КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Контрольные и курсовые работы
на сайте www.referat-tver.ru
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВОЙ ПОЛИТИКИ И
ОБРАЗОВАНИЯ
ТВЕРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра математики
МАТЕМАТИКА
Задания для контрольных работ студентов-заочников инженерного
факультета и методические указания к
их решению. Часть I
Тверь – Сахарово 2007

Составитель: к.ф.-м.н., доцент кафедры математики Тверской
Государственной сельскохозяйственной академии Рятин А.Г., ассистент
Карпунина А.С.
Рецензент – зав. кафедрой ВТ и МАС, д.т.н., профессор Гриднев В.Р.
Методические указания одобрены на заседании кафедры математики
от _17.04.2007 г._, протокол № 8
Утверждены на заседании методической комиссии инженерного
факультета от 7.05.2007 протокол № 9
В работе составлены задания к трем контрольным работам для студентов-заочников
инженерного факультета по темам: векторная алгебра, аналитическая геометрия на
плоскости и в пространстве, дифференциальное и интегральное исчисления функции
одной переменной. Для каждого задания подробно решена типовая задача.
2

При выполнении контрольной работы студент выбирает тот вариант, который
совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя
цифра шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего
варианта даны в таблице 1, если эта цифра есть четное число (2, 4, 6, 8, 0), то номера
задач даны в таблице 2.
Таблица 1
Номер
варианта
Номера задач
Работа 1 Работа 2 Работа 3
1
1 21 41
61 81 101 121
141 161 181 201 221 241
2
2 22 42
62 82 102 122
142 162 182 202 222 242
3
3 23 43
63 83 103 123
143 163 183 203 223 243
4
4 24 44
64 84 104 124
144 164 184 204 224 244
5
5 25 45
65 85 105 125
145 165 185 205 225 245
6
6 26 46
66 86 106 126
146 166 186 206 226 246
7
7 27 47
67 87 107 127
147 167 187 207 227 247
8
8 28 48
68 88 108 128
148 168 188 208 228 248
9
9 29 49
69 89 109 129
149 169 189 209 229 249
10
10 30 50
70 90 110 130
150 170 190 210 230 250
Таблица 2
Номер
варианта
Номера задач
Работа 1 Работа 2 Работа 3
1
11 31 51
71 91 111 131
151 171 191 211 231 251
2
12 32 52
72 92 112 132
152 172 192 212 232 252
3
13 33 53
73 93 113 133
153 173 193 213 233 253
4
14 34 54
74 94 114 134
154 174 194 214 234 254
5
15 35 55
75 95 115 135
155 175 195 215 235 255
6
16 36 56
76 96 116 136
156 176 196 216 236 256
7
17 37 57
77 97 117 137
157 177 197 217 237 257
8
18 38 58
78 98 118 138
158 178 198 218 238 258
9
19 39 59
79 99 119 139
159 179 199 219 239 259
10
20 40 60
80 100 120 140
160 180 200 220 240 260
3

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
В ЗАДАЧАХ 1-20 решить заданную систему уравнений, пользуясь формулами
Крамера. Сделать проверку полученного решения.
1.
5x + 8y – z = - 7,
x + 2y + 3z = 1,
2x – 3y + 2z = 9.
2.
x + 2y + z = 4,
3x – 5y + 3z = 1,
2x + 7y – z = 8.
3.
3x + 2y + z = 5,
2x + 3y + z = 1,
2x + y + 3z = 11.
4.
x + 2y + 4z = 31,
5x + y + 2z = 29,
3x – y + z = 10.
5.
4x – 3y + 2z = 9,
2x + 5y – 3z = 4,
5x + 6y – 2z = 18.
6.
2x – y – z = 4,
3x + 4y – 2z = 11,
3x – 2y + 4z = 11.
7.
x + y + 2z = -1,
2x – y + 2z = -4,
4x + y + 4z = -2.
8.
3x – y = 5,
-2x + y + z = 0,
2x – y + 4z = 15.
9.
3x – y + z = 4,
2x – 5y – 3z = -17,
x + y – z = 0.
10.
x + y + z = 2,
2x – y – 6z = -1,
3x – 2y = 8.
11.
2x + y – z = 1,
x + y + z = 6,
3x – y + z = 4.
12.
2x – y – 3z = 3,
3x + 4y – 5z = 8,
2y + 7z = 17.
13.
x + 5y + z = -7,
2x – y – z = 0,
x – 2y – z = 2.
14.
x – 2y + 3z = 6,
2x + 3y – 4z = 16,
3x – 2y – 5z = 12.
4
15.
3x + 4y + 2z = 8,
2x – y – 3z = -1,
x + 5y + z = 0.
16.
2x – y + 3z = 7,
x + 3y – 2z = 0,
2y – z = 2.
17.
2x + y + 4z = 20,
2x – y – 3z = 3,
3x + 4y – 5z = -8.
18.
x – y = 4,
2x + 3y + z = 1,
2x + y + 3z = 11.
19.
x + 5y – z = 7,
2x – y – z = 4,
3x – 2y + 4z = 11.
20.
11x + 3y – z = 2,
2x + 5y – 5z = 0,
x + y + z = 2.
Решение типового примера.
Решить систему уравнений с помощью определителей (по формулам Крамера).
2x - 3y- 5z 1
3x
x - 2y
y - 2z
z
5
-4
Δx
Δy
Δz
Формула Крамера имеет вид: x ; y ; z , где Δ 0 – определитель
Δ Δ Δ
системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных а Δх, Δу, Δz – побочные
определители, составленные из определителя системы, заменой столбца коэффициентов
при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов.

Имеем,
2 3
Δ 3 1
1 2
2
5
1
1
2
2
2 1
3
3
1
2
1
3
5
1
1
2
2 1
4
3 3
2
5
6
1
6
15
35
44
0.
Δх
1
5
4
3
1
2
5
2
1
1
1
2
2 1
4
3
5
2
1
4
5
5
1
2
1
4
3
4
10
5 8
5
3
18
15
0.
Δу
2
3
1
4
5
1
5
2
1
4
2
5
1
2
3
1
1
2
1
3
5
1
4
5
2 1
10
3
2
5 15
4
12
5
95
88.
Δ z
2
3
1
1
3
2
4
1
5
1
2
2
4
5
3
3
1
4
5
3
1
1
1
2
0 88 44
По формулам Крамера имеем х 0; у 2; z 1 . Подставляя
44 44 44
найденные значения х=0, у=-2, z=1 в каждое уравнение системы убеждаемся в
справедливости равенств.
Замечание. Вычисление определителей мы проводим разложением их по элементам
первой строки:
a 1 b1
c1
b2
c2
a2
c2
a2
b2
a2
b2
c2
a1
b1
c1
, где определитель второго порядка
b3
c3
a3
c3
a3
b3
a3
b3
c3
вычисляется по формуле:
a b
ad cb .
c d
2 5
8
3 15
4
6
1
6
57
7
44.
5

В ЗАДАЧАХ 21-40 даны координаты вершин треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые
коэффициенты; 3) внутренний угол В в радианах с точностью до 0,01; 4)
уравнение медианы АЕ; 5) уравнение и длину высоты СD; 6) уравнение
прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее
пересечения с высотой СD.
21.
А (1; -1), В (4; 3), С (5; 1).
31.
А (2; 2), В (5; 6), С (6; 4).
22.
А (0; -1), В (3; 3), С (4; 1).
32.
А (4; -2), В (7; 2), С (8; 0).
23.
А (1; -2), В (4; 2), С (5; 0).
33.
А (0; 2), В (3; 6), С (4; 4).
24.
А (2; -2), В (5; 2), С (6; 0).
34.
А (4; 1), В (7; 5), С (8; 3).
25.
А (0; 0), В (3; 4), С (4; 2).
35.
А (3; 2), В (6; 6), С (7; 4).
26.
А (0; 1), В (3; 5), С (4; 3).
36.
А (-2; 1), В (1; 5), С (2; 3).
27.
А (3; -2), В (6; 2), С (7; 0).
37.
А (4; -3), В (7; 1), С (8; -1).
28.
А (3; -3), В (6; 1), С (7; -1).
38.
А (-2; 2), В (1; 6), С (2; 4).
29.
А (-1; 1), В (2; 5), С (3; 3).
39.
А (5; 0), В (8; 4), С (9; 2).
30.
А (4; 0), В (7; 4), С (8; 2).
40.
А (2; 3), В (5; 7), С (6; 5).
Решение типового примера.
Пусть А (-8;-3), В (4;-12), С (8;10).
1) Длину АВ найдем по формуле:
АВ
2
х2 х1
у2
у1
2
2 2 2
АВ 4 ( 8) ( 12 ( 3)) 12 ( 9) 225 15.
2
, имеем
2) Уравнение сторон АВ и ВС найдем по формуле
у у1
х х1
у2
у1
х2
х1
.
Для стороны АВ имеем уравнение
у 3 х 8 у 3 х 8
или
или 3х 12 3 4 8 9 12
4у
36 0 .
Для нахождения углового коэффициента прямой представим ее уравнение в виде
у kx b где k – угловой коэффициент (тангенс угла между прямой и осью Ох).
3 3
Получим у х 9 . Т.о. K BC
4
4
.
y 12 x 4
Для стороны ВС имеем уравнение
или
10 12 8 4
11 11
2y 11x
68или y x 34 . Т.о. K BC
2
2
.
y 12
22
x
4
4
или
6

3) Внутренний угол при вершине В (из чертежа видно, что он острый) найдем по
11 3 25
k2
k1
формуле: tg . Имеем, tg B
2 4 4
2 . Таким образом,
1 k2
k1
11 3 25
1
2 4 8
B arctg2 1,11.
4) Для нахождения уравнения медианы АЕ найдем координаты точки Е (середина
4 8 12 10
отрезка ВС) x 6; y
1.
2
2
y 3 x 8 y 3 x 8
Итак, Е (6;-1) и уравнением АЕ будет
или
или
-1 3 6 8 2 14
7y 21 x 8 . Окончательно, уравнение АЕ имеет вид x 7y 13 0 .
5) Для нахождения уравнения высоты СD найдем ее угловой коэффициент из
1 1 4
условия перпендикулярности прямых АВ и СD. Имеем K CD
.
K AB 3 3
4
Теперь используя формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку
4
M 0 x0; y0
; y y0
k x x0
, составим уравнение высоты СD. y -10 x 8
3
или 3y 30 4x
32, или 4x 3y
2 0 .
Длину высоты СD найдем по формуле СD
A x B
1
y C
1
- расстояние от точки С
2
A
2
B
до прямой АВ. Имеем CD
3 8 4 10 36 100
2 2
3 4
5
20.
6) Прямая ЕМ, параллельная АВ имеет угловой коэффициент k
3
. Поэтому ее
4
уравнение имеет вид: y 1
3
4
x 6 или 3x
4y
14 0 . Найдем точку ее
пересечения с высотой СD из системы уравнений
3x 4y-14 0
. Решая систему
4x-3y- 2 0
уравнений, получим х=2, у=2. Таким образом, М (2;2).
7

В ЗАДАЧАХ 41-60 даны координаты вершин пирамиды АВСD.
Требуется:
1) записать векторы AB , AC , AD в системе орт i , j , k и найти модули
этих векров;
2) найти угол между векторами AB , AC ;
3) найти проекцию вектора AD на вектор AB ;
4) найти площадь грани АВС;
5) найти объем пирамиды АВСD;
6) составить уравнение ребра АС;
7) составить уравнение грани АВС.
41.
А (1; 2; 1), В (-1; 5; 1), С (-1; 2; 7), D (1; 5; 9).
42.
А (2; 3; 2), В (0; 6; 2), С (0; 3; 8), D (2; 6; 10).
43.
А (0; 3; 2), В (-2; 6; 2), С (-2; 3; 8), D (0; 6; 10).
44.
А (2; 1; 2), В (0; 4; 2), С (0; 1; 8), D (2; 4; 10).
45.
А (2; 3; 0), В (0; 6; 0), С (0; 3; 6), D (2; 6; 8).
46.
А (2; 2; 1), В (0; 5; 1), С (0; 2; 7), D (2; 5; 9).
47.
А (1; 3; 1), В (-1; 6; 1), С (-1; 3; 7), D (1; 6; 9).
48.
А (1; 2; 2), В (-1; 5; 2), С (-1; 2; 8), D (1; 5; 10).
49.
А (2; 3; 1), В (0; 6; 1), С (0; 3; 7), D (2; 6; 9).
50
А (2; 2; 2), В (0; 5; 2), С (0; 2; 8), D (2; 5; 10).
51.
А (1; 3; 2), В (-1; 6; 2), С (-1; 3; 8), D (1; 6; 10).
52.
А (0; 1; 2), В (-2; 4; 2), С (-2; 1; 8), D (0; 4; 10).
53.
А (0; 3; 0), В (-2; 6; 0), С (-2; 3; 6), D (0; 6; 8).
54.
А (2; 1; 0), В (0; 4; 0), С (0; 1; 6), D (2; 4; 8).
55.
А (0; 2; 1), В (-2; 5; 1), С (-2; 2; 7), D (0; 5; 9).
56.
А (1; 1; 1), В (-1; 4; 1), С (-1; 1; 7), D (1; 4; 9).
57.
А (1; 2; 0), В (-1; 5; 0), С (-1; 2; 6), D (1; 5; 8).
58.
А (0; 1; 0), В (-2; 4; 0), С (-2; 1; 6), D (0; 4; 8).
59.
А (0; 1; 1), В (-2; 4; 1), С (-2; 1; 7), D (0; 4; 9).
60.
А (0; 2; 0), В (-2; 5; 0), С (-2; 2; 6), D (0; 5; 8).
Решение типового примера.
Вершины пирамиды АВСD имеют координаты А (2;-3;1), В (6;1;-1), С (4;8;-9), D
(2;-1;2).
1) Проекция вектора АВ на координатные оси найдем по формулам:
x 2 x 1 ; y2
y1
; z2
z1
. Имеем,
АВ 6 2 i 1 3 j 1 1 k 4i
4 j 2k
;
АC 4 2 i 8 3 j 9 1 k 2i
11j
10k
8

АD 2 2 i 1 3 j 2 1 k 2 j
k
Модули векторов найдем по формуле:
a
x
2
y
2
z
2
, где x, y, z – координаты
2 2 2
вектора. Имеем, AB 4 4 2 36 6 ;
AC
2
2
11
2
10
2
225
15;
AD
2
2
1
2
5 .
2) Для нахождения угла между векторами a и b используем формулу:
cos
a
a
b
b
, где a b - скалярное произведение векторов, которое находится по формуле:
4 2 4 11 -2 10 72
cos .
6 15 90
a b x 1 x2
y1
y2
z1
z2
. Имеем, 0, 8
Поэтому
0
arccos 0,8 37 .
3) Для нахождения проекции вектора AD на вектор АВ воспользуемся формулой:
AD AB 0 4 2 4 1 2 6
пр АВ
AD
1.
AB
6 6
4) Площадь треугольника, построенного на векторах АВ и АC, равно половине
модуля векторного произведения этих векторов. Векторное произведение найдем с
помощью определителя третьего порядка
i j k
4 2 4 2 4 4
АВ AC 4 4 2 i j k 18i
36j
36k
. Найдем модуль
11 10 2 10 211
211 10
вектора
2
18 i 36j
36k
. Получим 18 36 36 18 1 2 2 54.
1
Таким образом S ΔABC 54 27 .
2
5) Для нахождения объема пирамиды вычислим смешанное произведение трех
векторов AB , AC, AD с помощью определителя третьего порядка. Имеем,
4 4 2
11 10 2 10 2 11
(AB AC AD) 2 11 10 4 4 2 4 31 4 2 2 4 108.
2 1 0 1 0 2
0 2 1
2
2
2
2
2
9

Объем пирамиды, построенной на векторах
1
AB , AC, AD, равен модуля их
6
1
смешанного произведения. Получим, V ABCD 108 18
6
6) Для составления канонических уравнений ребра АС воспользуемся формулой
х х1 у у1
z z1
уравнения прямой, проходящей через две точки:
.
х х у у z z
х 2 у 3 z 1 х 2 у 3 z 1
Получим
или
.
4 2 8 3 9 1 2 11 10
7) Уравнение грани АВС – это уравнение плоскости, проходящей через три точки:
x - x1
y y1
z z1
x 2 - x1
y2
y1
z2
z1
0 .
x 3 - x1
y3
y1
z3
z1
x - 2
Имеем, 6 - 2 1 3 1 1 0 или 4 4 4 0
4 - 2
y
8
3
3
z
9
1
1
x - 2
2
Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки. Получим,
x - 2 y 3 z 1
4 2
4 2 4 2
4 4 4 x 2
y 3
z 1
11 10 2 10 2 11
2 11 10
x
2
18
y
3
36
z
1
36
Поэтому уравнение грани АВС будет 18 x 2 36 y 3 36 z 1 0 или
x 2 2 y 3 2 z 1 0 или, окончательно, x 2y
2z
6 0 .
y
11
2
3
1
z
10
1
2
1
2
1
10

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
В задачах 61-80 найдем указанные пределы
61. а)
б)
в)
62. а)
2
2x
x 1
lim
x 1 2
2 x x
3
x 1
lim
x
2
1 x 2x
1 cos x
lim ;
x 0 2
2x
2x
г) lim 5 2x x 2 .
б)
в)
63. а)
x
2
3
1 x
lim ;
x
3
1 x
x 1
lim
x 1 x 2
1
arctgx
lim
x 0 sin x
г) lim 7 2x 3 .
б)
в)
x
3
x
lim
x
lim
x
2
1 1
0
1
2x
lim
x 1
x
x
x
x
x
3
x
;
2
;
4
x
x
2
1
г) lim 1 2 x .
x
0
x 1
;
x
;
;
;
;
64. а)
б)
в)
65. а)
2
3x
5x
2
lim
x 2 2x
2
x 6
2
3 2x
x
lim 2
;
x x 4x
1
x 3
lim ;
x 9 x 9
г) lim 4 3x 1 .
б)
в)
г)
66. а)
б)
в)
г)
x
1
x
x
2
4x
7x
3
lim
x 1 2
2x
x 3
arcsin 2x
lim ;
x 0 4x
2
5x
2x
1
lim
2x
2
;
x x 3
2x
3 x
lim
.
x 1 x 1
2
x x 6
lim 3 x 2
6 x
;
x 9
xtgx
lim
;
x 0 1 cos 4x
2
x 4
lim
;
x 2
1 4x
3
3
1 2x
x
lim
x 3
.
x 27
;
;
11

67. а)
б)
в)
68. а)
2
2x
9x
lim
x 3 x 2
5x
2
3x
5x
lim
x x 3
x
sin 3x
lim ;
x 0 tg5x
9
6
4
1
г) lim 5 2x 2 .
б)
в)
г)
69. а)
70. а)
x
2
x
x
2
x 4x
4
lim ;
x 2 2
x 4
2
0,5x
4x
1
lim
x
2
x 1
2
tg x
lim ;
x 0 xsin
2x
x 2 3
lim
.
x 7 x 7
2
x 7x
10
lim
5 2
;
x x 10x
25
lim xctg 4 ;
б) x
x
0
в) x 2x
5 x
lim 2 ;
x
г) lim 2x 3 x 1 .
x
1
2
x x
lim
x 2 x 2
6x
1
6
9
2
б) lim 4x
2x
6 2x
в)
x
sin x
lim
x 0 tg 3 x
;
;
;
;
;
;
71. а)
г) lim 2 x 1 .
x
1
x
x
2
x 1
lim
x 1 4x
2
x
5
2
б) lim x x x 1 x
в)
x
sin 2 2x
lim
x
x
г) lim 3x 4 1 .
72. а)
73. а)
x
1
2
;
x
x
2
x 6x
9
lim
x 3 x 3
27
б) x 3x
1 x
lim 2 ;
x
1
в) lim
x
0
cos 2x
;
2
x
г) lim 5 x 4 .
б)
в)
г)
x
4
x
x
2
2x
x 3
lim
x 1 x 2
2x
1
1 x 1
lim
;
x 4 x
1 cos 6x
lim
;
x 0 2
3x
2
1 x x
lim
x 2
.
x x 1
;
;
;
13

74. а)
x
;
lim
б)
в)
75. а)
2
x 5
lim
x 5 x 2
3x
10
x
2
2x
sin 4x
lim
x 0 tgx
4
г) lim 3x 8 3 .
б)
в)
76. а)
x
3
2
2x
lim
x 3x
2
1 x
lim ;
x 1 x
tgx
lim
x 0 sin 5x
;
x
x
5x
11
3 x
г) lim 6 x 5 ;
б)
в)
г)
77. а)
б)
x
3
;
x
x
;
x
2
3
6
3
x 8
lim
2 2
;
x x x 2
x 2
lim 2
;
x 4 x 6x
8
2
tg 2x
lim ;
x 2
5 x
2
1 4x
lim
2x
3
;
x 3
2
3x
5x
2
lim
x 2 2x
2
x 6
arctg 3x
lim ;
x 0 4x
;
;
3x
2
2
в) lim x x 1 x 1 ;
x
6
78. а)
14
г) lim 4 x 3 .
б)
в)
79. а)
x
3
x
x
2
4x
7x
lim
x 1 2
2x
x
sin 2x
lim ;
x 0 4x
1 x 3
lim
x 8 x 8
г) lim 3 x x 2 .
б)
x
2
x
3
1
2
2x
15x
25
lim
x 5 2
5 4x
x
1 cos 4x
lim ;
x 0 2
2sin
x
2
2
в) lim 3x
4x
5 3x
2x
x
80. а)
1 cos 4x
г) lim
x 0 2
2sin
x
б)
в)
2
x x 6
lim 3 2x
2 x
;
x 21
xtgx
lim
;
x 0 1 cos 4x
2
x 4
lim
;
x 2
1 4x
3
г) lim 8 x 7 .
x
7
x
x
;
;
;
;

Решение типового примера. Найти пределы
15

а)
2
2x
lim
x 1 x
x
x
2
1
. При x 1 и числитель и знаменатель стремятся к нулю
(неопределенность 0
0 ). Для раскрытия неопределенности разложим многочлен и в
числителе и знаменателе на линейные множители и сократим дробь. Получим,
1
2 x x 1
2
2x
x 1
2
2x
lim
lim
lim
x 1 2
x x x 1 x x 1
x 1 x
б)
1
lim
x 1
x
x
x
x
2
2
. При x числитель и знаменатель дроби стремятся к
1
3
1
3
.
(неопределенность
). Для раскрытия неопределенности разделим числитель и
знаменатель на х 2 (х 2 – самая высокая степень х). Получим,
1 1
2
1
1 x x
2
1
lim
lim
x x
1.
x
2
1 x x x 1 1 1
1
2
x x
sin 3x
0
в) lim . Для раскрытия неопределенности воспользуемся правом замены
x 0 sin 5x
0
эквивалентных бесконечно малых сомножителей. В нашем случае sin 3x
3х, sin5x 5х.
sin 3x
3x
3
Поэтому, lim lim 0, 6
0 sin 5x
0 5 x
.
x
x 5
г)
lim
x
x
2 x
2
2
2
0
. Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель
0
умножим на сопряженную величину x 2 2 . Получим,
x 2 2 ( x 2 2)( x 2 2)
lim
lim
lim
x 2 x 2 x 2
x 2
x 2( x 2 2) x
2x
16
1
2
2
1
4
0,25 .
д) lim 3 x x 2 . Имеем неопределенность вида 1 . Для ее раскрытия воспользуемся
x
2
1
y y
вторым замечательным пределом: lim 1 e 2,718...
Имеем,
lim 3
x
2
2x
x 2
2
у
2x
x 2
0
x lim1 2 x . Делаем замену переменной y 2 x . Тогда
x

x 2 y и при x 2,
y 0 . Получаем,
lim 3
x
2
x
2x
x 2
lim 1
y
0
y
2 2 y
y
lim
y
0
1
y
1
y
2y
4
e
4
1
4
e
.
В ЗАДАЧАХ 81-100 найти производные dy , пользуясь правилами и
dx
формулами дифференцирования.
81.
82.
83.
4
3
а) y 3x 4 x 2 , б)
y
4x
7tgx
,
1
2
9x
y ln arctg2
.
y
arcsin3x
,
1 8x
y cos ln 5 .
sin x
в) y cos 3x
e , г) x
2
3 3 2
а) y 3x 2 x 1 , б)
2
x
в) y 2 3 tg2x
, г) x
2
а) y x 5 x , б) y
4 x
x
1
3
4
arcsin7 x
tgx
в) y e ln 2x
,
2
г) cos x 3
x
e
y .
,
84.
85.
86.
87.
88.
89.
3
2 3
,
а) y 4x 4
x
17
б)
sin 2x
y
cos5x
x
в) y 2 8 tg3x
, г) y ln 4x
а)
5
5
3
y x x 1 ,
ctgx
в) y 4x e
2 2
а) y 6x 5 , б)
,
arcsin .
tgx 2
в) y 3 arcsin( x ) , г) x
а)
1 4x
б) y .
х
2 tgx
sin , г) y sin ln 5x
.
2
cos3x
y ,
4
2
x
3x
4
y ln sin 6 .
3
arctg7
x
3 4 3
y x 4 x 2 , б) y ,
2
2 9x
y cos 6x e , г) y sin ln 2x
.
в)
ctgx
а)
2
4
5
y x 2 x 4 , б)
3
x
2
y
x e
4
5
9x
y ln cos5
.
y
cos6 x
,
sin 3x
x
в) y 4 cos arctg2x
, г) x
5 5
а) y 3x 2 , б)
x
3
5
,

90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
x
в) y e 3 tg7x
, г) y ln 2x
а)
4
2
3
y x 2 x 1 ,
arcsin .
arctgx
в) y 2 arcsin 2x
, г) y cos6x
18
б)
3
.
х
3 5x
y
е сtgx
y ln cos7
.
x
в) y 2 sin arcsin2x
, г) x
5
а) y 3x 7 , б)
x
1
4
3
4
y
x tgx
,
2
4x
7
y arctg ln 8 .
в) y e
arcsin x
ctg3x
, г) x
а)
4
4
3
y 2x 3 x 1 ,
б)
2
.
y
2 x
cos2x
y ln arcsin3
.
y
ctgx cosx
,
2
5x
1
y arctg ln 5 .
arctgx
в) y 5 sin 4x
, г) x
а)
5
5
4
y 3x 2 x 8 , б)
x
в) y e 3 arcsin2x
, г) x
3
а) y x 4 , б)
x
3
2
2
5
.
y
2 3x
sin2x
y ln cos4
.
в) y 4 tgx arctg3x
, г) x
а)
3
2 5 2
y 5x 3 x 2 , б)
x
2 ctgx
y ,
3
4 2x
y arctg ln 7 .
в) y e
sin x
arccos3 x , г) x
4
а) y 2x 7 , б)
x
2
3
4
5
.
y
1 7x
cos4x
y ln sin 7 .
x
в) y 5 6 arcsin5x
, г) x
а)
2
5
4
y 3x 2 x 5 , б)
2
y
2x
2
6x
ctgx
,
5
y arctg ln 5 .
в) y e
arcsin x
cos4x
, г) x
6
а) y x 8 , б)
x
3
4
2
2 5x
y .
sin3x
ln .
arctgx
в) y 4 cos6
x , г) y arcsin2x
а)
3
5 5 2
y 4x 3 x 7 , б)
y
cosx
4х
,
2
3x
4
y sin ln 7 .
в) y е
sin x
arctg3
x , г) x
2
а) y 3x 1 , б)
x
5
3
4
3
4x
5 2
y .
sin7x
ln .

Для нахождения производных надо использовать таблицу производных от основных
элементарных функций:
x,
x
y x , y a y log
a
, y sin x,
y cos x,
y tgx,
y ctgx
,
y arcsin x,
y arccos x,
y arctgx , y arcctgx
а также пользоваться арифметическими свойствами производной (производная от сумы,
разности, произведения и частного) и правилом дифференцирования сложной функции
f
u
x
f
u
u
x
. Например, найти производную функции
y
y
y
lnarctg
ln x,
arctg
arctg
1
x
гдеu
1
x
x
1
1
1
1
. Данная функция является сложной и имеет вид:
arctg
arctg
1
x
1
2
x
x
1
x
1
1
. Поэтому,
1
arctg
x
1
19
1
x
1
1
arctg
При вычислении производной мы пользовались формулами:
1
1
1
lnu
u ; arctgu u ; u u .
2
u
1 u
2 u
В ЗАДАЧАХ 101-120 исследовать заданные функции методами дифференциального
исчисления, начертить их графики. Исследование функций и построение графиков
рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции D (y);
2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва
функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;
3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее
монотонности;
4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы
выпуклости и вогнутости графика;
5) найти асимптоты графика функции;
6) построить график, используя результаты предыдущих исследований;
1
x
1
x
1
1
2
2x
1
x
x
1
1

101.
у
2
x 1
х
.
111.
102. 112.
у
2
x 9
х
.
2
x
у .
х 1
103. 113.
у
2
x
х
8
1
.
2
x 3
у .
х 2
104. 114
у
2
x
х
21
2
.
2
x 8
у .
х 3
105. 115.
у
2
x
х
16
3
.
2
x 9
у .
х 4
106. 116.
у
2
x
х
12
4
.
2
x 4
у .
х
107. 117.
у
2
x 25
х
.
2
x 3
у .
х 1
108. 118.
у
2
x
х
24
1
.
2
x 5
у .
х 2
109. 119.
у
2
x
х
32
2
.
2
x 5
у .
х 3
110. 120.
у
2
x
х
27
3
.
у
2
x
х
15
4
.
у
2
x
х
7
4
.
Решение типового примера.
20

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
построить ее график.
1) Область определения функции – те значения х, при которых знаменатель
1
2
1
2
отличен от нуля, т.е. ; ; .
2) Функция имеет разрыв второго рода в точке
x
lim
2
1
x x
1 2 x
2
2
1
x
; lim
2
1
x x
1 2 x
2
2
1
x
1
2
. Поэтому прямая
y
. При этом
x
2x
2
1
и
1
x является
2
вертикальной асимптотой функции.
3) Для нахождения интервалов монотонности и точек экстремума найдем
производную и точки, в которых она равна нулю или не существует
(критические точки).
x
2
2x
2x
1
x
2
4x
2
2
2x
1 2x
1
2x
1 2x
2
2
2x
2x
2
2x
2
2x
y .
Производная равна нулю, если 2x 2 2x
0 , т.е. x 1
0;
x 2
1. Таким
образом, точки x ; 1 разбивают область определения на четыре
1
0 x 2
1
2
1
2
интервала: ; 0 0; ;1 1;
. Для определения характера
монотонности на полученных интервалах, найдем знак производной
х
у
;0
у возр
max y 0
1
0;
2
1
;1
2
1;
убыв убыв возр
0, min y y 1 1
из приведенной схемы видим, что
y .
4) Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем производную
второго порядка и точки, где она равна нулю или не существует (критические
точки второго рода). Имеем,
1
2
21

y
2x
2
2x
2x
1
4x
2x
1
4x
2 2x
1
2x
4
1
2 2x
2
4 2x
2 2
1 2x
2x
4
2x
1
2x
2
8x
2 2x
1
8x
2
2
8x
2x
3
1
2
8x
2
3
2x
1
Так как у существует в каждой точке области определения и не обращается в
1
нуль, то точек перегиба нет. На интервале ; у 0 и функция
2
1
выпукла, на интервале ; y 0 и функция вогнута.
2
1
5) В п.1 мы нашли вертикальную асимптоту x . Найдем теперь не
2
y
вертикальные асимптоты y kx b , где k lim , a b lim y kx .
x x
x
2
x
x 1
Имеем, k lim lim
.
x 2x
1 x x 2x
1 2
b
lim
x
x
2x
2
1
1
2
x
2
2x
2x
x
lim
x 2 2x
1
x
lim
x 4x
1 1
Невертикальной будет асимптота y x .
2 4
6) По данным исследования построим график функции
2
1
4
.
22

В 121-140 решить задачи.
121. Каковы должны быть размеры прямоугольника наибольшей площади,
вписанного в круг радиуса 6 см.
122. Проволока длиной 40 см согнута в прямоугольник. Каковы должны
быть размеры этого прямоугольника, чтобы площадь его была
наибольшей
123. Канал, ширина которого 2,7 м, под прямым углом впадает в другой
канал шириной 6,4 м. Какова наибольшая длина бревен, которые можно
сплавлять по этой системе каналов
124. Найти наибольший объем цилиндра, у которого полная поверхность
равна S = 24π (м 2 ).
125. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна t 3
(м).
126. Турист идет из пункта А, находящегося на шоссейной дороге, в пункт
В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от А до В по прямой
составляет 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы
в кратчайшее время прийти в пункт В, если его скорость передвижения
по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч
127. Объем правильной треугольной призмы равен V =16 (м³). Какова
должна быть длина стороны основания призмы, чтобы ее полная
поверхность была наименьшей
128. Открытый чан имеет форму цилиндра объема V = 27π (м³). Каковы
должны быть радиус основания и высота чана, чтобы на его изготовление
ушло наименьшее количество материала
129. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20
см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее объем был
наибольшим
130. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого, был бы равен
72 (см³), причем стороны основания относились бы как 1:2. Каковы
должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была
наименьшей
131. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции,
боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле
наклона боковых сторон сечение канала будет иметь наибольшую
площадь
23

132. Требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого
кругового конуса заданной вместимости V=
2 9 π (м³). Каковы должны
быть размеры конуса (высота и радиус основания), чтобы на шатер ушло
наименьшее количество полотна
133. Из прямоугольного листа жести размером 24×9 см требуется
изготовить открытую коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и
загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Какова должна
быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была
наибольшей
134. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма
длин его катетов и гипотенузы постоянна и равна 4 (см).
135. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их квадратов
была наименьшей.
136. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была
наименьшей.
137. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему
числом, дает наименьшую сумму
138. Деталь из листового железа имеет форму равнобедренного
треугольника с боковой стороной 10 см. Каким должно быть основание
треугольника, чтобы его площадь была наибольшей
139. Огород прямоугольной формы огорожен изгородью, длина которой 72
м. Каковы должны быть размеры огорода, чтобы его площадь была
максимальной
140. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли
площадью 294 м 2 и разделить, затем этот участок забором на две равные
части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет
наименьшей
Решение типовой задачи.
Равнобедренный треугольник, периметр которого р=12, вращается вокруг основания.
Найти основание а, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объем.
Обозначим высоту треугольника h. Объем тела вращения равен сумме двух объемов
конусов у которых радиус основания равен h, а высота 2
а . Поэтому
V
1 2 1 1 2
2 h a h a . При этом
3 2 3
h
2
24
BC
2
a
2
2
. Но так как

2BC a 12 то BC
2
2
12 a
2
. Поэтому
2 2
2 12 a a 144 24a
a a
h 36 6a
и
2 2
4
1
2
V 36 6a
a 2 6a
a . В нашем случае 0 a 6 . Найдем наибольшее
3
значение объема V. Для этого исследуем функцию V(a) на экстремум. Найдем
V 2 6 2a . Критической точкой будет одна а=3. Поскольку на концах отрезка 0 ; 6
V=0, то в критической точке а=3 будет наибольшее значение V. Ответ:
3
V 3 2 9 18 ед
V наиб
Контрольная работа № 3
В ЗАДАЧАХ 141-160 найти неопределенные интегралы способом
подстановки (методом замены переменной).
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
cosx sin xdx .
dx
( lnx)
3 .
x
arctgx
dx .
2
1 x
cos x
dx
3 sin x
e x2 xdx .
.
x
dx .
4
2 x
dx
ln x .
x
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
1
x
2x
2
dx
x
dx .
2x
4 5
dx
.
x ln x
sin x
dx
2
cos x
2
x
2x
3
x
.
dx
3
.
25
.
5x 4 3 x 3 dx .
3
2 x 1
e
dx
.
155.
156.
157.
158.
159.
160.
3
x
dx .
8x
4 1
x
dx .
2x
2 3
2 dx
arcsin x .
2
1 x
arctgx
dx
2
1 x
ln x 3
dx .
x
.
2
1 2x xdx .

Решение типовых примеров.
Найти неопределенные интегралы:
3 dx
dx
1. arccos x . Сделаем замену t=arccosx. Тогда dt и
2
2
1 x
1 x
3
t dt
5
3
t 2
5
t 2
2
dt C arccos x C .
5 5
2
x
2. e
x 3 3 2
x 1 dx . Применим подстановку 3
t x 3 x , тогда
2
2
t dt 1 t 1 3
x 3x
dt 3x 3 dx 3 x 1dx
, откуда e e C e C .
3 3 3
В задачах 161-180 найти неопределенные интегралы, используя выделение полного
квадрата.
161. 4x
1
168. 3x
7
175. 5x
16
dx .
dx .
dx
2 2 2
x 4х
8
x 8х
17
x 2х
17
162. 5x
8
169. 5x
2
176. 3x
11
dx .
dx .
dx
2 2 2
x 2х
5
x 2х
5
x 8х
20
163. 3x
2
170. 7x
3
177. 17x
5
dx .
dx .
dx
2 2 2
x 4х
8
x 6х
13
x 12х
40
164. 8x
3
171. 8x
7
178. 12x
7
dx .
dx .
dx
2 2 2
x 6х
10
x 10х
29
x 16х
65
165. 7x
3
172. 11x
3
179. 8x
7
dx .
dx .
dx
2 2 2
x 4х
5
x 6х
13
x 2х
17
166. 9x
10
173. 10x
7
180. 17x
3
dx .
dx .
dx
2 2 2
x 6х
10
x 8х
20
x 8х
32
167. 3x
10
174. 3x
11
dx .
dx .
2 2
x 8х
10
x 16х
68
Решение типового примера. Найти интеграл
2x 9
dx.
2
x 10x
26
Решение: преобразуем знаменатель дроби, стоящий под знаком интеграла следующим
2
2
2 2
образом: x `10x 26 x 2 5x
25 1 x 5 1 . Тогда после замены t x-5,
получаем:
2 t 5 9 2t
19 2t
19
dt dt dt dt; второй интеграл является
2
2
2
2
t 1 t 1 t 1 t 1
табличным.
26

Для решения первого интеграла нужно воспользоваться заменой переменной: t 2 1 z ,
2t
dz
2
тогда dz 2 tdt , откуда dt lnz
C lnt
1 C . Таким образом
2
t 1 z
окончательный ответ lnt 2 1 19arctgt C или ln x 2 10x
26 19arctg x 5 C .
В ЗАДАЧАХ 181-200 найти неопределенные
интегрирования по частям.
181.
188.
2x
ln xdx .
( x 3) e dx .
интегралы, применяя метод
195.
x sin 8xdx .
182.
( 2x 1) sin 3xdx .
189.
х ln3 xdx .
196.
arccosx dx .
183.
2x
( x 1) e dx .
190.
7x
( 2x
8) e dx .
197.
arcsin 2xdx.
184.
xcos2x
dx
191.
x 3 lnxdx.
198.
(2x 1)cos3x dx .
185.
arctg2x dx .
192.
(3x 7)cos5x dx .
199.
( 8x 10) sin 7xdx .
186.
(5x 1)lnxdx .
193.
( 12x 2) sin 3xdx .
200.
ln8 xdx.
187.
( 8x 2)sin 5xdx .
194.
3
х ln2xdx.
Решение типового примера.
Найти интеграл:
1. 5 x 1 cos7xdx
Решение: применим формулу интегрирования по частям
uvudv
vdu. Разбиваем
подитегральное выражение на части:
u 5x
1 dv cos7xdx
1
тогда du 5 dx,
v cos7xdx
sin7x
.
7
Следовательно,
1
5 5x
1 5 1
5 x 1 cos7xdx sin7x 5x-1 sin7xdx
sin7x
cos7x
C .
7
7
7 7 7
2. arctg5 xdx
27

5
Решение: положим u arctg5 x,
dv dx , тогда du dx,
v x.
2
1 25x
5x
Отсюда arctg5 xdx x arctg5
x
dx . Применяя в последнем интеграле
2
1 25x
подстановку 1 25x 2 t , получаем dt 50 xdx , следовательно,
5x 1 dt 1 1
2
dx
lnt
C ln1 25x
C ,
2
1 25x
10 t 10 10
1
2
отсюда arctg5 xdx x arctg5
x ln1 25x
C .
10
В ЗАДАЧАХ 201-220 найти неопределенные интегралы, пользуясь разложением
рациональных дробей на сумму простейших.
201. x
208. 5x
11
215. x
dx .
dx .
dx .
3 2 2
x 1
x(
х 4)
( х 5)( x 3)
202. x 20
209. 3x
216. x 1
dx .
dx .
dx .
3 2 2
x 8х
( х 1)( x 3)
( х 1)( x 4)
203. 3x
1
210. 2x
217. x
dx .
dx .
dx .
2 3 2
x(
х 1)
x 1
( х 3)( x 10)
204. 2x
5
211. 3x
1
218. 2х
5
dx .
dx .
dx .
3 2 2
x 2х
x(
х 3)
x(
х 6)
205. 3x
1
212. 5x
1
219. x 3
dx .
dx .
dx .
3 3 2
x 3х
x 1
( х 2)( x 5)
206. 8x
5
213. 2x
1
220. x 2
dx .
dx .
dx .
2 3
2
( х 1)( x 2)
x х
( х 2)( x 3)
207. 7x
2
214. 2x
5
dx .
dx .
2 3
( х 3)( x 1)
x 4х
Решение типового примера.
3x - 2
Найти интеграл dx
3
x 1
3
2
Решение: разложим знаменатель на множители: x 1 x 1 x x 1 ,
тогда
3x
x
3
2
1
2
x
1
3x
x
2
2
x
1
A
x 1
x
Bx
2
x
C
1
освобождаемся от знаменателя:
3 x 2 A x x 1 Bx C x 1 Ax Ax A Bx Bx Cx C .
Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
2
2
28

2
x A
1
x A
0
x A
B
B
C
0, A
C
3,
2, C
Из второго уравнения получаем
B
A
2
A
A
A
2 3 A
1 1 7
Отсюда A , B , C .
3 3 3
1 1 7
x
3x - 2
x
Следовательно, dx
3
1
dx
3 3 1
dx lnx
1
3 x 1 2
x 1
x x 1 3 3 2
x
Выделим полный квадрат в знаменателе подинтегрального выражения:
2 1 1 3 1 3
x 2 x x .
2 4 4 2 4
1
1
Произведем подстановку t x , dt dx,
x t и
2
2
1
t 7
1 x 7 1
t
dx 2 1
1 15
dt
dt
3 2
x x 1 3 2 3 3 2 3 3 2
t
t
4
4
1 2 3 5 2 2t
ln t
arctg C
6 4 2 3 3
1 2 5 2x
1
ln x x 1 arctg C
6
3 3
Ответ:
1 1
5 2x
1
lnx
1 ln x
2 x 1 arctg C .
3 6
3 3
2
1
3
dt
2 3
t
4
7
x
dx.
1
В ЗАДАЧАХ 221-240 вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.
221. 1
228.
2
1
235.
2
1 2
у x x 1;
у x 2x
4 ;
у x 3x
1;
2
3
2
1 2
2 2
1 2
у x 3x
6
у x x 2
у x x 2
2
3
2
222. 1
229.
2
2
у x x 2 ;
у x 5x
3;
236.
2
у 2x 4x
7 ;
2
2
2
у 3x
2x
1
у x x 1
1 2
у x 5x
7
2
223. 1
230.
2
2
у x 3x
2 ;
у x 2x
5 ;
237.
2
у 2x 3x
1;
3
2
2
у x x 1
у x 2x
9
29

224.
225.
226.
227.
у
у
у
у
у
у
у
у
2 2
x 2x
4
3
2
2x 6x
3 ;
x
2
x
5
2
3x 5x
1;
x
2
2x
1
2
x 3x
1;
x
2
2x
5
2
2x 6x
1;
231.
232.
233.
234.
у
у
у
у
у
у
у
1 2
x
4
2x
5 ;
3 2
x
4
x 1
1 2
x
2
3x
2 ;
1 2
x
2
x 3
2
2x 6x
3 ;
2x
2
x
5
2
x 3x
4 ;
238.
239.
240.
у
у
у
у
у
у
2
2x 6x
2 ;
x
2
x
4
2
x 2x
4;
x
2
x
2
1 2
x 3x
1;
2
1 2
x 7x
3
2
у
x
2
x
1
у
x
2
x
8
Решение типового примера. Вычислим площадь фигуры, ограниченной параболами
2
y 2x 3x
6
2
y x x 2
Решение: найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем
2
2
правые части их уравнений: 2x
3x
6 x x 2
3x
отсюда
x
1
2
4x
4 8
6
4
2,
0,
x2
Д
16
4 8
6
4 12
Вычисление площади осуществляется по формуле
b
S f 2 x f1
x dx, где f x f 2 x
a
( f 1 x f2
x )
2
3
64
1 , - кривые, ограничивающие фигуру
30

В нашем случае
2
2
S (1 x x 2)
2
3
3 8
2
27
3
2 2
2 224
2 2
3 27
2
2x
4
9
2 32
9
3x
2 8
3
4 dx
224
27
2
2
3x
4x
2
3
192 144
27 27
2 dx
12 4
27 9
3
x
3
3
2
x
4
2
2x
2
2
3
В задачах 241-260 найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры,
расположенной в первом квадрате и ограниченной заданными параболой и прямой.
241. 2
2 у x ;
у 2x
242. 2
у x ;
у x 2
243. 2
у 3x ;
244.
245.
246.
у x
1
4
4
2
у x ;
у x
1
2
3
2
у x ;
у 3x
1
3
у 3x
2
у x ;
4
8
12
у x ;
247. 2
4
у 2x
2
248.
1
4
2
у x ;
у
1
x
2
249.
у
2
4x ;
у 2x
250.
у
2
x ;
у x 3
251. 2
у 2x ;
252.
у 3x
1
3
2
у x ;
у x 6
253. 2
у 3x ;
254.
у 2x
1
3
у 2x
2
у x ;
6
2
14
5
9
255.
1
4
у 2x
2
у x ;
256. 2
2 у x ;
6
у x 10
257. 2
у 3x ;
у 3x
258.
у
2
x ;
259.
у 2x
1
2
2
у x ;
у x 3
260. 2
у 3x ;
у 5x
6
5
8
Решение типового примера.
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в
2
первом квадранте и ограниченной параболой y 5x , прямой y 2x 7 и ось Ох.
31

Решение: найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте из
у 5х
2 системы уравнений
, откуда
2
2
5x 2x
7 или 5x
2x
7 0
у 2х
2
1 1 35 1 6
x0,1
Для этого решим уравнение
5 5
7
x1
1, x0
5
А также, найдем абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох:
2x
7
0
7
x 2
2
Тогда, используя формулу для вычисления объема тела вращения, получим:
VOMK
V 1
V2
, где
V 1
1
4 5 1
25x
dx 5x
0
0
5
7
335
6
670
12
7
2
45
1890
49
V
V
2
1
2
1470
5
x
1
0
x
6
x
2
1
125
5x
2
2
2x
2
2
4 3 2
V2
4x
28x
49dx
x 14x
49x
3
1
dx
7
2
dx
7
2
1
4
3
7
2
3
1
14
7
2
2
1
32