SKRIPTA RIJEÅ ENIH ZADATAKA IZ OTPORNOSTI MATERIJALA

ρ
14. Zadatak
Zadani tenzor naprezanja prikazati kao zbroj sfernog tenzora naprezanja i tenzora devijatorskog
naprezanja. Odrediti normalno, posmi�no i puno naprezanje u ravnini s normalom koja ima
kosinuse smjera :
cos(x,n)=2/3 ; cos(y,n)=1/3 ; cos(z,n)=2/3.
[ σ ]
⎡σ
x
⎢
⎢τ
yx
⎢
⎣τ
zx
[ σ ]
n
ij
ij
⎡30
=
⎢
⎢
10
⎢⎣
15
τ
σ
τ
xy
y
zy
⎡56,
7
=
⎢
⎢
10
⎢⎣
15
10
− 50
− 20
τ xz ⎤ ⎡σ
x −σ
s
⎥ ⎢
τ yz ⎥ = ⎢ τ yx
σ ⎥ ⎢
z ⎦ ⎣ τ zx
10
− 23,
3
− 20
15 ⎤
− 20
⎥
⎥
MPa
− 60⎥⎦
τ
zy
15 ⎤ ⎡−
26,
7
− 20
⎥
+
⎢
⎥ ⎢
0
− 33,
3⎥⎦
⎢⎣
0
y
τ
xy
σ −σ
s
τ xz ⎤ ⎡σ
s
⎥
τ +
⎢
yz ⎥ ⎢
0
σ − ⎥
⎦
⎢
z σ s ⎣ 0
srednje naprezanje devijatorski dio sferni dio
σ s
σ x
=
+ σ y + σ z
3
30 − 50 − 60
=
= −26,
7MPa
3
Komponente devijatorskog tenzora naprezanja :
s
s
s
=
xx
yy
zz
[ σ ]
ij
⋅ n
⎡ρ
nx ⎤ ⎡30
⎢ ⎥
=
⎢
⎢
ρ ny ⎥ ⎢
10
⎢⎣
ρ ⎥⎦
⎢ nz ⎣15
= σ
−σ
= 30 −
x
= σ −σ
= −50
z
y
= σ −σ
= −60
s
s
s
10
− 50
− 20
( − 26,
7)
= 56,
7MPa
− ( − 26,
7)
= −23,
3
− ( − 26,
7)
= −33,
3Pa
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎤ ⎡ 33,
3
⎢ ⎥
⎤
⎥ 1
− ⎢ ⎥ =
⎢ ⎥
⎥
⋅
⎢
− 23,
3
⎢3
⎥
⎥
− ⎥⎦
⎢2
⎥
⎢⎣
− 36,
7⎥⎦
⎢
⎣3
⎥
⎦
3
2
15
20
60
MPa
0
− 26,
7
0
ρ
σ
τ
n
n
n
=
0 ⎤
0
⎥
⎥
− 26,
7⎥⎦
=
ρ
n
2
nx
2
n
0
σ
0
s
+ ρ
− σ
2
n
0 ⎤
0
⎥
⎥
σ ⎥ s ⎦
2
ny
= ρ ⋅ n = 33,
3 ⋅
ρ
=
+ ρ
2
3
2
nz
54,
8
2
=
−10
33,
3
1
− 23,
3 ⋅ − 36,
7 ⋅
3
2
2
=
+
23,
3
2
3
53,
9
2
+
= −10MPa
MPa
36,
7
2
= 54,
8MPa
18