SKRIPTA RIJEÅ ENIH ZADATAKA IZ OTPORNOSTI MATERIJALA

GRA�EVINSKI FAKULTET
SVEU�ILIŠTA U RIJECI
SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ
OTPORNOSTI MATERIJALA
NEIRA TORI�,dipl.ing.gra�.

1. Zadatak
Izra�unati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja na konzolnom nosa�u ako je zadano :
F
F
A = 10cm
a = 2m
b = 1m
N
1Pa
= 1 2
m
N
1MPa
= 1
mm
2
Vrijednosti uzdužnih sila na pojedinim segmentima :
N
N
N
1
3
III
II
I
= F
2
= 4 ⋅10
E = 2,
2
= −F
= F
3
= 2 ⋅10
⋅10
1
1
2
4
N
11
Pa
= 10
= −2
⋅10
= −F
+ F = 0
2
= 4 ⋅10
4
4
N
−3
N
4
N
Vrijednosti naprezanja na pojedinim segmentima :
N III σ III =
A
6
= −20
⋅10
Pa = −20MPa
N II σ I =
A
= 0
N I σ I =
A
6
= 40 ⋅10
Pa = 40MPa
m
2
2

2. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapu pri promjeni temperature za +�T :
Rješenje :
Ukoliko nema vanjskog otpora izduženju štapa, nema niti naprezanja u štapu. To zna�i da se
štap AC može slobodno izdužiti pod utjecajem temperature za veli�inu �. Sve dok je ∆l t ≤ δ u
štapu su naprezanja jednaka nuli.
Ukoliko je tendencija štapa da se izduži za ∆l t > δ , aktivira se u štapu sila koja opet
“ vra���“ štap na realnu dužinu AB, kao što se vidi na slici. Može se zaklju�iti i da �e sila u štapu
biti tla�na , odnosno s predznakom – (minus).
∆l
t
∆l
t
∆l
t
δ = ∆l
∆l
t
∆l
B
= α l ∆T
+ α l ∆T
1 1
≤ δ → ε > 0,
σ = 0
> δ → ε > 0,
σ ≠ 0
t
= ( α l
=
F
E
− ∆l
1 1
B 1
1
l
A
1
B
K
2
( 1)
2
2
2
+ α l ) ∆T
K
2
FBl
2
+
E A
2
K
( 2)
( 3)
��– realno izdužrnje
��B – nerealno izduženje
( 2)
; ( 3)
→ ( 1)
σ
σ
x1
x2
F
= −
A
B
1
F
= −
A
B
2
⇒ F
B
=
[ ( α
l + α l ) ∆T
− δ ]
1 1
2 2
⎛ l
l1
⎜
⎜1+
⎝ l
2
1
E1A
E A
2
1
2
E1A
⎞
⎟
⎠
1
3

3. Zadatak
Odrediti pomak to�ke C ukoliko se temperatura štapa 1 pove�a za �T :
Rješenje :
ε
∆l
sin 2β
= 1 ; ∆l
δ
δ
t
C
∆lt
=
l
u = δ
v = δ
⇒ ∆l
∆l
α∆
= 1 Tl
=
sin 2β
sin 2β
C
C
C
cos β
sinβ
t
= ε l = α∆Tl
2
t
= 0
4

4. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapovima ukoliko se temperatura štapa 2 pove�a za �T :
Rješenje
Iz uvjeta ravnoteže sila :
ΣY = 0 → 2F1
cosα
− F2
= 0K
Iz plana pomaka :
l
∆l
2 1
cosα = = →∆l
1 = ∆l2
l1
∆l2
Iz Hookovog zakona :
F1l1
∆l
1 = K(
3)
E1A1
F2l
2 ∆l2 = + α 2 ⋅ ∆T
⋅l
2 K
E A
2
( 1)
; ( 3);
( 4)
2
→
( 2)
( 1)
cosαK
( 4)
( 2)
2
α 2∆TE
1 A1
cos α
⇒ F1
=
E1
A1
3
1 − 2 cos α
E A
3
2α
2∆TE1
A1
cos α
( 1)
→ F2
= 2F1
cosα
⇒ F2
=
E1
A1
3
1 − 2 cos α
E2
A2
Zadatak F 5
1 F2
σ
1 = ; σ 2 = −
A A
1
2
2
2
Iz plana pomaka i optere�enja (ovdje promjena
temperature) možemo zaklju�iti da se štap 2 nastoji
izdužiti, no njegovo potpuno izduženje sprje�avaju druga
dva štapa spojena u �voru D, koji nisu direktno optere�eni i
nemaju tendenciju izduženja. Štap 2 se izduži za �lt pri
����������������������������������������������������������
���������������������������������������2����������������������
D' u D''.
Budu�i da su sva tri štapa me�usobno spojena u �voru D,
izduženjem štapa 2 prisilno se izdužuju i štapovi s brojem
1. Kao posljedica izduženja u njima se javlja vla�na sila
F1(vla�na sila uzrokuje izduženje ako nema nikakvog drugog
optere�enja).
5

5. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapovima ako je srednji štap kra�i za � od predvi�ene duljine l.
Rješenje
Iz uvjeta ravnoteže sila :
ΣY
= 0 → F2
− 2F1
cos α = 0 → F2
= 2F1
cos αK
Iz plana pomaka :
l
cos α =
l
δ = ∆l
2
( 1)
→ ( 2)
F
1
( 1)
=
l
2
⇒ F
2
1
∆l1
=
δ − ∆l
2
∆l1
F2l2
+ =
cos α E A
2
2
F1l1
+
E A
1 1 2 2
3
( 2E
A cos α + E A )
2
E
F l
⇒ δ = 2
E A
A
1
=
l
2
E
1
A
2E
1
1
1
cos
1 1 2 2
3
( 2E
A cos α + E A )
1
A
1
1 2
2
E
2
δ cos
A
2
F l
cos α +
E A
α
2
2
δ cos
3
2
α
1 1
1
2
K
α
1
1
cos
( 2)
( 1)
⎛ l2
l1
= F1
⎜
⎜2
cos α +
α ⎝ E2A
2 E1A
F1
σ 1 = −
A
1
∆l
1
∆l
2
F2
σ 2 = −
A
F1l1
=
E A
2
1
2
1
F2l2
=
E A
2
1
1
cos
⎞
⎟
α ⎠
6

6. Zadatak
Odrediti naprezanja u štapovima 1 i 2 te vertikalni pomak to�ke D.
Rješenje
Sustav je jedanput stati�ki neodre�en (ima jednu prekomjernu veli�inu), odnosno nepoznate su
4 veli�ine ( RH , RV , S1 , S2 ).
Uz tri uvjeta ravnoteže postavljamo dodatnu jednadžbu na deformiranom sustavu na principu
sli�nosti trokuta.
Iz uvjeta ravnoteže sila :
ΣM
A
= 0 → Fl − S a
ΣX
= 0 → R
ΣY
= 0 → S
2
H
Iz plana pomaka :
∆l1
δ C ≡ ∆l2;
δ B =
sinα
Iz sli�nosti trokuta :
δ C δ B = K(
4)
a a
2
1
1
2
2
− S cosα
= 0 → R
− F + S sinα
+ R
Iz Hookovog zakona :
S1l1
S2l
2
l 1 = ; ∆l2
=
E A E A
1
1
2
1
− S a sinα
= 0K
∆ → ( 4)
2
1
1
V
H
1
= 0K
( 1)
= S cosα
K
( 3)
S
S
1
1
∆l
a
( 2)
= S
2
→
2
2
( 1)
S1
σ1
=
A
1
S2
σ 2 =
A
2
δ
=
l
E1A1
l2
a1
sinα
E A l a
2
2
⇒ S
2
1
D ⇒ δ D = ∆ 2 =
a2
2
Fl
=
⎡ E1A1
l2
a
a2
⎢1+
⎣ E2
A2
l1
a
l
l
2
2
2
1
2
2
S2l2l
E A a
2
sin
2
⎤
α ⎥
⎦
7

8
7. Zadatak
Dimenzionirati štapove AB i DG kružnog popre�nog presjeka napravljene od �elika, te odrediti
njihova produljenja.
m
c
m
b
m
a
kN
F
Mpa
E
Mpa
dop
1
2
3
100
10
2
140
5
=
=
=
=
⋅
=
=
σ
)
15
,
6
(
28
61
,
2
4
4
36
,
5
10
536
,
0
10
140
10
75
)
85
,
13
(
42
01
,
4
4
4
6
,
12
10
26
,
1
10
140
10
8
,
176
8
,
176
45
sin
3
5
75
45
sin
3
5
0
3
45
sin
5
0
75
100
4
3
4
3
0
3
4
0
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3
6
3
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
2
2
3
6
3
1
1
2
1
1
2
2
2
cm
A
mm
d
usvojeno
cm
A
d
d
A
cm
m
S
A
cm
A
mm
d
usvojeno
cm
A
d
d
A
cm
m
S
A
S
A
A
S
ranje
Dimenzioni
kN
S
S
S
S
M
kN
F
S
F
S
M
dop
pot
dop
pot
dop
pot
dop
x
C
H
=
→
=
→
→
=
=
⇒
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
≥
=
→
=
→
→
=
=
⇒
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
≥
≥
⇒
≤
=
=
°
⋅
=
°
⋅
=
→
=
⋅
°
⋅
−
⋅
⇒
=
∑
=
=
=
→
=
⋅
−
⋅
⇒
=
∑
−
−
π
π
σ
π
π
σ
σ
σ
σ

9
cm
m
A
E
l
S
l
cm
m
A
E
l
S
l
MPa
MPa
A
S
MPa
MPa
A
S
Kontrola
dop
x
dop
x
12
,
0
10
195
,
12
10
15
,
6
10
2
2
10
75
18
,
0
10
056
,
18
707
,
0
10
85
,
13
10
2
2
10
8
,
176
140
9
,
121
10
15
,
6
10
75
140
6
,
127
10
85
,
13
10
8
,
176
4
4
11
3
2
2
2
2
2
4
4
11
3
1
1
1
1
1
4
3
2
2
2
4
3
1
1
1
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
∆
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
∆
=
=
⋅
⋅
=
=
=
=
⋅
⋅
=
=
−
−
−
−
−
−
σ
σ
σ
σ
p
p

8. Zadatak
Odrediti pomak to�aka B i D na zadanom sustavu.
Σ
M A
= 0
⇒ F
( a + b)
( a + b)
S ⋅ h F ⋅ h ⋅
∆h
= =
E ⋅ A a ⋅ E ⋅ A
( a + b)
∆h
∆B
F ⋅ h ⋅
= ⇒ ∆B
= 2
a a + b a ⋅ E ⋅ A
a + b
− Sa = 0 → S = F
a
2
10

11
9. Zadatak
( )
( )
( ) ( )
MPa
m
N
A
S
MPa
m
N
A
S
N
S
N
S
A
l
A
l
F
S
a
S
A
l
a
A
l
S
Fa
A
l
A
l
S
S
A
E
l
S
A
E
l
S
l
l
a
l
a
l
a
S
a
S
Fa
M
N
F
E
E
m
cm
A
m
cm
A
m
l
m
l
A
7
,
8
10
5
,
1
35
,
1304
43
,
10
10
1
5
,
1043
35
,
1304
5
,
1043
3
3
4
0
3
3
4
1
2
2
3
2
2
3
2
3
3
2
1
0
3
2
0
6000
10
5
,
1
5
,
1
10
1
1
8
,
1
1
2
4
2
2
2
2
4
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
2
2
4
2
1
2
1
=
⋅
=
=
=
⋅
=
=
=
=
+
=
⇒
=
−
−
⇒
→
=
⇒
=
∆
=
∆
⇒
∆
=
∆
=
−
−
⇒
=
Σ
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
=
=
−
−
−
−
σ
σ
K
K

10. Zadatak
Kruta greda AB obješena je o tri �eli�na štapa istog popre�nog presjeka površine 10 cm 2 .
Dužina štapova je h = 1 m, s tim da je srednji štap (2) napravljen kra�i od projektirane dužine za
� = 0,6 mm. Odrediti sile u štapovima i izduženje srednjeg štapa ako je izvršena prinudna
montaža sustava.
E
l
1
1
A
1
= l
= E
2
2
= l
3
A
2
= h
= E
3
A
3
= EA
S1h
∆l1
= ; ∆l2
EA
S 2h
= ; ∆l3
EA
S3h
=
EA
∆l3
∆l1
= ⇒ ∆l3
3a
a
S3h
S1h
= 3∆l1
⇒ = 3 ⇒ S
EA EA
∆l
a
ΣM
S
S
∆l
∆ − ∆l
=
2a
A
= 90kN
= 54kN
⇒ 2∆l
= ∆ − ∆l
= 3S
K
( 1)
S 2h
S1h
⇒ = ∆ − 2 ⇒ S
EA EA
= 0 → S a − S 2a
+ S 3a
= 0 ⇒ S = 2S
− 3S
K
3
S 2h
90 ⋅10
⋅1,
00
= = 11
EA 2,
1⋅10
⋅1⋅10
( 3)
−4
11 −3
∆EA
6 ⋅10
⋅ 2,
1⋅10
⋅1⋅10
3
= c =
= 126 ⋅10
N = 126kN
h
1,
00
1 126
( 1)
, ( 2)
→ ( 3)
⇒ S1
= 2c
− 4S1
− 9S1
→ S1
= c = = 18kN
7 7
3 3
S1
→ ( 1)
⇒ S3
= c = 126 = 54kN
7 7
2 5
S1
→ ( 2)
⇒ S 2 = c − 2S1
= c − c = 126 = 90kN
7 7
S = 18kN
1
2
3
1
2
2
1
2
1
3
−3
2
1
−4
= 4,
3⋅10
m = 0,
4mm
3
2
1
3
2
∆EA
= − 2S1
K
h
( 2)
12

11. Zadatak
Cilindri�ni stup promjera 4 cm, dužine 120 cm optere�en je u presjecima (1), (2) i (3) na
udaljenostima zi = 0; 40 i 80 cm (i=1,2,3) od slobodnog kraja aksijalnim silamaFi(i=1,2,3) = 15 kN,
10 kN i 5 kN.
Izra�umati naprezanje u pojedinim dijelovima stupa i pomak slobodnog kraja.
E = 2 ⋅10
d = 4cm
L
L = 120cm;
l1
= l2
= l3
= l = = 40cm
3
2 2 −4
d π 4 ⋅10
π
−4
2
A = = = 12,
56 ⋅10
m
4 4
K0
≤ z < 40cm
( 1)
N
σ
( 1)
( 1)
( 2)
N
σ
( 2)
( 2)
( 3)
N
σ
( 3)
( 3)
∆l
= ∆l
k =
∆l
∆l
∆l
N
l
AE
N
N
∆l
= ∆l
= −F
= −15kN
( 1)
A
K40
≤ z
= −F
− F = −25kN
( 2)
A
K80
≤ z
1
2
3
=
=
= −F
− F − F = −30kN
=
1
( 3)
A
= k ⋅ N
+ ∆l
= k ⋅ N
= k ⋅ N
1
5
1
1
1
1
MPa
−15⋅10
=
12,
56 ⋅10
2
−8
3
( 1)
= 0,
159 ⋅10
⋅ ( −15⋅10
)
−8
3
( 2)
= 0,
159 ⋅10
⋅ ( − 25⋅10
)
−8
3
( 3)
= 0,
159 ⋅10
⋅ ( − 30 ⋅10
)
+ ∆l
< 80cm
− 25⋅10
=
12,
56 ⋅10
3
< 120cm
− 30 ⋅10
=
12,
56 ⋅10
2
2
2
2
+ ∆l
+ ∆l
3
3
3
=
3
−4
3
−4
3
−4
l
AE
N
m
2
N
m
2
N
m
2
3
( N ( 1)
+ N ( 2)
+ N ( 3)
) = ∑ k ⋅ N ( i )
i=
1
= −0,
112mm
= −12
⋅10
6
= −24
⋅10
Pa = −12MPa
6
= −20
⋅10
Pa = −20MPa
0,
4
=
= 0,
159 ⋅10
−4
11
12,
56 ⋅10
⋅ 2 ⋅10
6
=
=
=
Pa = −24MPa
−8
m
N
−2,
415⋅10
−4,
00 ⋅10
−4,
80 ⋅10
−5
−5
−5
m = −0,
024mm
m = −0,
04mm
m = −0,
048mm
13

12. Zadatak
Dimenzionirati �eli�nu zategu kružnog pore�nog presjeka (A1) i drveni kosnik pravokutnog
popre�nog presjeka (h=2b) površine A2 = 10A1 ako je F=155 kN a dopušteni naponi za �elik 12 ·10 7
N/m 2 i drvo 6·10 6 N/m 2 .
7 N
σ 1dop
= 12 ⋅10
m
6 N
σ 2dop
= 6 ⋅10
2
m
11 N
E1
= 2 ⋅10
2
m
10 N
E2
= 1⋅10
2
m
E = 20E
A
1
2
= 10 A
h = 2b
2
1
Plan pomaka :
2
l
/ 2 3
sinα
= =
5l
/ 6 5
2l
/ 3 4
cosα
= =
5l
/ 6 5
l
l
2
1
2
= l
3
5
= l
6
sin β = cos β =
14
2
2

15
Sile u štapovima :
( )
( )
( )
( )
kN
S
kN
S
F
F
F
S
S
S
S
l
A
E
l
A
E
S
S
l
A
E
l
A
E
S
A
E
l
S
A
E
l
S
A
E
l
S
l
A
E
l
S
l
l
l
l
S
l
S
Fl
M
D
C
C
D
D
c
A
4
,
353
;
9
,
58
38
,
0
2
6
1
5
12
sin
4
sin
3
1
1
6
2
5
2
6
10
2
3
3
5
20
2
sin
sin
2
sin
2
sin
2
sin
sin
;
sin
sin
2
2
3
2
3
1
1
0
3
1
sin
3
2
sin
0
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
=
=
→
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
⇒
⇒
→
=
⇒
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
→
=
⇒
=
∆
=
=
∆
=
=
→
=
=
−
−
→
=
∑
α
β
β
α
β
α
α
α
δ
β
β
δ
δ
δ
δ
δ
β
α
K
K
Dimenzioniranje :
cm
h
cm
b
cm
A
b
cn
b
h
b
A
cm
A
A
cm
d
cm
m
d
S
d
S
d
A
A
S
dop
dop
dop
74
,
27
87
,
13
87
,
13
2
8
,
384
2
8
,
384
2
8
,
384
48
,
38
10
10
7
6
06
,
0
10
12
10
4
,
353
4
4
4
2
2
2
2
2
1
2
7
3
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
⇒
=
=
⋅
=
=
⋅
=
=
=
→
=
≥
⋅
⋅
⋅
⋅
=
≥
→
≥
=
→
≤
=
π
πσ
σ
π
σ
σ
Kontrola napona :
MPa
MPa
A
S
MPa
MPa
A
S
dop
dop
6
53
,
1
10
87
,
13
2
10
9
,
58
120
84
,
91
4
10
7
10
4
,
353
2
4
2
3
2
2
2
1
4
2
3
1
1
1
=
≤
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
≤
=
⋅
⋅
=
=
−
−
σ
σ
σ
π
σ

13. Zadatak
Odrediti sile u �eli�nim kružnim zategama CF, DF i EG uslijed djelovanja nazna�enog
optere�enja.
Fl
M =
4
Plan pomaka
l
l
1
2
=
=
2 2
l l
+ =
4 16
2
l
2
4
=
l3
=
9 2
2 l =
16
l
sinα
=
2
=
5
l
4
l
sin β =
2
=
2
l
2
2
2
l
3
4
2
5
1
5
16
2
l
2l
2
=
5
4
l
16

17
Iz uvjeta ravnoteže sila :
( )
[ ] ( ) ( )
1
0
sin
3
2
sin
2
0
sin
3
2
sin
4
4
0 3
2
1
3
2
1
K
=
+
−
−
→
=
+
+
−
+
→
=
∑ β
α
β
α S
S
S
F
S
S
S
l
M
Fl
M A
Iz plana pomaka :
( )
;
sin
;
sin
;
sin
2
4
3
2
4
3
2
1
β
δ
β
δ
α
δ
δ
δ
δ
l
l
l
l
l
l
E
D
C
E
D
C
∆
=
∆
=
∆
=
=
= K
( )
( ) ( )
F
F
S
S
F
S
S
F
S
S
S
S
F
S
S
l
l
l
l
l
l
S
S
l
S
l
S
l
l
l
l
E
D
E
D
D
C
D
C
38
,
0
47
,
0
5
4
5
4
47
,
0
sin
5
sin
5
4
2
0
sin
3
2
sin
5
4
2
1
2
3
sin
2
sin
3
2
3
4
3
2
5
4
sin
sin
2
sin
sin
2
2
2
4
2
2
1
3
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
2
1
2
2
1
1
2
1
=
=
=
=
=
→
+
=
→
=
+
−
−
→
=
→
∆
=
∆
→
∆
=
∆
→
=
→
=
=
→
=
→
∆
=
∆
→
=
→
=
→
β
α
β
α
β
β
δ
δ
δ
δ
β
α
β
α
δ
δ
δ
δ

ρ
14. Zadatak
Zadani tenzor naprezanja prikazati kao zbroj sfernog tenzora naprezanja i tenzora devijatorskog
naprezanja. Odrediti normalno, posmi�no i puno naprezanje u ravnini s normalom koja ima
kosinuse smjera :
cos(x,n)=2/3 ; cos(y,n)=1/3 ; cos(z,n)=2/3.
[ σ ]
⎡σ
x
⎢
⎢τ
yx
⎢
⎣τ
zx
[ σ ]
n
ij
ij
⎡30
=
⎢
⎢
10
⎢⎣
15
τ
σ
τ
xy
y
zy
⎡56,
7
=
⎢
⎢
10
⎢⎣
15
10
− 50
− 20
τ xz ⎤ ⎡σ
x −σ
s
⎥ ⎢
τ yz ⎥ = ⎢ τ yx
σ ⎥ ⎢
z ⎦ ⎣ τ zx
10
− 23,
3
− 20
15 ⎤
− 20
⎥
⎥
MPa
− 60⎥⎦
τ
zy
15 ⎤ ⎡−
26,
7
− 20
⎥
+
⎢
⎥ ⎢
0
− 33,
3⎥⎦
⎢⎣
0
y
τ
xy
σ −σ
s
τ xz ⎤ ⎡σ
s
⎥
τ +
⎢
yz ⎥ ⎢
0
σ − ⎥
⎦
⎢
z σ s ⎣ 0
srednje naprezanje devijatorski dio sferni dio
σ s
σ x
=
+ σ y + σ z
3
30 − 50 − 60
=
= −26,
7MPa
3
Komponente devijatorskog tenzora naprezanja :
s
s
s
=
xx
yy
zz
[ σ ]
ij
⋅ n
⎡ρ
nx ⎤ ⎡30
⎢ ⎥
=
⎢
⎢
ρ ny ⎥ ⎢
10
⎢⎣
ρ ⎥⎦
⎢ nz ⎣15
= σ
−σ
= 30 −
x
= σ −σ
= −50
z
y
= σ −σ
= −60
s
s
s
10
− 50
− 20
( − 26,
7)
= 56,
7MPa
− ( − 26,
7)
= −23,
3
− ( − 26,
7)
= −33,
3Pa
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎤ ⎡ 33,
3
⎢ ⎥
⎤
⎥ 1
− ⎢ ⎥ =
⎢ ⎥
⎥
⋅
⎢
− 23,
3
⎢3
⎥
⎥
− ⎥⎦
⎢2
⎥
⎢⎣
− 36,
7⎥⎦
⎢
⎣3
⎥
⎦
3
2
15
20
60
MPa
0
− 26,
7
0
ρ
σ
τ
n
n
n
=
0 ⎤
0
⎥
⎥
− 26,
7⎥⎦
=
ρ
n
2
nx
2
n
0
σ
0
s
+ ρ
− σ
2
n
0 ⎤
0
⎥
⎥
σ ⎥ s ⎦
2
ny
= ρ ⋅ n = 33,
3 ⋅
ρ
=
+ ρ
2
3
2
nz
54,
8
2
=
−10
33,
3
1
− 23,
3 ⋅ − 36,
7 ⋅
3
2
2
=
+
23,
3
2
3
53,
9
2
+
= −10MPa
MPa
36,
7
2
= 54,
8MPa
18

15. Zadatak
Za zadano stanje naprezanja �x = 100M Pa , �y = -80M Pa , txy = 50 Mpa odrediti analiti�ki
a) glavna naprezanja
b) maksimalno posmi�no naprezanje s odgovaraju�im normalnim naprezanjem
c) naprezanja �n i tn u presjeku s normalom koja s osi x zatvara kut � = -25°.
Glavna naprezanja i smjerovi naprezanja :
σ 1,
2
σ x
=
+ σ y 1
±
2 2
σ = 113MPa
1
σ = −93MPa
2
tgϕ
tgϕ
01
02
τ xy
=
σ −σ
1
=
2 2 100 − 80 1
( σ −σ
) + 4τ
= ± ( 100 + 80)
50
= 0,
2591 ⇒ ϕ01
113 + 80
= 14,
5°
τ xy 50
= = = −3,
8462 ⇒ ϕ02
= −75,
5°
σ −σ
− 93 + 80
2
y
y
Kontrola preko invarijante naprezanja :
+ ϕ
= 14,
5°
+ 75,
5°
= 90°
x
+ σ = σ + σ →113−
93 = 10 −80
→ 20 = 20
σ 1 2 x y
ϕ
01
02
y
xy
2
2
2
+ 4 ⋅50
2
= 10 ± 103
Maksimalno posmi�no naprezanje, smjer normale ravnine i normalno naprezanje :
ϕ = ϕ
1
01
+ 45°
= 14,
5°
+ 45°
= 59,
5°
σ 1 −σ
2 113 + 93
τ max = = = 103MPa
2 2
σ 1 + σ 2 113 − 93
σ s = = = 10MPa
2 2
Naprezanja u ravnini pod kutem :
σ
n
σ x
=
+ σ y σ x
+
2
−σ
y
2
cos 2ϕ
+ τ xy sin 2ϕ
= σ x cos ϕ + σ y sin
2
100 − 80 100 + 80
σ n = + cos(
− 50°
) + 50sin(
− 50°
) = 29,
6MPa
2 2
τ n
σ y
=
−σ
x
− 80 −100
sin 2ϕ
+ τ xy cos 2ϕ
= sin
2
2
2
ϕ + τ
( − 50°
) + 50cos(
− 50°
) = 101,
1MPa
xy
sin 2ϕ
19

20
Prikaz Mohrove kružnice naprezanja za zadano stanje naprezanja :
)
1
,
101
;
6
,
29
(
)
,
(
;
1
,
101
;
6
,
29
)
103
,
10
(
)
,
(
;
5
,
59
;
103
;
10
)
0
,
93
(
)
0
,
(
;
5
,
75
;
93
)
0
,
113
(
)
0
,
(
;
5
,
14
;
113
)
50
,
80
(
)
,
(
)
50
,
100
(
)
,
(
1
max
3
1
max
1
2
2
02
2
1
1
1
01
1
−
→
=
=
→
°
=
=
=
−
→
°
−
=
−
=
→
°
=
=
−
→
−
→
K
K
MPa
MPa
N
N
MPa
MPa
N
N
MPa
N
N
MPa
N
N
N
N
n
n
n
n
s
s
y
xy
y
y
x
xy
x
x
τ
σ
τ
σ
τ
σ
ϕ
τ
σ
σ
ϕ
σ
σ
ϕ
σ
τ
σ
τ
σ

16. Zadatak
Za zadano stanje naprezanja odrediti glavna normalna naprezanja, glavna posmi�na naprezanja i
oktaedarska naprezanja.
[ σ ] =
⎢
50 120 0
⎥[
MPa]
ij
⎡− 80
⎢
⎢⎣
σ
−σ
0
50
0
0 ⎤
⎥
60⎥⎦
2
[ −τ
]
( σ −σ
) ( σ −σ
)( σ −σ
)
z
x
( σ −σ
)( σ −σ
)
σ
σ
2
m
m
z
x
yx
zx
m
m
m
m
( σ + σ )
x
y
y
x
y
xy
zy
m
m
m
m
m
1
2
y
2
xy
( σ −σ
)
x
z
z
x
xz
yz
y
m
y
m
= 0
= 0 ⇒
2
xy
2
xy
′ − 80 + 120 1
σ 1,
2 = ±
2 2
2
2
[ ( − 80 −120)
] + 4 ⋅50
= 20 ± 111,
8
′
′
′
σ = 131,
8MPa;
σ = −91,
8MPa;
σ = 60MPa
1
1
2
3
τ
τ
−
σ x + σ y
=
2
σ = 60MPa
τ
σ −σ
τ
±
σ = 131,
8MPa
σ
σ = −91,
8MPa
2
−τ
+ σ σ −τ
2
xy
+ 4τ
x
= 0
′
σ −σ
= 0 ⇒ σ = σ = 60MPa
= σ
τ
τ
σ −σ
= 0 → σ
3
σ −σ
3
τ
yx
0
m
m
y
τ
xy
σ −σ
0
m
σ x + σ y ±
=
z
0
0
σ −σ
2
2
[ − ( σ + σ ) ] − 4(
−τ
+ σ σ )
x
m
= 0
y
2
xy
x
y
21

Kontrola naprezanja :
σ + σ + σ = σ + σ + σ
1
2
− 80 + 120 + 60 = 131,
8 + 60 − 91,
8
100MPa
= 100MPa
3
x
y
z
Pravac glavnog naprezanja �2 podudara se s pravcem osi z. Pravci glavnih naprezanja �1 i �3
okomiti su na pravac naprezanja �2, a njihov se položaj u ravnini okomitoj na pravac �2 odre�uje
prema izrazima :
tgϕ
tgϕ
ϕ
01
01
03
τ xy
=
σ −σ
τ xy
=
σ −σ
+ ϕ
03
1
3
y
y
50
= = 4,
237
131,
8 −120
50
=
= −0,
236 ⇒ ϕ03
= −13,
3°
− 91,
8 −120
= 76,
7°
+ 13,
3°
= 90°
Maksimalna posmi�na naprezanja :
τ
max
= τ
2
= 111,
8MPa
⇒ ϕ
01
= 76,
7°
σ 2 −σ
3 60 + 91,
8
τ 1 = ± = ± = ± 75,
9MPa
2 2
σ 3 −σ
1 − 91,
8 −131,
8
τ 2 = ± = ±
= ± 111,
8MPa
2
2
σ 1 −σ
2 131,
8 − 60
τ 3 = ± = ± = ± 35,
9MPa
2 2
Oktaedarska naprezanja :
Budu�i da normala oktaedarske ravnine zatvara s koordinatnim osima kuteve :
2
2
2
2
1
cos α
+ cos β + cos γ = 1 → 3cos
α = 1 → cosα
= ± → α = 54,
7°
3
1
1
1
σ okt = ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = ( σ x + σ y + σ z ) = ( 131,
8 + 60 − 91,
8)
3
3
3
σ = 33,
3MPa
τ
τ
ρ
okt
okt
okt
okt
1
= 1
3
= 93,
2MPa
=
σ
2
2
2
2
2
( σ −σ
) + ( σ −σ
) + ( σ −σ
) = ( 131,
8 − 60)
+ ( 60 + 91,
8)
+ ( − 91,
8 −131,
)
2
okt
+ τ
2
2
okt
=
2
33,
3
2
3
+
93,
2
2
3
1
1
3
= 99,
0MPa
2
22

17. Zadatak
Plo�a je izložena djelovanju vla�nog naprezanja u oba pravca i tangencijalnog naprezanja u
bo�nim ravninama.Odrediti komponente naprezanja u presjeku �ija normala zatvara kut od 30° s
osi x i smjer i veli�inu glavnih naprezanja.
σ = 8MPa
σ
τ
xy
n
x
y
n
n
n
n
= 4MPa
= −2MPa
ϕ = 30°
2
σ = σ cos ϕ + σ sin
σ
ρ
=
=
x
5,
27
σ
2
n
MPa
+ τ
ρ = 5,
93MPa
2
n
=
y
2
5,
27
ϕ + τ
2
+
xy
sin 2ϕ
=
( − 2,
73)
2
8cos
2
30°
+
4sin
τ n
σ y
=
−σ
x
4 − 8
sin 2ϕ
+ τ xy cos 2ϕ
= sin 60°
− 2cos60°
2
2
τ = −2,
73MPa
Glavna naprezanja :
σ 1,
2
σ x
=
+ σ y 1
±
2 2
σ = 8,
83MPa
σ
1
2
tgϕ
tgϕ
=
01
02
3,
17
MPa
τ xy
=
σ −σ
1
τ xy
=
σ −σ
2
y
y
=
2
30°
− 2sin
60°
2 2 8 + 4 1
2
( σ −σ
) + 4τ
= ± ( 8 − 4)
+ 4 ⋅ ( − 2)
x
y
− 2
= = −0,
414 ⇒ ϕ01
= −22,
5°
8,
83 − 4
xy
− 2
= 2,
41 ⇒ ϕ02
3,
17 − 4
Kontrola preko invarijante naprezanja :
01
+ ϕ
= 22,
5°
+ 67,
5°
= 90°
2
= 67,
5°
+ σ = σ + σ → 8,
8 + 3,
2 = 8 + 4 → 12 = 12
σ 1 2 x y
ϕ
02
2
2
= 6 ± 2,
83
Maksimalno posmi�no naprezanje, smjer normale ravnine i pripadaju�e normalno naprezanje :
ϕ
= ϕ
τ
σ
1
max
s
01
+ 45°
= −22,
6°
+ 45°
= 22,
4°
σ 1 −σ
2 8,
8 − 3,
2
= = = 2,
8MPa
2 2
σ 1 + σ 2 8,
8 + 3,
2
= = = 6MPa
2 2
23

18. Zadatak
Kratki betonski stup, kvadratnog popre�nog presjeka 30x30 cm pritisnut je silom F.Odrediti
veli�inu ove sile ako je normalno naprezanje u kosom presjeku pod kutem od 30°prema normali
1,5 Mpa.Koliko je tangencijalno naprezanje u tom presjeku?
σ = 1,
5MPa
n
ϕ = 30°
a = 30cm
= 0,
3m
A = a
n
2
= 0,
09m
2
σ = σ cos ϕ + σ sin
F = −180kN
x
2
y
2
ϕ + τ
xy
sin 2ϕ
6
2 F 2
σ n A 1,
5⋅10
⋅ 0,
09
σ n = σ x cos ϕ = − cos ϕ → F = − = − 2
2
A
cos ϕ cos 30°
3
F 180 ⋅10
σ x = = − = −2MPa
A 0,
09
σ y −σ
x
τ n = sin 2ϕ
+ τ xy cos 2ϕ
2
6
−σ
x − 2 ⋅10
τ n = sin 2ϕ
= − sin 60°
= 0,
86MPa
2
2
19. Zadatak
Stup kružnog popre�nog presjeka optere�en je vla�nom silom intenziteta 20 kN. Tangencijalno
naprezanje na bilo kojem presjeku (ravnini) ne smije prije�i vrijednost od 7Mpa. Odrediti polumjer
stupa.
F = 20kN
τ
= 7MPa
n
σ x F 2F
2F
τ n ≤ sin 2ϕ
= sin 2ϕ
= sin 2ϕ
→ d ≥ sin 2ϕ
=
2
2 2A
d π
τ π
(sin 2ϕ)
d ≥
max
= 1
4
2 ⋅ 2 ⋅10
→ d ≥ 4,
3cm
→ d = 4,
5cm
6
7 ⋅10
π
n
4
2 ⋅ 2 ⋅10
sin 2ϕ
6
7 ⋅10
π
24

20. Zadatak
U to�ki A napregnutog elementa izmjerene su dužinske deformacije u smjerovima x, y i n �xx = -
8·10 -4 , �yy = 4·10 -4 , �nn = 6·10 -4 . Odrediti promjene pravog kuta izme�u osi x i y, te veli�inu i
smjerove glavnih deformacija.
ε
nn
⇒ ε
ε
γ
xy
xy
= ε
xy
xx
= 2ε
xy
cos
2
1
=
sin 2ϕ
= 12,
7 ⋅10
ϕ + ε
−4
2
2 1
−4
−4
−4
( ε − ε cos ϕ − ε sin ϕ)
= ( 6 ⋅10
+ 8⋅10
cos30°
− 4 ⋅10
sin 30°
)
nn
yy
= 25,
4 ⋅10
Glavne deformacije :
1,
2
1,
2
1
2
ε + ε 1
2 2
⎛ − 8 + 4 1
= ⎜ ±
⎝ 2 2
−4
−4
−4
sin
−4
xx
2
rad
ϕ + ε
( ε − ε )
xy
sin 2ϕ
⇒
xx yy
2 2
ε1, 2 = ± xx yy + 4ε
xy
ε
ε
= −2
⋅10
ε = 12 ⋅10
ε = −16
⋅10
Kontrola :
+ ε = ε + ε
ε xx yy
− 8⋅10
− 4 ⋅10
−4
−4
1
+ 4 ⋅10
± 14 ⋅10
2
−4
= − 4 ⋅10
−4
yy
2 ( − 8 − 4)
+ 4(
12,
7)
−4
= 12 ⋅10
−4
Smjerovi glavnih deformacija :
tgϕ
tgϕ
ϕ
01
01
02
ε xy
=
ε − ε
=
+ ϕ
02
1
2
ε
xy
yy
ε − ε
yy
−16
⋅10
−4
12,
7 ⋅10
= −4
12 ⋅10
− 4 ⋅10
−4
−4
12,
7 ⋅10
=
−4
−16
⋅10
− 4 ⋅10
−4
= 57,
8°
+ 32,
4°
= 90,
2°
≈ 90°
2
⎞
⎟ ⋅10
⎠
−4
sin 60°
= 1,
588 ⇒ ϕ = 57,
8°
−4
01
= −0,
635 ⇒ ϕ
02
= −32,
4°
25

26
21. Zadatak
Odrediti deformaciju dijagonale �eli�nog elementa.
5
5
5
5
5
5
5
5
10
5
,
19
2
10
75
,
9
15
10
2
3
,
0
1
1
2
10
9
10
2
60
3
,
0
10
30
10
2
60
15
60
3
,
0
10
2
−
−
−
−
⋅
=
=
⋅
=
⋅
+
=
+
=
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
=
⋅
=
⋅
=
=
=
=
=
⋅
=
xy
xy
xy
xy
xy
x
yy
x
xx
xy
x
E
G
E
E
MPa
MPa
MPa
E
ε
γ
τ
ν
τ
ε
σ
ν
ε
σ
ε
τ
σ
ν
Relativna deformacija dijagonale :
cm
d
d
d
xy
yy
xx
d
10
30
sin
5
5
30
sin
10
69
,
28
60
sin
10
75
,
9
30
sin
10
9
30
cos
10
30
2
sin
sin
cos
5
5
2
5
2
5
2
2
=
°
=
→
=
°
⋅
=
°
⋅
+
°
⋅
−
°
⋅
=
+
+
=
−
−
−
−
ε
ϕ
ε
ϕ
ε
ϕ
ε
ε
Apsolutna deformacija :
mm
d
d d
3
5
10
69
,
28
100
10
69
,
28
−
−
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
∆ ε

22. Zadatak
Pravokutna plo�ica dimenzija 120x90 mm optere�ena je u dva pravca tako da su
5
E = 2⋅10
MPa
ν =
0,
3
N
σ x = 10000 2
cm
= 100MPa
N
σ y = −4000
2
cm
= −40MPa
Odrediti kolika su naprezanja u kosoj ravnini koja se poklapa s dijagonalom koja s osi x zatvara
oštri kut i za koliko �e se promijeniti dužina dijagonale.
9
tgα
= = 0,
75 → α = 37°
⇒ ϕ = α − 90°
= −53°
12
σ n
σ x
=
+ σ y σ x
+
2
−σ
y
100 − 40 100 + 40
cos 2ϕ
+ τ xy sin 2ϕ
= + cos
2
2 2
τ n
σ y
=
−σ
x
− 40 −100
sin 2ϕ
+ τ xy cos 2ϕ
= sin(
−106°
) = 67,
2MPa
2
2
ρ
ε
ε
n
xx
yy
=
σ
2
n
+ τ
2
n
=
10,
7
2
67,
2
2
( − 40)
= 68,
0MPa
σ σ x y
= −ν
E E
100
= 5
2 ⋅10
− 0,
3 5
2 ⋅10
−5
= 56 ⋅10
σ y σ x − 40
= −ν
= 5
E E 2 ⋅10
100
− 0,
3 5
2 ⋅10
= −35⋅10
+
−5
( −106°
)
= 10,
7MPa
Budu�i da tražimo izduženje dijagonale, tražimo deformaciju u smjeru normale ravnine okomite
na dijagonalu, te je sada kut ������������
ε
= ε
d
d =
xx
90
= 150mm
∆d
= ε ⋅ d = 23,
04 ⋅10
d
cos
2
2
ϕ + ε
+ 120
2
yy
sin
2
−5
ϕ + ε
xy
sin 2ϕ
= 56 ⋅10
⋅150
= 3,
46 ⋅10
−2
mm
−5
2
cos ( 37°
) − 35⋅10
−5
sin
2
( 37°
) = 23,
04 ⋅10
−5
27

23. Zadatak
�eli�na kocka brida a = 10 cm postavljena je bez zazora izme�u dviju krutih stijenki na podlogu i
na gornjoj plohi optere�ena s q = 60 MPa.
Odrediti : a) naprezanja i deformacije u tri okomita smjera i deformaciju dijagonale kocke
b) promjenu volumena kocke
c) normalno i posmi�no naprezanje u presjeku pod kutem od 45° prema stjenki.
E = 2 ⋅10
ν =
σ
ε
ε
ε
xx
yy
zz
1
=
E
1
=
E
1
=
E
d = a
ε
ε
d
d
y
z
0,
30
MPa
= −q
= −60MPa
σ = 0
= ε
=
xx
[ σ −ν
( σ + σ ) ] = 0 → σ = νσ = 0,
3⋅
( − 60)
1
[ σ −ν
( σ + σ ) ] = [ − 60 − 0,
3(
−18)
]
1
[ σ −ν
( σ + σ ) ] = − 0,
3(
−18
− 60)
3
∆d
= ε ⋅ d = −5,
2 ⋅10
d
5
x
y
z
cos
2
−5,
2 ⋅10
−5
z
x
z
α + ε
yy
y
y
x
cos
−5
2
⋅10
2 ⋅10
2 ⋅10
β + ε
2
⋅
zz
5
5
x
y
[ ]
2
cos γ = 0 − 27,
3⋅10
3 = −9
⋅10
Relativna i apsolutna promjena volumena :
∆V
ε V = = ε xx
V
+ ε yy + ε
∆V
= ε
−
⋅V
= −15,
6 ⋅10
V
⎡−18
ρ
n = [ σ ij ] ⋅ n =
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
ρ = −12,
72MPa
ρ
ρ
n
nx
ny
nz
n
n
= −42,
42MPa
= 0
=
=
n
2
nx
2
n
+ ρ
−σ
2
ny
2
n
+ ρ
zz
0
0
2
nz
5
− 60
= 21MPa
= 0 −
⋅10
=
3
27,
3⋅10
−5
= −0,
15cm
0⎤⎡cos
45°
⎤
0
⎥⎢
cos 45
⎥
⎥⎢
°
⎥
0⎥⎦
⎢⎣
cos90°
⎥⎦
12,
72
2
+
−3
42,
42
mm
=
+ 11,
7 ⋅10
2
+ 0
2
−5
= −18MPa
−27,
3⋅10
= 11,
7 ⋅10
σ = ρ ⋅ n = −12,
72 ⋅ cos 45°
− 42,
42 ⋅ cos 45°
= −39MPa
ρ
τ
ρ
ρ
−5
=
−5
−5
1
⋅ + 11,
7 ⋅10
3
−15,
6 ⋅10
= 44,
28MPa
−5
−5
1
⋅
3
28

24. Zadatak
Odrediti glavna naprezanja na stranicama kvadratnog elementa ako su tenzometri (ure�aji za
mjerenje dužinske deformacije) A i B pokazali prirast �nA = 9,9 mm i
�nB = 3,1 mm. Tenzometar A postavljen je pod kutem � = 30° prema pravcu glavnog naprezanja
�1, a tenzometar B okomito na tenzometar A. Baza tenzometra l0 = 20 mm, a uve�anje
tenzometra k = 1000. E = 0,8·10 5 Mpa, �=0,35
Relativne deformacije :
ε
ε
nnA
nnB
∆l
∆n
A 9,
9
= = = = 4,
95⋅10
3
l k ⋅ l 10 ⋅ 20
0
∆n
=
k ⋅l
B
0
0
3,
1
= = 1,
55⋅10
3
10 ⋅ 20
−4
Za ravninsko stanje deformacija :
σ
σ
σ
σ
Kontrola :
σ
nA
nB
n
nA
nA
E
=
1 −ν
E
=
1 −ν
+ σ
nB
−4
5
0,
8 ⋅10
−4
−4
( ε + νε ) = ( 4,
95 ⋅10
+ 0,
35 ⋅1,
55 ⋅10
)
5
0,
8 ⋅10
−4
−4
( ε + νε ) = ( 1,
55 ⋅10
+ 0,
35 ⋅ 4,
95 ⋅10
)
2
( cos(
ϕ + 90°
) ) = ( − sin ϕ )
2
( sin(
ϕ + 90°
) ) 2
= ( cosϕ
)
σ
nB
x
cos
= σ cos
= σ cos
= 20MPa
nnA
nnB
y
sin
nnB
nnA
sin
( ϕ + 90°
) + σ
0,
75σ
+ 0,
25σ
= 50K
0,
25σ
+ 0,
75σ
= 30K
1
2
= σ
1
1
1
1
2
2
2
σ = 60MPa
σ
ϕ + σ
2
2
ϕ + σ
2
2
2
2
ϕ + τ
( 1)
( 2)
1 − 0,
35
1 − 0,
35
= 50 + 30 = 60 + 20 = 80MPa
2
xy
ϕ = σ cos
2
= sin
= cos
2
sin
⇒
1
2
2
sin 2ϕ
2
ϕ
ϕ
2
2
2
30°
+ σ
sin
( ϕ + 90°
) = σ sin
2
1
2
30°
K
2
( 1)
30°
+ σ
2
cos
2
= 50MPa
= 30MPa
30°
K
( 2)
29

25. Zadatak
Kocka dužine stranice “a“, izložena je djelovanju jednolikog tlaka intenziteta p = - 700 N/cm 2 .
Odrediti Poissonov koeficijent ako je relativna promjena volumena -9·10 -5 , a modul elasti�nosti
materijala 0,7·10 4 kN/cm 2 .
N
p = −700
2
cm
6 N
= −7
⋅10
2
m
4 kN
E = 0,
7 ⋅10
2
cm
11 N
= 0,
7 ⋅10
m
ε
−5
= −9
⋅10
V
1−
2ν
ε V = ε1
+ ε 2 + ε 3 =
E
σ = σ = σ = σ = p
1
2
3
( σ + σ + σ )
1−
2ν
1 ⎛ ε V E ⎞ 1 ⎛
ε 3 ⎜1
⎟ = 1
2 3 2 ⎜
V = p →ν
= −
−
E
⎝ p ⎠ ⎝
ν = 0,
35
26. Zadatak
1
2
2
3
−5
( − 9 ⋅10
) ⋅ 0,
7 ⋅
6
3(
− 7 ⋅10
)
U gredi �eli�nog mosta, pri prolazu vlaka, izmjerena su pomo�u tenzometra relativna izduženja u
horizontalnom pravcu (u smjeru osi x ili paralelno s osi grede) 0,0004 i vertikalnom pravcu
(u smjeru osi y ili okomito na os grede) -0,00012. Odrediti normalna naprezanja u pravcu osi
grede i okomito na nju.
ε
ε
x
y
E = 2,
1⋅10
ν =
( 2)
→ ( 1)
y
=
=
0,
0004
−0,
00012
0,
3
1
ε x =
E
1
ε y =
E
MPa
( σ −νσ
) → σ = Eε
+ νσ K(
1)
( σ y −νσ
x ) → σ y = Eε
y + νσ x K(
2)
E(
ε x + νε y ) 11
2,
1⋅10
( 0,
0004 − 0,
3⋅
0,
00012)
y
x
5
⇒ σ x =
2
1−ν
6 N
σ x = 84 ⋅10
2
m
= 84MPa
x
y
x
x
=
y
1−
0,
3
11
6
σ = Eε
+ νσ = −0,
00012 ⋅ 2,
1⋅10
+ 0,
3⋅
84 ⋅10
= 0MPa
2
10
11
⎞
⎟
⎠
30

27. Zadatak
Za optere�enje na tlak betonske kocke ( stranice 7 cm) postavljene su na njene �etiri strane
papu�ice od �elika spojene me�usobno zglobnim mehanizmom. Dvije sile veli�ine F djeluju u
�vorovima A i D. Odrediti za koliko se promijeni volumen kocke ako je E =4 ·10 3 KN/cm 2 , � = 0,3 i F
= 50 kN.
�����
Σy
= 0:
F + S
Σx
= 0:
F
�����
F
Σx
= 0 → S B = − = S
cosα
Σy
= 0 → F = F
α = 45°
∆V
= εV
⋅V
= 1 2 3
1−
2ν
E
− S − 2F
3
σ1
= σ 2 = = ; σ
2
2 3 = 0;
V = a
a 2a
− 4
∆V
=
∆V
=
AB
+ S
BC
A
( ε + ε + ε ) V = ( σ + σ + σ )
( 1−
2ν
) aF − 4(
1−
2 ⋅ 0,
3)
2E
−9,
9 ⋅10
sinα
= 0 → S
A
−8
⋅ cosα
→ F
m
3
=
A
A
AB
F
= −
sinα
= F
2 ⋅ 4 ⋅10
1
10
2
3
⋅ 0,
07⋅
50⋅10
3
1−
2ν
V = 2σV
E
31

32
28. Zadatak
Odrediti potrebne duljine l1 i l2 zavara spajanjem kutnih metalnih profila s plo�om.
( )( )
( ) ( )
cm
l
cm
l
cm
l
cm
l
l
cm
l
l
l
l
h
h
l
l
h
l
h
l
h
a
l
h
a
l
h
F
h
F
M
cm
t
F
l
l
t
l
l
F
al
F
A
F
MPa
cm
h
cm
h
cm
t
kN
F
dop
dop
A
dop
dop
dop
5
,
5
5
,
13
19
5
,
13
4
,
1
19
19
4
,
1
19
4
,
0
19
4
,
0
4
,
0
6
,
3
4
,
1
2
2
0
19
10
90
10
5
,
0
4
,
1
10
120
7
,
0
2
45
cos
2
90
4
,
1
6
,
3
5
,
0
120
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
6
2
3
2
1
2
1
2
1
=
−
=
→
=
=
→
=
→
=
+
→
=
+
=
→
≅
=
=
⇒
⋅
=
⋅
⇒
⇒
=
→
⋅
=
⋅
→
=
∑
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
≥
+
⇒
≤
°
+
=
∑
=
=
=
=
=
=
=
−
τ
τ
τ
τ
τ
τ
l 1
l 2
h 1
h2
t
a
F

t
29. Zadatak
Odrediti potreban broj zakovica promjera 20 mm, ako je
F
F
A
F/2
F/2
F = 300kN
1
= 8mm
t = 12mm
τ
σ
dop
dop
τ =
= 100MPa
= 280MPa
s
F
A
F
nmA
F
ndt
F
F
= ≤ τ 2
d π
nm
4
F/2
F/2
d
n – broj zakovica
m – reznost zakovica
n ≥ 5 → n = 6 → 2n
= 12 → 2reda
σ =
p
=
=
1
dop
3
300 ⋅10
=
−3
6 ⋅ 20 ⋅10
⋅12
⋅10
F
→ n ≥ 2
d π
m τ
4
−3
dop
= 208MPa
≤ σ
=
dop
t 1
t
t 2
2
−3
( 20 ⋅10
)
4
F
300 ⋅10
2
= 280MPa
3
F
π
100 ⋅10
6
33

30. Zadatak
Na vijak promjera d djeluje tla�na sila F koja izaziva naprezanje u vijku � i površinski pritisak p
izme�u prstena promjera D i lima. Odrediti promjer D, te posmi�no naprezanje u prstenu ako je
prsten debljine
d = 10cm
σ
= 100MPa
p = 40MPa
t = 5cm
p =
σ =
D =
τ =
F
A
F
A
F
A
s
p
d
=
4F
2 2 ( D − d )
2
d π
→ F = σA
= σ
4
2
2
4σd
π
+ = d
4πp
2
σd
π σd
= = =
4dπt
4t
→ D =
π
d
2
σ
1+
= 10
p
6
100 ⋅10
⋅
4 ⋅ 0,
05
0
4F
+
πp
, 1
100
1+
= 18,
7cm
40
= 5⋅10
7
= 50MPa
34

31. Zadatak
Metalna vilica i plo�ica 1 i 2 spojene su vijkom i optere�ene prema slici. Odrediti promjer vijka d,
ako je
F = 150 kN
τ
p
a = 15mm
b = 35mm
p =
p
p
p
sdop
dop
τ =
1
2
1
=
=
>
= 70MPa
= 150 MPa
F
A
s
F
A
F
A
F
A
p
p
p1
p 2
2
=
≤
⇒
F
mA
p
=
dop
F
=
2ad
d
F
= ≤ τ 2
d π
m
4
F
bd
≥
2
F
ap
dop
sdop
→ d ≥
0,
0369 m > 0,
033m
⇒ d = 37mm
4F
mπτ
3
150 ⋅10
=
2 ⋅ 0,
015 ⋅150
⋅10
6
sdop
=
=
0,
033
3
4 ⋅150
⋅10
2 ⋅π
⋅ 70 ⋅10
m
6
=
0,
0369
m
35

Zavareni spojevi
Lom zavarenih spojeva optere�enih na smicanje nastaje po najslabijem (smi�nom) presjeku A-B,
tj. po presjeku za koji je smi�na površima najmanja.
Naprezanja u zavaru iznose :
- normalno naprezanje
σ =
F
al
F
- posmi�no naprezanje τ =
al
F
ili op�enito σ =
Aσ
F F
= , τ =
∑(
a ⋅l
) σ Aτ
F
=
∑(
a ⋅l
) τ
gdje je A�, A� … veli�ina površine zavara koja
se odnosi na normalno, odnosno posmi�no naprezanje.
Za spoj na slici posmi�no naprezanje je
τ =
F
A
τ
=
∑
F
a
=
F
( ⋅l
) a(
2l
+ l)
1
Normalno naprezanje jednako je posmi�nom.
Kod zavarenih spojeva uobi�ajeno se provjeravaju
normalna naprezanja ako sila djeluje okomito na površinu
zavarenog spoja, odnosno na posmi�na naprezanja dok sila
djeluje u samoj površini zavarenog spoja.
36

37
33. Zadatak
Odrediti potrebnu duljinu zavara prema slici.
5
40
40
84
,
0
7
,
0
2
,
1
135
50
2
1
2
1
2
×
×
=
=
≥
=
=
B
t
a
t
a
t
t
mm
N
kN
F
dop
τ
Iz priru�nika za profile :
2
2
379
6
,
11
40
mm
A
mm
e
mm
b
=
=
=
( )
( )
( )
mm
l
mm
l
usvojeno
mm
a
A
l
mm
a
A
l
mm
a
mm
a
usvojeno
mm
t
a
mm
t
a
mm
A
A
A
mm
b
Ae
A
b
Fe
F
mm
F
A
A
F
Fe
b
F
M
F
F
F
F
dop
dop
B
z
70
,
40
62
,
62
,
56
,
30
4
,
3
2
,
4
5
84
,
0
84
,
0
5
,
3
5
7
,
0
7
,
0
263
107
40
6
,
11
370
2
370
135
10
50
2
0
1
0
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
3
2
1
2
1
=
=
→
=
=
=
=
=
=
→
=
⋅
=
=
=
⋅
=
=
=
−
=
=
⋅
=
=
→
=
→
=
⋅
=
≥
→
≤
=
=
→
=
∑
=
+
→
=
∑
τ
τ
τ
K
K

34. Zadatak
Odrediti najve�a naprezanja zakovica.
Q = 20kN
d = 1,
4cm
a = 4cm
b = 8cm
H = 12kN
Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile H
H
FH =
h
Moment u težištu sustava zakovica
M = Q a + b
( )
Sila na jednu zakovicu od djelovanja sile Q
Q
FQ =
h
Sila u i-toj zakovici od momenta M
F = k ⋅ ρ
Mi
a
a
i
4
3
a
5
a
1
2
b
Q
H
F M
4
F Q
3
F M
F Q
F H
FH 5
F Q
F M
1
F H
2
F Q
F Q
45°
38

39
Moment od sile FMi s obzirom na težište sustava
( ) ( ) ( )
kN
a
b
a
Q
a
a
b
a
Q
F
F
F
F
F
F
a
M
F
M
k
k
M
M
k
F
M
M
M
M
M
M
M
i
i
i
i
Mi
i
i
i
i
i
i
i
Mi
i
6
,
10
04
,
0
8
08
,
0
04
,
0
20
2
8
2
2
2
4
0
,
2
2
4
3
2
1
5
4
3
2
5
1
2
5
1
2
2
5
1
2
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⋅
=
=
⇒
⋅
=
∑
=
⋅
=
⋅
=
∑
∑
∑
=
=
=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
U srednjoj zakovici ne djeluje sila od momenta!
0
5 =
M
F
kN
F
F
R
kN
F
F
F
F
R
kN
F
F
F
F
R
kN
F
F
F
F
R
kN
F
F
F
F
R
kN
F
kN
F
Q
H
M
Q
M
H
M
Q
M
H
M
Q
M
H
M
Q
M
H
Q
H
66
,
4
49
,
10
2
2
2
2
17
,
6
2
2
2
2
57
,
12
2
2
2
2
15
,
15
2
2
2
2
4
5
20
4
,
2
5
12
2
2
5
2
2
4
2
2
3
2
2
2
2
2
1
=
+
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
=
=
=
=
=
Najve�e optere�enje ima zakovica 1 : R1 = 15,15 kN
MPa
d
R
mA
F
s
20
,
49
4
014
,
0
2
15150
4
2
2
2
1
=
=
=
=
π
π
τ

35. Zadatak
Unutarnji promjer vanjskog �eli�nog prstena je za D manji od vanjskog promjera unutarnjeg
aluminijskog valjka, pa je �eli�ni prsten u zagrijanom stanju nataknut na aluminijski valjak.
Odrediti pritisak prstena na valjak i naprezanje u prstenu nakon hla�enja prstena.
Kolika sila djeluje u prstenu?
D = 1,
1mm
E
E
ν
ν
1
2
Al
�
5 N
= E Al = 0,
7 ⋅10
mm
5 N
= E = 2 ⋅10
�
2
mm
= 0,
34 = ν
=
0,
3
t = 5mm
= ν
Uvjet deformacija :
∆D = ∆D
+ ∆D
K 1
2
1
( )
∆D
= D − D = 1,
1mm
1
1
Uvjet ravnoteže :
2 ⋅ S − p ⋅ D = 0K
2
2
p ⋅ D
S 2 =
2
R = p ⋅ D
2
2
2
2
⋅t
2
( )
Izraz za deformacije :
( 1)
( 1)
1 σ 2
−ν
1
1 E1
2
σ
p p p ∆D1
ε1
= = −ν
1 = ( 1−ν
1 ) =
E
E E E D
Za valjak :
F = D
2
2
⋅ h
( 2)
∆D2
2 = ,
D E
σ
ε
Za prsten :
2
2
D p D2
p ∆D
ε
2 = = =
2tE D 2tE
D
2
2
1
1
1
S 2 ∆D2
S 2 ( 2)
D2
p
= ⇒ = ⎯⎯→
∆D2
=
F ⋅ E D E ⋅ F
2tE
2
1
2
2
2
1
1
2
1
40

∆D
( 1)
1 ( 1−ν
)
1
1
∆D
2
= ε D
2
1
2
1
1
= ε D
pD
⎯⎯→
E
D
≅ D
p =
1600
0,
7 ⋅10
2
5
=
pD
E
1
1
1
( 1−ν
)
2
2
pD
=
2tE
2
≅ 1600mm
1,
1
( 1−
0,
34)
1
2
2
pD
+
2tE
2
= 1,
1 → p =
D
E
2
1600
+
2 ⋅5
⋅ 2 ⋅10
5
=
1
1
0,
85
1,
1
( 1−ν
)
N
mm
2
1
2
2
D
+
2tE
= σ
Naprezanje u prstenu (homogeno stanje naprezanja) :
( 2)
pD2
0,
85⋅1600
N
σ 1 = = = 136,
0 2
2t 2 ⋅5
mm
Sila u prstenu :
( 2)
1
S = t ⋅ h ⋅σ
= 5⋅
200 ⋅136,
0 = 136kN
Kontrola :
∆D
2
∆D
1
( 2)
1
σ
= D2
E
pD1
=
E
1
1
2
136,
0
= 1600 = 1,
087mm
5
2 ⋅10
0,
85⋅1600
5
0,
7 ⋅10
( 1−ν
) = ( 1−
0,
34)
∆D
= ∆D
+ ∆D
= 1,
087 +
2
1
0,
013
= 1,
1mm
= 0,
013mm
2
( 1)
( 1)
1 = σ 2
41

36. Zadatak
U parnom kotlu promjera D djeluje pritisak p. Kotlovski lim debljine t spojen je u uzdužnom
smjeru dvorednim zakovicama promjera d na me�usobnom razmaku e. Odrediti :
a) naprezanja u sastavu
b) koliki maksimalni tlak pare može kotao podnijeti ako su zadana dopuštena naprezanja.
D = 1600mm
N
p = 1,
0
mm
t = 10mm
d = 20mm
e = 100mm
τ
σ
σ
dop
dop
O dop
2
N
= 70 2
mm
N
= 100 2
mm
N
= 160
mm
2
a) Naprezanje stjenke kotla (u smjeru tangente na stjenku)
pD 1,
0 ⋅1600
N
σ = = = 80 2
2δ 2 ⋅10
mm
Sila na razmaku e (sila koja djeluje na jedan red zakovica)
S = σ ⋅δ
⋅ e = 80 ⋅10
⋅100
= 80kN
Naprezanje zakovice
S 80000 N
posmik τ = = = 127,
32
2
2
2
d π 20 π mm
m 2
4 4
S 80000 N
bo�ni pritisak σ O = = = 200 2
2dδ 2 ⋅ 20 ⋅10
mm
Vlak na oslabljenom presjeku
σ
=
S
=
e − d δ
80000
= 100
100 − 20 10
N
mm
( ) ( ) 2
42

43
b) Nosivost zakovice
( ) ( )
2
max
2
max
2
2
200
200
160
1600
100
10
2
2
2
80
80
10
20
100
100
32
20
10
160
22
991
,
21
4
20
70
4
mm
N
p
mm
N
D
p
pD
kN
N
N
kN
d
e
N
kN
d
N
kN
kN
d
N
V
dop
V
Odop
O
dop
S
=
=
⋅
⋅
=
=
⇒
=
=
=
=
−
=
−
=
=
⋅
⋅
=
=
≅
=
=
=
δσ
δ
σ
δ
σ
δ
σ
π
π
τ

44
37. Zadatak
Za satavljeni štap na slici potrebno je odrediti najve�a posmi�na naprezanja i potencijalnu
energiju deformacija ako su u to�ki A zadana glavna naprezanja.
30
,
0
10
2
8
8
2
5
2
2
2
1
=
⋅
=
−
=
=
ν
σ
σ
mm
N
E
mm
N
mm
N
kNm
Nmm
I
M
I
M
m
mm
D
I
m
mm
D
I
A
p
A
C
A
p
C
A
p
p
4
,
5
10
4
,
5
30
10
3
,
20
8
10
3
,
20
10
3
,
20
32
120
32
10
02
,
4
10
02
,
4
32
80
32
6
6
2
2
1
4
6
4
6
4
4
2
2
4
6
4
6
4
4
1
1
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
→
=
=
⋅
=
⋅
=
=
=
⋅
=
⋅
=
=
=
−
−
ρ
τ
ρ
σ
τ
π
π
π
π
Uvjet ravnoteže
T
C
B
M
M
M =
+
Uvjet deformacije
0
0
,
2
4
,
1
8
,
0
0
1
2
1
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
→
=
p
C
p
C
p
T
C
I
G
M
I
G
M
I
G
M
ϕ
kNm
M
M
M
kNm
M
I
I
M
I
I
M
I
M
C
T
B
T
p
p
C
p
p
C
p
T
10
4
,
15
0
,
2
3
,
20
02
,
4
4
,
1
8
,
0
413
,
5
0
,
2
4
,
1
8
,
0
0
,
2
4
,
1
8
,
0 2
1
1
2
1
=
−
=
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=

45
( ) ( )
Nmm
kNm
U
U
I
G
M
I
G
M
I
G
M
U
m
kN
mm
N
E
G
mm
N
D
I
M
p
C
p
C
p
B
p
B
198000
198
,
0
013
,
0
056
,
0
129
,
0
10
3
,
20
10
77
,
0
2
4
,
1
4
,
5
10
02
,
4
10
77
,
0
2
2
,
1
4
,
5
10
02
,
4
10
77
,
0
2
8
,
0
10
2
4
,
1
2
2
,
1
2
8
,
0
10
77
,
0
10
77
,
0
3
,
0
1
2
10
2
1
2
5
,
99
2
80
10
02
,
4
10
10
2
6
8
2
6
8
2
6
8
2
2
2
1
2
1
2
2
8
2
5
5
2
6
6
1
1
max
=
=
+
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
+
⋅
=
+
=
=
⋅
⋅
=
=
−
−
−
ν
τ

38. Zadatak
Osovina kružnog popre���������������������ena je momentom torzije Mt. Temperatura osovine
se promijeni za �t. Odrediti smjer i veli�inu glavnih naprezanja u to�ki C.
E = 2,
0
ν
=
α
t
∆t
= + 30K
D = 120mm
M
A
G =
2
E
=
Mt
0,5 m
2 ⋅10
( 1+
ν ) 2(
1+
0,
3)
5
5
= 0,
77 ⋅10
N
mm
1,7 m
4
4
D π 120 π
6 4
I p = = = 20,
4 ⋅10
mm = 20,
36 ⋅10
32 32
2
2
D π 120 π
4 2
−2
2
A = = = 1,
1⋅10
mm = 1,
1⋅10
m
4 4
Uvjet ravnoteže :
M + M = M
A
B
t
K(
1)
Uvjet deformacije :
M A ⋅l
M t ⋅b
ϕ A = − = 0K
G ⋅ I G ⋅ I
M
M
t
A
B
0,
30
=
1,
25
⋅10
= 16kNm
( 2)
b 1,
2
= M t = 16 = 11,
29kNm
l 1,
7
= M − M = 4,
71kNm
t
⋅10
p
5
N
mm
−5
A
K
2
−1
p
C
2
1,2 m
8 kN
= 0,
77 ⋅10
2
m
−6
m
4
t
0,8 m
D
B
C
46

47
( )
( )
°
−
=
→
°
−
=
→
−
=
−
⋅
=
−
=
+
=
±
−
=
⋅
+
−
±
−
=
+
±
=
−
=
⋅
⋅
−
=
−
=
=
⋅
⋅
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
∆
⋅
=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
∆
⋅
=
∆
−
215
,
10
43
,
20
2
3725
,
0
52
,
74
88
,
13
2
2
02
,
77
50
,
2
76
,
39
26
,
37
88
,
13
4
52
,
74
2
1
2
52
,
74
4
2
1
2
52
,
74
10
1
,
1
10
23
,
848
88
,
13
2
120
10
36
,
20
10
71
,
4
2
23
,
848
10
1
,
1
10
2
30
10
25
,
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
,
1
2
4
3
2
6
6
4
5
5
ϕ
ϕ
ϕ
σ
σ
τ
σ
σ
σ
σ
τ
α
α
tg
mm
N
mm
N
tlak
mm
N
A
F
mm
N
D
I
M
kN
F
A
E
t
F
A
E
l
F
l
t
l
C
C
C
C
C
C
C
p
B
C
t
t

39. Zadatak
Za spoj dva vratila odrediti potreban broj vijaka krute spojke. Zanemariti utjecaj spojke na
uvijanje.
d = 12mm
τ
V
M
M
D
D
dop
t1
t 2
1
2
= 50MPa
= 10kNm
= 15kNm
= 100mm
= 140mm
2R
= 0,
2m
I
I
pI
pIII
= I
pII
= I
pIV
4
1
4
D π 0,
1 π
−5
= = = 0,
9817 ⋅10
m
32 32
4
2
Uvjet ravnoteže :
4
D π 0,
14 π
−5
= = = 3,
771⋅10
m
32 32
∑ M z = 0 → M A + M B + M t1
− M t 2
Uvjet deformacije :
ϕ
4
= ∑
1
= i
AB
i=
ϕ = 0 →ϕ
+ ϕ
i
I
II
+ ϕ
III
+ ϕ
= 0K
IV
4
( 1)
= 0K
4
( 2)
48

( 2)
⎛ M A − ⎜
⎝ GI pI
M A + M t1
M A + M t1
M A + M t1
− M
+ + +
GI pII GI pIII GI pIV
I = I , I = I
pI
M
M
A
A
→
pII
M
=
t 2
I
pIII
pI
2
M t1(
2I
pI + I pIII )
( I + I )
−
pI
15 ⋅0,
9817
=
2
pIV
pIII
−10(
2 ⋅0,
9817 + 3,
771)
( 0,
9817 + 3,
771)
Torzijski moment u presjeku C :
M C = M A + M t
1
= 4,
483 −10
= −5,
517kNm
t 2
= −4,
483kNm
⎞
⎟ ⋅ a = 0
⎟
⎠
Zbog djelovanja momenta MC vijci spojke su optere�eni na smicanje :
M C = n ⋅ F ⋅ R
n – broj vijaka
F – posmi�na sila koja djeluje na jedan vijak
R – krak djelovanja sile F
Potreban broj vijaka u spoju :
τ
=
s
n ≥
d
F
A
v
2
v
4F
= ≤ τ 2
d π
4M
πτ
C
v
sdop
sdop
=
R 0,
012
d v π
→ F ≤ τ
4
2
2
4 ⋅5517
⋅π
⋅50
⋅10
6
sdop
=
⋅ 0,
1
9,
76
→ n = 10vijaka
49

50
40. Zadatak
Sastavljena osovina kružnog popre�nog presjeka optere�ena je momentom torzije Mt . Odrediti
najve�a naprezanja u pojedinim dijelovima osovine i potencijalnu energiju deformacije.
mm
d
mm
D
mm
D
mm
N
E
kNm
M t
64
120
80
3
,
0
10
2
15
2
1
5
=
=
=
=
⋅
=
=
ν
( ) ( )
4
6
4
4
2
2
4
6
4
4
4
4
1
1
10
3
,
20
32
120
32
10
4
,
2
32
64
80
32
mm
D
I
mm
d
D
I
p
p
⋅
=
=
=
⋅
=
−
=
−
=
π
π
π
π
Uvjet ravnoteže
( )
1
0 K
t
B
A
z
M
M
M
M =
+
→
=
∑
Uvjet deformacije
( )
kNm
M
M
M
kNm
I
I
I
M
M
GI
M
GI
M
GI
M
B
t
A
p
p
p
t
B
p
B
p
B
p
t
A
458
,
9
54
,
5
0
,
2
4
,
1
1
8
,
0
2
0
0
,
2
4
,
1
8
,
0
0
1
2
1
1
2
1
=
−
=
=
+
=
=
⋅
−
⋅
−
⋅
→
= K
ϕ
( ) ( )
kNm
GI
M
GI
M
GI
M
U
E
m
kN
mm
N
E
G
mm
N
D
I
M
mm
N
D
I
M
p
B
p
B
p
A
p
p
A
p
B
307
,
0
0137
,
0
0996
,
0
1936
,
0
2
4
,
1
2
2
,
1
2
8
,
0
10
77
,
0
10
77
,
0
3
,
0
1
2
10
2
1
2
63
,
157
2
80
10
4
,
2
10
458
,
9
2
37
,
16
2
120
10
3
,
20
10
54
,
5
2
2
2
1
2
1
2
2
8
2
5
5
2
6
6
1
1
1
max
2
6
6
2
2
2
max
=
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
+
⋅
=
+
=
=
⋅
⋅
=
=
=
⋅
⋅
=
=
ν
τ
τ

41. Zadatak
Odrediti potrebne dimenzije pojedinih odsje�aka te kut uvijanja slobodnog kraja.
a = 400mm
G = 80GPa
M
M
M
τ
t1
t 2
t3
dop
= 4kNm
= 7kNm
= 3kNm
= 60MPa
Uvjet ravnoteže :
∑ M = 0 → M − M − M + M = 0K
( 1)
M
→ M
A
z
A
= M
= 6kNm
t1
t3
+ M
t 2
t 2
− M
t3
t1
A
( 1)
= 3 + 7 − 4 = 6kNm
Vrijednost momenata torzije na pojedinim odsje�cima :
M
M
M
I
II
III
= M
= M
t1
= M
t1
t1
= 4kNm
− M
− M
t 2
t 2
Kriterij �vrsto�e :
3
i
= 4 − 7 = −3kNm
− M
t3
= 4 − 7 − 3 = −6kNm
M i 16M
i
τ i =
= ≤ τ dop , i = I,
II,
III,
IV → Di
≥
W d π
pi
3
16M
πτ
i
dop
51

52
Dimenzioniranje :
mm
D
m
M
D
mm
D
m
M
D
mm
D
m
M
D
III
dop
III
III
II
dop
II
II
I
dop
I
I
80
0798
,
0
10
60
10
6
16
16
64
0634
,
0
10
60
10
3
16
16
70
0698
,
0
10
60
10
4
16
16
3
6
3
3
3
6
3
3
3
6
3
3
=
→
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
≥
=
→
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
≥
=
→
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
≥
π
πτ
π
πτ
π
πτ
Kutevi uvijanja :
( )
( )
rad
D
G
a
M
I
G
a
M
rad
D
G
a
M
I
G
a
M
rad
D
G
a
M
I
G
a
M
III
III
III
p
III
AB
III
II
II
II
p
II
BC
II
I
I
I
p
I
CD
I
3
4
9
3
4
3
4
9
3
4
3
4
9
3
4
10
46
,
7
08
,
0
10
80
4
,
0
10
6
32
32
10
07
,
9
064
,
0
10
80
4
,
0
10
3
32
32
10
99
,
16
07
,
0
10
80
4
,
0
10
4
64
64
2
−
−
−
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
⋅
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
π
π
ϕ
ϕ
π
π
ϕ
ϕ
π
π
ϕ
ϕ
Kut uvijanja slobodnog kraja nosa����
( ) rad
III
II
I
AD
uk
3
3
10
46
,
0
10
46
,
7
07
,
9
99
,
16
−
−
⋅
=
⋅
−
−
=
+
+
=
= ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

42. Zadatak
Za nosa� oblika I-profila odrediti dimenzije popre�nog presjeka prema maksimalnim normalnim i
tangencijalnim naprezanjima.
F = 4kN
kN
q = 2
m
h = 20t
b = 8t
σ
τ
dop
dop
= 120MPa
= 60MPa
Reakcije oslonaca :
∑
F
∑ M
F
F
B
Ay
y
= 0 → −F
A
1
=
5
= F
= 0 → F
( 2F
+ 4,
5q)
A
Ay
B
− F
⋅5
− F ⋅ 2 − q ⋅3
⋅1,
5 = 0
= 3,
4kN
= F + 3q
= 6,
6kN
B
+ F + q ⋅3
= 0
53

Momenti savijanja :
M
M
x1
x2
= M
= F
l
x1
B
= F
Ay
⋅ 2 = 6,
8kNm
⋅ 2 − q ⋅ 2 ⋅1
= 9,
2kNm
Ekstremni momenti savijanja na udaljenosti z od oslonca A :
z = 0K2m
M
dM
M
x
dz
dM
dz
( z)
= F
= F
z = 2K3m
x
x
2
( z)
= F z − qz − F(
z − 2)
x
= F
Ay
Ay
z 1
z − qz = FAy
z −
2 2
FAy
− qz = 0 → z =
q
Ay
Ay
1
2
− qz − F = 0 → z =
qz
= 3,
3m
F
2
Ay
− F
= 1,
3m
q
Iz dijagrama D(M) i D(Q) je vidljivo da se maksimalni moment savijanja javlja u presjeku 1, dok se
maksimalna popre����sila javlja u presjeku A
M
Q
x max
y max
= M
= Q
yA
x1
= 9,
2kNm
= 6,
6kN
Aksijalni moment površine drugog reda i moment otpora
3 ( 22t)
7t
⋅ ( 20t)
8t
⋅
I x =
12
−
12
= 2432t
I x
Wx
=
ymax
4
2432t
3
= = 221,
09t
⎛ h ⎞
⎜ + t ⎟
⎝ 2 ⎠
3
4
54

55
Iz kriterija �vrsto�e za maksimalna normalna i posmi�na naprezanja :
m
Q
t
t
t
Q
t
t
h
t
h
t
h
bt
b
S
b
S
I
Q
m
M
t
t
M
W
M
dop
y
dop
y
zy
x
dop
x
x
y
zy
dop
x
dop
x
x
x
z
3
max
2
4
max
max
2
max
max
max
max
3
3
max
3
max
max
max
10
46
,
2
2432
134
134
2432
134
4
2
2
10
03
,
7
09
,
221
09
,
221
−
−
⋅
=
≥
≤
=
=
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⋅
=
⋅
≥
≤
=
=
τ
τ
τ
τ
τ
σ
σ
σ
Zaklju�uje se da je za dimenzioniranje mjerodavan kriterij maksimalnih normalnih naprezanja i
usvaja se :
4
6
10
18
,
6
,
8
,
56
8
,
142
20
,
1
,
7 mm
I
mm
t
b
mm
t
h
mm
t x
−
⋅
=
=
=
=
=
=
Provjera naprezanja u presjecima 1 i 2 :
MPa
MPa
b
S
I
Q
MPa
MPa
y
I
M
kN
Q
kNm
M
MPa
MPa
b
S
I
Q
MPa
MPa
y
I
M
kN
Q
kNm
M
dop
x
x
mj
y
zymj
dop
mj
x
mj
x
mj
z
mj
y
mj
x
dop
x
x
mj
y
zymj
dop
mj
x
mj
x
mj
z
mj
y
mj
x
60
026
,
0
0071
,
0
84
10
18
,
6
3400
120
94
,
85
0781
,
0
10
18
,
6
6800
4
,
3
8
,
6
60
051
,
0
0071
,
0
134
10
18
,
6
6600
120
26
,
116
0781
,
0
10
18
,
6
9200
6
,
2
2
,
9
3
6
max
2
6
2
2
1
2
3
6
max
1
6
1
1
1
1
=
≤
=
⋅
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
≤
=
⋅
⋅
=
=
=
=
=
≤
=
⋅
⋅
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
≤
=
⋅
⋅
=
=
=
=
−
−
−
−
τ
τ
σ
σ
τ
τ
σ
σ

Dijagrami naprezanja :
56

43. Zadatak
Za nosa� zadan i optere�en prema slici potrebno je:
a) odrediti reakcije u osloncima
b) skicirati dijagrame popre�nih sila i momenta savijanja
c) dimenzionirati nosa� ( t zaokružiti na prvi ve�i cijeli broj u milimetrima )
d) u presjeku x skicirati raspodjelu normalnog i tangencijalnog naprezanja po visini
presjeka
a = 2.2 m
b = 1.8 m
c = 1.2 m
x = a / 2
F = 8 kN
q = 7 kN/m
σDOP = 180 Mpa
57

a) reakcije u osloncima
b) dijagram popre�nih sila i momenta savijanja
I. podru�je: 0 m

II. podru�je: 2.2 m < x < 4 m
III. podru�je: 4 m < x < 5.2 m
59

Mmax = 5.488 kNm
Mmin = -9.6 kNm
Najve�i moment po apsolutnoj vrijednosti je u to�ki x = 4 m i iznosi My = - 9.6 kNm .
Stoga treba dimenzionirati nosa� za iznos momenta |My| = 9.6 kNm !
60

c) dimenzioniranje nosa�a
-������������������������������������
- moment tromosti presjeka
61

d) raspodjela normalnog i tangencijalnog naprezanja u presjeku za x = 1.1 m
- normalno naprezanje
62

- tangencijalno naprezanje
63

44. Zadatak
Za nosa� sa slike odrediti dimenzije popre�nog presjeka ako je on:
a) kružnog oblika
b) pravokutnog oblika
c) oblika I-profila
prema uvjetu maksimalnih normalnih naprezanja.
Za I-profil napraviti kontrolu dobivenih dimenzija
prema kriteriju dopuštenih tangencijalnih naprezanja.
Reakcije oslonaca :
∑ F
∑ M
F
F
Ay
B
y
= 0 → −F
A
= F
A
= 112,
5kN
Ay
B
− F
= −12,
5kN
B
+ F + q ⋅ 4 = 0
= 0 → F ⋅ 4 − F ⋅1
− q ⋅ 4 ⋅ 2 + M = 0
Momenti savijanja :
M
M
x1
x2
= M
= F
l
x1
B
= F
Ay
⋅ 2 = 6,
8kNm
⋅ 2 + q ⋅ 2 ⋅1
= 9,
2kNm
F = 4kN
kN
q = 2
m
h = 20t
b = 8t
σ
τ
dop
dop
= 120MPa
= 60MPa
64

Maksimalni moment savijanja na udaljenosti z od oslonca B :
M
dM
M
x
dz
( z)
x
max
1 2
= FB
z − qz
2
FB
= FB
− qz = 0 → z = = 2,
25m
q
=
112,
5
⋅
2,
25
Moment savijanja u to�ki A :
M xA
= F ⋅1
= 100kNm
2,
25
− 50 ⋅ 2,
25⋅
= 126,
56kNm
2
Za dimenzioniranje prema najve�im normalnim naprezanjima koristi se maksimalni moment
savijanja :
M = M x = 126,
56kNm
max
1
Za kontrolu dimenzija prema dopuštenim tangencijalnim naprezanjima koristi se vrijednost
popre�ne sile :
Qy max = QyB
= FB
= 112,
5kN
a) kružni popre�ni presjek
W
x min
M x
≥
σ
max
dop
D ≥ 234,
47mm
3
D π
= → D ≥
32
USVOJENO → D = 235mm
b) pravokutni popre�ni presjek
W
x
2 3
h b h M x
= = ≥
6 12 σ
h ≥ 247,
6mm
max
dop
→ h ≥
3
32M
πσ
12M
σ
USVOJENO → h = 248mm,
b = 124mm
3
x max
dop
x max
dop
=
=
3
3
32 ⋅126,
56 ⋅10
π100
12 ⋅126,
56 ⋅10
100
6
6
65

66
c) popre�ni presjek oblika I-profila
( ) ( )
mm
b
mm
t
h
mm
t
USVOJENO
mm
t
M
t
M
t
t
t
y
I
W
t
t
t
t
t
I
dop
x
dop
x
x
x
x
160
,
400
25
,
16
39
,
15
100
9
,
346
10
56
,
126
9
,
346
9
,
346
5
,
13
8
,
4683
8
,
4683
12
25
9
12
27
10
3
6
3
max
max
3
4
max
4
3
3
=
=
=
=
→
≥
⋅
⋅
=
≥
→
≥
=
=
=
=
−
=
σ
σ
Provjera dimenzija prema dopuštenom tangencijalnom naprezanju :
2
2
max
2
4
4
3
max
2
max
max
max
max
60
53
,
19
53280
16
3
,
4683
10
5
,
112
53280
4
2
2
mm
N
mm
N
mm
mm
N
mm
t
h
t
h
t
h
bt
b
S
b
S
I
Q
dop
zy
zy
x
dop
x
x
y
zy
=
<
=
⋅
⋅
⋅
=
=
+
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
τ
τ
τ
τ
τ

45. Zadatak
Za zadani nosa� i optere�enje odrediti maksimalna normalna i posmi�na naprezanja u visini osi
“z“te smjer i veli�inu glavnih naprezanja u to�ki 3 popre�nog presjeka nad ležajem B.
Položaj težišta popre�nog presjeka nosa�a :
⎛10 ⋅ 60 ⎞
20 ⋅ 60 ⋅ 70 + 2⎜
⎟ ⋅ 40 + 10 ⋅ 60 ⋅30
∑ Ai
yi
2
126000
yT
= =
⎝ ⎠
= = 52,
5cm
∑ Ai
⎛10 ⋅ 60 ⎞
2400
20 ⋅ 60 + 2⎜
⎟ + 10 ⋅ 60
⎝ 2 ⎠
T ( x , y ) = T
T
T
( 30;
52,
5)
Moment površine drugog reda :
I
I
I
z
z
z
= I
z1
+ A y
60 ⋅ 20
=
12
1
3
2
1
+ 2
4
2 ( I + A y )
z2
+ 60 ⋅ 20 ⋅
4
= 110,
5⋅10
cm
Reakcije i unutarnje sile :
∑ F
F
= 0 → F
+ F
= 2F
+ qb − F
2
2
+ I
z3
2 ( 70 − 52,
5)
+ 2⎜
+ ⋅ 60 − 52,
5 ⎟ + + 10 ⋅ 60 ⋅ ( 30 − 52,
5)
8
= 110,
5⋅10
mm
− 2F
− q ⋅b
= 0
4
+ A
3
y
2
3
⎛10
⋅ 60
⎜
⎝
36
b
∑
M B = 0 → FA
⋅3a
− F ⋅ 2a
− F ⋅ a + q ⋅b
⋅ = 0
2
2
b
3Fa
− q
F
2
A =
3a
2
3
3⋅100
⋅ 2 − 40
=
2
3⋅
2
→ FA
= 70kN
B
y
A
A
B
= 2 ⋅100
+ 40 ⋅3
− 70 → F
B
3
10 ⋅ 60
2
= 250kN
⎛ 2
⎜
⎝ 3
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
10 ⋅ 60
12
3
67
2

68
max
1
180
2
3
3
40
2
140
2
70
M
kNm
b
b
q
M
kNm
a
F
M
B
A
=
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
=
⋅
=
⋅
=
kN
T
kNm
M
130
180
max
max
−
=
−
=
Maksimalno normalno naprezanje :
( )
( ) 2
8
6
2
max
1
2
8
6
1
max
1
55
,
8
10
5
,
52
10
5
,
110
10
180
48
,
4
10
5
,
52
80
10
5
,
110
10
180
mm
N
y
I
M
mm
N
y
I
M
z
d
z
g
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
=
+
=
⋅
−
⋅
⋅
+
=
=
σ
σ

69
Posmi������������������������ :
2
8
6
3
max
3
6
3
933
,
0
275
10
5
,
110
10
82
,
21
10
130
275
5
,
27
10
75
,
8
2
10
2
75
,
8
60
10
5
,
52
60
10
5
,
52
8210
,
21
21820
3
5
,
52
2
5
,
52
75
,
8
2
2
5
,
52
5
,
52
10
mm
N
b
I
S
T
mm
cm
x
b
cm
x
x
mm
cm
S
z
z
z
z
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
=
+
⋅
=
+
=
=
⋅
=
→
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ⋅
+
⋅
⋅
=
τ
Glavna naprezanja i njihov smjer u to�ki 3 :
( )
( )
( )
( )
( )
°
=
→
°
=
→
=
⋅
=
−
=
+
=
±
=
⋅
+
±
=
+
±
=
+
=
⋅
−
⋅
⋅
+
=
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
−
⋅
⋅
=
67
,
26
35
,
53
2
34
,
1
22
,
1
82
,
0
2
2
412
,
0
632
,
1
022
,
1
61
,
0
82
,
0
4
22
,
1
2
1
2
22
,
1
4
2
1
2
22
,
1
10
5
,
52
60
10
5
,
110
10
180
82
,
0
300
10
5
,
110
10
21
10
130
10
21
21000
5
,
52
70
60
20
2
3
2
2
3
1
2
2
2
2
3
2
,
1
2
8
6
3
max
3
2
8
6
3
max
3
3
6
3
3
ϕ
ϕ
ϕ
σ
σ
τ
σ
σ
σ
σ
τ
tg
mm
N
mm
N
mm
N
y
I
M
mm
N
b
I
S
T
mm
cm
S
z
z
z
z

46. Zadatak
Koriste�i analiti�ki postupak odre�ivanja elasti�ne linije nosa�a odrediti kut zaokreta u to�kama
D i F te progib u to�ki E.
a = 5m
kN
q =
10
m
b = 2m
P = 50kN
c = d = 1m
EI
5 2
= 8⋅10
Nm
Ekvivalentni sustav
Reakcije u osloncima
∑ M
∑ M
∑ F
z
d
D
A
= 0 → F
= 0 → q ⋅ 7 ⋅3,
5 + P ⋅8
− F ⋅5
− F ⋅9
= 0 → F
= 0 → F
A
F
y
⋅ 2 − P ⋅1
= 0 → F
− q ⋅ 7 − P + F
F
C
+ F
C
F
=
P 50
= = 25kN
2 2
F
= 0 → F
A
C
= 11kN
=
420
= 84kN
5
70

Momenti savijanja na pojedinim segmentima :
( I ) 0 ≤ x ≤ a → M ( x)
= F
A
2
x
⋅ x − q ⋅
2
( II ) a ≤ x ≤ ( a + b)
→ M ( x)
= F ⋅ x − q ⋅ + F ⋅ ( x − 5)
A
( III )( a + b)
≤ x ≤ ( a + b + c)
→ M ( x)
= F ⋅ x − q ⋅ + F ⋅ ( x − 5)
( IV )( a + b + c)
≤ x ≤ ( a + b + c + d ) → M ( x)
= F ⋅ x − q ⋅ + F ⋅ ( x − 5)
2
x
2
A
C
A
2
x
2
C
2
x
2
C
+ q ⋅
( x − 7)
2
2
+ q ⋅
Iz diferencijalne jednadžbe elasti�ne linije nosa�a slijedi za moment savijanja :
2
d w
EI = −M
2
dx
2
d w
EI = −F
2
dx
2
d w
2
dx
( I )
( x)
2
x
⋅ x + q ⋅
2
2
x
2
( II ) EI = −F
⋅ x + q ⋅ − F ⋅ ( x − 5)
2
d w
2
dx
2
x
2
( III ) EI = −F
⋅ x + q ⋅ − F ⋅ ( x − 5)
2
d w
2
dx
A
A
A
2
x
2
( IV ) EI = −F
⋅ x + q ⋅ − F ⋅ ( x − 5)
Za kut zaokreta :
2 3
dw x x
( I ) EI = −FA
⋅ + q ⋅ + C
dx 2 6
( II )
( III )
( IV )
( II )
( III )
( IV )
A
2 3
dw x x
EI = −FA
⋅ + q ⋅ − FC
⋅
dx 2 6
2 3
dw x x
EI = −FA
⋅ + q ⋅ − FC
⋅
dx 2 6
2 3
dw x x
EI = −FA
⋅ + q ⋅ − FC
⋅
dx 2 6
Za progib nosa�� :
3 4
x x
( I ) EIw =
−FA
⋅ + q ⋅ + C1
⋅ x + D
6 24
3 4
x x
EIw = −FA
⋅ + q ⋅ − FC
⋅
6 24
3 4
x x
EIw = −FA
⋅ + q ⋅ − FC
⋅
6 24
3 4
x x
EIw = −FA
⋅ + q ⋅ − FC
⋅
6 24
1
C
C
C
( x − 5)
2
− q ⋅
− q ⋅
2
( x − 7)
2
( x − 7)
2
2 ( x − 5)
( x − 7)
2
2
2
2
+ P ⋅
( x − 8)
2
3
( x − 5)
( x − 7)
( x − 8)
1
2
( x − 5)
6
3
+ C
− q ⋅
− q ⋅
6
6
3 ( x − 5)
( x − 7)
6
2
3
+ C
3
+ P ⋅
3
4
( x − 5)
( x − 7)
( x − 8)
6
+ C
− q ⋅
− q ⋅
⋅ x + D
24
24
2
4
+ C
3
+ P ⋅
6
2
⋅ x + D
3
3
2
+ C
+ C
4
4
⋅ x + D
( x − 7)
4
2
2
− P ⋅
( x − 8)
71

Uvjeti kompatibilnosti deformacija :
ϕ
ϕ
w
w
w
( I ) ( II ) ( a)
= ϕ ( a)
→ C
( III ) ( IV ) ( a + b + c)
= ϕ ( a + b + c)
( I ) ( II ) ( a)
= w ( a)
→ D = D
1
1
= C
2
2
( II ) ( III ) ( a + b)
= w ( a + b)
→ C ⋅ 7 + D = C ⋅ 7 + D K(
1)
2
→ C
( III ) ( IV ) ( a + b + c)
= w ( a + b + c)
→ C3
⋅8
+ D3
= C4
⋅8
+ D4
→ D3
= D4
Rubni uvjeti :
w
w
w
( 0)
( I ) ( a)
= w ( x = 5)
( IV ) ( l)
= w ( x = 9)
3
2
= C
+ 9 ⋅C
4 + D4
= 0K(
2)
( 1)
⇒ −6,
25⋅
7 + 0 = C4
⋅ 7 + D4
→ D4
= −43,
75 − 7 ⋅C
4 K(
3)
( 3)
→ ( 2)
⇒ C = −229,
58 = C
502,
917
D
4
= 0 → D
= 1563,
31 = D
Progib u to�ki E :
w
w
w
E
E
E
= w
1
4
= 0 → D
3
2
= D
1
= 0
3
4
9 9
= 0 → −11⋅
+ 10 ⋅ − 84 ⋅
6 24
3
4
3
3 4
5 5
= 0 → −11
+ 10 + C1
⋅5
= 0 → C1
= −6,
25 = C
6 24
( III ) ( IV ) ( x = 8)
= w ( x = 8)
3
10
=
8⋅10
6
3
4
⎡ 8 8
⎢−11⋅
+ 10 ⋅ − 84 ⋅
⎣ 6 24
−3
= 14,
53⋅10
m = 14,
53mm
Kut zaokreta u to�ki F :
ϕ
= ϕ
ϕ
ϕ
F
F
F
( IV ) ( x = 9)
3
10
=
8 ⋅10
=
6
−15,
05 ⋅10
1
=
EI
y
⎡
⎢−
F
⎣
2
3
⎡ 9 9
⎢−11⋅
+ 10 ⋅ − 84 ⋅
⎣ 2 6
−3
rad = −0,
01505rad
A
3
3
4
( 9 − 5)
( 9 − 7)
( 9 − 8)
6
3 ( 8 − 5)
( 8 − 7)
6
−10
⋅
24
−10
⋅
3 4
1 ⎡ x x
= ⎢−
FA
⋅ + q ⋅ − FC
⋅
EI y ⎣ 6 24
2
3
x x
⋅ + q ⋅ − FC
⋅
2 6
4
−
24
2
+ 50 ⋅
6
3 ( x − 5)
( x − 7)
6
− q ⋅
24
⎤
229,
58⋅
8 + 1563,
31⎥
⎦
2
3
( x − 5)
( x − 7)
( x − 8)
− q ⋅
2
3
( 9 − 5)
( 9 − 7)
( 9 − 8)
2
−10
⋅
2
6
+ 50 ⋅
6
2
+ P ⋅
2
2
3
4
2
⎤
− 229,
58⎥
⎦
+ C
4
⋅9
+ D
⎤
+ C3
⋅ x + D3
⎥
⎦
⎤
+ C4
⎥
⎦
4
= 0
72

73
Kut zaokreta u to�ki D :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
rad
rad
rad
rad
C
x
q
x
F
x
q
x
F
EI
C
x
F
x
q
x
F
EI
x
x
D
d
D
d
D
l
D
l
D
C
A
y
d
D
C
A
y
l
D
III
II
d
D
l
D
D
00406
,
0
01193
,
0
01599
,
0
01193
,
0
10
93
,
11
58
,
229
6
7
7
10
2
5
7
84
6
7
10
2
7
11
10
8
10
01599
,
0
10
99
,
15
25
,
6
2
5
7
84
6
7
10
2
7
11
10
8
10
6
7
2
5
6
2
1
2
5
6
2
1
7
7
3
3
2
3
2
6
3
3
2
3
2
6
3
3
3
2
3
2
2
2
3
2
=
−
=
−
=
⋅
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
=
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
⋅
−
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
=
=
+
=
=
+
=
−
−
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

74
47. Zadatak
Odrediti to�����������������������������������������������������������������������������
m
cm
a
m
l
kN
F
2
,
0
20
5
10
=
=
=
=
( )
4
2
2
'
4
2
2
3
2
2
3
'
4
2
2
3
2
2
3
'
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
6
5
6
7
2
3
2
0
6
5
2
6
7
2
0
12
11
6
5
2
12
2
6
5
2
12
12
11
6
7
2
3
2
12
2
6
7
2
12
6
7
3
2
3
2
2
6
5
3
2
2
3
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
I
a
a
a
a
a
a
z
a
a
a
a
a
a
y
a
a
a
a
A
yz
z
y
T
T
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+
⋅
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
+
⋅
=
=
⋅
+
⋅
=
=
⋅
+
⋅
=
=
+
⋅
=
Glavne osi momenata površine drugog reda :
( ) ( ) ( )
0
12
7
3
1
12
11
4
5
3
1
12
11
3
1
12
11
3
1
2
2
1
12
11
2
2
1
4
2
1
2
1
45
90
2
0
3
1
2
12
11
12
11
3
1
2
2
2
4
4
2
4
4
1
4
4
4
2
'
2
'
'
'
'
2
,
1
4
4
4
4
'
'
'
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
=
⋅
±
⋅
⋅
=
+
−
±
+
=
°
=
→
°
=
→
∞
=
⋅
−
=
−
⋅
−
=
−
−
=
yz
z
y
yz
z
y
z
y
z
y
yz
I
I
a
a
I
I
a
a
I
a
a
a
I
I
I
I
I
I
a
a
a
a
I
I
I
tg α
α
α

75
Položaj neutralne osi :
°
−
=
→
−
=
−
=
°
−
=
−
= 65
14286
,
2
7
15
45
12
7
4
5
4
4
ϕ
α
ϕ tg
a
a
tg
I
I
tg
z
y
Ekstremna naprezanja su u to�kama B i D :
MPa
a
Fl
a
Fl
a
a
a
a
Fl
y
I
z
I
M
MPa
a
Fl
a
Fl
a
a
a
a
Fl
y
I
z
I
M
D
D
z
D
y
D
B
B
z
B
y
B
78
,
6
2
,
0
5
10
10
35
38
35
38
7
2
5
4
12
7
6
2
4
5
2
2
2
45
sin
45
cos
21
,
3
2
,
0
5
10
10
35
18
35
18
7
2
5
4
12
7
6
2
4
5
2
2
2
45
sin
45
cos
3
3
3
3
4
4
3
3
3
3
4
4
=
⋅
⋅
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ °
+
°
=
−
=
⋅
⋅
−
=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ °
+
°
=
σ
σ
σ
σ
a
a
a
a
a
y
a
a
a
a
a
z
a
a
a
a
a
y
a
a
a
a
a
z
D
D
B
B
6
2
2
2
6
5
2
2
6
7
45
sin
6
5
45
cos
6
7
2
2
2
6
7
2
2
6
5
45
sin
6
7
45
cos
6
5
6
2
2
2
6
7
2
2
6
5
45
sin
6
7
45
cos
6
5
2
2
2
6
5
2
2
6
7
45
sin
6
5
45
cos
6
7
=
−
=
°
−
°
=
=
+
=
°
+
°
=
=
+
−
=
°
−
−
°
−
=
−
=
−
+
−
=
°
−
+
°
−
=

48. Zadatak
Za zadani tankostijeni presjek prikazan na slici potrebno je odrediti središte posmika u odnosu
na to�ku A.
x =
35 ⋅sin
25°
= 14,
8mm
76

77
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
T
T
y
y
I
T
dy
t
y
t
I
T
T
mm
S
t
y
t
I
T
S
S
t
I
T
b
I
S
T
T
T
z
z
I
t
T
dz
z
z
I
t
T
dz
t
z
z
I
T
T
z
z
I
T
z
t
z
t
I
T
b
I
S
T
mm
I
I
y
y
y
y
y
y
y
y
y
xy
y
y
y
y
y
y
y
xz
y
y
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⋅
⋅
+
⋅
=
=
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
=
+
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⋅
=
⋅
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
+
⋅
=
∫
∫
∫
184
,
0
2
149
5
,
1672
149
5
,
1672
5
,
1672
2
/
15
8
,
14
15
5
8
,
29
5
,
1672
0324
,
0
6
2
8
,
14
2
8
,
14
2
8
,
14
2
8
,
14
2
8
,
14
10
4364
,
3
2
8
,
14
8
,
14
5
12
8
,
14
5
8
,
29
5
20
12
5
20
5
,
7
8
,
29
15
5
12
15
5
2
2
2
20
0
2
2
2
2
20
0
2
2
3
1
2
2
1
2
2
1
15
0
3
1
2
1
15
0
1
2
1
1
1
2
1
1
15
0
1
2
1
1
1
1
1
1
4
5
2
3
2
3
2
3
τ
τ
( )
( ) ( )
mm
e
T
T
T
e
T
T
T
T
e
T
T
T
z
z
z
I
T
dz
t
z
z
t
I
T
T
mm
S
z
z
t
I
T
z
t
z
t
I
T
S
S
S
t
I
T
b
I
S
T
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
xz
16
,
1
244
,
0
2
72
,
31
184
,
0
6
,
59
0324
,
0
44
,
103
25
cos
35
2
8
,
29
2
25
cos
35
20
2
244
,
0
6
5
2
149
5
,
4652
2
5
149
5
,
4652
2980
8
,
29
20
5
2
5
149
5
,
4652
2
8
,
29
2980
5
,
1672
3
2
1
3
15
0
3
3
2
3
3
3
2
3
3
15
0
3
3
2
2
3
3
3
3
3
2
1
3
3
−
=
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
=
⋅
°
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
°
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
⋅
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⋅
=
=
⋅
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⋅
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
+
+
⋅
=
+
+
⋅
=
⋅
⋅
=
∫
τ

49. Zadatak
Za zadani nosa� i optere�enje odrediti mjerodavan koeficijent sigurnosti prema teoriji najve�ih
normalnih naprezanja u to�kama 1 i 2 presjeka I-I ako je zadano kriti�no naprezanje materijala
�K.
P = 30kN
H = 25kN
q = 15kN
/ m
σ
ΣF
R
ΣM
1 1,
5
− q ⋅1⋅
+ q ⋅
2 2
ΣF
= 0 :
R
x
Ax
Ay
y
− H = 0 ⇒ R
A
=
0 :
=
+ R
0 :
B
Presjek I – I :
N = −25kN
T = −18,
125kN
2
Ax
M = 27,
1875kNm
I
I
= H = 25kN
+ P ⋅1,
5 − R ⋅3
= 0 ⇒ R
− q ⋅ 2,
5 − P = 0 ⇒ R
3
70 ⋅10
= + 70 ⋅10
⋅
12
6 4
= 5,
83⋅10
mm
B
Ay
B
= 49,
375kN
10 ⋅100
12
3
= 18,
125kN
10 ⋅ 70 ⋅5
+ 10 ⋅100
⋅ 60 + 20 ⋅ 40 ⋅120
159500
yT
=
= ⇒ y
10 ⋅ 70 + 10 ⋅100
+ 20 ⋅ 40 2500
2
A = 2500mm
S
y
y
W
K
y max
y max
= 320MPa
=
z
I
y
max
= 40 ⋅ 20 ⋅
5,
83⋅10
=
66,
2
T
= 63,
8mm
40 ⋅ 20
12
2
2
( 63,
8 − 5)
+ + 10 ⋅100
⋅ ( 63,
8 − 60)
+ + 40 ⋅ 20 ⋅ ( 66,
2 −10)
6
⇒ W
y max
3
= 88,
1⋅10
mm
3 3
( 66,
2 −10)
+ ( 66,
2 − 20)
⋅10
⋅ ⇒ S = 55,
6 ⋅10
mm
3
66,
2 − 20
2
y
y max
T
40
2
1
30 10 30
70 mm
z
3
20
100
10
130
2
78

79
To�ka 1 :
MPa
mm
N
b
I
S
T
MPa
mm
N
A
N
xz
y
y
xz
x
x
29
,
17
29
,
17
10
10
83
,
5
10
6
,
55
10
125
,
18
10
10
2500
10
25
1
2
6
3
3
max
1
1
2
3
1
=
⇒
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
−
=
⇒
−
=
⋅
−
=
=
τ
τ
σ
σ
To�ka 2 :
0
0
0
40
10
83
,
5
0
10
125
,
18
6
,
318
6
,
318
10
6
,
308
2500
10
25
10
1
,
88
10
1875
,
27
2
2
6
3
2
2
2
2
3
3
6
2
=
=
⇒
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
−
=
⇒
−
=
−
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
−
=
+
=
y
xz
y
y
xz
x
y
x
S
b
I
S
T
MPa
mm
N
A
N
W
M
τ
τ
σ
σ
Provjera po teoriji najve�ih normalnih naprezanja (1. teorija �vrsto�e) :
To�ka 1 :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
6
,
24
13
320
00
,
13
29
,
17
4
10
5
,
0
10
5
,
0
4
5
,
0
5
,
0
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
=
⇒
=
=
=
⇒
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
k
k
MPa
ek
K
ek
ek
xz
x
x
ek
σ
σ
σ
σ
τ
σ
σ
σ
To�ka 2 :
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
,
1
6
,
318
320
6
,
318
0
4
6
,
318
5
,
0
6
,
318
5
,
0
4
5
,
0
5
,
0
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
=
⇒
=
=
−
=
=
⇒
⋅
+
−
⋅
+
−
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
k
k
MPa
ek
K
x
ek
ek
xz
x
x
ek
σ
σ
σ
σ
σ
τ
σ
σ
σ

z
q
C A
D
1,0 m 1,5 m
1,5 m
-25
34,375
-
-15
-
-7,5
+
4,0 m
-18,125
P
I
I
11,875
+ +
27,1875
B
- D(N)
-
D(T)
D(M)
H
x
80