
k=k 1<br />
P n (k) = 1<br />
k 2 −1<br />
∑<br />
√<br />
2π<br />
k=k 1<br />
e −1 2 x2 k ∆xk<br />
<strong>Za</strong> (zelo) velike n lahko vsoto zamenjamo z <strong>in</strong>tegralom<br />
P n (k 1 ,k 2 ) ≈ 1 √<br />
2π<br />
∫ xk2<br />
x k1<br />
e −1 2 x2 dx<br />
Aleksandar Jurišić 18
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Funkcija napake Φ(x)<br />
Funkcija napake imenujemo funkcijo<br />
Φ(x) = √ 1 ∫ x<br />
2π<br />
0<br />
e −1 2 t2 dt<br />
Funkcija napake je liha, zvezno odvedljiva, strogo naraščajoča<br />
funkcija. Φ(−∞) = − 1 2 , Φ(0) = 0, Φ(∞) = 1 2 <strong>in</strong> P n(k 1 ,k 2 ) ≈<br />
Φ(x k2 ) − Φ(x k1 ). Vrednosti funkcije napake najdemo v tabelah<br />
ali pa je vgrajena v statističnih programih.<br />
> x2 x1 pnorm(x2)-pnorm(x1)\\[-6pt]<br />
\lbrack 1\rbrack\ 0.5<br />
> Phi curve(Phi,-6,6)<br />
Aleksandar Jurišić 19
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Bernoullijev zakon velikih števil<br />
IZREK 1 (J. Bernoulli, 1713) Naj bo k frekvenca <strong>dogodka</strong> A v n<br />
neodvisnih ponovitvah danega poskusa, v katerem ima dogodek A<br />
verjetnost p. Tedaj za vsa ε > 0 <strong>velja</strong><br />
∣<br />
lim P(∣ ∣ ∣∣<br />
k ∣∣∣<br />
n→∞ n − p < ε ) = <strong>1.</strong><br />
Ta izrek opravičuje statistično def<strong>in</strong>icijo <strong>verjetnosti</strong>.<br />
Aleksandar Jurišić 20
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Slučajne spremenljivke <strong>in</strong> porazdelitve<br />
Denimo, da imamo poskus, katerega izidi so števila (npr. pri<br />
metu kocke so izidi števila pik). Se pravi, da je poskusom<br />
prirejena neka količ<strong>in</strong>a, ki more imeti različne vrednosti. Torej je<br />
spremenljivka. Katero od mogočih vrednosti zavzame v določeni<br />
ponovitvi poskusa, je odvisno od slučaja. <strong>Za</strong>to ji rečemo slučajna<br />
spremenljivka.<br />
Da je slučajna spremenljivka znana, je potrebno vedeti<br />
<strong>1.</strong> kakšne vrednosti more imeti (zaloga vrednosti) <strong>in</strong><br />
2. kolikšna je verjetnost vsake izmed možnih vrednosti ali <strong>in</strong>tervala<br />
vrednosti. Predpis, ki določa te <strong>verjetnosti</strong>, imenujemo<br />
porazdelitveni zakon.<br />
Aleksandar Jurišić 21
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Slučajne spremenljivke označujemo z velikimi tiskanimi črkami<br />
iz konca abecede, vrednosti spremenljivke pa z enakimi malimi<br />
črkami. Tako je npr. (X = x i ) dogodek, da slučajna spremenljivka<br />
X zavzame vrednost x i .<br />
Porazdelitveni zakon slučajne spremenljivke X je poznan, če je<br />
mogoče za vsako realno število x določiti verjetnost<br />
F(x) = P(X < x)<br />
F(x) imenujemo porazdelitvena funkcija.<br />
Aleksandar Jurišić 22
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Najpogosteje uporabljamo naslednji vrsti slučajnih spremenljivk:<br />
<strong>1.</strong> diskretna slučajna spremenljivka, pri kateri je zaloga vrednosti<br />
neka števna množica;<br />
2. zvezna slučajna spremenljivka, ki lahko zavzame vsako realno<br />
število znotraj določenega <strong>in</strong>tervala.<br />
Aleksandar Jurišić 23
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
<strong>Lastnosti</strong> porazdelitvene funkcije<br />
<strong>1.</strong> Funkcija F je def<strong>in</strong>irana na vsem R <strong>in</strong> <strong>velja</strong><br />
0 ≤ F(x) ≤ 1, x ∈ R<br />
2. Funkcija F je naraščajoča x 1 < x 2 =⇒ F(x 1 ) ≤ F(x 2 )<br />
3. F(−∞) = 0 <strong>in</strong> F(∞) = 1<br />
4. Funkcija je v vsaki točki zvezna od leve F(x−) = F(x)<br />
5. Funkcija ima lahko v nekaterih točkah skok.<br />
Vseh skokov je največ števno mnogo.<br />
6. P(x 1 ≤ X < x 2 ) = F(x 2 ) − F(x 1 )<br />
7. P(x 1 < X < x 2 ) = F(x 2 ) − F(x 1 +)<br />
8. P(X ≥ x) = 1 − F(x)<br />
9. P(X = x) = F(x+) − F(x)<br />
Aleksandar Jurišić 24
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Diskretne slučajne spremenljivke<br />
<strong>Za</strong>loga vrednosti diskretne slučajne spremenljivke X je števna<br />
množica {x 1 , x 2 , ...,x m , ...}. Dogodki<br />
X = x k k = 1, 2, · · ·<br />
sestavljajo popoln sistem dogodkov.<br />
Označimo verjetnost posameznega <strong>dogodka</strong> s<br />
P(X = x i ) = p i<br />
Vsota <strong>verjetnosti</strong> vseh dogodkov je enaka 1:<br />
p 1 + p 2 + · · · + p m + · · · = 1<br />
Aleksandar Jurišić 25
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Verjetnostna tabela<br />
Verjetnostna tabela prikazuje diskretno slučajno spremenljivko s<br />
tabelo tako, da so v prvi vrstici zapisane vse vrednosti x i , pod njimi<br />
pa so pripisane pripadajoče <strong>verjetnosti</strong>:<br />
( )<br />
x1 x<br />
X : 2 · · · x m · · ·<br />
p 1 p 2 · · · p m · · ·<br />
Porazdelitvena funkcija je v tem primeru<br />
F(x k ) = P(X < x k ) =<br />
∑k−1<br />
i=1<br />
p i<br />
Aleksandar Jurišić 26
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Enakomerna diskretna porazdelitev<br />
Končna diskretna slučajna spremenljivka se porazdeljuje<br />
enakomerno, če so vse njene vrednosti enako verjetne.<br />
Primer take slučajne spremenljivke je število pik pri metu kocke<br />
( )<br />
1 2 3 4 5 6<br />
X :<br />
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6<br />
Aleksandar Jurišić 27
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
B<strong>in</strong>omska porazdelitev<br />
B<strong>in</strong>omska porazdelitev ima zalogo vrednosti {0, 1, 2, · · · , n} <strong>in</strong><br />
<strong>verjetnosti</strong>, ki jih računamo po Bernoullijevem obrazcu:<br />
( n<br />
P(X = k) = p<br />
k)<br />
k (1 − p) n−k<br />
k = 0, 1, 2, · · · , n. B<strong>in</strong>omska porazdelitev je natanko določena<br />
z dvema podatkoma – parametroma: n <strong>in</strong> p. Če se slučajna<br />
spremenljivka X porazdeljuje b<strong>in</strong>omsko s parametroma n <strong>in</strong> p,<br />
zapišemo:<br />
X : B(n,p)<br />
> h plot(0:15,h,type=’h’,xlab=’k’,ylab=’b(n,p)’)\\[-6pt]<br />
> po<strong>in</strong>ts(0:15,h,pch=16,cex=2)<br />
Aleksandar Jurišić 28
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
B<strong>in</strong>omska porazdelitev / Primer<br />
Naj bo slučajna spremenljivka X določena s številom fantkov v<br />
druž<strong>in</strong>i s 4 otroki. Denimo, da je enako verjetno, da se v druž<strong>in</strong>i<br />
rodi fantek ali deklica: P(F) = p = 1/2 , P(D) = q = 1/2.<br />
Spremenljivka X se tedaj porazdeljuje b<strong>in</strong>omsko B(4, 1/2) <strong>in</strong> njena<br />
verjetnostna shema je:<br />
( )<br />
0 1 2 3 4<br />
X :<br />
1/16 4/16 6/16 4/16 1/16<br />
( ) 4 (1<br />
Npr. P(X = 2) = P 4 (2) = (1 −<br />
2 2)2 1 2 )4−2 = 6 16 .<br />
Porazdelitev obravnavane slučajne spremenljivke je simetrična.<br />
Pokazati se da, da je b<strong>in</strong>omska porazdelitev simetrična,<br />
če je p = 0.5. Sicer je asimetrična.<br />
Aleksandar Jurišić 29
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Poissonova porazdelitev P(λ)<br />
Poissonova porazdelitev ima zalogo vrednosti {0, 1, 2, ...},<br />
verjetnostna funkcija pa je<br />
p k = P(#dogodkov = k) = λ ke−λ<br />
k!<br />
kjer je λ > 0 dani parameter – pogostost nekega <strong>dogodka</strong>.<br />
Posebno pomembna je v teoriji množične strežbe.<br />
p k+1 =<br />
λ<br />
k + 1 p k,<br />
p 0 = e −λ<br />
Aleksandar Jurišić 30
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Pascalova porazdelitev P(m, p)<br />
Pascalova porazdelitev ima zalogo vrednosti {m, m+1,m+2, ...},<br />
verjetnostna funkcija pa je<br />
( ) k − 1<br />
p k = p m q k−m<br />
m − 1<br />
kjer je 0 < p < 1 dani parameter – verjetnost <strong>dogodka</strong> A v<br />
posameznem poskusu. Opisuje porazdelitev števila poskusov<br />
potrebnih, da se dogodek A zgodi m–krat.<br />
<strong>Za</strong> m = 1, porazdelitvi G(p) = P(1, p) pravimo geometrijska<br />
porazdelitev. Opisuje porazdelitev števila poskusov potrebnih, da<br />
se dogodek A zgodi prvič.<br />
Aleksandar Jurišić 31
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Hipergeometrijska porazdelitev H(n; M,N)<br />
Hipergeometrijska porazdelitev ima zalogo vrednosti {0, 1, 2, ...},<br />
verjetnostna funkcija pa je<br />
( M<br />
)( N−M<br />
)<br />
k<br />
p k =<br />
( N<br />
n)<br />
n−k<br />
kjer so k ≤ n ≤ m<strong>in</strong>(M,N − M) dani parametri.<br />
Opisuje verjetnost <strong>dogodka</strong>, da je med n izbranimi kroglicami<br />
natanko k belih, če je v posodi M belih <strong>in</strong> N − M črnih kroglic<br />
<strong>in</strong> izbiramo n–krat brez vračanja.<br />
Aleksandar Jurišić 32
Verjetnost <strong>in</strong> statistika, FRI, 2006<br />
Zvezne slučajne spremenljivke<br />
Slučajna spremenljivka X je zvezno porazdeljena, če obstaja taka<br />
<strong>in</strong>tegrabilna funkcija p, imenovana gostota <strong>verjetnosti</strong>, da za vsak<br />
x ∈ R <strong>velja</strong>:<br />
F(x) = P(X < x) =<br />
∫ x<br />
−∞<br />
p(t)dt<br />
kjer p(x) ≥ 0. To verjetnost si lahko predstavimo tudi grafično<br />
v koord<strong>in</strong>atnem sistemu, kjer na abscisno os nanašamo vrednosti<br />
slučajne spremenljivke, na ord<strong>in</strong>atno pa gostoto <strong>verjetnosti</strong> p(x).<br />
Verjetnost je tedaj predstavljena kot plošč<strong>in</strong>a pod krivuljo, ki jo<br />
določa p(x). Velja p(x) = F ′ (x) ter<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
p(x)dx = 1 <strong>in</strong> P(x 1 ≤ X < x 2 ) =<br />
∫ x2<br />
x 1<br />
p(t)dt.<br />
Aleksandar Jurišić 33