Cae prednaska 5 geometria hmot a dynamika telesa

CAE mechatronických 

systémov a sústav 

Vladimír Goga 

Katedra mechaniky 

1

Geometria hmôt, dynamika 

telesa 

Prednáška 5. 

2

1. Geometria hmôt 

2. Dynamika telesa 

Obsah prednášky 

3


• dynamika tuhého telesa považuje teleso za 

dokonale tuhé 

• platia tu všetky vzťahy odvodené pre SHB, 

pričom vzájomná poloha bodov sa nemení 

• pri riešení pohybu tuhého telesa je potrebné 

poznať rozloženie hmoty v priestore a vhodne 

toto rozloženie charakterizovať 

4


• dynamika tuhého telesa považuje teleso za 

dokonale tuhé 

• platia tu všetky vzťahy odvodené pre SHB, 

pričom vzájomná poloha bodov sa nemení 

• pri riešení pohybu tuhého telesa je potrebné 

poznať rozloženie hmoty v priestore a vhodne 

toto rozloženie charakterizovať 

Týmito vlastnosťami tuhých telies sa 

zaoberá geometria hmôt 

5

• ťažisko 


• momenty zotrvačnosti 

• deviačné momenty 

• maticové vyjadrenie 

6

1.1 Ťažisko 

• v technických prípadoch sú rozmery útvarov 

zanedbateľne malé oproti rozmerom Zeme 

• pole tiažového zrýchlenia potom môžeme 

považovať v rozsahu objemu útvaru za 

homogénne a tiažové sily jednotlivých 

hmotných elementov tvoria sústavu 

rovnobežných síl 

• takejto silovej sústave prislúcha stredisko 

sústavy rovnobežných síl, označované ako 

ťažisko, stred hmotnosti (hmoty), hmotný stred 

a pod. 

7

1.1 Ťažisko 

• týmto bodom prechádza výsledná tiažová sila 

útvaru pri jeho akejkoľvek orientácii v poli 

tiažového zrýchlenia 

• ťažisko je moment prvého stupňa, tiež 

nazývaný statický moment hmoty 

• je definovaný ako súčin hmoty elementu a 

vzdialenosti od vzťažného bodu, osi alebo 

roviny, pričom je integrovaný cez celú hmotu 


8

1.1 Ťažisko 

• je tu priama so stredom hmotnosti rs 

SHB 

9

1.1 Ťažisko 

• je tu priama so stredom hmotnosti SHB 

mirirsm r 

s 

10

1.1 Ťažisko 


r 

mirirsm m mi 

s 

11

1.1 Ťažisko 


mirirsm m mi 

teleso 

mi dm 

r 

s 

12

1.1 Ťažisko 


mirirsm m mi 

teleso 

mi dm 

r 

s 

13

1.1 Ťažisko 


mirirsm m mi 

m 

teleso 

mi dm 

rdmrm s 

r 

s 

14

1.1 Ťažisko 


mirirsm m mi 

teleso 

mi dm 

r 

poloha 

stredu 

rdmrsm rT rs 

m 

s 

poloha 

ťažiska 


hmotnosti 

SHB 

15

1.1 Ťažisko 


mirirsm m mi 

teleso 

mi dm 

rdmrsm rT rs 

m 

m 

rdmr m 

T 

r 

s 

poloha 

ťažiska 


poloha 

stredu 


SHB 

16

• poloha ťažiska 

m 

1.1 Ťažisko 

rdmr m 

T 

17

• poloha ťažiska 

m 

1.1 Ťažisko 

rdmr m 

T 

x 

y 

z 

T 

T 

T 

m 

m 

m 

xdm 

m 

ydm 

m 

zdm 

m 

18

1.2 Momenty zotrvačnosti 

• momenty zotrvačnosti telesa k (osi, rovine, 

bodu) nazývame súčin jeho hmotnosti a 

štvorca jeho vzdialenosti od tejto (osi, roviny, 

bodu) a označujeme ho I s vhodným indexom, 

resp. indexmi 

• nazývame ich (osový, rovinný, polárny) 

moment zotrvačnosti 

• predstavujú hmotné momenty druhého stupňa 

19


• vo všeobecnosti rozlišujeme momenty 

zotrvačnosti telesa: 

– k bodu: 

– k osi: 

– k rovine: 

20


• momenty zotrvačnosti telesa k bodu 

I0 2 

x 

2 

y 

2 

z dm 

m 

21


• momenty zotrvačnosti telesa k osi 

– os x 2 2 

x 

m 

I y z dm 

22



– os y 2 2 

y 

m 

I x z dm 

23



– os z 2 2 

z 

m 

I x y dm 

24


• momenty zotrvačnosti telesa k rovine 

– rovina xy 2 

I z dm 

xy 

m 

25



– rovina xz 2 

I y dm 

zx 

m 

26



– rovina xz 2 

I x dm 

yz 

m 

27


• vzájomná väzba medzi jednotlivými typmi 

momentov zotrvačnosti 

– momenty zotrvačnosti k osi vyjadrené pomocou 

momentov zotrvačnosti k rovinám 

os x 

28






os x 

Ix 2 

y 

2 

z dm 

m 

29






os x 

Ix 2 

y 

2 

z dm 

m 

Ix Izx Ixy 

30






os y 

I y 

2 

x 

2 

z dm 

m 

I y I yz I 

xy 

31






os z 

Iz 2 

x 

2 

y dm 

m 

Iz I yz Izx 

32




– momenty zotrvačnosti k bodu vyjadrené pomocou 


alebo 

bod 0 

I0 2 

x 

2 

y 

2 

z dm 

m 

I0 I yz Izx Ixy 

1 

I0 I I I 

2 

x y z 

33

1.3 Deviačné momenty 

• takisto patria medzi tzv. momenty druhého 

stupňa 

• sú ale viazané na dve vzájomne kolmé 

súradnice 

34


• deviačný moment 

Dxy 

D xydm 

xy 

m 

35



Dzx 

D zxdm 

zx 

m 

36



Dxy 

D xydm 

xy 

m 

37


• deviačný moment na rozdiel od momentov 

zotrvačnosti, môžu nadobúdať kladné aj 

záporné hodnoty 

38


• ak sú deviačné momenty k osiam x,y,z nulové, sú 

osi x,y,z tzv. hlavné osi zotrvačnosti a momenty k 

nim sú hlavné momenty zotrvačnosti (nadobúdajú 

extrémne hodnoty) 

– ak tieto osi prechádzajú ťažiskom sústavy, 

nazývame ich hlavné centrálne momenty 

zotrvačnosti 

– využitie hlavných osí zotrvačnosti podstatne 

uľahčuje analýzu rotačného a sférického pohybu 

39

1.4 Maticové vyjadrenie 

• momenty zotrvačnosti spolu s deviačnými 

momentmi popisujú rozloženie hmoty v 

priestore – predstavujú tenzorovú veličinu I 

• I môžeme obecne zapísať v maticovom tvare 

40




priestore – predstavujú tenzorovú veličinu I, 

ktorú nazývame tenzor zotrvačnosti 


41







I 

I D D 

x xy xz 

D I D 

yx y yz 

D D I 

zx zy z 

42







I je symetrický tenzor druhého rádu 

I 

I D D 

x xy xz 

D I D 

yx y yz 

D D I 

zx zy z 

43







I 

I D D 

x xy xz 

D I D 

yx y yz 

D D I 

zx zy z 

I je symetrický tenzor druhého rádu DxyDyxatď. 44

1.5 Moment zotrvačnosti pri zmene 

súradnicového systému 

• transformácia pri posunutí súradnicového 

systému 

• transformácia pri vzájomnom pootočení 

súradnicových systémov 

45

1.5.1 Transformácia pri posunutí 


• nech je definovaný súradnicový systém , 

ktorý je umiestnený v ťažisku S 

46





pre takto definovaný systém poznáme 

momenty zotrvačnosti aj deviačné momenty, 

čo môže byť vyjadrené maticovo 

47








I 

I D D 

D I D 

D D I 

48



• ako budú vyzerať momenty zotrvačnosti a deviačné 

momenty k súradnicovému systému 

xyz, ktorý je posunutý od pôvodného o 

hodnoty x s,y s,z s? 

49



• obecne platí napr.: x 

2 2 

m 

I y z dm 

D xydm 

xy 

m 

50




2 2 

m 

I y z dm 

D xydm 

xy 

m 

51




2 2 

m 

I y z dm 

D xydm 

xy 

m 

x x 

y y 

z z 

S 

S 

S 

52




2 2 

m 

I y z dm 

D xydm 

xy 

m 

2 2 

Ix yS zS m I 

x x 

y y 

z z 

S 

S 

S 

53




2 2 

m 

I y z dm 

D xydm 

xy 

m 

x x 

y y 

z z 

2 

I y z m I I I e m 

2 2 

x S S 

x 

S 

S 

S 

54




2 2 

m 

I y z dm 

D xydm 

xy 

m 

x x 

y y 

z z 

2 


2 2 

x S S 

kolmá vzdialenosť medzi osami x a 

x 

S 

S 

S 

55




2 2 

m 

I y z dm 

D xydm 

xy 

2 2 

x S S 

m 

x x 

y y 

z z 

2 


predstavuje Steinerovu vetu: moment zotrvačnosti telesa 

k osi (napr. x) je rovný súčtu jeho momentu k 

rovnobežnej osi prechádzajúcej stredom hmotnosti 56a 

súčinu hmotnosti telesa a štvorca vzdialenosti oboch osí 

x 

S 

S 

S




2 2 

m 

I y z dm 

D xydm 

xy 

m 

Dxy D xS ySm x x 

y y 

z z 

S 

S 

S 

57



• obdobne to platí aj pre ostatné osi 

I 

2 

y 

2 

z m I 

x S S 

I x z m I 

2 2 

y S S 

I x y m I 

2 2 

z S S 

D D x y m 

xy S S 

D D x z m 

xz S S 

D D y z m 

yz S S 

58

1.5.2 Transformácia pri vzájomnom 

pootočení súradnicových systémov 



59








60








I 

I D D 

D I D 

D D I 

61



• ako budú vyzerať momenty zotrvačnosti a deviačné 

momenty k súradnicovému systému 

xyz, ktorý je pootočený od pôvodného? 

62



I 

• keďže je tenzorová veličina, platia pre jej 

transformáciu výrazy pre transformáciu 

tenzora druhého rádu 

63



I 




T 

I xyz T I T 

64



I 




T 

I xyz T I T 

T je transformačná matica 

zložená zo smerových 

kosínusov oboch systémov 

65



I 




T 

I xyz T I T 

cos cos cos 

x y z 

T e , e , e 

cos cos cos 

x y z x y z 

cos cos cos 

x y z 

66



I 




T 

I xyz T I T 

I D D cos cos cos I D D cos cos cos 

x xy xz x x x x y z 

D I D cos cos cos D I D cos cos cos 

yx y yz y y y x y z 

D D I cos cos cos D D I 

cos cos cos 

zx zy z z z z x y z 

67

I 



I 




e I e 

x 

T 

x x 

T 

I xyz T I T 

I I I I D D 

2 2 2 

x cos x cos x cos x 2 cos x cos x 2 cos x cos x 

2D cos cos 

x x 

napríklad I 

x 

68

1.6 Hlavné osi zotrvačnosti 

• nech os o prechádza ľubovoľným počiatkom 0 

súradnicového systému xyz, s ktorým zviera 

uhly 

69




uhly 

moment zotrvačnosti k osi o má tvar 

70




uhly 


I I cos I cos I cos 

2 2 2 

o x y z 

2D cos cos 2D cos cos 

xy yz 

2D cos cos 

zx 

71




uhly 


I I cos I cos I cos 

2 2 2 

o x y z 


xy yz 

2D cos cos 

zx 

veľkosť moment zotrvačnosti k osi o závisí na polohe 

tejto osi, t.j. na smerových kosínusoch 

72


I I I I D 

2 2 2 

o x cos y cos z cos 2 xy cos cos 


yz zx 

73


I I I I D 

2 2 2 



yz zx 

1 o I 

ak vynesieme na rôzne orientované osi o úsečky o dĺžke s počiatkom 

v bode 0, potom koncové body budú mať súradnice v závislosti na smerových 

kosínusoch 

74


I I I I D 

2 2 2 



yz zx 

1 o I 



kosínusoch 

x cos I 

y cos I 

z cos I 

o 

o 

o 

75


I I I I D 

2 2 2 



yz zx 

1 o I 



kosínusoch 

x cos Iopo 

dosadení do výrazu za Io 

dostávame tzv. elipsoid 

y cos I 

zotrvačnosti so stredom v bode 0 

z cos I 

o 

o 

76


I I I I D 

2 2 2 



yz zx 

1 o I 



kosínusoch 

x cos Iopo 

dosadení do výrazu za Io 

dostávame tzv. elipsoid 

y cos I 

zotrvačnosti so stredom v bode 0 

z cos I 

o 

o 

2 2 2 

I xx I y y I zz 2Dxy xy 2Dyz yz 2Dzxxz 1 

77


2 2 2 


78


2 2 2 


elipsoid zotrvačnosti má z množiny osí prechádzajúcich bodom 0 obecne tri 

navzájom kolmé os, pri ktorých 

D D D 

xy yz zx 

0 

79


2 2 2 




D D D 

xy yz zx 

tieto osi sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti telesa a nadobúdajú extrémne 

hodnoty 

0 

80


2 2 2 




D D D 

xy yz zx 

tieto osi sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti telesa a nadobúdajú extrémne 

hodnoty 

ak bod 0 je stotožnený so stredom ťažiska, potom tieto osi sa nazývajú hlavné 

centrálne osi zotrvačnosti telesa 

0 

81


2 2 2 


82


2 2 2 


pre každý bod telesa alebo bod pevne zviazaný s telesom existuje elipsoid 

zotrvačnosti s troma navzájom kolmými hlavnými osami zotrvačnosti 

83


2 2 2 


pre každý bod telesa alebo bod pevne zviazaný s telesom existuje elipsoid 

zotrvačnosti s troma navzájom kolmými hlavnými osami zotrvačnosti 

využitie hlavných osí zotrvačnosti podstatne uľahčuje analýzu rotačného a 

sférického pohybu telesa 

84


• dynamika tuhého telesa sa zaoberá úlohou, 

ako určiť pohyb tuhého telesa z daného 

počiatočného stavu, keď na teleso pôsobia 

známe sily, resp. naopak, určiť pôsobiace sily, 

z daného pohybu a priebehu rýchlostí 

85


• dokonale tuhé teleso je možné považovať za 

sústavu nekonečného počtu hmotných bodov 

(SHB), ktoré sú viazané tak, že sa ich 

vzájomná konfigurácia nemení 

• z hľadiska dynamiky je významné rozloženie 

hmotnosti v priestore telesa, charakterizované 

celkovou hmotnosťou telesa m, polohou 

ťažiska – vektor r T (alebo r s), a parametrami 

zotrvačnosti – tenzor zotrvačnosti I 

86


• keďže sa na teleso môžeme pozerať ako na 

SHB, je možné pri vyšetrovaní dynamiky 

telesa využiť vety, ktoré platia pre SHB 

• jednotlivé hmoty m i sú potom nahradené 

elementmi hmôt dm a sumy prechádzajú do 

integrálov 

• pri SHB sa objavovali aj interné sily, ich práca 

pri dokonale tuhom telese je rovná nule, takže 

sa v pohybových rovniciach nevyskytujú 

87


• keďže tu platia všetky rovnice SHB, ktoré sú 

upravené, je jednoduchšie najskôr zadefinovať 

rovnice pre obecný pohyb a potom pre 

jednotlivé typy pohybov dané rovnice len 

zjednodušovať 

88


• najobecnejší prípad pohybu telesa je 

priestorový pohyb 

• všetky ostatné druhy pohybu (posuvný, 

rotačný, sférický, obecný rovinný a skrutkový) 

sú jeho zvláštne prípady 

89


skúmané teleso, ktoré vykonáva obecný 

pohyb 

základný nepohyblivý SS 

90


stred hmotnosti (ťažisko) telesa S 

polohový vektor stredu hmotnosti 

(ťažisko) telesa S 

91


SS pevne spojený s telesom a 

umiestnený v bode S 

92


pohyb telesa je opísaný: 

posuvným pohybom ťažiska – jeho 

rýchlosťou a zrýchlením 

93


pohyb telesa je opísaný: 

relatívnym rotačným alebo sférickým 

pohybom telesa okolo ťažiska S – jeho 

uhlovou rýchlosťou a uhlovým 

zrýchlením 

94


vonkajšie sily, ktoré pôsobia na skúmané 

teleso 

95


pre dynamiku SHB platili dve základné 

vety, ktoré sa využívajú aj v dynamike 

telies: 

96




telies: 

•veta o pohybe stredu hmotnosti 

97




telies: 


mas Fi 

i 

98




telies: 


zrýchlenie stredu 


mas Fi 

i 

suma všetkých 

pôsobiacich síl 

99




telies: 


zrýchlenie stredu 


mas Fi 

i 

suma všetkých 

pôsobiacich síl 

rovnica je identická s pohybovou rovnicou hmotného bodu, 

do ktorého je sústredená celá hmotnosť a posunuté 

vonkajšie sily 

100




telies: 

•veta o zmene momentu hybnosti 

101




telies: 


dL 

dt 

0 

i 

M 

i0 

102


časová zmena momentu 

hybnosti telesa k 

nepohyblivému bodu 0 



telies: 


dL 

dt 

0 

i 

M 

i0 

suma momentov 

vonkajších síl k tomu 

istému bodu 0 

103


úprava časovej derivácie momentu 

hybnosti 

dL 

dt 

0 

i 

M 

i0 

104



hybnosti 

dL 

dt 

0 

i 

M po zderivovaní a prepísaní 

i0 

do súradníc telesa, t.j. 

v prípade že predstavujú 

hlavné centrálne 

osi zotrvačnosti 

105



hybnosti 

dL 

dt 

0 

i 

M po zderivovaní a prepísaní 

i0 

do súradníc telesa, t.j. 

v prípade že predstavujú 

hlavné centrálne 

osi zotrvačnosti 

d 

I I I M 

dt 

i 

d 

I I I Mi 

dt 

i 

d 

I I I M i 

dt 

i 

i 

106



hybnosti 

d 

I I I M 

dt 

i 

d 

I I I Mi 

dt 

i 

d 

I I I M i 

dt 

nazývajú sa Eulerove pohybové rovnice 

i 

107 

i


pohybové rovnice obecného pohybu 

108



mas Fi 

i 

vektorová rovnica 

posuvného pohybu, môžu 

byť vyjadrené v SS telesa 

109


zložkové rovnice sférického pohybu v SS telesa 


vektorová rovnica 

posuvného pohybu, môžu 

byť vyjadrené v SS telesa 

mas Fi 

I 

I 

I 

d 

dt 

d 

dt 

d 

dt 

i 

I 

I 

I 

I 

I 

I 

i 

i 

M 

M 

M 

i 

110 

i 

i 

i


kinetická energia 

1 

2 

Ek v dm 

2 m 

111



1 

2 

Ek v dm 

2 m 

v vS vr 

kinematika 

112



1 

2 

Ek v dm 

2 m 

v vS vr 

kinematika 

113



1 

2 

Ek v dm 

2 m 

v vS vr 

kinematika 

1 1 

E v m I 

2 2 

2 2 

k S S 

moment zotrvačnosti k okamžitej osi 

rotácie 

114

2.1 Posuvný pohyb telesa 

• všetky body telesa majú v danom okamihu 

rovnaké rýchlosti aj zrýchlenia 

• spojnice ľubovoľných dvoch bodov zostávajú v 

priebehu pohybu rovnobežné ( ) 

• tuhé teleso sa pohybuje posuvne tak, ako keby 

všetky vonkajšie sily pôsobili v ťažisku 

• pohybové rovnice sú takého tvaru, ako keby 

išlo o jediný hmotný bod 

0 

115


rovnaké rýchlosti v 

danom okamihu 

116


rovnaké zrýchlenia v 

danom okamihu 

117


spojnice zostávajú 

nezmenené 

118


hybnosť telesa 

p mv 

moment hybnosti telesa 

L 0 

S 

L r v 

0 S m 

pohybové rovnice 

ma F 

i 

r ma 

M 

S i 

i 

i 

0 

119



1 

2 

Ek v dm 

2 m 

pre obecný pohyb 

120



1 

2 

Ek v dm 

2 m 

1 

2 

2 

Ek v m 


posuvný pohyb 

121

2.2 Rotačný pohyb telesa 

• teleso koná rotačný pohyb, ak sú dva jeho 

body trvale v pokoji, ich spojnica je stála os 

rotácie 

• rýchlosti a zrýchlenia jednotlivých bodov telesa 

ležia v rovinách kolmých na os rotácie 

• jednotlivé body sa pohybujú po sústredených 

kružniciach 

122


SS pevne spojený s 

telesom 

pevný SS xyz 

os rotácie 

nech SS sú hlavné osi 

zotrvačnosti 

123



telesom 

pevný SS xyz 

os rotácie 


zotrvačnosti 

0 

124


d 

I I I M 

dt 

i 

d 

I I I Mi 

dt 

i 

d 

I I I M i 

dt 

0 

i 

i 

125


0 M i 

i 

0 M i 

I 

d 

dt 

i 

Mi 

i 

0 

126


0 M i 

i 

0 M i 

I 

d 

i 

M 

0 i0 

dt 

i 

0 

127


0 M i 

i 

0 M i 

I 

d 

i 

M 

0 i0 

dt 

i 

pohybová rovnica rotačného pohybu, platí aj 

pre prípad, keď nie sú hl. osi zotrvačnosti 

0 

128



1 

2 

Ek v dm 

2 m 


129



1 

2 

Ek v dm 

2 m 


v 

130



rotačný pohyb 

1 

2 

Ek v dm 

2 m 

1 

E I 

2 

k o 

2 


v 

moment zotrvačnosti k 

osi otáčania 

131

2.3 Sférický pohyb telesa 

• teleso koná sférický pohyb, ak jeden jeho bod 

je trvalo v kľude 

• tento bod sa nazýva stred sférického pohybu 

• ak telesu nie sú kladené iné väzby, potom má 

tri stupne voľnosti 

• trajektóriami bodov sú sférické krivky – t.j. 

krivky ležiace na guľových plochách so 

stredom v strede sférického pohybu 

132


okamžitá os rotácie 


zotrvačnosti 


telesom 

pevný SS xyz 

133


d 

I I I M 

dt 

i 

d 

I I I Mi 

dt 

i 

d 

I I I M i 

dt 

i 

i 

Eulerove pohybové rovnice 

134


d 

I I I M 

dt 

i 

d 

I I I Mi 

dt 

i 

d 

I I I M i 

dt 

�sinsin�cos �sincos �sin 

�cos � 

i 

i 

Eulerove pohybové rovnice 

Eulerove kinematické rovnice 

135


1 


2 

Ek v dm 

2 m 


136


1 



2 

Ek v dm v 

2 m 

137


1 


2 

Ek v dm 

2 m 

1 

E I 

2 

k o 

sférický pohyb 

2 


v 

moment zotrvačnosti k 

okamžitej osi otáčania 

138


• v technickej praxi majú veľký význam telesá, 

ktoré sú rotačne symetrické a vykonávajú 

sférický pohyb, pričom rotujú vysokou 

rýchlosťou okolo osy symetrie 

• takéto zotrvačníky sa nazývajú gyroskopy 

• zotrvačné účinky sa často nazývajú 

gyroskopické efekty 

• moment od zotrvačných síl sa nazýva 

gyroskopický moment 

139


• pri veľkých vlastných otáčkach môžeme pre 

gyroskopický moment písať: 

G 

M I � � 

0 

140




G 

M I � � 

0 

141




G 

M I � � 0 

moment 

zotrvačnosti k osi 

rotácii 

142




vektor ul. rýchlosti 

vl. rotácie 

G 

M I � � 0 

moment 

zotrvačnosti k osi 

rotácii 

vektor ul. rýchlosti 

precesie 

143


144

• využitie: 


– stabilizácia lodí, rakiet, ISS 

– určovanie polohy – kompas, umelý horizont 

– ... 

145

Cae prednaska 5 geometria hmot a dynamika telesa

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?