Gibanje elektronov v kovini , , .

Gibanje elektronov v kovini
o gibanje nabojev v vakuumu
v
m
= e E
dt
, (1a)
e
v = v0 + E t
m
.
(1b)
o gibanje nabojev v snovi
Naboji doživljajo trke, ki zavirajo njihovo gibanje ⇒ zaviralna sila
predpostavka:
F
zav
=− k v
, (2)
v
negativni
naboj
Newtonov zakon za gibanje točkastega naboja z maso m:
d v
m = e E − k v
dt
ali
d
v k e
+ v = E
. (3)
dt
m m
m
Definiramo τ = ,
(4)
k
ki ga imenujemo relaksacijski čas.

o Če izključimo električno polje (E = 0) velja:
dv v
+ = 0
dt
τ
(5)
Rešitev enačbe (5) je:
v = v e τ
− t
0
,
(6)
kjer je začetna vrednost hitrosti v (t = 0) = v 0.
Čas τ je približno enak času med dvema zaporednima trkoma. V času τ pade začetna
hitrost v
0
na vrednost v
0
e.
Vrednosti relaksacijskih časov τ :
SNOV τ [ s ]
kovine ~ 10 -14
razelektritve v plinih ~ 10 -9
sončna korona ~ 10 2
medzvezdni plin ~ 10 5
Delni zaključki:
1. če ne bi bilo trkov bi hitrost nabojev stalno naraščala (enačba (1b)),
2. če E = 0 pade hitrost eksponentno proti nič (enačba (6)).
SPLOŠNO: zanima nas časovno povprečje v stacionarnem stanju
• če ne bi bilo trkov bi hitrost nabojev v električnem polju stalno
naraščala
• zanima nas časovno povprečje v stacionarnem stanju:
dv
d t
v
+ τ
=
e
m
E
(7)
če velja a d v
~ = 0
dt
E ≡ E = konst.
(glejte sliko) in
iz enačbe (7) sledi:
v
eτ
= E . (8)
m

V nadaljevanju izračunamo gostoto električnega toka (j):
( Sdx)
j I 1 de
1 nedV
1 ne dx
= = = = = ne nev
S S dt
S dt
S dt
dt
=
posplošitev:
j = n e v , (9)
N
kjer je n = število gibljivih nosilcev naboja na enoto volumna snovi.
V
Iz enačbe (8) in (9) sledi:
eτ
j = ne E = σ E ,
(10)
m
kjer je
2
ne
τ
σ = specifična električna prevodnost. (11)
m
Za prevodne (gibljive) elektrone v kovini je
e =e
0
= 1.6⋅10
−19
As, torej:
j
= σ E Ohm-ov zakon (12)
2
ne0
τ
σ = , (13)
m e
kjer je
m
e
masa elektrona.

o Poseben primer: dolg valjast vodnik dolžine l s konstantno površino preseka (S):
l
I
x
V a
S
E
V b
b
b
b
U = Vb −Va
= −∫ E ⋅ dx
= + ∫ E ⋅ dx
= + E x|
= E =
a
a
a
( b − a) E l
kjer je V električni potencial in U električna napetost,
torej:
j
I
S
U
= σE
= σ ,
(14)
l
U
= σ . (15)
l
Enačbo (15) zapišemo v obliki:
U = I R , (16)
kjer je
R
1 l
= .
(17)
σ S
upor vodnika. Če definiramo
ρ = 1
(18)
σ
kot specifično prevodnost velja:
R
l
= ρ
S
. (19)

Temperaturna odvisnost ρ :
[ + ( T − )],
0
1 T0
ρ = ρ α
(20)
kjer je α temperaturni koeficient specifičnega upora.
MATERIAL [ Ω m]
ρ α [ K ]
−1
srebro 1.59 × 10 -8 3.8 × 10 -3
baker 1.7 × 10 -8 3.9 × 10 -3
zlato 2.44 × 10 -8 3.4 × 10 -3
aluminij 2.82 × 10 -8 3.9 × 10 -3
volfram 5.6 × 10 -8 4.5 × 10 -3
železo 10 × 10 -8 5.0 × 10 -3
platina 11 × 10 -8 3.92 × 10 -3
svinec 22 × 10 -8 3.9 × 10 -3
Padanje električnega toka v toplotno izolirani žici zaradi segrevanja
l
S
[ ],
0
1 T0
o R = ρ ⇒ R = R + α( T − )
R − R
R
0
0
= α ( T −T
),
0
dR
R
= α dT
. (21)
o Ohmov zakon
U
0
I =
R
,
⎛ 1 ⎞
I = U
0 ⎜ − ⎟ dR
⎝ R ⎠
. (22)
d
2
o
P d t = dQ
= c
p
mdT
⇒
P dt
d T = , kjer je P moč. (23)
m
c p

Enačbo (21) vstaviš v enačbo (22) in dobiš:
U
U
0 Pdt
I = −
0 Rα
dT
= − Rα
,
(24)
2
R
R c m
d 2
kjer smo upoštevali enačbo (23). Iz enačbe (24) pa sledi:
p
d I
d t
= −
U
0
α P
R c m
p
, (25)
kjer je m masa žice, c
p
pa specifična toplota pri konstantnem pritisku.
Električni tok v elektrolitih
Primer: K Cl → K + + Cl -
kation anion
+
E v
+
v −
+
≡ kation
≡ anion
z + ≡ število osnovnih nabojev kationa
z - ≡ število osnovnih nabojev aniona
Iz enačbe (8) sledi:
v+ = β
+
E , (26)
= z+
e0
τ
+
β
+
, (27)
m+
v = − β E , (28)
−
−

z
e
τ
− 0
β
−
m−
−
, (29)
kjer je β
+
gibljivost kationov, β
−
gibljivost anionov, m + masa kationov, m - pa masa
anionov. Velja:
( e ) n ,
j = z e n v z v
(30)
kjer je
+ 0 + +
+
−
−
0 − −
n = n n
+ =
−
število molekul elektrolita na volumsko enoto. Iz enačb (30), (26) in (28) sledi:
j
( z e n z e n ) E
= β
+ +
β
+
+
(31)
0 − 0 − −
Specifična prevodnost elektrolita ( σ ) je torej:
( z e n z e n )
σ = β + β
(32)
+ 0 + + − 0 − −