Predavanje 9 - Odjel za matematiku
Predavanje 9 - Odjel za matematiku Predavanje 9 - Odjel za matematiku
Grafovi Dr.sc.Snježana Majstorović Odjel za matematiku, Sveučilište u Osijeku, Hrvatska Zimski semestar ak.god. 2012/2013. 1 of 28
- Page 2 and 3: 19 Bojenje vrhova grafa Definicija
- Page 4 and 5: 19 Bojenje vrhova grafa Posebno su
- Page 6 and 7: 19 Bojenje vrhova grafa Korolar 19.
- Page 8 and 9: 19 Bojenje vrhova grafa Propozicija
- Page 10 and 11: 20 Bojenje bridova grafa ✄ ✂NA
- Page 12 and 13: 20 Bojenje bridova grafa Dokaz:Neka
- Page 14 and 15: 20 Bojenje bridova grafa Evo primje
- Page 16 and 17: 20 Bojenje bridova grafa Za bojanje
- Page 18 and 19: 21 Ramseyeva teorija Ilustracija za
- Page 20 and 21: 21 Ramseyeva teorija Slijedi nužan
- Page 22 and 23: 22 Kromatski polinom Osim ispitivan
- Page 24 and 25: 22 Kromatski polinom Postoji rekurz
- Page 26 and 27: 22 Kromatski polinom Korolar 22.3 Z
- Page 28: 22 Kromatski polinom Primjer 22.4 O
Grafovi<br />
Dr.sc.Snježana Majstorović<br />
<strong>Odjel</strong> <strong>za</strong> <strong>matematiku</strong>, Sveučilište u Osijeku, Hrvatska<br />
Zimski semestar ak.god. 2012/2013.<br />
1 of 28
19 Bojenje vrhova grafa<br />
Definicija 19.1<br />
K-bojenje vrhova grafa G je pridruživanje koje svakom vrhu iz G pridružuje<br />
jednu boju iz <strong>za</strong>danog k-članog skupa boja tako da je svaki par susjednih<br />
vrhova obojan različitim bojama.<br />
(Za takvo bojanje kažemo da je pravilno k-bojenje.)<br />
Definicija 19.2<br />
Kažemo da je graf k-obojiv ako dopušta pravilno k-bojenje vrhova.<br />
Definicija 19.3<br />
Kromatski broj grafa G je χ(G) = min{k : G je k-obojiv}. Ako je χ(G) = k,<br />
kažemo da je G k-kromatski.<br />
2 of 28
19 Bojenje vrhova grafa<br />
2-kromatski graf<br />
3-kromatski graf<br />
✄ <br />
✂NAPOMENE:<br />
✁<br />
• Pseudograf ne možemo pravilno obojati.<br />
• Multigraf je k-obojiv ako i samo ako je pripadni jednostavan graf k-obojiv.<br />
Stoga je dovoljno ograničiti se na jednostavne grafove.<br />
• Graf G je 1-obojiv ako i samo ako je G točkast graf, a 2-obojiv ako i samo<br />
ako je bipartitan.<br />
• Graf s n-vrhova je n-obojiv.<br />
• k-partitan graf je k-obojiv.<br />
⋄ Kromatski broj grafa G se može još definirati kao minimalan broj ne<strong>za</strong>visnih<br />
podskupova na koje možemo particionirati skup vrhova V (G). Svaki takav<br />
podskup odgovara jednoj boji.<br />
3 of 28
19 Bojenje vrhova grafa<br />
Posebno su <strong>za</strong>nimljivi k-obojivi grafovi takvi da im se svaki pravi podgraf<br />
može obojati sa manje od k boja.<br />
Definicija 19.4<br />
Kažemo da je graf G kritičan ako je χ(H) < χ(G) <strong>za</strong> svaki pravi podgraf H od<br />
G.<br />
K-kritičan graf je graf koji je k-kromatski i kritični.<br />
✄ <br />
✂NAPOMENE:<br />
✁<br />
• Svaki k-kromatski graf sadrži k-kritičan podgraf.<br />
• Svaki je kritičan graf pove<strong>za</strong>n jer bi inače komponenta pove<strong>za</strong>nosti imala<br />
isti kromatski broj kao i čitav graf.<br />
..<br />
GROTZSCHOV GRAF: 4-kritičan<br />
4 of 28
19 Bojenje vrhova grafa<br />
Slijede neka osnovna svojstva kritičnih grafova:<br />
Teorem 19.5<br />
Ako je G k-kritičan, tada je δ(G) ≥ k − 1.<br />
Dokaz: Pretpostavimo da je G k-kritičan i δ(G) < k − 1. Uzmimo vrh<br />
v ∈ V (G) tako da d(v) = δ(G). Slijedi da je G − v (k − 1)-obojiv. Uzmimo da<br />
je (V 1, V 2, . . . , V k−1 ) (k − 1)-bojenje od G − v. Tada je v susjed sa δ(G) < k − 1<br />
vrhova u G pa prema Dirichletovom principu vrh v u G nije susjed sa<br />
vrhovima iz nekog V j.<br />
No, tada je (V 1, V 2, . . . , V j ∪ {v}, . . . , V k−1 ) jedno (k − 1)-bojanje u G što je<br />
kontradikcija s pretpostavkom da je G k-kritičan pa time i k-kromatski. Slijedi<br />
δ(G) ≥ k − 1.<br />
5 of 28
19 Bojenje vrhova grafa<br />
Korolar 19.6<br />
Neka je G k-kromatski graf. Tada je barem k vrhova od G stupnja najmanje<br />
k − 1.<br />
Dokaz: Neka je G k-kromatski, a H neki njegov k-kritični podgraf. Prema<br />
Teoremu 19.5, svaki je vrh u H stupnja najmanje k − 1 u H, pa onda i u G.<br />
Obzirom da je H k-kromatski, |V (H)| ≥ k pa slijedi tvrdnja.<br />
Korolar 19.7<br />
Za svaki graf G vrijedi χ(G) ≤ ∆(G) + 1.<br />
Dokaz: Izravna posljedica Korolara 19.6.<br />
6 of 28
19 Bojenje vrhova grafa<br />
Definicija 19.8<br />
Neka je S vršni rez pove<strong>za</strong>nog grafa G i neka su V 1, V 2, . . . , V n skupovi vrhova<br />
komponenti od G − S. Podgrafovi G i = G[V i ∪ S], i = 1, . . . , n, zovu se<br />
S-komponente od G.<br />
Kažemo da se bojenja grafova G 1, G 2, . . . , G n slažu na S ako je svakom vrhu<br />
v ∈ S pridružena ista boja u svakom od bojenja.<br />
u<br />
u<br />
u<br />
v<br />
G<br />
G 1<br />
v<br />
v<br />
G 2<br />
7 of 28
19 Bojenje vrhova grafa<br />
Propozicija 19.9<br />
U kritičnom grafu nikoji vršni rez ne može biti klika.<br />
Dokaz: Neka je G k-kritičan graf i neka G ima neki vršni rez koji je klika.<br />
Neka su S-komponente od G podgrafovi G 1, . . . , G n. Obzirom na k-kritičnost<br />
grafa G, slijedi da je G i (k − 1)-obojiv.<br />
No, jer je S klika, vrhovi od S moraju biti različito obojeni u svakom<br />
(k − 1)-bojenju u G i. Zaključujemo da postoje (k − 1)-bojenja od G 1, . . . , G n<br />
koja se slažu na S. Takva bojenja <strong>za</strong>jedno daju jedno (k − 1)-bojenje od G pa<br />
smo dobili kontradikciju s pretpostavkom da je k-kritičan (a time i<br />
k-kromatski).<br />
⋄ Izravna posljedica ove propozicije je da ukoliko k-kritičan graf G ima 2-vršni<br />
rez {u, v}, tada vrhovi u i v nisu susjedni.<br />
8 of 28
20 Bojenje bridova grafa<br />
Kao i <strong>za</strong> vrhove, analogno definiramo bojenje bridova grafa G:<br />
Definicija 20.1<br />
K-bridno bojenje grafa G je pridruživanje koje svakom bridu iz G pridružuje<br />
jednu boju iz <strong>za</strong>danog k-članog skupa boja tako da je svaki par susjednih<br />
bridova obojan različitim bojama.<br />
(Za takvo bojanje kažemo da je pravilno k-bridno bojenje.)<br />
Definicija 20.2<br />
Kažemo da je graf k-bridno obojiv ako dopušta pravilno k-bridno bojenje<br />
vrhova.<br />
Definicija 20.3<br />
Bridno kromatski broj grafa G je χ ′ (G) = min{k : G je k-obojiv}. Ako je<br />
χ ′ (G) = k, kažemo da je G bridno k-kromatski.<br />
9 of 28
20 Bojenje bridova grafa<br />
✄ <br />
✂NAPOMENE:<br />
✁<br />
• Pseudograf ne možemo pravilno bridno obojati.<br />
• Svakako vrijedi ∆(G) ≤ χ ′ (G) ≤ |E(G)|.<br />
⋄ Bridno kromatski broj grafa G se može još definirati kao minimalan broj<br />
ne<strong>za</strong>visnih podskupova E i, i = 1, . . . , k, na koje možemo particionirati skup<br />
bridova E(G). Svaki takav podskup odgovara jednoj boji.<br />
Primijetite da je svaki skup E i pravilnog k-bridnog bojenja jedno sparivanje.<br />
10 of 28
20 Bojenje bridova grafa<br />
Slijedi važan teorem o bojanju bridova nekog grafa:<br />
Teorem 20.4 (Vizing, 1964.) (Opća forma)<br />
Ako je G multigraf, tada je ∆(G) ≤ χ ′ (G) ≤ ∆(G) + µ, gdje je µ maksimalan<br />
broj bridova koji spaja dva vrha u G.<br />
Mi ćemo doka<strong>za</strong>ti ’slabiju’ formu Vizingovog teorema:<br />
Teorem 20.5 (Vizing, 1964.)<br />
Ako je G jednostavan graf, tada χ ′ (G) = ∆(G) ili χ ′ (G) = ∆(G) + 1.<br />
Dokaz: Znamo da χ ′ (G) ≥ ∆(G) pa treba doka<strong>za</strong>ti χ ′ (G) ≤ ∆(G) + 1.<br />
Koristimo indukciju po broju bridova m grafa G.<br />
Za m = 1 tvrdnja vrijedi. Pretpostavimo da smo G ′ := G − e, e = v 0v 1, obojali<br />
sa najviše ∆(G) + 1 boja. Tada barem jedna boja neće biti <strong>za</strong>stupljena kod<br />
vrha v 0 i barem jedna kod v 1. Ako se radi o istoj boji, onda tom bojom<br />
možemo obojati e.<br />
11 of 28
20 Bojenje bridova grafa<br />
Dokaz:Neka to nije slučaj i neka je e = v 0v 1 neobojan brid.<br />
Označimo boje s 0, 1,2, 3, . . . , ∆(G) i pretpostavimo da kod v 0 nemamo boju 0,<br />
ali imamo 1, a kod v 1 nemamo boju 1, ali imamo boju 0.<br />
Konstruirati ćemo niz bridova v 0v i, i = 1, 2,3, . . . i niz boja 1, 2,3, . . . tako da<br />
boje i nema kod vrha v i, ali tako da je v 0v i+1 obojan bojom i + 1.<br />
Neka smo došli do vrha v i. Jasno je da postoji najviše jedan brid v 0v boje i.<br />
Ako postoji točno jedan takav brid i ako je v ≠ v 1, v 2, . . . , v i, tada stavimo<br />
v i+1 := v i neka boje i + 1 nema kod v i+1. Svaki takav niz <strong>za</strong>vršava u najviše<br />
∆(G) koraka.<br />
Uzmimo da je konstruiran niz v 0, v 1, . . . , v j i boje 1, 2, . . . , j. Objasnimo da je<br />
takav niz konačan, tj. da <strong>za</strong>vršava.<br />
(1) Neka ne postoji brid v 0v j obojen bojom j. Tada pravilno bojamo bridove<br />
od G na način da svaki brid v 0v i, i < j obojamo bojom i. (To možemo jer smo<br />
pretpostavili da kod v i nemamo boju i). Sada su svi bridovi obojani osim v 0v j.<br />
No, boje j nema kod v j pa se v 0v j može obojati bojom j. Sada smo bridove<br />
incidentne s v 0 obojali s najviše ∆(G) različitih boja, pa <strong>za</strong>jedno sa bojom 0<br />
koja je <strong>za</strong>stupljena kod vrha v 1 dobivamo χ ′ (G) ≤ ∆(G) + 1.<br />
12 of 28
20 Bojenje bridova grafa<br />
Dokaz: (2) Neka postoji neki k < j tako da je v 0v k obojen bojom j. Slijedi<br />
pravilno bojanje bridova u G:<br />
najprije obojimo svaki brid v 0v i, i < k, sa bojom i, a brid v 0v k <strong>za</strong> sada<br />
ostavimo neobojanim (to znači da boje j i k nisu <strong>za</strong>stupljene kod v k ).<br />
Neka je G(p,q) ⊆ G ′ podgraf induciran bridovima obojenim bojama p, q,<br />
(p ≠ q). Tvrdimo da je G(0, j) ili put ili ciklus.<br />
Kod svakog vrha je najviše jedan brid boje 0 i najviše jedan brid boje j.<br />
Kod svakog od vrhova v 0, v k , v j nema bar jedne od boja 0 ili j pa stoga ne<br />
mogu sva tri vrha pripadati istoj komponenti pove<strong>za</strong>nosti od G(0, j).<br />
Tu se javljaju dvije mogućnosti:<br />
(2a) Vrh v 0 nije u komponenti G vk (0, j) od G(0, j) koja sadrži v k . Pravilno<br />
bojanje je: Zamijenimo boje 0 i j u G vk (0, j) tako da boje 0 neće biti kod vrha<br />
v k . No, boje 0 nema ni kod v 0 pa brid v 0v k možemo obojati sa bojom 0.<br />
(2b) Vrh v 0 nije u komponenti G vj (0, j) od G(0, j) koja sadrži v j. Pravilno<br />
bojanje je: Prebojimo svaki brid v 0v i bojom i, k ≤ i < j, a v 0, v j ostavimo<br />
neobojenim. Primijetimo da boje 0 i j uopće nisu korištene pa G(0, j) ostaje<br />
neizmjenjen. Zamijenimo li boje 0 i j u G vj (0, j), tada boje 0 neće biti kod<br />
vrha v j. A kako boje 0 nema ni kod v 0, brid v 0v j obojamo bojom 0.<br />
13 of 28
20 Bojenje bridova grafa<br />
Evo primjera grafa G <strong>za</strong> koji vrijedi χ ′ (G) = ∆(G) + 1:<br />
1<br />
3<br />
2<br />
4<br />
1<br />
3<br />
2<br />
14 of 28
20 Bojenje bridova grafa<br />
Vizingov teorem ne daje nikakvu karakteri<strong>za</strong>ciju grafova G <strong>za</strong> koje vrijedi<br />
χ ′ (G) = ∆(G) + 1.<br />
Do sada su pronadene samo neke specijalne klase grafova koje <strong>za</strong>dovoljavaju to<br />
svojstvo, ali ovaj problem i dalje ostaje neriješen.<br />
Slijedi rezultat o bojanju bridova bipartitnog grafa:<br />
Teorem 20.6 (König, 1916.)<br />
Ako je G bipartitan, tada χ ′ (G) = ∆(G).<br />
Dokaz: Indukcijom po broju bridova bipartitnog grafa G (slično kao dokaz<br />
Vizingovog teorema).<br />
15 of 28
20 Bojenje bridova grafa<br />
Za bojanje vrhova grafa ne postoji dovoljno jaka tvrdnja kao što je Vizingov<br />
teorem <strong>za</strong> slučaj bojanja bridova, no, uz neke dodatne uvjete možemo dobiti<br />
granice kromatskog broja:<br />
Teorem 20.7 (Brooks, 1941.)<br />
Neka je G jednostavan pove<strong>za</strong>n graf. Tada χ(G) = ∆(G) + 1 ako i samo ako je<br />
G ili neparan ciklus ili potpun graf.<br />
16 of 28
21 Ramseyeva teorija<br />
Sjetimo se poznatog problema iz Ramseyeve teorije:<br />
Problem<br />
Zadan je k ∈ N. Koliko brojna skupina ljudi je potrebna da bi se sigurno<br />
moglo reći da u toj skupini ljudi postoji ili k-torka ljudi koji se svi medusobno<br />
poznaju ili k-torka ljudi od kojih se nikoja dva čovjeka medusobno ne poznaju<br />
Naveli smo i neke specijalne slučajeve koje smo dokazivali Dirichletovim<br />
principom:<br />
• U svakoj skupini od 6 ljudi postoje ili 3 medusobna poznanika ili 3<br />
medusobna neznanca.<br />
• U svakoj skupini od 10 ljudi postoje ili 3 medusobna poznanika ili 4<br />
medusobna neznanca (ili obrnuto).<br />
• U svakoj skupini od 20 ljudi postoje ili 4 medusobna poznanika ili 4<br />
medusobna neznanca.<br />
Svaki od ovih slučajeva ilustrirali smo crtajući graf u kojem smo ljude<br />
pridruživali vrhovima, a odnose medu njima bridovima.<br />
17 of 28
21 Ramseyeva teorija<br />
Ilustracija <strong>za</strong> slučaj od 6 ljudi i dvije moguće relacije medu njima: biti<br />
poznanik, biti neznanac<br />
1<br />
1 1<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1 2<br />
1<br />
1<br />
2 1<br />
2<br />
Sa N(p, q;2)(= N(p, q)) označavamo najmanji broj ljudi tako da medu njima<br />
postoji ili p medusobnih znanaca ili q medusobnih neznanaca.<br />
18 of 28
21 Ramseyeva teorija<br />
Jezikom teorije grafova, mi želimo naći najmanji broj vrhova N(p, q; 2) nekog<br />
potpunog grafa tako da, prilikom bojanja bridova sa dvije različite boje, postoji<br />
potpun podgraf s p vrhova čiji su svi bridovi obojani istom bojom (dakle, takav<br />
graf je monokromatski) ili postoji potpun podgraf s q vrhova čiji su svi bridovi<br />
obojani istom, ali onom drugom, bojom. Takav broj zovemo Ramseyev broj.<br />
Navedimo najprije opći uvjet <strong>za</strong> egzistenciju nekog K p u <strong>za</strong>danom grafu. U tu<br />
svrhu definirajmo Turánov graf:<br />
Definicija 21.1<br />
Turánov graf<br />
⌊<br />
T(n,p)<br />
⌋<br />
je<br />
⌈<br />
potpun<br />
⌉<br />
p-partitni graf sa n vrhova u kojem svaki<br />
n n<br />
podskup ima ili vrhova.<br />
p p<br />
19 of 28
21 Ramseyeva teorija<br />
Slijedi nužan uvjet egzistencije nekog potpunog podgrafa K p u <strong>za</strong>danom grafu<br />
G:<br />
Teorem 21.2 (Turán, 1941.)<br />
Ako <strong>za</strong> graf G s n vrhova vrijedi |E(G)| > |E(T(n,p − 1))|, tada G sadrži<br />
potpun podgraf K p.<br />
Ukoliko Turánov teorem primijenimo na K 3, dobivamo Mantelov teorem!<br />
20 of 28
21 Ramseyeva teorija<br />
Iskažimo sada Ramseyev teorem kojeg mnogi zovu draguljem kombinatorike:<br />
Teorem 21.3 (Ramsey, 1930.)<br />
Neka su p, q ∈ N, p, q ≥ 2. Postoji najmanji prirodan broj N(p, q) tako da <strong>za</strong><br />
sve n ≥ N(p, q) bilo koje 2-bojenje potpunog grafa K n sadrži 1-monokromatski<br />
K p ili 2-monokromatski K q (1 i 2 su oznake boja).<br />
Evo nekih specijalnih slučajeva:<br />
N(p,2) = p, N(2, q) = q.<br />
Slijedi općenitija forma Ramseyevog teorema:<br />
Teorem 21.4<br />
Neka su q i ∈ N, q i ≥ 2, i ∈ [1, k], k ≥ 2. Postoji najmanji prirodan broj<br />
R = N(q 1, q 2, . . . , q k ) tako da <strong>za</strong> sve n ≥ R bilo koje k-bojenje potpunog grafa<br />
K n sadrži i-monokromatski K qi <strong>za</strong> neki i.<br />
21 of 28
22 Kromatski polinom<br />
Osim ispitivanja k-obojivosti grafova, <strong>za</strong>nimljiv problem je i prebrojavanje<br />
nekih bojanja. Mi ćemo u nastavku promatrati problem prebrojavanja<br />
različitih bojanja vrhova grafa G.<br />
⋄ Sa P(G, t) ćemo označiti broj različitih t-bojanja grafa G.<br />
⋄ Vrijediti će: P(G, t) > 0 ⇔ G k-obojiv, tj. ako su (V 1, V 2, . . . , V k ) i<br />
(V 1, ′ V 2, ′ . . . , V k) ′ dva bojanja od G, tada (V 1, V 2, . . . , V k ) = (V 1, ′ V 2, ′ . . . , V k) ′ ⇔<br />
V i = V i ′ , 1 ≤ i ≤ k.<br />
(Naravno, uvijek mislimo na pravilna bojanja grafa!)<br />
⋄ Ukoliko je t < χ(G), vrijedi P(G, t) = 0, a <strong>za</strong> t ≥ χ(G) vrijedi P(G, t) > 0.<br />
22 of 28
22 Kromatski polinom<br />
Primjer 22.1<br />
Odredimo ukupan broj različitih t bojanja točkastog grafa i<br />
potpunog grafa.<br />
Rješenje: Ako je graf G točkast, tada svakom vrhu možemo pridružiti bilo koju<br />
od t boja, neovisno o izboru boje <strong>za</strong> preostale vrhove. Slijedi P(G, t) = t |V (G)| .<br />
Ako je G = K n, tada <strong>za</strong> prvi vrh boju možemo odabrati na t načina, <strong>za</strong> drugi<br />
vrh na t − 1 načina jer ne smijemo koristiti boju koju smo i<strong>za</strong>brali <strong>za</strong> prvi vrh.<br />
Za treći vrh biramo boju na t − 2 načina, itd. Za n-ti, tj. posljednji vrh boju<br />
biramo na t − (n − 1) načina.<br />
Slijedi<br />
P(K n, t) = t(t − 1)(t − 2) · · · (t − n + 1) =<br />
t!<br />
(t − n)! .<br />
23 of 28
22 Kromatski polinom<br />
Postoji rekurzija, vrlo slična rekurziji kojom računamo broj ra<strong>za</strong>pinjujućih<br />
stabala grafa, kojom možemo računati ukupan broj različitih t-bojanja grafa G:<br />
Teorem 22.2<br />
Ako je G jednostavan graf, tada <strong>za</strong> svaki brid e ∈ E(G) vrijedi:<br />
P(G,t) = P(G − e, t) − P(G · e, t).<br />
Dokaz: Neka je e = uv, u, v ∈ V (G). Tada svakom t-bojanju od G − e kod<br />
kojeg su istom bojom obojani vrhovi u i v, pridružimo t bojanje od G · e u<br />
kojem je <strong>za</strong>jednički vrh u G · e, dobiven identificiranjem vrhova u i v, obojan<br />
istom bojom kao u i v. Navedeno pridruživanje je bijekcija.<br />
Zaključujemo da je P(G · e, t) jednak broju t-bojanja od G − e, kod kojih su<br />
vrhovi u i v jednako obojani.<br />
Svako t-bojanje od G − e kod kojeg su u i v različito obojani <strong>za</strong>pravo je i<br />
t-bojanje od G i obrnuto.<br />
Stoga je P(G, t) broj t-bojanja od G − e, kod kojeg su u i v različito obojani.<br />
Slijedi P(G − e,t) = P(G, t) + P(G · e, t).<br />
24 of 28
22 Kromatski polinom<br />
Iz navedne rekurzije proizlazi slijedeća tvrdnja:<br />
Korolar 22.3<br />
Za svaki graf G, funkcija P(G, t) je polinom u varijabli t stupnja n, n = |V (G)|,<br />
sa cjelobrojnim koeficijentima. Vodeći član je t n , a slobodni član je 0.<br />
Koeficijenti od P(G, t) alterniraju po predznaku.<br />
Dokaz: Dokaz ćemo provesti indukcijom po broju bridova m grafa G. Neka je<br />
|V (G)| = n.<br />
Već smo ranije objasnili da je dovoljno promatrati bojenje jednostavnog grafa.<br />
Stoga, neka je G jednostavan. Ako je m = 0, znamo da P(G,t) = t n pa tvrdnja<br />
vrijedi.<br />
Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi <strong>za</strong> sve grafove s manje od m bridova. Neka je<br />
G graf s m ≥ 1 bridova i neka e ∈ E(G).<br />
25 of 28
22 Kromatski polinom<br />
Korolar 22.3<br />
Za svaki graf G, funkcija P(G, t) je polinom u varijabli t stupnja n, n = |V (G)|,<br />
sa cjelobrojnim koeficijentima. Vodeći član je t n , a slobodni član je 0.<br />
Koeficijenti od P(G, t) alterniraju po predznaku.<br />
Dokaz: Tada |E(G − e)| = |E(G · e)| = m − 1 pa prema pretpostavci indukcije<br />
postoje a 1, a 2, . . . , a n−1, b 1, b 2, . . . , b n−1 ∈ N 0 tako da vrijedi<br />
n−1<br />
∑<br />
P(G − e, t) = (−1) n−i a it i + t n ,<br />
i=1<br />
n−2<br />
∑<br />
P(G · e, t) = (−1) n−i−1 b it i + t n−1 .<br />
i=1<br />
Prema Teoremu 22.2 imamo<br />
n−2<br />
∑<br />
P(G, t) = P(G − e,t) −P(G · e, t) = (−1) n−i (a i +b i)t i −(a n−1 +1)t n−1 +t n<br />
pa i G <strong>za</strong>dovoljava uvjete tvrdnje.<br />
26 of 28<br />
i=1
22 Kromatski polinom<br />
• Funkcija koja varijabli t pridružuje P(G, t) zove se kromatski polinom od G.<br />
✄ <br />
✂NAPOMENE:<br />
✁<br />
• Višestrukom primjenom rekurzije iz Teorema 22.2 P(G, t) se izražava kao<br />
linearna kombinacija kromatskih polinoma praznih grafova i to će biti<br />
pogodno <strong>za</strong> manje grafove.<br />
• Za veće grafove višestruko koristimo rekurziju<br />
P(G − e, t) = P(G,t) + P(G · e) kojom P(G, t) izražavamo kao linearnu<br />
kombinaciju kromatskih polinoma potpunih grafova.<br />
27 of 28
22 Kromatski polinom<br />
Primjer 22.4<br />
Odredite kromatski polinom puta P 5, a <strong>za</strong>tim izračunajte<br />
ukupan broj različitih t-bojanja od P 5 <strong>za</strong> t = 2.<br />
Rješenje: Krenuti ćemo od P(P 5, t) = P(P 5 − e,t) − P(P 5 · e, t):<br />
= - = - - -<br />
= -<br />
- - - - -<br />
- =<br />
-3 +3 -<br />
=<br />
-<br />
-3 - +3 - - +<br />
P(G,t)=t^5-4t^4+6t^3-4t^2+t<br />
P(G,2)=2<br />
28 of 28