IZPITNA VPRAÅ ANJA PRI PREDMETU GEODEZIJA ... - Student Info

IZPITNA VPRAŠANJA PRI PREDMETU GEODEZIJA (TUN), 1. del
1. vrste kotnih mer, zveza med njimi,
2. ločna mera, dolžina loka
3. prehod iz ločne v kotno mero
4. pomembne številke približnega števila, primeri, zaokroževanje
5. vrste koordinat v ravnini (opis, skica)
6. geodetski polarni koordinatni sistem, izračun smernega kota (skica, enačbe)
7. zveza med geod. polarnimi in pravokotnimi koordinatami (skica, enačbe)
8. zunanji urez: skica, opis postopka
9. notranji urez: skica, opis postopka
10. ločni presek: skica, opis postopka
11. sferna razdalja, sferni trikotnik, sferni eksces, sferna diferenca
12. Napierjevo pravilo za pravokotni sf. trikotnik
13. oblika Zemlje: matematična, fizikalna
14. pretvorba polarnih, krogelnih koordinat v pravokotne, kartezične - znano φ, λ, R
(skica, enačbe)
15. pretvorba pravokotnih, kartezičnih v polarne, krogelne koordinate - znano X,Y,Z
(skica, enačbe)
16. geografske koordinate na Zemlji krogli (skica)
17. geografska dolžina (skica, definicija)
18. geografska širina (skica, definicija)
19. pojem ortodrome in loksodrome
20. navtični sferni trikotnik (skica, elementi)
21. I. geodetska naloga na krogli: skica, postopek
22. II. geodetska naloga na krogli: skica, postopek
23. državni koordinatni sistem (opis)
24. način določitve položaja točk
1/150

Izpit Infrastrukturni objekti 28.2.2008
1. zunanji posegi človeka v okolje
2. kaj je armatura
3. aktivni in pasivni ukrepi za vzdrževanje temperature v prostorih
4. človekovi vplivi na gospodarjenje z vodami
5. kako so razdeljene javne ceste v RS
6. opiši elemente krožnega križišča
7. opiši razliko med cestno pešpotjo in navadno pešpotjo
8. opiši model GJI
9. kateri dokumenti se morajo predložiti na dan tehničnega pregleda
10. kaj je gji
2/150

Izpit Infrastrukturni objekti 28.2.2008
1. zunanji posegi človeka v okolje
2. kaj je armatura
3. aktivni in pasivni ukrepi za vzdrževanje temperature v prostorih
4. človekovi vplivi na gospodarjenje z vodami
5. kako so razdeljene javne ceste v RS
6. opiši elemente krožnega križišča
7. opiši razliko med cestno pešpotjo in navadno pešpotjo
8. opiši model GJI
9. kateri dokumenti se morajo predložiti na dan tehničnega pregleda
10. kaj je gji
3/150

PODATKI: so predstavitev dejstev, zamisli in navodil v formaliziranem načinu, primernem za
komuniciranje, interpretacijo s strani ljudi in avtomatskih sredstev.
INFORMACIJA: organizirana zbirka dejstev ali podatkov.
INFORMATIKA: se ukvarja z oblikovanjem, prenašanjem, shranjevanje, obdelavo in uporabo
informacij.
INFORMACIJSKA DRUŽBA: je družba, pri kateri se večina prebivalstva posredno ali
neposredno ukvarja z izdelavo in obdelavo informacij.
DATOTEKA: zbirka povezanih podatkov shranjenih pod enotnim imenom.
IMENIK: zbirka datotek shranjena na trdem disku.
DOKUMENT: zbirka informacij z dodano vrednostjo
PROGRAMSKA OPREMA: zbirka programov in navodil, kako naj računalnik deluje
SISTEMSKA P.O.: zbirka programov in navodil, ki skrbijo za izvajanje temeljnih funkcij
delovanja računalniškega sistema.
BIOS: zbirka programov trajno shranjenih na ROM-u
P.O. OPERACIJSKEGA OKOLJA: -> grafični uporabniški vmesnik (GUI) – omogoča
enostavno ter nazorno delo z računalnikom.
HUMANO RAČUNALNIŠKI VMESNIK:
• Vmesnik ukazne vrstice: natančno tipkanje ukazov
• Izbirni vmesnik: lažje in hitrejše učenje novih ukazov
• Grafični uporabniški vmesnik: omogoča uporabo barv, ikon, menijev
UPORABNIŠKA P.O.: se najpogosteje uporablja (urejevalniki besedil, elektronske preglednice)
-> 4 operacije: vnos, obdelava, prikaz rezultatov, shranitev.
TIPI P.O.: *samostojna, *integrirana
RAČUNALNIK: je orodje za reševanje problemov / naprava za procesiranje znakov.
RAČUNALNIŠKA STROJNA OPREMA: posamična fizična naprava v računalniku /
računalnik kot celota. *sistemska enota, *zunanje naprave
PROCESOR: sklop integriranih vezij, shranjen na glavni tiskani plošči v sistemski enoti. Izvaja
operacije po navodilih programa, ki je med izvajanjem zapisan v glavnem pomnilniku. Ima uro,
ki mu določa takt.
4/150

PRIMARNI POMNILNIK: primarno shranjevanje podatkov
• ROM: bralni pomnilnik ( trajno shranjena navodila za zagon računalnika)
• RAM: bralno-pisalni pomnilnik (= glavni pomnilnik, omogoča direkten in hiter dostop do
podatkov)
SEKUNDARNI POMNILNIK: trajno shranjevanje podatkov in programov.
ZUNANJE ENOTE: so fizično ločene, vendar povezane s sistemsko enoto.
• VHODNE: izdajanje navodil, vnos podatkov npr.: tipkovnica, miška, skener, video
naprave
• IZHODNE: uporaba rezultatov, obdelava podatkov npr.: prikazovalnik, tiskalnik,
zvočnik, risalnik.
DELOVNA POSTAJA: za posamično uporabo, zmogljivejši od osebnega v grafiki, procesni
moči in večopravilnosti.
MINI RAČUNALNIK: namenjen istočasni uporabi večim uporabnikom.
VELIK RAČUNALNIK: namenjen istočasni uporabi velikim številom uporabnikom -> osrednji
računalnik v ločeni sobi.
PARALELNI RAČUNALNIK: zelo zmogljiv z večimi istočasnimi delujočimi procesorji.
SUPER RAČUNALNIK: najhitrejši računalnik; za reševanje znanstvenih problemov/ v vojaške
namene.
RAČUNALNIŠKE OPERACIJE: *aritmetične, *logične
OBDELAVA PODATKOV: priprava, upravljanje in shranjevanje podatkov ( 4-i koraki: vnos
podatkov, obdelava podatkov, rezultati obdelave podatkov, hranjenje podatkov.
1. GENERACIJA RAČUNALNIKOV: 1951 - 1958; elektronke, luknjane kartice, pomnilniki na
magnetna jedra; prvi komercialni računalnik.
2. GENERACIJA RAČUNALNIKOV: 1959 – 1964; tranzistorji, magnetni trakovi; ni
skladnosti pri proizvajalcih
3. GENERACIJA RAČUNALNIKOV: 1965 - 1969; integrirano vezje (čip), magnetni trakovi,
diski; multiprogramiranje, uvajanje terminalov, pojav mini računalnika
4. GENERACIJA RAČUNALNIKOV: 1970 – danes; mikroprocesor, kompleksna integrirana
vezja; osebni računalnik,.. internet
GLAVNA TISKANA PLOŠČA: ali matična plošča, na njej se nahaja glavno tiskano vezje
5/150

ČIPI NA GTP:
• MIKROPROCESOR: centralno procesna enota CPU (največji samostojni čip) sestavljajo
ga: *aritmetično logična enota, *kontrolna enota, *delovni pomnilnik (začasno hranjenje
podatkov med obdelavo)
• ROM, RAM
• KRMILNIK ZA PRIKAZOVANJA, KRMILNIK DISKOVNEGA POGONA
• KOPROCESOR: pomožni procesor; za dodatno obdelavo podatkov
VRATA: služijo za povezavo med glavno tiskano ploščo in zunanjimi enotami.
RAZŠIRITVENA OKNA: vtične enote, v katere so vstavljene razširitvene kartice.
RAZŠIRITVENA KARTICA: omogoča povezavo matične plošče in zunanjih enot preko vrat.
VODILO: elektronska pot med različnimi komponentami računalnika (podatkovna, naslovna,
krmilna, razširitvena vodila)
CENTRALNO PROCESNA ENOTA: je računalniško vezje, ki omogoča obdelavo, krmiljenje
in interno shranjevanje podatkov.
INTEGRIRANO VEZJE: / čip – sklop sicilijevih polprevodnikov, vsebuje veliko število
elektronskih vezij.
REGISTRI: območje začasnega hranjenja podatkov in navodil.
BIT: osnovna enota informacije
BAJT: / zlog – zaporedje bitov (256 različnih znakov)
PREDPOMNILNIK: poseben niz zelo hitrih bralno-pisalno pomnilnikov, kamor se zapisujejo
podatki in navodila.
RAČUNALNIŠKI VMESNIK: način priključitve zunanjih naprav na glavno tiskano ploščo.
• FIZIČNI: omogoča pravilno povezavo zunanje naprave z določenim procesorjem (-vrata)
*serijski in * paralelni
• LOGIČNI: omogoča pravilno in učinkovito delo z ostalimi deli računalnika.
VHODNE NAPRAVE:
• TIPKOVNICA: *funkcijske tipke: F1…, *sistemske tipke, * numerični del tipkovnice
• KAZALNE NAPRAVE: -kazanje, klik, povlek ; miška, sledilna kroglica, igralna palica
• PISLANE IN GRAFIČNE NAPRAVE: svetlobno pisalo, pregledovalnik, digitalizator
• VIDEO NAPRAVE: digitalna video kamera
• ZVOČNE NAPRAVE: za prenašanje zvoka uporabnika v računalnik
• NAPRAVE ZA AVTOMATSKI ZAJEM PODATKOV: POS terminal
• VHODNE NAPRAVE ZA PRIZADETE: zvočne in posebne
6/150

IZHODNE:
PRIKAZOVALNIK: z nizko ločljivostjo in visoko ločljivostjo
BITNA SLIKA: računalniški način predstavitve slikovnega elementa ali piksla
TERMINAL: posebna kombinacija prikazovalnika in tipkovnice, ki sta priključena na oddaljen
računalnik.
TISKALNIK: zunanja strojna oprem, ki omogoča tudi izpis rezultatov obdelave ; *kontaktni:
vrstični, matrični , *nekontaktni: laserski, brizgalni.
SEKUNDARNE POMNILNIŠKE NAPRAVE:
• Z neposrednim dostopom do podatkov
• S sekvenčnim dostopom do podatkov: podatki so shranjeni v vrstnem redu
REZERVNA KOPIJA: rezultat prepisovanja programskih ali podatkovnih datotek za varno
hranjenje.
FORMATIRANJE: postopek izdelave delovne mreže ter organizacijske strukture na disku.
DISK: največje skladišče trajnega hranjenja podatkov
OPTIČNI NOSILCI: najbolj zanesljive sekundarne pomnilniške naprave, ki omogočajo
hranjenje ogromne količine podatkov ( CD-ROM, CD-R, CD-RW)
NAPRAVE Z NAKLJUČNIM DOSTOPOM: za izdelavo rezervnih kopij; pogoni magnetnih
trakov, video kasetni pogoni.
KOMUNIKACIJSKE NAPRAVE: so rač. naprave, ki omogočajo prenos podatkov na daljavo.
Osnovni namen telekomunikacije: je odpraviti časovne zakasnitve pri komunikacijah, ki so
rezultat geografske oddaljenosti. Prenos podatkov se vrši po TK mrežah.
ANALOGNE KOMUNIKACIJE: televizijski signal
DIGITALNE: elektronska pošta
MODEM: naprava, ki omogoča modulacijo (postopek spreminjanja nosilnega signala) in
demodulacijo (postopek izločitve nosilnega signala) izvornega signala. * notranji, * zunanji
MREŽNI VMESNIK: je razširitvena kartica, ki omogoči priključitev računalnika v
računalniško omrežje (= sistem, ki omogoča računalnikom izmenjavo podatkov)
PONAVLJALNIK: naprava, ki ojačuje signale
MOST: naprava, ki preverja pravilnost prenosa podatkov
7/150

USMERJEVALNIK: močan, poseben računalnik, ki usmerja podatke glede na naslov, kamor so
namenjeni.
PRETVORNIK: naprava za medsebojno povezovanje različnih tipov rač mrež.
SISTEMSKA PROGRAMSKA OPREMA: *operacijski sistem, ki skrbi za izvajanje temeljnih
funkcij delovanja rač sistema, *p.o. operacijskega okolja
SAMOSTOJNI OPERACIJSKI SISTEM: deluje le na posameznih osebnih računalnikih;
zasnovan za posamično delo.
MREŽNI OPERACIJSKI SISTEM: deluje tudi v računalniški mreži; zasnovan je za nadzor
dejavnosti med različnimi tipi računalnikov in zunanjih naprav povezanih v računalniško mrežo.
O.S. ZA MINI RAČUNALNIKE: so bolj kompleksni
O.S. ZA VELIKE RAČUNALNIKE: omogočajo hitrejše delo večjemu številu uporabnikov kot
mini računalnik
OPERACIJSKO OKOLJE: olajša delo z operacijskim sistemom kot tudi z aplikacijami.
MACINTOSH O.O.: lastnosti iskala; preprostost in urejenost
OKNA 95: so operacijski sistem z GUI in zbirko aplikacij. Odprt večopravilni sistem
OKNA 98: nadgradnja 95; hitrejše in bolj učinkovito delo
X OKNA: GUI in operacijsko okolje sistema UNIX, razvito na MIT-u v zgodnjih 80-ih letih.
GRAFIČNI UPORABNIŠKI VMESNIK: gumbi in izvlečne izbire predstavljajo ukaze in
funkcije. Kazalna naprava omogoča učinkovitejšo uporabo gumbov in funkcij.
• PREDNOSTI: enostavna uporaba, barve, grafika in ikone, spustne izbire, hiter zagon
ukazov s pomočjo kazalne naprave ; omogoča hitro učenje.
• SLABOSTI: usklajenost med delom rok in oči, manjša hitrost obdelave; grafično okolje
povečuje zahteve po hitrejših procesorjih, večjem d. pomnilniku…
VEČOPRAVILNOST: možna istočasna uporaba več programov hkrati ter izmenjava podatkov
med njimi.
• PREDNOSTI: v ospredju in ozadju delujoči programi, izmenjava podatkov med
aplikacijami
• OBJEKTNO POVEZOVANJE IN VSTAVLJANJE: OLE – tehnologija izmenjave
podatkov
8/150

KO PRIŽGEMO RAČUNALNIK:
- BIOS preveri zunanje enote ter naloži operacijski sistem
- BIOS preveri vtične in predvajalne naprave
- Konča se nalaganje operacijskega sistema
- Če smo priključeni na omrežje vtipkamo geslo
- Zaženejo se programi, ki so v skupini Zagon
5 VRST IKON: dokument (npr.: Wordov), program (koš), mapa, enota (disk c), bližnjica
SESTAVNI DELI OKNA: gumb za zapiranje, za maksimiranje, za minimiranje, naslovna
vrstica (letev), naslovna izbira, obroba oken, drsni trak, vogal okna
KOMUNICIRANJE Z OKNI: izvlečne izbire, gumb start, pogovorna okna, pojavne izbire
ACCESS: sistem za upravljanje baz podatkov EXCEL: elektronska preglednica.
RAČUNALNIŠKO OMREŽJE: sistem, ki omogoča računalnikom, da izmenjujejo podatke
STREŽNIKI: strežejo informacije ; STRANKE: poizvedujejo po teh informacijah
INTERNET: tehnično: medmrežje / zveza različnih računalniških omrežij po svetu
INTRANET: zaprto omrežje znotraj organizacije
EXTRANET: zaprto omrežje med organizacijami in njihovimi zunanjimi partnerji.
STORITVE NA INERNETU:
• TELNET: prijava na oddaljene računalnike in zaganjanje programov tam
• ELEKTRONSKA POŠTA (komunikacija človeka s človekom), NOVICE (puščanje
sporočil in odgovorov na skupni oglasni deski), IRC (pogovor v realnem času med več
uporabniki)
• PRENOS DATOTEK FTP (prenos datotek med dvema računalnikoma) , WWW
(omogočiti dostop do katerekoli storitve na Internetu)
STATIČNE SPLETNE STRANI:
Statična spletna stran je spletna stran s fiksno vsebino, katera je zapisana direktno v datoteko
spletne strani. ureja le programer ki je vajen jezika iz katerega spletna stran sestoji in ima pravice
za dostop do datotek. osnovno znanje označevalnega jezika HTML.
TEŽAVE NA SPLETU: zasebnost, varnost, anonimnost, zasluškarstvo
SPLETNI ROBOTI: opazujejo informacije in plezajo po spletu… (so osnova za Google,
Yahoo)
SPLETNI AGENTI: nekdo, ki deluje kot predstavnik nekoga drugega
9/150

DALJINSKO ZAZNAVANJE IN FOTOGRAMETRIJA - TUN
Pisni izpit iz celotne snovi, 8. junij 2009
Ime in priimek: _____________________________________________
PIŠITE ČITLJIVO IN JEDERNATO! Pišite na dodatne prazne liste. Ime in priimek napišite na vsak
dodatni list in liste oštevilčite.
Št. Vprašanje Število
možnih točk
1. Opišite pojem spektralna ločljivost podobe. 5
2. Naštejte in opišite vrste interakcije elektromagnetnega valovanja s površjem. 5
3. Kaj je digitalna klasifikacija podob in kaj jo omogoča 5
4. Kaj je svetlobni (opto-elektronski) senzor in na kakšen način zapiše sliko 5
5. Kaj je notranja orientacija snemalnega sistema in s katerimi parametri jo
5
opredelimo
6. Kaj je aerotriangulacija Kakšna je vloga in pomen veznih točk v izravnavi
5
bloka posnetkov
7. Opišite vektorski zajem podatkov z metodo monokartiranja (vhodni podatki, 5
princip delovanja metode, zajem podatkov).
8. Kaj je konvolucijsko filtriranje podobe Opišite značilnosti nizkoprepustnih
5
filtrov.
9. Primerjajte značilnosti ortofota s topografsko karto istega merila. 5
10. Katere podatke meri pulzni lidar in čemu služijo 5
11. Kako poteka prenos podatkov od satelita do sprejemne postaje Kakšne naloge 5
opravljajo v sprejemnih postajah
12. Opišite glavne značilnosti podob satelita QuickBird. Za katere aplikacije so
primerne te podobe
5
Datum pregleda: ____________________________
Pregledovalec: _____________________________
Doseženo število točk: ______________________ Ocena: ___________
Ocenjevalna lestvica:
60 t = 100 %
0-30 = negativno
31-36 t = 6
37-42 t = 7
43-48 t = 8
49-54 t = 9
55-60 t = 10
10/150

DALJINSKO ZAZNAVANJE IN FOTOGRAMETRIJA - TUN
Pisni izpit iz celotne snovi, 23. junij 2009
Ime in priimek: _____________________________________________
PIŠITE ČITLJIVO IN JEDERNATO! Pišite na dodatne prazne liste. Ime in priimek napišite na vsak dodatni list
in liste oštevilčite.
Št. Vprašanje Število
možnih točk
1. Opišite spekter elektromagnetnega valovanja (razlaga pojma, razdelitev v skupine,
5
glavne lastnosti vsake posamezne skupine).
2. Kaj je spektralni podpis, kakšne so njegove značilnosti in v čem je njegov pomen za
5
daljinsko zaznavanje
3. Naštejte elemente vizualne interpretacije podob in vsak element na kratko predstavite. 5
4. Opišite delovanje svetlobnega (opto-elektronskega, CCD) senzorja. 5
5. Kaj je optična distorzija, na kaj vpliva in kako jo odpravimo 5
6. Napišite osnovno enačbo centralne projekcije, razložite parametre enačbe in njen
5
geometrični pomen. Narišite tudi ustrezno skico.
7. Opišite značilnosti dvoslikovnega fotogrametričnega zajema (kako in kje se izvaja, kaj 5
merimo, osnovni princip določitve 3D koordinat).
8. Kaj je histogram podobe, kako ga prikažemo in za kaj se uporablja 5
9. Opišite glavne tehnične značilnosti državnega izdelka ortofoto v merilu
5
1 : 5000 (DOF 5). Za katere namene se pogosto uporablja
10. Naštejte glavne faze obdelave lidarskih podatkov in vsako fazo na kratko opišite. 5
11. Kako poteka letalsko snemanje za potrebe državnih projektov 5
12. Opišite delovanje vzdolžnih skenerjev (elektronskih senzorjev) daljinskega zaznavanja.
Kakšne so prednostih teh skenerjev v primerjavi s prečnimi skenerji
5
Datum pregleda: ____________________________
Pregledovalec: _____________________________
Doseženo število točk: ______________________
Ocena: ___________
Ocenjevalna lestvica:
60 t = 100 %
0-30 = negativno
31-36 t = 6
37-42 t = 7
43-48 t = 8
49-54 t = 9
55-60 t = 10
11/150

FOTOGRAMETRIJA – VPRAŠANJA ZA IZPIT
1.Katera so glavna tehnološka obdobja fotogrametrije in značilnosti le teh
• Grafično (1850-1900) začetek A. Lausendat (topografija) in A. Meydenbauer (arhitekturna
fotogrametrija)
• Analogno (1901-1950) O.Pulfirch 1901 iznajde stereokomparator, E.von Orel 1909 iznajde
stereoautograf ; iznajdba letala
• Analitično (1950-1980) U. V. Helava 1956 objavi prvi prototip analitičnega instrumenta;
operativni razmah šele v sedemdesetih 20. stoletja; iznajdba računalnika
• Digitalno (1980-….) prve satelitske podobe (1972 satelit Landsat) sprožijo razvoj digitalnega
zajema podob, razmah v devetdesetih letih 20. stoletja.
2.Značilnosti fotogrametrije, njene prednosti in nove dopolnilne tehnike!
• Osnovni medij je fotografija (analogna ali digitalna)
• Rezultati fotogrametričnih meritev so trirazsežni( X,Y,Z)
• Primerna za masovni zajem in vzdrževanje prostorskih podatkov
• Tehnološko ' odvisna ' od razvoja računalniške in drugih tehnologij
Prednosti fotogrametrije: * hiter in relativno poceni zajem prostorskih podatkov za topografske in
druge aplikacije, * v osnovi zagotavlja 3D podatke
Nove dopolnilne tehnike: * lasersko skeniranje, * visokoresolucijski satelitski sistemi, *
radarski sistemi
3.Opišite delitev fotogrametrije glede na izdelke. Naštejte primere sodobnih fotogrametričnih
izdelkov!
• Topografska fotogrametrija: zagotavljanje podatkov za topografske baze in karte
• Netopografska fotogrametrija: uporaba v bližje slikovnih aplikacijah – dokumentiranje
kulturnih spomenikov, arheoloških najdbišč, uporaba v industriji, medicini…
Sodobni izdelki: ortofoto karte, digitalni model reliefa, obodi streh stavb(centralni register stavb),
topografski podatki za topografske karte, zajem in vzdrževanje topografskih kart, 3D modeli, načrti
stavb kulturne dediščine, načrti arheoloških najdbišč…
4.Kaj vsebuje kalibracijski protokol kamere
Vsebuje podatke o: - koordinatah robnih mark, - koordinate avtokolimacijske točke, točke simetrije
in presečišče robnih mark, - konstanto kamere, -srednjo radialno distorzijo, - datum
kalibracije…
5.Opišite tehnični model centralno projektivne preslikave!
Tehnični model prestavlja realnost. Geometrično ga ni možno popolnoma predstaviti. Leče nimajo
popolnoma identične osi, zato je fizikalna optična os lomljen žarek (avtokolimacijski žarek). Točka
simetrije in glavna točka ne sovpadata (pojav decentrične distorzije). Slikovna ravnina je po
definiciji pravokotna na podaljšek vstopnega avtokolimacijskega žarka. Slikovna ravnina v
realnosti ni povsem pravokotna na matematično optično os.
6.Kaj je distorzija objektiva Kaj je radialna distorzija, kako jo izmerimo in odpravimo
Zasledimo lahko različne matematične modele za posamezne komponente distorzije. Največkrat
različne potenčne in trigonometrične vrste. Splošna oblika za radialno distorzijo je: Δr = k1 * r 3 +
k2 * r 5 + k3 * r 7 + ... , r 2 = x 2 + y 2 , x = x – x s , y = y – y s
k..koeficient radialne distorzije, r…radij vektor merjen od točke simetrije, x,y….slikovne
koordinate reducirane na točko simetrije
Distorzija objektiva je opisana v kalibracijske protokolu fotoaparata.
7.Kaj ja globinska ostrina in kako jo lahko povečamo
Globinska ostrina je območje, kjer se ostro upodobijo tudi objekti, ki sov določeni razdalji pred oz.
za snemano ravnino.
Globinsko ostrino lahko povečamo na 3 načine:
1 12/150

• z uporabo manjše odprtine zaslonke
• z uporabo krajše goriščne razdalje
• večanjem razdalje od predmeta
8.Kaj je ločljivost na fotografiji in kako določimo njeno optimalno vrednost
Ločljivost (L) je lastnost, da na posnetku spoznavamo drobne detajle oz. posamezne podrobnosti
objekta ločeno. Izražamo jo s številom črt, ki jih lahko razločno preštejemo v enem milimetru
(presledki med črtami so enako debeli kot črte). Teoretična meja maksimalne ločljivosti, ki jo na
fotografiji lahko dosežemo na podlagi minimalnega razmika med točkama δ = k/2. Ločljivost je
odvisna tudi od kvalitete optike (objektiva). Napake leč povzročajo optično neostrino, ki
neposredno vpliva na ločljivost. Vpliv teh napak zmanjšamo, če preprečimo obrobnih žarkov vstop
v objektiv (čim bolj zapremo zaslonko). Vendar s tem ne smemo pretiravati (veliko število
zaslonke posledično zmanjša ločljivost). Optimalna ločljivost bo dosežena z zaslonko, pri kateri sta
neostrini u in u min najmanjši (kritična zaslonka).
9.Opišite osnovni princip delovanja CCD senzorja!
Valovanje vidne svetlobe pade na silikonski substrat. Sprostijo se elektroni, njihovo število je
proporcionalno z gostoto pretoka fotonov. Elektroni (njihovo število je odvisno od valovne dolžine
in jakosti svetlobe) se zbirajo v ' shrambi ' potenciala dokler traja čas osvetlitve. Električni naboj iz
fotodiode se preko prenosne mreže in pomičnih registrov prenese na izhodni ojačevalnik.
10.Opišite skupne lastnosti in razlike med senzorji CCD in CMOS!
• Temni lok: eden od šumov, ki ga proizvaja tipalo samo nastane zaradi toplotne energije znotraj
silikona. To je vrednost napetosti, ki je zbrana na svetlobnem elementu, ko ni svetlobe. V
najboljših CCD senzorjih je temni tok okrog 2-10 pA/cm 2 , v optimalnih CMOS senzorjih je 50-
200 pA/ cm 2 . v standardnih CMOS senzorjih pa je 1000 pA /cm 2 .
• Občutljivost: osnovna kriterija za občutljivost piksla sta zapolnjenost in količinska
učinkovitost. Zapolnjenost je razmerje med svetlobno občutljivim delom piksla in celotno
velikostjo piksla. Polni CCD senzor 100%, CMOS standardni senzor 30%.
• Količinska učinkovitost je razmerje med zaznanimi elektroni in vpadlimi elektroni . za
standardne senzorje CCD in CMOS je enaka. Za vidno svetlobo je okrog 50%, s stanjšanjem
CCD senzorjev se pa lahko poveča do 90%.
• Programiranje in možnost dostopa: CMOS direkten dostop do posameznih pikslov, možnost
programiranja na pikselskem nivoju.
• Poraba energije, cena: CMOS porabo 10x manj energije za isto operacijo kot CCD, CMOS ima
samo en čip, CCD ima običajno 4 čipe, CMOS je do 5x cenejši
• Velikost tipal: trenutno največji CCD senzor ima 9216 x 9216 pikslov(1998), CMOS senzor
ima 4096 x 4096 pikslov (2000).
11.Opišite, kako se beleži barva v svetlobnih tipalih!
Svetlobno pisalo ne more samo zaznavati barv, zato so pred vsakim pikslom nameščeni filtri.
Imamo dva postopka: lahko uporabimo Bayerov vzorec ali pa tehnologijo tipala X3.
12.Opišite princip delovanja digitalnega tri-vrstičnega letalskega senzorja.
Princip delovanja:
• Usmerjenost snemanja naprej, vertikalno navzdol in nazaj.
• Koti med snemalno osjo so fiksni.
• Stereoskopske pare je možno tvoriti med pasovi 1in 2, 2 in 3, ter 1 in 3.
• Vsak objekt se pojavi v vseh treh pasovih
• Vrstično tipalo ima 12.000 pikslov za pankromatsko območje , filtre za rdečo, zeleno, modro in
bližnje infrardeče območje.
• Potrebno je precej post- procesiranja takšnih podob
• Procesiranje podobe je v obliki dolgih pasov
2 13/150

13. Narišite skico slikovnega koordinatnega sistema in ga opišite.
y
z
O…projekcijski center
y
Izhodišče k.s je v proj. Centru.
x os je vzporedna z osjo, ki sem jo na
O x skici označila z
c k
y os je vzporedna z osjo, ki sem jo na
skici označila z
Projekcijski center je za c k odmaknjen
od projekcijske ravnine.
Opomba: Nariši še robne marke!
14. Narišite skico modelnega koordinatnega sistema in ga opišite.
1.posnetek z'' y '' 2.posnetek
z
P''
y' y
K 1
x''
k
x' +c k y''
-c k
P' K 2 φ 2
+c k O 2 x''
x k φ 1 b z ω 2
O 1 b x b y x
y' ω 1
P'
x'
P(x,y,z)
z Z 0
y
x 0
y 0
η
x
ξ
Imamo dva posnetka dva slikovna k.s.
ω,φ,K-s temi združimo posnetka
O1…levi projekcijski center
O2…desni projekcijski center
bx,by,bz…so bazne komponente (bx je poljuben)
Izhodišče je v levem proj. centru (dogovor). Levi k.s. je referenčni, desnega definiramo glede na
odnose. Relativna orientacija se nanaša na ta sistem.
15. Napišite osnovno enačbo centralne projekcije in opišite pomen parametrov!
X i = X 0 + λ i * R * x i ….osnovna enačba centralne projekcije
X 0 … koordinate PC v terenskem koor. sistemu
x i….vektorske komponente p, v slikovnem koor. sistemu
R…rotacijska matrika
3 14/150

16. Z besedami opišite postopek linearizacije enačbe centralne projekcije. Zakaj je
linearizacija enačb potrebna in kakšne so posledice linearizacije
Linearizacija je potrebna, ker enačbe niso linearne. Lineariziramo zato, da lahko izračunamo
presečišče premic.
Rabimo začetne vrednosti.
• računamo 6 parametrov ZO iz OT
• min. 3 oslonilne točke, ker imamo 6 neznank.
• izračunamo prostorske koord. poljubnih točk na posnetku.
Izračunamo vrednost začetne funkcije + odvodi po posameznih funkcijah, iščemo diferenciale teh
parametrov. Postopek je iterativen.Posledica linearizacije je, da dobimo približno vrednost.
17. Opišite rotacijsko matriko v enačbi centralne projekcije
• Definirana je kot produkt sekvenčnih rotacij po koordinatnih oseh.
• Rotacijo okoli x osi določa kot omega, okoli y osi kot fi in okoli z osi pa kot kapa.
• Po dogovoru je primarna rotacija omega, sekundarna fi in terciarna kapa.
• Rotacijsko matriko zapišemo kot produkt primarne, sekundarne in terciarne rotacije
18. Opišite ravninske transformacije: podobnostna, afina, bilinearna (število parametrov,
učinek, uporaba)!
Podobnostna transformacija: X = a1 * x – a2 * y + a3 , Y = a2 * x + a1 * y + a3
• 4 parametri (poznati moramo najmanj 2 točki)
• Dve translaciji , rotacija, sprememba merila
• Ohranja se podobnost (kvadrat se preslika v kvadrat)
• Rešimo s posredno izravnavo ali z izpeljanim algoritmom
Afina transformacija: X = a1 * x + a2 * y + a3 , Y = a4 * x + a5 * y + a6
• 6 parametrov (najmanj 3 točke)
• Rotacija, 2 translaciji, 2 spremembi merila, prečni strig
• Podobnost se ne ohranja (kvadrat se preslika v romboid)
• Rešimo s posredno izravnavo ali z izpeljanim algoritmom
Bilinearna transformacija: X = b1 * x + b2 * y + b3 * x * y + b4 ,
Y = b5 * x + b6 * y + b7 * x * y + b8 ,
Z = a1* X +a2 * Y + a3 * X * Y + a4.
• 8 parametrov (najmanj 4 točke )
• Parabolični hiperboloid
• Ohranja položaj pri natanko 4 točkah
• Rešimo s posredno izravnavo
• Uporaba pri interpolaciji Z v mreži DMR, tudi pri interpolaciji sivih vrednosti v digitalni sliki
19. Kaj je digitalna slika Opišite pojme: okolica piksla, vhodna in izhodna matrika. Kako
vzpostavimo slikovni koordinatni sistem na digitalni sliki
Digitalna slika:
Pretvorba intenzitete sivine oz. barve v digitalni zapis.
Matrika celih pozitivnih števil, vključno z 0.
• definicija koord. sistema
• geometrija je podana z definicijo koord. sistema in velikostjo piksla, središče piksla
• predstavlja slikovne koordinate.
• radiometrične vrednosti – stopnja sivine ali barve.
• postopek A/D pretvorbe imenujemo skeniranje
Okolica pixla:
Najbližja okoli
Najbližja okolica tega pixla je (3x3).
4 15/150

Lahko bi bila tudi (5x5) ali več.
Izjemoma lahko vzame tudi to za okolico.
Vhodna in izhodna matrika:
Osnovna po
Osnovna podoba je vhodna matrika.
Vhodna matrika
Izhodna matrika
transformacija
Ni nujno, da imata vhodna in izhodna matrika enako pikslov, in tudi ni nujno, da so pixli enako
veliki.
Slikovni koordinatni sistem vzpostavimo, ko merimo robne marke.
Povezava med slikovnim koord. sistemom in koord. sistemom digitalne slike preko ravninske
transformacije (podobnostna, afina).
20. Kaj je histogram digitalne slike Opišite primere uporabe.
Porazdelitev pogostosti(frekvenčna porazdelitev) posameznih sivih vrednosti. Histogram tipične
naravne slike se običajno nagiba k temnim vrednostim. V temnih področjih so podrobnosti slabo
ločljive. Ločljivost detajla lahko izboljšamo z izenačenjem relativne frekvence vseh sivin v
histogramu ali s pretvorbo histograma v obliko hiperbolične funkcije.
Primer:
s
Preštejemo koliko je določenih vrednosti na sliki.
Pove nam, ali je slika bolj temna ali bolj svetla.
T
90 255
Določimo ta pogoj, da prečistimo sliko. Kar je90 je belo. V matriki se to
izpiše samo z 0 ali z 1. Če enke med seboj povežemo, dobimo črto.
21. Naštejte vrste operacij z digitalnimi slikami. Napišite primere točkovnih in lokalnih
postopkov na digitalni sliki.
Vrste operacij:
• Geometrične-spremenijo geometrične odnose med posameznimi piksli.
• Radiometrične-pikslom spremenijo le barvo oz. sivino, geometrični odnosi ostanejo
nespremenjeni.
• Frekvenčne-so operacije v frekvenčnem prostoru.
Primeri točkovnih postopkov:
• Spremeba barve oz. sivine slike(prevedbene funkcije ali tabele, sliko lahko posvetlimo,
potemnimo, spremenimo negativ v pozitiv…, sliko, ki ne zavzema celotnega območja razpona
barv oz. sivin lahko raztegnemo na celo območje).
• Spreminjanje histogramov.
Primeri lokalnih postopkov:
5 16/150

• Upoštevamo sivine sosednjih pikslov.
• Postopki glajenja in postopki izostritve.
• Izostritev slike(slike s poudarjenimi robovi bolj ugajajo. Zameglitev slike je rezultat
povprečenja. Izostrujemo s postopki, ki slonijo na odvajanju funkcije).
• Gradient slikovne funkcije (usmerjen v smeri največje spremembe funkcije, njegova dolžina
predstavlja velikost spremembe).
22. Kaj je slikovno ujemanje Opišite princip postopka.
Je korelacija.
• Cilj: avtomatsko iskanje homolognih točk na sliki.
• Iščemo merilo podobnosti-korelacijo med piksli.
Več kriterijev za ugotavljanje podobnosti(korelacijski koeficient, metoda najmanjših kvadratov,
primerjava površin).
23. Pri katerih fotogrametričnih nalogah se uporabljajo metode slikovnega ujemanja
Cilj je avtomatsko iskanje homolognih točk . Naslanjati se moramo na pravilo,
kdaj bodo dve točki isti. Iščemo korelacije – funkcijsko povezavo med dvema
točkama na levem in na desnem posnetku. Za ugotavljanje podobnosti je več
kriterijev. Uporablja se za zajem stavb, določanje veznih točk.
24. Kaj je slikovna piramida in kje se uporablja
Težavna obdelava velikih digitalnih slik(Ram, procesorska moč).
• Piramide: Nivojska struktura, vsak nivo ima svojo ločljivost in dimenzijo, vsak nivo ima 1/2
manjšo ločljivost od prejšnjega(vsak nadaljnji nivo je ¼ prejšnjega), znotraj nivojev je slika
razdeljena na bloke, končna velikost piramidne slike je za1/3 večja od originalne slike.
25. Kaj je normalni primer fotogrametričnega snemanja Za katere naloge se uporablja
Je idealen primer, ko sta snemalni osi posnetkov normalni (pravokotni) na bazo, slikovni osi x
obeh posnetkov ležita na isti premici, ki je vzporedna z bazo.
Uporaba: -v analognem obdobju pri terestičnem snemanju, meritve horizontalne paralakse na
stereokomparatorju.
-danes pri postopku slikovne korelacije, princip delovanja fotolaserskega skenerja.
26. Opišite načine vzpostavitve notranje orientacije posnetka oz. digitalne slike.
• V praksi izvedemo preko: meritev robnih mark na analognih posnetkih, reseau mreže, vrstic in
stolpcev v slikovni matriki.
• Če uporabimo digitalni fotoaparat je slikovna matrika že neposredno v slikovnem
koordinatnem sistemu, takšni fotoaparati za to nimajo robnih mark.
• Funkcija reseau mreže:-steklena plošča z vgraviranimi križi nameščena pred filmom,-križi
služijo kot robne marke in za kompenzacijo nevarnosti filma v trenutku snemanja.
27. Kaj so enoslikovni postopki v fotogrametriji Opišite njihov osnovni potek.
Postopki ene slikovne fotogrametrije so tisti postopki, pri katerih rekonstrukcijo vsebine izvedemo
iz samo enega posnetka-podobe naenkrat. Objekt/območje iz vrednotenja je pri tem lahko
ravninski ali prostorsko razgiban.
Enoslikovni postopki se v fotogrametriji smatrajo kot posebni postopki, saj praviloma za
rekonstrukcijo prostorskega objekta potrebujemo najmanj dva posnetka/podobi.
28. Opišite načine merjenja slikovnih koordinat in robnih mark. Kako natančno jih lahko
merimo
Merimo jih lahko na dva načina: monoskopsko in stereoskopsko.
Monoskopsko merjenje:
• Digitalizator
• Ekranska vektorizacija
• Monokomparator
• Stereokomparator
6 17/150

• Analitični fotorametrični instrujment
• Digitalna fotogrametrična postaja
Stereoskopsko merjenje:
• Stereokomparator
• Analitični fotorametrični instrujment
• Digitalna fotogrametrična postaja.
29. Naštejte in kratko opišite popravke slikovnih koordinat.
Izmerjene koordinate (strojne) je treba najprej transformirati v slikovni koor. sistem
S transformacijo delno kompenziramo deformacijo filma in merske pogreške instrumenta
• popravki slikovnih koordinat zaradi radialne distorzije:
Postopek:
- redukcija slikovnih koordinat na točko simetrije
-izračun radialnih razdalj točk od točke simetrije
-upoštevanje radialnega popravka
-izračun popravka slikovnih koordinat
• popravki slikovnih koordinat zaradi atmosferske refrakcije( pri topografskih aplikacijah)
-upoštevati jih je potrebno pri projektih z visokimi zahtevami natančnosti
-svetlobni žarki se ukrivijo v odvisnosti od zračnega pritiska, temperature, vlažnosti zraka
-del žarka med slikovno ravnino in PC laho obravnavamo kot tangento žarka v PC
-koeficient refrakcije se spreminja z meteorološkimi pogoji
• popravki slikovnih koordinat zaradi ukrivljenosi zemlje (pri topog. aplikacijah)
- ni sistematični pogrešek fotogrametrije temveč problem definicije koord. sistema
-s fotogrametričnimi metodami dobimo koordinate v 3D kartezičnem koord. sistemu; višine se
nanašajo na geoid. oz. elipsoid; XY koor. so zaradi projekcije na ravnino bolj ali manj popačene.
30.Naštejte in kratko opišite postopke orientacije posameznega posnetka oz. digitalne slike v
prostoru.
Določitev orientacije posnetka :
• Prostorski zunanji urez
• Projektivna transformacija
• Direktna linearna transformacija
• Metode z uporabo geometričnih podatkov objekta
• Redresiranje ravnih objektov
• Diferencialno redresiranje razgibanih objekov
Izdelki z uporabo samo enega posnetka:
-zajem vektorskih podatkov (metoda »monoploting«-enostavna metoda, ki se jo uporablja za npr.
nahajališča poplavljenih območij)
-redresiran posnetek
-ortofoto(fotografija v ortogonalni projekciji)
31.Kakšne vrste posnetkov glede na naklonski kot snemalne osi poznamo in kakšne so
lastnosti perspektivne slike
Ti posnetki so:
• Nadirni – snemalna os normalna na zemeljski elipsoid
• Vertikalni (naklonski kot manjši od 5º)
• Poševni ( naklonski kot večji od 5º)
• Panoramski ( naklonski kot malo manjši od 90º)
• Horizontalni ( naklonski kot je 90º)
Lastnosti perspektivne slike:
• Vzporednice, ki so pravokotne na snemalno os, so tudi na sliki vzporedne, druge vzporednice
konvergirajo k skupni točki- bežišču
7 18/150

• Vsa bežišča v naravi horizontalnih vzporednic ležijo na isti premici- horizontu
• Vse slike vertikalnih linij objekta konvergirajo k nadirni točki, če je snemalna os horizonta , je
nadirna točka v neskončnosti; vertikalne linije objekta se preslikajo pravokotno na horizont
• Slika enako velikih objektov je manjša, če so na večji oddaljenosti od PC
32.Naštejte in kratko opišite numerične načine za izračun elementov zunanje orientacije
posnetka.
• Ločeno za vsak posnetek: izračun 6 elementov zunanje orientacije za vsak posnetek po enačbah
centralne projekcije (prostorski zunanji urez)
• Sočasno za oba posnetka: enostopenjski izračun. Merimo slikovne koordinate oslonilnih točk in
novih točk
• Sočasno in dvostopenjsko:postopek lahko izvedemo analitično ali na analognih instrumentih.
33. Podrobno opišite dvostopenjski izračun orientacije stereopara.
V prvi stopnji privedemo posnetka v medsebojni položaj, da presečišča homolognih žarkov
oblikujejo model (t.i. relativna operacija stereopara). Rešimo 5 neznank od skupnih 12.
V drugi stopnji model postavimo v pravilen položaj in merilo v prostoru ( t.i. absolutna
orientacija). Rešimo preostalih 7 neznank.
34. Katere različne postopke relativne orientacije poznamo Za vsak postopek napišite
parametre, ki jih upoštevamo.
Glede na izbiro petih parametrov ločimo dva različna posnetka:
• Relativna orientacija z vrtenjem posnetkov (posnetka le vrtimo, njun položaj ostaja
nespremenjen)
• Relativna orientacija z priorientacijo ( prvi posnetek ostane nespremenjen, drugega pa
premaknemo in zasukamo)
35. Opišite značilnosti analitičnega fotogrametričnega inštrumenta.
• Rekonstrukcija enačb centralne projekcije realizirana računsko (analitično)
• Opazujemo analogne posnetke, zato še vedno prisotni mehanski deli (nosilci posnetkov,
servomotorji za premikanje posnetkov), včasih je bil računalnik priključen še na risalnik
• Optično opazovanje stereoparov
• Možno meriti slikovne koordinate in modelne koordinate
• Možnost superimpozicije različnih vsebin
• Poseben računalniški procesor skrbi za hitre računske operacije
• Običajna računalniška oprema za uporabniške programe
36.Opišite značilnosti digitalne fotogrametrične postaje. Kakšne so prednosti in slabosti
digitalne fotogrametrične postaje
• Ni več posebnih mehanskih delov
• Opazujemo digitalne podobe
• Stereoskopsko opazovanje rešeno na več načinov, merska marka je digitalno projecirana v
podobo
• Zmogljiv računalnik, ustrezen računalniški zaslon, programi
• Velika flesibilnost in možnost velike stopnje avtomatizacije
• Uporaba kratic: DPS – digitalni fotogrametrični sistem, DPWS – digitalna fotogrametrična
postaja
Prednosti:
• Združitev vseh postopkov v eni napravi
• Ni optično-mehanskih delov
• Konstantna geometrija in radiometrija slike
• Integracija algoritmov za obdelavo podob
• Raster/vektor kombinacije možne
• Pri aerotriangulaciji ni umetnega označevanja veznih točk
8 19/150

• Izbira velikosti in oblike merske marke
• Ni potrebno ponavljati meritev za notranjo orientacijo
• Simultana obdelava velikega števila slik
Slabosti:
• Velike količine digitalnih podatkov
• Daljši časi obdelave
• Potreben natančen fotogrametrični skener
• Kompleksna obdelava podob
• Zahteve po kvalitetnem in primernem zaslonu
• Kakovost stereo-opazovanja manjša
37.Naštejte sisteme za 3D opazovanje posnetkov in vsakega na kratko opišite.
• Sistemi leč in zrcal
• Anaglifna metoda: enostavna metoda, ne omogoča velike kakovosti merjenja, uporabna bolj za
komercialne namene, uporaba tudi v filmski industriji
• Barvna stereoskopija: precej nova metoda, različne barve se na leči različno lomijo, 3D
opazovanje na ekranu ali tiskanih medijih, posebna očala, primerna za prikaz reliefa
• Hitro menjajoče podobe: menjavanje leve in desne slike z veliko frekvenco, podobe gledamo s
posebnimi očali z vgrajenim senzorjem za preklapljanje podob, sinhronizacija z zaslonom,
danes precej razširjena uporaba
• Polarizacijska metoda: potrebni posebni zasloni, ki omogočajo polarizacijo podob, pasivna
polarizacijska očala, polarizacija je lahko v različnih smereh (horizontalno/vertikalno, v smeri
urinega kazalca in v nasprotni smeri)
• Avtostereoskopski zasloni: imamo dva principa avtostereoskopski zaslonov:
--paralaksna metoda (pred digitalno sliko je postavljena mreža, ki tvori okna in pregrade; izguba
svetlobe). –metoda z lečami (pred zaslonom je tanka plošča iz bikonveksnih leč)
38. Opišite izdelavo plana letalskega snemanja.
Upoštevati moramo:
• Mejne sposobnosti letala
• Delovna območja instrumenta za izvrednotenje
• Vrsto končnega izdelka
• Relief zemljišča
• Zahtevano natančnost
• Razdelitev območja na liste
39. Kaj je vzdolžni in kaj prečni preklop med posnetki v bloku Kakšen je najmanjši
vzdolžni in prečni preklop med posnetki v bloku (utemeljite) Od česa je odvisno merilo
posnetka
• Vzdolžni preklop posnetkov je odvisen od načina rabe posnetkov. Za stereoizvrednotenje je
nujno, da se posnetki prekrivajo vsaj 60%. Običajno je vzdolžni preklop posnetkov (v smeri
leta) 60%, prečni preklop (med pasovi) pa 30%.
• Prečni preklop posnetkov 30% zagotavlja zadosten preklop za določitev homolognih točk med
pasovi tudi pri najmanjši odstopanjih parametrov pri snemanju oz. da ne pride do ' lukenj ' med
pasovi.
• Merilo posnetka je odvisno od konstante kamere in snemalne višine
40. Opišite značilnosti aktualnega cikličnega aerosnemanja v Sloveniji.
• Začetek leta 1975
• V triletnih ciklih (od leta 1985) pokrito celotno ozemlje države s posnetki v merilih 1 : 10 000
(intenzivna območja) oz. 1 : 17500 (ostala območja). Od leta 1996 poenoteno merilo snemanja
1 : 17500.
9 20/150

• Po uvedbi cikličnega aerosnemanja so se vsa ostala snemanja poimenovala kot ' posebna
aerosnemanja '
• Aerosnemanje v Sloveniji izvaja Geodetski zavod.
41. Kaj je digitalni ortofoto Naštejte in kratko opišite faze pri njegovi izdelavi. Kaj so
vhodni podatki in kaj rezultati pri izdelavi ortofota
Ortofoto je fotogrametrični izdelek, ki ga dobimo s transformacijo posnetka v ortogonalno
projekcijo. Digitalni ortofoto izdelamo z digitalnimi postopki.
Faze:
• Skeniranje posnetkov
• Orientacija posnetkov
• Priprava digitalnega višinskega modela
• Geometrična in radiometrična transformacija
• Združevanje posnetkov
• Oprema karte
• Zapis na digitalni medij/ izris
Vhodni podatki:
• Skeniran aeroposnetek
• Parametri orientacije posnetka
• Digitalni model reliefa (če že obstaja)
Rezultati:
• Ortofoto karta
• Digitalni model reliefa
42. Opišite postopka geometrične in radiometrične transformacije pri izdelavi ortofota.
Geometrična transf:
• iščemo presek slikovnega žarka z modelom reliefa (XY)
• vhodna matrika je digitalni posnetek
• izhodna matrika je digitalni ortofoto
Vhodna in izhodna matrika nimata enako velikega pixla.
Radiometrična transf:
• vsakemu pikslu ortofota priredimo ustrezno radiometrično vrednost(stopnja sivine ali barve)
• uporabimo lahko različne metode; najbližje sosedstvo, bilinearno interpolacijo, polinomske
interpolacije
43. Kaj vpliva na kakovost ortofota Razložite pomen in vpliv kakovosti DMR na kakovost
ortofota.
• Resolucija, kakovost in vsebina vhodne slike
• Natančnost parametrov orientacije
• Kakovost DMR
• Uporabljena metoda za interpolacijo radiometričnih vrednosti
Časovna ažurnost vhodne slike
Postopek izdelave ortofota je danes optimiziran in ekonomičen, DOF in DMR sta tesno povezana
(kakovost izdelave v isti produkcijski liniji), DOF ne more popolnoma nadomestiti karte,
doseganje zahtevne kakovost je možno le ob doslednem upoštevanju vseh potrebnih kriterijev, za
pravilno uporabo posnetka je potrebno določeno znanje.
44. Primerjajte ortofoto in karto (podobnosti, razlike, uporaba).
• Ortofoto je fotografski prikaz
• Geometrična natančnost karte in ortofota v istem merilu je le teoretično enaka
• Omejitev pri ortofotu je velikost piksla
• Drugi parametri, ki vplivajo na kakovost: DMR (težave v zaraščenih in urbanih predelih),
interpretacija vsebine (izkušenost interpretalca, radiometrična kakovost..)
10 21/150

45. Opišite glavne tehnične karakteristike izdelka DOF5. Naštejte in kratko opišite področja
uporabe ortofota.
• Sistemski izdelek (GURS)
• Merilo karte 1 : 5000
• Velikost piksla v naravi 0.5m
• Velikost skeniranega piksla 0.15 μm
• Velikost celice DMR je 25m
• V črno – beli tehniki (izjemoma barvno)
• Vzdrževanje – povprečno 6 let (od 3 do 9)
• Po naročilu možna izvedba ortofota v drugih merilih (1 : 1000)
Področja uporabe:
• Rastrski sloj v GIS
• Geodetske podlage na osnovi ortofota
• Različne vizualizacije (ortofoto projeciran na DMR, ortofoto in 3D stavbe, dodan grafični
prikaz parcel iz podatkov zemljiškega katasra
46. Kaj je projekt aerotriangulacije in kaj so želeni rezultati in ekonomski cilji projekta
• Projekt aerotriangulacije je kompleksen projekt, ki ga sestavlja več faz.
• Želeni rezultat projekta je sočasen izračun parametrov vseh posnetkov oz. modelov v bloku in
izračun prostorskih koordinat vseh točk, ki so nastopale v izravnavi.
• Ekonomski cilj projekta je zmanjšanje potrebnega števila oslonilnih točk v postopku izravnave.
47. Kakšna je razlika med metodo neodvisnih modelov in metodo blokovne izravnave s
snopi Opišite oba matematična modela
Pri prvi je osnovna enota za izravnavo stereomodel, pri drugi metodi pa posamezen izdelek.
Metoda neodvisnih modelov:
• osnovna enota za izravnavo je stereomodel
• povezava preko parametrov absolutne orientacije
• je manj natančna metoda
• enačbe so linearne
• (x,y,z) (X,Y,Z)
Metoda blokovne izravnave:
• osnovna enota za izravnavo je posamezen posnetek
• povezava preko parametrov zunanje orientacije posnetkov
• ta metoda se bolj uporablja od prejšnje
• enačbe je potrebno linearizirati
• (x,y) (X,Y,Z) (iščemo prostorske koordinate)
48. Naštejte in opišite glavne faze projekta aerotriangulacije.
Načrtovanje projekta
• Terenska dela
• Aerosnemanje
• Skeniranje
• Fotogrametrične meritve
• Izravnava in ocena rezultatov
• Izdelava tehničnega elaborata
49. Kaj so vezne točke, njihov pomen in načini njihovega merjenja.
• Fotogrametrične točke, ki povezujejo homologene točke na čim več posnetkih hkrati
• Primerna razporeditev v območju Gruberjevih točk
• Zelo vplivajo na natančnost AT
• Z večanjem njihovega števila narašča natančnost
11 22/150

• Lahko so : signalizirane točke, umetno označene točke, točke detajla
• Danes jih merimo s polavtomatskimi ali avtomatskimi metodami slikovnega ujemanja
50. Zakaj potrebujemo državni topografsko kartografski sistem in katera bistvena vsebina je
v njem opredeljena
Državni topografsko – katastrski sistem je sklop vseh topografskih podatkov o prostoru v
numerični ali grafični obliki, analogni in digitalni obliki, ki jih za potrebe državnih organov in
ostalih uporabnikov vzpostavlja in vodi GURS.
Bistvena vsebina:
• zemljepisna imena
• državni k.s., mreža geodetskih točk
• relief
• topografske(kartografske) baze
• prostorske enote
• pregledne in druge karte
51. Opišite pomen objektnega kataloga topografske baze. Katera vsebina je v njem
opredeljena
Objektni katalog: je abstraktni model in zbirka topografske vsebine in nam navaja
posamezne definicije objektnega tipa (definicija pojma, definicija objekta v bazi,
geometrični parametri, tematski atributi), osnovni vir in metodo zajema, kriterije in
način zajema in topološko obliko. Pomen objektnega kataloga je v tem, da je zajem
podatkov standardiziran in da so z definicijami objektov nesporno določeni objekti in
njihov način vektorizacije
52. Kakšen je namen tehničnega dokumentiranja kulturne dediščine Opišite različne nivoje
fotogrametričnega dokumentiranja kulturne dediščine.
• Ohranjevanje in vzdrževanje objektov kulturne dediščine
• Izdelki so namenjeni različnim uporabnikom
• Interdisciplinarno združevanje panog z namenom ohranitve kulturnih spomenikov za prihodnje
rodove
Nivoji:
• Fotografija
• Pravila 3 x 3
• Preventivna snemanja
• Izdelava dokumentacije do končnega izdelka
53. Opišite faze pri izdelavi tehnične dokumentacije kulturne dediščine od dogovorov do
končnih izdelkov.
• Uvod: zahteva naročnika po pripravi ponudbe, terenski ogled, priprava ponudbe, podpis
pogodbe
• Pripravljalna dela: naveza stika s strokovnim sodelavcem, zbiranje obstuječe dokumentacije,
meritev
• Terensko delo: izdelava terenskih skic, geodetska mreža, fotogrametrično snemanje, meritve
• Geodetska mreža: določitev in stabilizacija točk mreže, izdelava topografij mreže, izmera in
navezava geodetske mreže na državni koor. sistem (Gauss-Krueger)
• Fotogrametrično snemanje objekta: smenanje s fotogrametrično kamero, snemanje z malo
slikovno kamero
• Geodetske meritve: stik objekta s terenom, detaljna izmera za potrebe izdelave situacijskih
načrtov, izmera prerezov, tlorisov, posameznih delov objekta, ki niso vidni na stereoparih,
izmera oslonilnih in kontrolnih točk, dopolnilne meritve
• Urejanje fototeke: določevanje stereoparov, izdelava skice snemanja
12 23/150

• Izračun geodetskih meritev: izračun koordinat točk geodetske mreže, izračun točk za prereze,
tlorise, detaljnih, oslonilnih in kontrolnih točk
• Izdelava načrtov: tvorjenje projekcijskih ravnin, vnos izmerjenih točk v sliko, fotogrametrično
izvrednotenje stereoparov, prikaz zajetega detajla na načrtu, testni izrisi, vnos pripomb in
pomanjkljivosti v načrt, končni izrisi
• Zaključek projekta: izdelava poročila, izris načrtov, zapis izdelkov na digitalnem mediju,
predaja izrisane tehničnne dokumentacije naročniku
54. Naštejte vrste fotogrametričnih izdelkov kulturne dediščine in kratko opišite njihovo
uporabo.
Osnovni namen izdelave tehnične dokumentacije spomenikov je, da se s fotogrametričnimi in
geodetskimi meritvami izdelajo, dopolnijo ali obnovijo načrti zgradb, ruševin, poslikav,
arheoloških najdišč…
Izdelki arhitekturne fotogrametrije:
• tabela ali dvodimenzionalni – grafični načrti
• redresirani posnetki, fotomozaiki
• kombinacija grafičnega načrta in rastrske slike
• metrična rekonstrukcija porušenih objektov iz obstoječih fotografij
• 3D modeli objektov
• 3D prikazi mest
• preventivno fotogrametrično snemanje
55. Opišite princip delovanja laserskega skeniranja iz zraka.
• Površina terena se skenira iz letala. Meri se čas potovanja impulza (žarka) od izvora do
sprejema vrnjenega signala. Laser se premika pravokotno na smer leta, beleži se kot premika.
Na ta način dobimo polarne koordinate, ki jih je treba transformirati v X,Y,Z koordinate
• Potrebujemo pozicijo skenerja v času snemanja, ki se dinamično spreminja. Te podatke dobimo
iz sistema POS, ki ga običajno sestavlja GPS sprejemnik in IMU.
• GPS, IMU in laserski skener so sinhronizirani v okviru mikrosekunde, izmeriti je treba tudi
ekscentritete.
• Vzdolž poti žarka lahko pride do odboja (refleksije) žarka na različnih mestih. Običajno se
beleži prvi in zadnji odboj.ž
• Prvi odboj nastane na vrhovih dreves, na strehah, zadnji odboj nastane na terenu, cesti.
• Večina laserskih skenerjev meri oba odboja
• Med prvim in zadnjim odbojem pa mora biti dovolj velika dolžinska razlika, da senzor lahko
prepozna signal. Le ta znaša 1.5m.
• Nekateri signali se ne vrnejo (gladke površine – voda)
• Absorcija žarkov je odvisna tudi od kota, pod katerim pade na površino
56. Opišite glavne razlike med fotogrametrijo in laserskim skeniranjem (iz zraka).
• V gozdnih in urbanih območjih ima lasersko skeniranje veliko prednosti
• Aktivni senzorji omogočajo, da je lasersko skeniranje neodvisno od naravne svetlobe, oblaki pa
so vseeno moteči.
• Lasersko skeniranje ne rabi teksture površin objetov
• Natančnost fotogrametrije je močno odvisna od višine leta in vrste fotoaparata. DMR, ki ga
izpeljemo iz laserskih podatkov je precej neodvisen od višine leta, večji je vpliv gostote točk.
Gostota točk je odvisna od hitrosti leta, višine leta, odprtinskega kota skenerja, hitrosti merjenja
skenerja.
• Lasersko skeniranje ima napram fotogrametriji dve glavni slabosti: * resolucija je bistveno
manjša, * daje samo geometrične podatke o skenirani površini, fotografija daje tudi vsebino v
vidnem in bližnjem infra-rdečem območju.
• Idealno bi bilo, če bi lahko obe metodi združili
13 24/150

57. Naštejte vsaj pet področij (aplikacij), na katerih se lasersko skeniranje uspešno
uporablja.
• Topografske baze ekvivalentne grafičnim merilom 1 : 10 000 in 1 : 50 000
• Topografske baze ekvivalentne grafičnem merilu 1 : 5000
* Stereofotogrametrija
* DMR in situacija, ortofoto, stavbe
* Za določitev DMR v gozdnatih in urbanih predelih
• Topografske baze ekvivalentne grafičnemu merilu 1 : 1000
* DMR, situacija, ortofoto oz. foto modeli, CAD modeli stavb
* določanje območij visokih vod
* v primeru naravnih katastof
58. Kakšne značilnosti imajo visokoresolucijske satelitske podobe V čem so podobne
fotogrametričnim posnetkom oz. v čem se razlikujejo
Pojem visokoločljiv se nanaša predvsem na prostorsko resolucijo (okrog 1m pankromatsko,
nekaj m multispektralno)
Prostorska ločljivost : velikost najmanjših predmetov, ki jih podobah zaznamo, odvisna od
oddaljenosti in vidnega polja senzorja, niska, srednja in visoka ločljivost podobe.
Merilo-razmerje med razdaljo na karti in dejansko razdaljov naravi(podobe majhnega in
velikega merila).
Optični satelitski posnetki:
Cena narašča linearno s površino
Digitalen zajem podatkov
Hkraten zajem v vidnem in IR spektru
Mozaičenje je enostavno
Zaradi polarne tirnice poteka snemanje S-J
Podobo dobimo v nekaj dneh po zajetju, v
primeru oblačnosti lahko za zajetje traja več
tednov ali celo mesecev
»klasična« letalska fotografija
Cena narašča počasneje
Zajem podatkov na film, skeniranje;potrebni
popravki zaradi gibanja
Ponavadi posebej pan, barvni in IR
Mozaičenje je zapleteno
Možna je katerakoli smer snemanja
Dobavljivost podobe je odvisna od stopnje
obdelave, snemanje je odvisno od vremenskih
razmer
59. AKTUALNI PROJEKTI GURS.
Skupna baza podatkov o posredovanju v prometu z nepremičninami
Prenovljen katalog digitalnih podatkov Državna geodezija
Pretvorba ZK načrtov iz arhiva ZK v digitalno obliko
Postavitev permanentnih GPS postaj državne mreže v Novi Gorici, Radovljici in v
14 25/150

15 26/150

1) Katera so glavna tehnološka obdobja fotogrametrije in značilnosti teh obdobij
‣ Grafično (1850-1900):
• začetek A. Lausedat (topografija) in A. Meydenbauer
(arhitekturna fotogrametrija).
‣ Analogno (1901-1950):
• O.Pulfrich 1901 iznajde stereokomparator, E. von Orel 1909
iznajde stereoautograf; iznajdba letala.
‣ Analitično (1950-1980):
• U.V. Helava 1956 objavi prvi prototip analitičnega inštrumenta;
operativni razmah šele v sedemdesetih letih 20. stoletja;
iznajdba računalnika.
‣ Digitalno (1980-...):
• prve satelitske podobe (1972 satelit Landsat) sprožijo razvoj
digitalnega zajema podob, razmah v devetdesetih letih 20.
stoletja.
2) Značilnosti fotogrametrije, njene prednosti in nove dopolnilne tehnologije.
Značilnosti!
Prednosti fotogrametrije:
‣ hiter in relativno poceni zajem prostorskih podatkov za topografske in druge
aplikacije,
‣ v osnovi zagotavlja 3D podatke,
‣ brezkontaktna metoda, idr.
Nove dopolnilne tehnologije:
‣ lasersko skeniranje (Lidar),
‣ visokoresolucijski satelitski sistemi,
‣ radarski sistemi, idr.
3) Opišite delitev fotogrametrije glede na izdelke. Naštejte primere sodobnih
fotogrametričnih izdelkov
Delitev!
‣ ortofoto karte,
‣ digitalni model reliefa,
‣ obodi streh stavb (Centralni register stavb),
‣ topografski podatki za topografske baze,
‣ zajem in vzdrževanje topografskih kart (DTK 25, DTK 50),
‣ 3D modeli (mest, pokrajin, stavb),
‣ načrti stavb kulturne dediščine,
‣ načrti arheoloških najdišč,
‣ ...
27/150

4) Kaj vsebuje kalibracijski protokol kamere
Kalibracijski protokol merske kamere vsebuje minimalno naslednje podatke:
‣ koordinate robnih mark,
‣ koordinate avtokolimacijske točke,
‣ točke simetrije in presečišče robnih mark (vse v istem koordinatnem sistemu),
‣ konstanto kamere,
‣ srednjo radialno optično distorzijo,
‣ datum kalibracije, idr.
5) Podrobno opišite tehnični model centralno projektivne preslikave.
predstavlja realnost; geometrično ga ni možno popolnoma predstaviti;
leče nimajo popolnoma identične osi, zato je fizikalna optična os lomljen žarek
(=avtokolimacijski glavni žarek),
točka simetrije in glavna točka ne sovpadata (pojav decentrične distorzije),
slikovna ravnina je po definiciji pravokotna na podaljšek vstopnega avtokolimacijskega
žarka,
slikovna ravnina v realnosti ni povsem pravokotna na matematično optično os, itd.
6) Kaj je distorzija objektiva Kaj je radialna distorzija, kako jo izmerimo in
odpravimo
asimetrična in tangencialna,
asimetrična: nastane zaradi majnih napak v centriranju posameznih leč; predstavimo jo z
izbranim matematičnim modelom,
tangencialna: tista komponenta distorzije objektiva, ki je pravokotna na radialno
distrozijo; različni vzroki (npr. napake v brušenju leč); prestavimo jo z matematičnim
modelom.
V literaturi zasledimo različne matematične modele za posamezne komponente distorzije;
največkrat različne potenčne in trigonometrične vrste.
Splošna oblika za radialno distorzijo:
k ... Koeficienti radialne distorzije, r ... radij vektor merjen od točke simetrije, ... slikovne
koordinate reducirane na točko simetrije
Model za asimetrično distorzijo:
28/150

Δx
= s
Δy
= s
Δx,
Δy
s , s
1
2
1
2
2 2
⋅( r + 2x
)
2 2
⋅( r + 2y
)
+ 2s
⋅ x ⋅ y
2
+ 2s
⋅ x ⋅ y
1
... popravek slikovnih koordinat
... parametra asimetrič.
distorzije
Distorzija objektiva je opisana v kalibracijskem protokolu fotoaparata.
V obliki tabele ali grafa:
7) Kaj je globinska ostrina in kako jo lahko povečamo
Objekti, ki so v fotografski neskončnosti – upodobijo se ostro, če je slikovna ravnina v gorišču
optičnega sistema.
Objekti, ki so bliže fotografski neskončnosti – slikovna ravnina ustrezno odmaknjena od gorišča
(objekt moramo “fokusirati”).
Zadovoljivo ostro se upodobijo tudi objekti, ki so v določeni razdalji pred oz. za snemano ravnino – to
območje imenujemo globinska ostrina.
29/150

OR ... objektna ravnina as, bs ... sprednja globina
SR ... slikovna ravnina az, bz ... zadnja globina
1 1
+ =
a b
a ⋅ f
b =
a − f
d
b
a
s
s
u
=
b − b
2⋅
as
⋅ a
a =
a + a
s
d ⋅ a ⋅ f
=
d ⋅ f + u ⋅
2
a ⋅ f
as
=
2 f
f + ⋅u
⋅
d
če sta a in a dana :
s
1
f
s
z
z
z
( a − f ) d ⋅ f − u ⋅( a − f )
z
b
s
a
=
a
d
b
števec in imenovalec množimo z
z
s
s
⋅
−
f
f
u
=
b − b
a
a
z
z
=
=
b
z
a
=
a
2
( a − f ) f − ⋅u
⋅( a − f )
z
z
⋅
−
f
f
d ⋅ a ⋅ f
f
= k
d
a ⋅ f
f
d
2
( številka
zaslonke)
Če za vrednost az izberemo neskončno (globinska ostrina je od as do neskončno):
2
⎛ d ⎞ d f
a∞
= f ⋅⎜
+ 1⎟
≈ f ⋅ =
⎝ u ⎠ u ⎛ f ⎞
⎜ ⎟⋅u
⎝ d ⎠
V praksi nas velikokrat zanima vprašanje, s kakšno neostrostjo ui moramo računati, če je
nastavljena oddaljenost a in dejanska oddaljenost ai:
u
i
⎛
⎜
=
⎝
a
a
i
⎞
−1
⎟ ⋅ f
⎠
f
( a − f ) ⋅ d
2
Globinsko ostrino lahko povečamo na tri načine:
‣ z uporabo manjše odprtine zaslonke,
‣ z uporabo krajše goriščne razdalje,
‣ z večanjem razdalje od predmeta.
Pri isti odprtini zaslonke z digitalnim fotoaparatom dosežemo večje polje globinske
ostrine kot pri klasičnih fotoaparatih.
Svetlobni žarek je v fizikalnem smislu valovanje – energija svetlobe naredi v fotosloju
sliko točke majhne ploščice premera u. Iz izkušenj je dokazano, da je najmanjši možni u
za srednjo valovno dolžino svetlobe λ = 0,55 µm:
30/150

u
min
≈ k =
f
d
[ μm]
8) Kaj je ločljivost na fotografiji in kako določimo njeno optimalno vrednost
Ločljivost (L) je lastnost, da na posnetku spoznavamo drobne detajle oz. posamezne
podrobnosti objekta ločeno.
Izražamo jo s številom črt, ki jih lahko razločno preštejemo v enem milimetru (presledki
med črtami so enako debeli kot črte).
Teoretična meja maksimalne ločljivosti, ki jo na fotografiji lahko dosežemo na podlagi
minimalnega razmika med točkama δ=k/2 [µm]:
Primer: k=22, Lmax = 90 črt/mm; k=8, Lmax = 250 črt/mm
Ločljivost je odvisna tudi od kvalitete optike (objektiva).
Napake leč povzročajo optično neostino, ki neposredno vpliva na ločljivost.
Vpliv teh napak zmanjšamo, če preprečimo obrobnim žarkom vstop v objektiv (čim bolj
zapremo zaslonko). Vendar s tem ne smemo pretiravati! (veliko število zaslonke
posledično zmanjša ločljivost).
Optimalna ločljivost bo dosežena z zaslonko, pri kateri sta neostrini u in umin najmanjši
(kritična zaslonka).
Ločljivost oblikujejo tudi sestavine fotografskega sloja (zrno).
V razvitih fotoslojih so zrna velikosti 0,5–2 µm.
V slabo občutljivih slojih so zrna manjša (ločljivost je zato večja), v zelo občutljivih slojih
so zrna večja.
Ločljivost odvisna tudi od svetlobnih kolobarjev, ki nastanejo zaradi sipanja svetlobe in
odboja svetlobe od nosilca fotosloja nazaj.
Ločljivost se določa v laboratorijih z uporabo različnih testnih tarči.
31/150

9) Opišite osnovni princip delovanja CCD senzorja.
Svetlobno tipalo (senzor) je polprevodniški mikročip, sestavljen iz svetlobno občutljivih fotodiod, ki
svetlobo pretvorijo v električni tok.
Uporaba dveh osnovnih tehnologij:
CCD (angl. Charge Coupled Device).
CMOS (angl. Complementary Metal-Oxide Semiconductor)
novejše različice: super CCD (Fuji), X3 (Foveon), LBCAST (Nikon).
Tipala se razlikujejo po načinu izdelave, delovanju, kakovosti, ločljivosti.
CCD so izumili leta 1969 v Bellovih laboratorijih (W.Boyle, G.Smith); prvotno je bil to nov tip
računalniškega spomina, kmalu ugotovijo uporabnost za zapis slik (video kamere, kasneje fotoaprati).
Valovanje (vidne) svetlobe pade na silikonski substrat. Sprostijo se elektroni, njihovo število
je proporcionalno z gostoto pretoka fotonov. Elektroni (njihovo število odvisno od valovne
dolžine in jakosti svetlobe) se zbirajo v “shrambi” potenciala dokler traja čas osvetlitve. Do tu
je princip enak za CCD in CMOS, v nadaljnem postopku pa nastopijo razlike.
Ločimo dve vrsti CCD tipal:
‣ vrstična
Fotosenzorji (piksli) so razporejeni v vrsti.
Uporaba v enostavnih napravah in za enostavne naloge.
V vrsti od 128 do 6000 fotosenzorjev.
Za zaznavanje večjih površin vgrajenih senzorski modul z več čipi (do 5).
‣ ploskovna
Fotodiode razporejene v obliki mreže.
Dve vrsti: medvrstična tipala (angl. Interline Transfer CCD) in polna tipala (angl. Full Frame
CCD).
Medvrstična tipala CCD:
sestavlja več vrstičnih tipal s pomičnimi registri; zajeta svetloba se prenese v navpični
pomični register, ki je speljan v horizontalni register; vrednosti se preko izhodnega
ojačevalnika prenesejo v digitalni zapis slike; aktivne le 30% površine fotodiode; s sistemom
mikroleč se površina poveča na 70 %;
uporaba v kompaktnih digitalnih fotoaparatih; enostavna uporaba, prikaz na LCD zaslonu;
slabša kakovost kot pri polnih tipalih.
32/150

Polna tipala:
nima navpičnih pomičnih registrov; potreben mehanski zaklop, ki nadzira čas zajema vpadle
svetlobe;
po osvetlitvi se celotna podoba prenese v vodoravni register;
aktivna površina tipala 70 %;
uporaba predvsem v zrcalno refleksnih fotoaparatih;
prednosti: visoka občutljivost in kvaliteta slike, večja velikost slike, velik dinamični razpon;
slabosti: omejena hitrost zajemanja, kompleksnejša zgradba fotoaparata (mehanski zaklop), ni
možen trenutni prikaz na LCD zaslonu.
10) Opišite skupne lastnosti in razlike med senzorji CCD in CMOS.
Temni tok:
eden od šumov, ki ga proizvaja tipalo samo; nastane zaradi toplotne energije znotraj silikona;
vrednost napetosti, ki je zbrana na svetlobnem elementu, ko ni svetlobe;
v najboljših CCD senzorjih je temni tok okrog 2-10 pA/cm2; v optimiziranih CMOS senzorjih
je 50-200 pA/cm2; v standardnih CMOS senzorjih je 1000 pA/cm2.
Občutljivost:
osnovna kriterija za občutljivost piksla: zapolnjenost (angl. fill factor) in količinska
učinkovitost (angl. quantum efficiency),
zapolnjenost: razmerje med svetlobno občutljivim delom piksla in celotno velikostjo piksla
(polni CCD senzorji 100 %, CMOS standardni senzor 30 %),
količinska učinkovitost: razmerje med zaznanimi elektroni in vpadlimi elektroni; za
standardne senzorje CCD in CMOS je enaka; za vidno svetlobo je okrog 50 %; s stanjšanjem
CCD senzorjev se lahko poveča do 90 %.
Programiranje in možnost dostopa:
CMOS – direkten dostop do posameznih pikslov (X-Y naslavljanje); možnost programiranja
na piskelskem nivoju.
Poraba energije, cena:
CMOS porabi 10 x manj energije za isto operacijo kot CCD; CMOS 20-50 miliW, CCD 2-5
W,
CMOS – en sam čip, CCD – več čipov (običajno 4),
CMOS potencialno 5x cenejši.
Velikost tipal:
trenutno največji CCD senzor ima 9216 x 9216 pikslov (Fairchild Imaging, 1998); CMOS
senzor z 4096 x 4096 piksli izdelan v 0.18 µm tehnologiji (Foveon, 2000).
33/150

Profesionalni fotoaparati z vgrajenimi CMOS senzorji:
Fotoaparat
Canon EOS-
D30
Canon EOS-
D60
Sigma SD9
(Foveon X3)
Canon EOS-
1Ds
Kodak DCS-
14n
Efektivni
piksli (v
milijonih)
Velikost
piksla (v µm)
3.25 9.9 x 9.9
6.30 7.4 x 7.4
10.28 9.12 x 9.12
11.1 8.8 x 8.8
13.8 7.9 x 7.9
Proizvajalci podajajo velikost tipal v obliki ulomka (npr. 1/1.8” – pomeni zunanji premer
ohišja video cevi); to ne pove prave velikosti tipala; razmerje stranic 4:3 ali 3:2;
Podatek Razmerje Premer Diagonala Širina Višina
1/3” 4:3 8.467 6.000 4.800 3.600
1/1.8” 4:3 14.111 8.933 7.176 5.319
2/3” 4:3 16.933 11.000 8.800 6.600
1” 4:3 25.400 16.000 12.800 9.600
35 mm
Leica
film
3:2 43.267 36.000 24.000
Število pikslov v svetlobnem tipalu podano na različne načine:
skupno število pikslov (npr. 2140 x 1560),
število svetlobno občutljivih pikslov (npr. 2088 x 1550),
število aktivnih pikslov (npr. 2080 x 1542),
število pikslov za zapis podobe (npr. 2048 x 1536).
34/150

Opredelitev goriščne razdalje je pri digitalnih fotoaparatih enaka kot pri običajnih.
Svetlobna tipala v digitalnih fotoaparatih so različih velikostih, zato se razlikujejo glede
zornega polja, ki ga lahko zajamemo pri enakih goriščnih razdaljah.
Poenotenje goriščnih razdalj različnih tipal z vrednostjo ekvivalenta goriščne razdalje.
Ekvivalent: opredeljen glede na zorni kot v klasičnih 35 mm fotoaparatih, ki uporabljajo t.i.
leica format film (36 mm x 24 mm - velikost slike).
11) Opišite, kako se beleži barva v svetlobnih tipalih.
svetlobno tipalo samo ne more zaznavati barv; pred vsakim pikslom nameščeni filtri;
dva postopka: uporaba Bayerovega vzorca, tehnologija tipala X3.
12) Opišite princip delovanja digitalnega tri-vrstičnega letalskega senzorja.
Koncept tri-vrstičnega senzorja:
usmerjenost snemanja naprej, verikalno navzdol in nazaj,
koti med snemalno osjo in senzorji so fiksni;
stereoskopske pare je možno tvoriti med pasovi 1 in 2, 2 in 3, ter 1 in 3; vsak objekt se pojavi
v vseh treh pasovih,
35/150

Vrstično tipalo (12.000 pikslov) za pankromatsko območje, filtri za rdečo, zeleno in modro,
bljižnje infrardeče območje,
potrebno je precej post-procesiranja takšnih podob,
procesirane podobe v obliki dolgih pasov.
13) Narišite skico slikovnega koordinatnega sistema in ga opišite.
14) Narišite skico modelnega koordinatnega sistema in ga opišite.
15) Napišite osnovno enačbo centralne projekcije in opišite pomen parametrov.
16) Z besedami opišite postopek linearizacije enačbe centralne projekcije. Zakaj je
linearizacija enačb potrebna in kakšne so posledice linearizacije
17) pišite rotacijsko matriko v enačbi centralne projekcije
18) Opišite ravninske transformacije: podobnostna, afina, bilinearna (število parametrov,
učinek, uporaba).
Ravninska podobnostna transformacija (Helmertova):
X = a ⋅ x − a ⋅ y + a
2
1
Y = a ⋅ x + a ⋅ y + a
1
2
4
3
‣ 4 parametri (poznati najmanj 2 točki): dve translaciji, rotacija, sprememba merila
‣ ohranja se podobnost (kvadrat se preslika v kvadrat)
‣ rešimo s posredno izravnavo ali izpeljanim algoritmom
Ravninska afina transformacija:
• 6 parametrov (najmanj 3 točke): rotacija, 2 translaciji, 2 spremembi
merila, prečni strig
• Podobnost se ne ohranja (kvadrat se preslika v romboid)
• Rešimo s posredno izravnavo ali z izpeljanim algoritmom
Bilinearna interpolacija:
X = b ⋅ x + b ⋅ y + b ⋅ x ⋅ y + b
1
2
Y = b5
⋅ x + b6
⋅ y + b7
⋅ x ⋅ y + b8
tudi:
Z = a ⋅ X + a ⋅Y
+ a ⋅ X ⋅Y
+
1 2 3
a4
3
4
36/150

• 8 parametrov (poznati najman štiri točke); parabolični hiperboloid –
člen xy
• ohranja pložaj pri natanko štirih točkah
• rešimo s posredno izravnavo
• uporaba tudi pri interpolaciji Z v mreži DMR (primer), interpolaciji
sivih vrednosti v digitalni sliki, idr.
19) Kaj je digitalna slika Opišite pojme: okolica piksla, vhodna in izhodna matrika.
Kako vzpostavimo slikovni koordinatni sistem na digitalni sliki
Digitalna slika:
-Pretvorba intenzitete sivine oz. barve v digitalni zapis
-matrika celih pozitivnih števil, vključno z 0
Piksel = picture element = slikovni element
h 0
h
g ij
1
i
x 0
PP
D
I
1 j J
Dh
x
• koordinatni sistem slike
• slikovni element – piksel
• okolica piksla
• vhodna in izhodna matrika
37/150

20) Kaj je histogram digitalne slike Opišite primere uporabe.
Histogram digitalne slike je porazdelitev pogostosti (frekvenčna porazdelitev) posameznih
sivih vrednosti.
⎡1
⎢
⎢
2
⎢⎣
1
3
1
2
3⎤
3
⎥
⎥
3⎥⎦
s
h(s)
1 3
2 2
3 4
Uporaba!
21) Naštejte vrste operacij z digitalnimi slikami. Napišite primere točkovnih in lokalnih
postopkov na digitalni sliki.
Vrste operacij:
‣ geometrične:
spremenijo geometrične odnose med posameznimi piksli.
‣ radiometrične:
pikslom spremenijo le barvo oz. sivino, geometrični odnosi ostanejo nespremenjeni.
‣ frekvenčne:
so operacije v frekvenčnem prostoru.
• točkovni:
spreminja se le barva oz. sivina piksla:
• lokalni:
upoštevamo določeno okolico piksla; izhodni piksel g(x,y) določimo iz več vhodnih pikslov
s(x,y)
Primeri točkovnih postopkov
Sprememba barve oz. sivine slike:
38/150

Prevedbene funkcije ali tabele; sliko lahko posvetlimo, potemnimo, spremenimo negativ v
pozitiv, idr.
Sliko, ki ne zavzema celotnega območja razpona barv oz. sivin lahko raztegnemo na celo
območje:
g − g
max min
g ( x,
y)
=
. ( s(
x,
y)
− s ) min
+ gmin
s − s
max
min
gmin, gmax .... Spodnja oz. zgornja meja razpona sivin
smin, smax ... Spodnja oz. zgornja meja dejanskega razpona
Spreminjanje histograma:
Histogram tipične naravne slike se običajno nagiba k temnim vrednostim. V temnih področjih
so podrobnosti slabo ločljive. Ločljivost detajla lahko izboljšamo z izenačenjem relativne
frekvence vseh sivin v histogramu ali s pretvorbo histograma v obliko hiperbolične funkcije.
Za izravnavo histograma mora biti frekvenca za vse nivoje sivin enaka:
r * c
h i
( s)
=
nivoji sivin
Primeri lokalnih postopkov
Upoštevamo sivine sosednjih pikslov; postopki glajenja in postopki izostritve
Glajenje slike (npr. odprava šuma v sliki):
abs( s(
x,
y)
− s0)
φ
T
s
1
c r
0
= . ∑∑ p(
x,
y).
s(
x,
y)
r * c y= 1 x=
1
p(x,y) ... matrika utežnih faktorjev
• Medianin filter – srednji piksel okolice zamenjamo z mediano sivih vrednosti
ostalih pikslov
22) Kaj je slikovno ujemanje Opišite princip postopka.
Postopki slikovnega ujemanja
Slikovna korelacija (angl. matching)
Cilj: avtomatsko iskanje homolognih točk na sliki
Iščemo merilo podobnosti – korelacijo med piksli
Več kriterijev za ugotavljanje podobnosti (korelacijski koeficient, metoda najmanjših
kvadratov, primerjava površin, oblik, idr.)
Korelacijski koeficient:
39/150

σ12
r =
σ ⋅σ
1
2
−1≤
r ≤ 1
=
∑
∑
( s1
− s1) ⋅ ( s2
− s2
)
2
( s − s1) ⋅ ( s − s2
)
1
∑
2
2
r = 1 ..... popolna korelacija
r = 0 .... ni korelacije
r = -1 ... inverzija (pozitiv/negativ)
23) Pri katerih fotogrametričnih nalogah se uporabljajo metode slikovnega ujemanja
24) Kaj je slikovna piramida in kje se uporablja
25) Kaj je normalni primer fotogrametričnega snemanja Za katere naloge se
uporablja
Normalni primer – idealni primer, ko sta snemalni osi posnetkov normalni (pravokotni) na
bazo, slikovni osi x obeh posnetkov ležita na isti premici, ki je vzporedna z bazo.
Uporaba normalnega primera
V analognem obdobju uporaba pri terestričnem snemanju (enostavne enačbe za izračun);
meritve horizontalne paralakse na stereokomparatorju.
Danes: pri postopku slikovne korelacije (s transformacijo), princip delovanja foto-laserskega
skenerja (npr. Minolta VI-900)
26) Opišite načine vzpostavitve notranje orientacije posnetka oz. digitalne slike.
Vzpostavitev elementov notranje orientacije
Vzpostavitev slikovnega koordinatnega sistema se v praksi izvede preko:
• meritev robnih mark na analognih posnetkih,
• reseau mreže,
• vrstic in stolpcev v slikovni matriki (digitalni fotoaparati).
Če uporabimo digitalni fotoaparat, je slikovna matrika že neposredno definirana v slikovnem
koordinatnem sistemu; takšni fotoaparati zato nimajo robnih mark!
Funkcija reseau mreže:
• steklena plošča z vgraviranimi križi nameščena pred filmom,
40/150

• križi služijo kot robne marke (njihove koordinate so podane v slikovnem
koordinatnem sistemu) in za kompenzacijo neravnosti filma v trenutku snemanja
(podobena funkcija kot koordinatna mreža na karti).
27) Kaj so enoslikovni postopki v fotogrametriji Opišite njihov osnovni potek.
Enoslikovni postopki
Generalni potek postopkov je naslednji:
• pridobitev/izmera terenskih podatkov (oslonilne točke, razdalje in druge geometrične
informacije obravnavanega območja),
• merjenje slikovnih koordinat za orientacijo,
• izračun orientacijskih parametrov (notranja, zunanja orientacija),
• rekonstrukcija/izvrednotenje želenih objektov/vsebine iz orientiranih slik (merjenje
slikovnih koordinat detajla).
Postopki enoslikovne fotogrametrije so tisti postopki, pri katerih rekonstrukcijo vsebine
izvedemo iz samo enega posnetka/podobe naenkrat. Objekt/območje izvrednotenja je pri tem
lahko ravninski ali prostorsko razgiban.
Enoslikovni postopki se v fotogrametriji smatrajo kot posebni postopki, saj praviloma za
rekonstrukcijo prostorskega objekta potrebujemo najmanj dva posnetka/podobi.
28) Opišite načine merjenja slikovnih koordinat in robnih mark. Kako natančno jih
lahko merimo
Slikovne koordinate merimo lahko na dva načina:
• monoskopsko,
• stereoskopsko.
Monoskopsko merjenje:
• digitalizator,
• ekranska vektorizacija,
• monokomparator,
• stereokomparator,
• analitični fotogrametrični inštrument,
• digitalna fotogrametrična postaja.
Stereoskopsko merjenje:
• stereokomparator,
• analitični fotogrametrični inštrument,
• digitalna fotogrametrična postaja.
Merjenje robnih mark je lahko:
• ročno (operater),
• avtomatsko.
Analitični fotogrametrični inštrumenti:
• merjenje ročno,
• krmiljeno približno lociranje robnih mark, natančno nastavitev izvede operater.
41/150

Digitalne fotogrametrične postaje:
• avtomatsko merjenje s postopki slikovnega ujemanja,
• uporabljene različne metode (ujemanje na osnovi površin, oblik, izračun
križnega korelacijskega koeficienta, izravnava po metodi najmanjših
kvadratov, idr.),
• uporaba slikovne piramide in merjenje s pod-pikselsko natančnostjo.
29) Naštejte in kratko opišite popravke slikovnih koordinat.
izmerjene koordinate (“strojne”) je treba najprej transformirati v slikovni koordinatni
sistem (uporaba različnih ravninskih transformacij – podobnostna, afina, bilinearna); s
transformacijo delno kompenziramo deformacijo filma in merske pogreške
inštrumenta,
popravki slikovnih koordinat zaradi radialne distorzije,
popravki slikovnih koordinat zaradi atmosferske refrakcije (pri topografskih
aplikacijah),
popravki slikovnih koordinat zaradi ukrivljenosti Zemlje (pri topografskih
aplikacijah).
Popravki zaradi radialne distorzije
Postopek:
• redukcija slikovnih koordinat na točko simetrije (Hs),
• izračun radialnih razdalj točk od točke simetrije:
( x − x ) + ( y − y ) 2
2 s
r =
s
• upoštevanje radialnega popravka za vrednost r
• izračun popravka slikovnih koordinat:
x − xs
Δx
= − ⋅ Δr
r
y − ys
Δy
= − ⋅ Δr
r
Popravki zaradi atmosferske refrakcije
upoštevati jih je treba pri projektih z visokimi zahtevami natančnosti,
svetlobni žarki se “ukrivijo” v odvisnosti od zračnega pritiska, temperature zraka in
vlažnosti zraka (različen lomni količnik),
del žarka med slikovno ravnino in PC lahko obravnavamo kot tangento žarka v PC; za
približno vertikalni posnetek velja
Δτ = K ⋅ tan τ =
r
K
c
pri čemer je K koeficient refrakcije, r je radialna oddaljenost slikovne točke od glavne točke.
koeficient K se spreminja z meteorološkimi pogoji,
Za normalno atmosfero (zračni sloji vzporedni z zemeljsko kroglo) in pankromatski
film K ocenimo po formuli:
42/150

K =
⎛
,00241⋅
⎜
⎝ Z
Z
− 6Z
0
0 −
2
2
0 0
+ 250 Z0
⋅
Z
2
⎞
( Z − 6Z
+ 250) ⎟⎟ ⎠
v enačbi je Z0 (srednja) nadmorska višina leta (v km) in Z je srednja nadmorska višina
terena (v km) na območju snemanja.
Iz kota ∆r izračunamo radialni popravek:
Δr
⋅cosτ
≈ Δτ
⋅
c
2
+ r
2
2 2
c + r
Δr
≈ Δτ
c
r
vstavimo : Δτ
= K ⋅
c
2
⎛ r ⎞
Δ r ≈ r ⋅ ⎜1
+ K
c
⎟ ⋅ 2
⎝ ⎠
iz Δr
izrač.
popravke slik.
koord.
Δx
in Δy
Tabela – nekatere izračunane vrednosti radialnih popravkov (povprečna višina terena
Z je 0,5 km):
Merilo c(mm)
posnetka
1:10 000 300
150
85
1:30 000 300
150
85
Z0(km)
3,5
2,0
1,3
9,5
5,0
3,0
3
2
2
8
6
6
43/150

1:100
000
85 9,0 15
Popravki zaradi ukrivljenosti Zemlje
Δ r =
popravki za ukrivljenost Zemlje ni sistematični pogrešek fotogrametrije temveč
problem definicije koordinatnega sistema,
s fotogrametričnimi metodami dobimo koordinate v tri-dimenzionalnem kartezičnem
koordinatnem sistemu; višine se nanašajo na geoid oz. na elipsoid; XY koordinate so
zaradi projekcije ne ravnino bolj ali manj popačene,
v praksi največkrat uporabimo naslednjo preprosto enačbo, vendar le, če višinske
razlike med točkami niso prevelike:
' 3
Z ⋅r
2
2⋅
R ⋅c
pri čemer je:
Δr,
r,
c ( v mm),
R ( v km),
Z'
( v m)
r ⎡r
Δr
= ⋅
′
⎢
2R
⎣
Natančnejša enačba za izračun vpliva ukrivljenosti Zemlje:
2
⋅
'
( Z′
− Z )
c
2
E
− 2Z
'
E
⎤
⎥
⎦
Pomen oznak:
R’, Z’, Z’E .... gl. naslednjo sliko
44/150

Grafični prikaz vpliva ukrivljenosti Zemlje na slikovne koordinate
30) Naštejte in kratko opišite postopke orientacije posameznega posnetka oz. digitalne
slike v prostoru.
Določitev orientacije posnetka:
• prostorski zunanji urez,
• projektivna transformacija,
• direktna linearna transformacija (DLT),
• metode z uporabo geometričnih podatkov objekta (brez izmerjenih OT), npr.
vzporednice, pravokotnice, ipd. ,
• redresiranje ravnih objektov (optično-mehansko, analitično),
• diferencialno redresiranje razgibanih objektov.
Izdelki z uporabo samo enega posnetka:
• zajem vektorskih podatkov (metoda “monoploting”),
• redresiran posnetek,
• ortofoto.
31) Kakšne vrste posnetkov glede na naklonski kot snemalne osi poznamo in kakšne so
lastnosti perspektivne slike
Vrste posnetkov glede na naklonski kot snemalne osi:
• nadirni – snemalna os normalna na zemeljski elipsoid,
• vertikalni (naklonski kot manjši od 50),
• poševni (naklonski kot je večji od 50),
• panoramski (naklonski kot malo manjši od 900),
• horizontalni (naklonski kot je 900).
Nekatere lastnosti perspektivne slike:
45/150

• vzporednice, ki so pravokotne na snemalno os, so tudi na sliki vzporedne;
druge vzporednice konvergirajo k skupni točki - bežišču,
• vsa bežišča v naravi horizontalnih vzporednic ležijo na isti premici -horizontu,
• vse slike veritikalnih linij objekta konvergirajo k nadirni točki; če je snemalna
os horizontalna, je nadirna točka v neskončnosti; vertikalne linije objekta se
preslikajo pravokotno na horizont,
• slika enako velikih objektov je manjša, če so na večji oddaljenosti od PC.
32) Naštejte in kratko opišite numerične načine za izračun elementov zunanje
orientacije posnetka.
Obstaja več metod za rekonstrukcijo objektov iz stereoparov in metod za določitev
elementov zunanje orientacije.
Numerični način - izračun elementov zunanje orientacije:
• ločeno za vsak posnetek,
• sočasno za oba posnetka (enostopenjsko),
• sočasno in dvostopenjsko (z relativno in absolutno orientacijo).
Ločeno za vsak posnetek
Izračun 6 elementov zunanje orientacije za vsak posnetek po enačbah centralne
projekcije (prostorski notranji urez).
Pomanjkljivosti:
• ne upoštevamo podatkov o presečiščih homolognih žarkov,
• v stereomodelu potrebujemo vsaj 3 polne oslonilne točke (X, Y, Z),
• Metode ni možno uporabiti na analognih inštrumentih.
Sočasno za oba posnetka
Enostopenjski izračun. Merimo slikovne koordinate oslonilnih in novih točk.
Za vsako oslonilno točko zapišemo štiri enačbe:
x
x
i1
y
i1
i2
y
i2
=
=
=
=
f ( x
0
f ( y
0
f ( x
0
f ( y
, c,
X
, c,
X
, c,
X
, c,
X
0
01
01
02
, Y
02
01
, Y
, Y
01
02
, Y
, Z
02
, Z
01
, Z
01
, Z
, ω , ϕ , κ ,
02
, ω , ϕ , κ ,
02
1
1
, ω , ϕ , κ ,
2
, ω , ϕ , κ ,
2
1
1
2
2
1
1
2
2
X , Y , Z )
i
i
i
i
i
X , Y , Z )
i
X , Y , Z )
i
X , Y , Z )
i
i
i
i
i
Za vsako novo točko zapišemo štiri enačbe, pri čemer so tri dodatne neznanke:
x = f ( x , c,
X , Y , Z , ω , ϕ , κ , X , Y , Z )
i1
y
x
i1
i2
y
i2
0
0
0
0
01
= f ( y , c,
X
= f ( x , c,
X
01
02
= f ( y , c,
X
02
01
, Y
, Y
01
02
, Y
02
, Z
01
, Z
01
, Z
02
, ω , ϕ , κ ,
02
1
1
, ω , ϕ , κ ,
2
, ω , ϕ , κ ,
2
1
1
2
2
1
1
2
2
i
i
i
i
i
X , Y , Z )
i
X , Y , Z )
i
X , Y , Z )
i
i
i
i
i
33) Podrobno opišite dvostopenjski izračun orientacije stereopara.
Dvostopenjski izračun
46/150

prvi stopnji privedemo posnetka v medsebojni položaj, da presečišča homolognih
žarkov oblikujejo model (t.i. relativna orientacija stereopara) – rešimo 5 neznank od
skupno 12-ih; ne rabimo OT.
V drugi stopnji model postavimo v pravilen položaj in merilo v prostoru (t.i.
absolutna orientacija) – rešimo preostalih 7 neznank
⎛ X ⎞ ⎛ X
u ⎞ ⎛ x ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜Y
⎟ = ⎜Yu
⎟ + m⋅R⋅⎜
y⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ Z ⎠ ⎝ Zu
⎠ ⎝ z ⎠
p y
p
Od skupno 12 neznank za dva posnetka jih 7 rešimo s postopkom AO. Preostalih 5
rešimo s postopkom RO. Z rešitvijo RO oblikujemo model opazovanega objekta v
modelnem koord. sistemu (x,y,z). Na najmanj 5-ih dobro razporejenih točkah mora
biti izpolnjen pogoj komplanarnosti (homologni žarki se sekajo v teh točkah). Točke
preseka tvorijo površino modela.
34) Katere različne postopke relativne orientacije poznamo Za vsak postopek napišite
parametre, ki jih upoštevamo.
= −
c =
h
ločimo dva različna postopka RO:
• Relativna orientacija z vrtenjem posnetkov (posnetka le vrtimo, njun položaj ostaja
nespremenjen):
2
x1
y1
x2
y ⎛
2
y2
x1dκ
1
x2dκ
2
dϕ1
dϕ2
c dω2
c c
c ⎟ ⎞
+ + − + ⎜ +
⎝ ⎠
• Relativna orientacija z priorientacijo (prvi posnetek ostane nespremenjen, drugega pa
premaknemo in zasukamo):
2
y x2
y ⎛
2
y ⎞
2 2
db
ϕ
κ
y + dbz
− d
2 + c dω2
x2d
2
h c
⎜ +
c
⎟
⎝ ⎠
y
+
35) Opišite značilnosti analitičnega fotogrametričnega inštrumenta.
Analitični inštrumenti:
• rekonstrukcija enačb centralne projekcije realizirana računsko (analitično),
• opazujemo analogne posnetke, zato še vedno prisotni mehanski deli (nosilci
posnetkov, servomotorji za premikanje posnetkov), včasih je bil na računalnik
priključen še risalnik (od tod tudi izraz analitični ploter),
• optično opazovanje stereoparov,
• možno meriti slikovne koordinate ali modelne koordinate,
• možnost superimpozicije različnih vsebin,
• poseben računalniški procesor skrbi za hitre računske operacije,
• običajna računalniška oprema za uporabniške programe.
Kratka zgodovina razvoja analitičnih inštrumentov:
Iznajdba elektronskega računala 1941, Zuse (Nemčija), 1943 Aitken (ZDA).
1957 U. V. Helava patentira analitični ploter (angl. analytical plotter) in zgradi prvi
prototip na National Research Council (Kanada).
1962-63:
prvi izdelki v sodelovanju s firmami O.M.I. (Rim) in Bendix (ZDA); najprej le za vojaške
potrebe.
47/150

1964:
model AP/C firme O.M.I. za civilno uporabo.
1976-1980:
številne firme razvijejo svoje inštrumente; npr. Zeiss – Planicomp C100, Matra – Traster,
Kern – DSR-1, Wild – Aviolyt AC1, BC3, Helava Assoc. – US-2, idr.
Danes:
• LH-Systems – Analytical Workstation SD2000/3000
• Z/I-Imaging – Analytical Plotter P3/P33
• Adam Technology – Promap, idr.
36) Opišite značilnosti digitalne fotogrametrične postaje. Kakšne so prednosti in slabosti
digitalne fotogrametrične postaje
Digitalne fotogrametriče postaje:
• ni več posebnih mehanskih delov,
• opazujemo digitalne podobe,
• stereoskopsko opazovanje rešeno na več načinov, merska marka je digitalno
projecirana v podobo,
• zmogljiv računalnik, ustrezen računalniški zaslon, programje,
• velika fleksibilnost in možnost visoke stopnje avtomatizacije,
• uporaba kratic: DPS – Digital Photogrammetric System, DPWS – Digital
Photogrammetric Work Station.
Digitalna fotogrametrična postaja – računalnik s programjem in napravo za 3D opazovanje
Prednosti:
• združitev vseh postopkov v eni napravi,
• ni opto-mehaničnih delov,
• konstantna geometrija in radiometrija slike,
• integracija algoritmov za obdelavo podob,
48/150

• raster/vektor kombinacije možne (GIS, CAD),
• pri aerotriangulaciji ni umetnega označevanja veznih točk,
• izbira velikosti in oblike merske marke,
• ni potrebno ponavljati meritev za notranjo orientacijo,
• simultana obdelava velikega števila slik, itd.
Slabosti:
• velike količine digitalnih podatkov,
• daljši časi obdelave,
• potreben natančen fotogrametričen skener,,
• kompleksna obdelava podob (dodatni grafični sistemi),
• zahteve po kvalitetnem in primernem zaslonu,
• kakovost stereo-opazovanja manjša,
• itd.
37) Naštejte sisteme za 3D opazovanje posnetkov in vsakega na kratko opišite.
obstaja veliko različnih sistemov in naprav, ki omogočajo 3D opazovanje
posnetkov/podob,
uporaba stereotehnik opazovanja slik/podob je zanimiva tudi za druga področja – kino,
TV, video igrice, medicina (operacije, računalniška tomografija in magnetna
resonanca),
bistvo vsakega sistema/naprave za 3D opazovanje: vsako oko mora ločeno zaznavati
levi oz. desni posnetek ali podobo,
generalno 6 različnih metod, ki imajo veliko različic:
1. sistem leč ali zrcal,
2. anaglifna metoda,
enostavna metoda,
ne omogoča velike kakovosti merjenja ,
uporabna bolj za komericalne namene (promocija 3D gledanja),
49/150

uporaba tudi v filmski industriji (filmi in reklame v anaglifni tehniki).
uporabljamo anaglifna očala ena zelena in ena rdeča leča tako se združita zelena in rdeča
slika
3 barvna stereoskopija,
50/150

51/150

precej nova metoda; različne barve se na leči različno lomijo,
3D opazovanje na ekranu ali tiskanih medijih; posebna očala,
primerna za prikaz reliefa.
4 hitro menjajoče podobe,
‣ menjavanje leve in desne slike z veliko frekvenco,
‣ Podobe gledamo s posebnimi očali z vgrajenim senzorjem za preklapljanje podob,
sinhronizacija z zaslonom (aktivna očala),
‣ danes precej razširjena uporaba,
‣ znana komercialna različica “Crystal Eyes”.
5 uporaba polarizacijskih metod,
potrebni posebni zasloni, ki omogočajo polarizacijo podob,
pasivna polarizacijska očala,
polarizacija je lahko v različnih smereh (horizontalno/vertikalno; v smeri urinega
kazalca in v nasprotni smeri, itd.).
6 avtostereoskopski zasloni.
predmet raziskav in eksperimentiranja,
vlagajo se ogromna finančna sredstva,
cilj: za 3D opazovanje ne potrebujemo posebnih naprav (očala, leče, ipd.); angl. “free
viewing system” namesto “aided viewing system”,
Pričakovana uporaba v medicini, CAD, industriji, simulatorjih letenja, multi-mediji,
idr.
52/150

številne manjše in uveljavljene firme razvijajo te nove sisteme (Philips, Zeiss, Sharp,
Sony, Sanyo),
princip delovanja nekaterih sistemov je zelo zapleten in težko razumljiv.
Dva principa avtostereoskopskih zaslonov:
• paralaksna metoda:
• pred digitalno sliko je postavljena mreža, ki tvori “okna in pregrade”,
• izguba svetlobe;
• metoda z lečami:
• pred zaslonom je tanka plošča iz bikonveksnih leč.
38) Opišite izdelavo plana letalskega snemanja
Posnetek je ključni vhodni vir za izvrednotenje, zato mora biti snemanje izvedeno
kakovostno in ustrezno pogojem v konkretnem projektu.
Plan snemanja je pomemben sestavni del celotnega plana projekta.
Snemanje iz zraka je tehnično in organizacijsko zapleteno delo.
V običajni praksi so letalski posnetki narejeni v približnem normalnem primeru
snemanja (eksaktna izvedba ni možna).
Odstopanja od normalnega primera so običajno:
Δω = ± 5 gon,
Δϕ
= ± 3 gon,
Δκ = ± 15 gon.
Toleranca višine leta je običajno ±2%
Pri izdelavi plana snemanja upoštevamo:
• mejne sposobnosti letala,
• delovna območja instrumenta za izvrednotenje,
• vrsto končnega izdelka (npr. linijski načrt, digitalni ortofoto, idr.)
• relief zemljišča,
• zahtevano natančnost,
• razdelitev območja na liste
Če merilo posnetkov v projektu ni posebej zahtevano, ga moramo v fazi načrtovanja
najprej določiti.
Upoštevamo več kriterijev, najpomembnejša je natančnost končnega izdelka.
Merilo posnetka je odvisno od konstante kamere in snemalne višine.
Mersko kamero izberemo smiselno glede na zmogljivosti letala, konfiguracijo terena,
natančnost, vrsto izdelka in stroške snemanja.
Kamere razvrščamo glede na konstanto kamere: ozkokotne, normalnokotne,
vmesnokotne, širokokotne, supreširokokotne.
Izbira kamere:
• daljša konstanta: interpretacija, ortofotokarte, kartiranje visokogorja in
strnjenih naselij (visoke stavbe, ozke ulice),
• krajša konstanta: pregledna snemanja, zmanjšanje stroškov snemanja, idr.
Za linijske izdelke lahko imenovalec merila snemanja določimo z empirično enačbo:
Parameter k je spremenljiv in se giblje med 200 in 300.
53/150

Primeri:
1 : mk ms
1 : 1000 6300 - 9500
1 : 5000 14 000 – 21 000
1 : 10 000 20 000 – 30 000
1 : 25 000 32 000 – 47 000
1 : 50 000 45 000 – 67 000
39) Kaj je vzdolžni in kaj prečni preklop med posnetki v bloku Kakšen je najmanjši
vzdolžni in prečni preklop med posnetki v bloku (utemeljite) Od česa je odvisno
merilo posnetka
Običajno je vzdolžni preklop posnetkov (v smeri leta) 60 %, prečni preklop (med
pasovi) pa 30 %.
Vzdolžni preklop posnetkov je odvisen od načina rabe posnetkov. Za
stereoizvrednotenje je nujno, da se posnetki prekrivajo vsaj 60 %. Večji preklop
omogoča večjo izbiro veznih točk za potrebe aerotriangulacije, vendar so stroški večji
(večja poraba fotomateriala).
Prečni preklop posnetkov 30 % zagotavlja zadosten preklop za določitev homolognih
točk med pasovi tudi pri manjših odstopanjih parametrov pri snemanju oz. da ne pride
do “lukenj” med pasovi (npr. smer letenja ni popolnoma ravna, višina leta ni
popolnoma konstantna, manjši nagibi kamere, manjša odstopanja terena od ravnine,
idr.).
Za državno topografsko izmero so snemalni pasovi običajno v smeri V-Z ali S-J.
Ozke doline in gorske grebene snemamo s prečnimi pasovi (pasovi sledijo dolini oz.
grebenu).
Snemanje v stabilnem, jasnem vremenu, ni bočnih vetrov; pomemben čas snemanja -
v dnevu: čim krajše sence in efekt “hot spot”, v letu: običajno zgodaj spomladi ali
pozno jeseni.
Ko določimo vse parametre za optimalno izvedbo aerosnemanja, pripravimo podlogo
za polet oz. navigacijo snemanja (na karti primernega merila oz. preglednem posnetku
v manjšem merilu).
Zarisana smer in dolžina vsakega pasu, začetek in konec snemanja, ob osi pasu azimut
in nadmorska višina leta. Snemalna ekipa potrebuje tudi druge podatke o projektu.
40) Opišite značilnosti aktualnega cikličnega aerosnemanja v Sloveniji.
Začetek leta 1975.
V triletnih ciklih (od leta 1985) pokrito celotno ozemlje države s posnetki v merilih 1 :
10 000 (intenzivna območja) oz. 1 : 17500 (ostala območja). Od leta 1996 poenoteno
merilo snemanja 1 : 17 500.
Po uvedbi cikličnea aerosnemanja so se vsa ostala snemanja poimenovala kot
“posebna aerosnemanja”.
54/150

Aerosnemanje v Sloveniji izvaja Geodetski zavod Slovenije. Snemalne kamere: WILD
RC8 (152 mm), RMK A 15/23, ZEISS 210 in najsodobnejša LEICA RC30 – 152 mm,
vodena z GPS sistemom.
V začetku leta 2000 izdelan prenovljen koncept snemanja (t.i. “CAS 2000”).
Splošna izhodišča:
• Sistematično pokrivanje ozemlja države z osnovnimi fotogrametričnimi
podatki.
• Osnovni fotogrametrični podatki (OFP)so geolocirani aeroposnetki, ki se
zagotavljajo za celoten cikel snemanja.
• OFP se zagotovi pred izvedbo projektov.
• V celoten postopek je uveden sistem zagotavljanja kakovosti z izdelanimi
tehničnimi specifikacijami.
• Enota je fotogrametrični blok (=trigonometrična sekcija).
• Metrična in radiometrična natančnost OFP je prilagojena najzahtevnejšemu
projektu Geodetske uprave RS.
Izdelani so bili tehnični pravilniki:
• Tehnični pravilnik o izvajanju cikličnega aerosnemanja Slovenije
• Tehnični pravilnik o skeniranju aeroposnetkov
• Tehnični pravilnik o aerotriangulaciji
Na osnovi izdelanega predloga je bila kasneje narejena tudi baza osnovnih
fotogrametričnih podatkov.
Na Geodetski upravi RS je vzpostavljena geolocirana baza aerosnemanj (cikličnih in
posebnih).
41) Kaj je digitalni ortofoto Naštejte in kratko opišite faze pri njegovi izdelavi. Kaj so
vhodni podatki in kaj rezultati pri izdelavi ortofota
42) Opišite postopka geometrične in radiometrične transformacije pri izdelavi ortofota.
43) Kaj vpliva na kakovost ortofota Razložite pomen in vpliv kakovosti DMR na
kakovost ortofota.
44) 44. Primerjajte ortofoto in karto (podobnosti, razlike, uporaba).
45) Opišite glavne tehnične karakteristike izdelka DOF5. Naštejte in kratko opišite
področja uporabe ortofota.
46) Kaj je projekt aerotriangulacije in kaj so želeni rezultati in ekonomski cilji
projekta
55/150

47) Kakšna je razlika med metodo neodvisnih modelov in metodo blokovne izravnave s
snopi Opišite oba matematična modela.
48) Naštejte in opišite glavne faze projekta aerotriangulacije.
Projekt aerotriangulacije je kompleksen projekt, ki ga sestavlja več faz. Želeni rezultat
projekta je sočasen izračun parametrov vseh posnetkov oz. modelov v bloku in izračun
prostorskih koordinat vseh točk, ki so nastopale v izravnavi. Ekonomski cilj projekta je
zmanjšanje potrebnega števila oslonilnih točk v postopku izravnave.
Glavne faze projekta
Načrtovanje projekta
Terenska dela
Aerosnemanje
Skeniranje
Fotogrametrične meritve
Izravnava in ocena rezultatov
Izdelava tehničnega elaborata
Načrtovanje projekta
Vhodni pogoji za projekt:
• Namen projekta
• zahtevana natančnost (planimetrična, višinska)
• Velikost območja
• oprema, ki je na razpolago, idr.
Izdelava plana snemanja:
• Merilo posnetkov, višina leta, vzdolžni (60-80%) in prečni (20-
30%) preklop posnetkov, čas snemanja (v letu, v dnevu)
• Uporaba GPS opreme, idr.
Predhodna ocena natančnosti
• v povezavi z zahtevami in izdelavo plana
• Natančnost odvisna od oblike in velikosti bloka, razporeda
oslonilnih točk, števila veznih točk, preklopa posnetkov, idr.
Planiranje oslonilnih, kontrolnih in veznih točk
Planiranje terenskega dela (ekipa, časovno
49) Kaj so vezne točke, njihov pomen in načini njihovega merjenja.
Vezne točke
fotogrametrične točke, ki povezujejo homologne točke na čim več posnetkih hkrati.
primerna razporeditev v območju “Gruberjevih točk”
zelo vplivajo na natančnost AT
z večanjem njihovega števila narašča natančnost
lahko so: signalizirane točke, umetno označene točke, točke detajla
Danes jih merimo s polavtomatskimi ali avtomatskimi metodami slikovnega ujemanja
50) Zakaj potrebujemo državni topografsko kartografski sistem in katera bistvena
vsebina je v njem opredeljena
56/150

51) Opišite pomen objektnega kataloga topografske baze. Katera vsebina je v njem
opredeljena
52) Kakšen je namen tehničnega dokumentiranja kulturne dediščine Opišite različne
nivoje fotogrametričnega dokumentiranja kulturne dediščine.
Naman dokumentiranja
Izdelava tehnične dokumentacije za namene ohranjanja in vzdrževanja objektov
kulturne dediščine.
Izdelki namenjeni različnim uporabnikom: arhitekti, konservatorji, restavratorji, ...
Interdisciplinarno združevanje panog z namenom ohranitve kulturnih spomenikov za
prihodnje rodove.
Različni nivoji dokumentacije
Fotografija
Pravila 3 x 3
Preventivna snemanja
Izdelava dokumentacije do končnega izdelka
53) Opišite faze pri izdelavi tehnične dokumentacije kulturne dediščine od dogovorov
do končnih izdelkov
Zahteva naročnika po pripravi ponudbe
Terenski ogled
Priprava ponudbe
Podpis pogodbe
Pripravljalna dela
Navezava stika s strokovnim sodelavcem
Zbiranje obstoječe dokumentacije, meritve
Terensko delo
Izdelava terenskih skic
Geodetska mreža
Fotogrametrično snemanje
Meritve
Geodetska mreža
Določitev in stabilizacija točk mreže
Izdelava topografij točk
Izmera in navezava geodetske mreže na državni Gauss - Kruegerjev koordinatni
sistem
Fotogrametrično snemanje objekta
Snemanje z fotogrametrično kamero (stereopari, mono posnetki )
57/150

Snemanje z maloslikovno kamero ( fotoskice )
Geodetske meritve
Stik objekta s terenom
Detajlna izmera za potrebe izdelave situacijskih načrtov
Izmera prerezov, tlorisov, posameznih delov objekta, ki niso vidni na streoparih
Izmera oslonilnih in kontrolnih točk
Dopolnilne meritve
Izračun geodetskih meritev
Izračun koordinat točk geodetske mreže
Izračun točk za prereze, tlorise, detajlnih, oslonilnih in kontrolnih točk
Izdelava načrta
Tvorjenje projekcijskih ravnin
Vnos izmerjenih točk v sliko
Fotogrametrično izvrednotenje stereoparov
Prikaz zajetega detajla na načrtu ( editiranje zajema)
Testni izrisi
Vnos pripomb in pomanjkljivosti v načrt
Končni izrisi
Zaključek projekta
Izdelava poročila
Izrisi načrtov
Zapis izdelkov na digitalnem mediju
Predaja izdelane tehnične dokumentacije naročniku
54) Naštejte vrste fotogrametričnih izdelkov kulturne dediščine in kratko opišite njihovo
uporabo.
55) Opišite princip delovanja laserskega skeniranja iz zraka.
56) Opišite glavne razlike med fotogrametrijo in laserskim skeniranjem (iz zraka).
57) Naštejte vsaj pet področij (aplikacij), na katerih se lasersko skeniranje uspešno
uporablja.
58) Kakšne značilnosti imajo visokoresolucijske satelitske podobe V čem so podobne
fotogrametričnim posnetkom oz. v čem se razlikujejo
58/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
FOTOGRAMETRIJA II
1.TEHNOLOŠKA OBDOBJA FOTOGRAMETRIJE (značilnosti posameznih obdobij,
delitev fotogrametrije na področja)
Fotogrametrijo delimo na naslednja tehnološka obdobja:
grafična fotogrametrija
Pri tej fotogrametriji so po sliki merili z ravnilom in šestilom.
analogna fotogrametrija
Izdelali so prvi analogni stereoinstrument za izvrednotenje stereoposnetkov. Ta je omogočal
izvedbo kontinuiranega linijskega kartiranja detajlov in izohips, namesto dotedanjega
točkovnega kartiranja, kar je bil zagotovo velik dosežek. Za izvrednotenje posnetkov so
konstruirani in še danes zelo v rabi analogni instrumenti z izredno natančnimi optičnomehanskimi
komponentami. V postopkih izvrednotenja s temi instrumenti je nosilec
informacij analogni posnetek – fotografija, ki je prisoten v procesu izvrednotenja od začetka
pa do končnega rezultata.
analitična fotogrametrija
Z razvojem elektronske računalniške tehnike, so tudi v fotogrametriji nastali občutnejši
premiki. Nastajajo integracije instrumentov za izvrednotenje in računalnikov. Izvrednotenje je
sicer še vedno oprto na analogni- fotografski posnetek, vendar ta ni več potreben skozi
celoten proces izvrednotenja. S posnetka zajamemo samo določene podatke, medtem ko ga za
preostali del procesa ne potrebujemo več. To se izpelje oz krmili s tehnologijo za elektronsko
(računalniško) obdelavo podatkov.
digitalna fotogrametrija
V najnovejšem času pa prihaja v ospredje digitalna fotogrametrija, ki opušča analogni
posnetek in uvaja digitalno sliko. To je digitalni zapis podatkov o sevanju, ki je narejen s
tehnologijo za elektronsko obdelavo podatkov. Izhajajoč iz takšne digitalne slike, sledi tudi
celoten proces izvrednotenja te slike s tehnologijo za elektronsko obdelavo podatkov.
Digitalna slika pa omogoča, da z računalnikom lahko posnemamo človekovo gledanje in
spoznavanje objektov. Optični senzorji so namreč sposobni, da nadomestijo človeško oko za
nekatere geometrične in radiometrične naloge, česar ne moremo narediti z analognimi
tehnologijami.
Osnovna delitev fotogrametrije glede na področja:
topografska fotogrametrija //netopografska(medicinska, industrijska, arhitekturna)//
Uporablja se za masovni zajem na področju izdelave topografskih kart.
bližnjeslikovna fotogrametrija
2.CENTRALNA PROJEKCIJA POSNETKA (koord. sistemi, enačba, parametri NO in
ZO izračun elem. orientacije enega posnetka)
Poznamo naslednje koordinatne sisteme:
slikovni koordinatni sistem
Izhodišče k.s. je v projekcijskem centru, posnetek je za –c k oddaljen od slikovne ravnine, x in
y os sta definirani z robnimi markami. Z os gleda pravokotno na slikovno ravnino. Robne
marke na posnetku so posredni elementi s katerimi definiramo koordinatni sistem. Presečišče
robnih mark je neka točka.
- 1 -
59/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
modelni koordinatni sistem
Pri stereoparih se pojavi, ko na osnovi stereoparov ustvarimo model, ki je definiran z
modelnim koordinatnim sistemom.
prostorski koordinatni sistem
Je definiran v prostoru, označujem ga z X, Y, Z. Lahko je referenčni – državni koord. sistem
ali lokalni k.s..
Enačba centralne projekcije:
X i =X 0 +λ i ⋅R⋅x i ;
R = rotacijska matrika (ω, ϕ, κ) ;
λ i = merilo posnetka
x i = slikovne koordinate v ravnini;
X 0 = vrednost funkcije za začetno vrednost
X 0 = X 0zač + dX 0
Upodobitveni enačbi centralne projekcije se glasita:
//dolgi enačbi//
Elementi notranje orientacije so: (x 0 , y 0 ) – koordinate glavne točke, c k – konstanta kamere.
Elementi zunanje orientacije so:(X 0 ,Y 0 ,Z 0 ) – koordinate perspektivnega centra v prostorskem
koord. sistemu in rotacijski koti ω, ϕ, κ, ki so implicitno vsebovani v rotacijski matriki.
Izračun elementov orientacije enega posnetka:
Želimo izraziti elemente notranje in zunanje orientacije kot funkcijo slikovnih koordinat. Iz
1 −1
enačbe X i =X 0 +λ i ⋅R⋅x i izrazimo X i : xi
= ⋅ R ⋅ ( X i - X 0 ). Ker je tretja komponenta
λi
vektorja x i konstanta, lahko z njo delimo prvo in drugo komponento, s tem pa eliminiramo
faktor merila.
3.PROJEKTIVNI MODEL (projektivnost med dvema premicama, med prostorom in
ravnino, projektivna transformacija)
Projektivnost med dvema premicama:
Če poznamo tri točke in če poznamo položaj točke na objektu, lahko določimo položaj te
točke na posnetku in obratno.
a1X
i + a2
Slikovne koordinate točk pridobimo po izrazu: xi
= .
a3
X i + 1
Projektivnost med prostorom in ravnino:
Slikovne koordinate pridobimo po splošni enačbi kolinearnosti. Enačba se imenuje sistem
kolinearnosti in se glasi:
//2 dolgi enačbi//
Imamo 6 neznank ZO in 3 neznanke NO. Skupaj torej 9 neznank, ki definirajo funkcionalni
model. Ker imamo v enačbi 11 neznank, nam 2 neznanki predstavljata sistematične pogreške.
Projektivna transformacija:
- 2 -
60/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
Tukaj gre za projektivnost med dvema ravninama, torej pretvorimo npr. 4 podane točke v eni
ravnini v drugo ravnino z upoštevanjem merila in drugih rotacij, translacij. Pri teh
transformacijah ni potrebno poznati parametre NO.
Projektivna transformacija je 8-parametrična transformacija, ki ohranja ravne linije in
dvorazmerja (Košir, Magajna, 1997) – omogoča simulacijo centralne projekcije iz ene ravnine
na drugo (kvadrat preslika v poljuben konveksni četverokotnik). Za določitev parametrov
transformacije potrebujemo vsaj 4 točke, dane v obeh sistemih. Praktični primer uporabe
takšne transformacije je fotografski postopek, imenovan redresiranje.
4.OBDELAVA DIGITALNIH SLIK (definicija digitalne slike, statistična analiza slik in
postopki digitalne obdelave slik)
Digitalna slika je v matematičnem smislu matrika pozitivnih celih števil s številom nič.
Srečamo se z dvema pojmoma: radiometrične vrednosti in geometrične vrednosti. Pomembna
pa je tudi A/D pretvorba (skaniranje), s katero diskretiziramo vrednosti – določena vrednost
za vsak posamezen pixel. Radiometrične vrednosti podajamo s sivo vrednostjo s, geometrične
vrednosti pa z velikostjo pixla v DPI (linij/mm). V slikovnem koordinatnem sistemu so
podane koordinate središča pixla. Pri digitalni sliki smo omejeni z velikostjo pixla, pri
analogni sliki pa z velikostjo zrna. Pri digitalni sliki samo enkrat določimo koordinatni sistem
z določitvijo robnih markic, medtem ko pri analogni sliki moramo vedno na novo določati
robne markice. Način zapisovanja digitalne slike: formati RLC (Run Lenght Code),JPEG
(Joint Photogrammetric Expert Group).
Statistična analiza slik: Pri tem se srečamo s statističnimi parametri, ki so:
• histogram (pove pogostost določene sive vrednosti v sliki) Če bi bil histogram raven,
to pomeni,da so vse sive vrednosti enakomerno zastopane (slika ni več tako
kontrastna).
• relativna frekvenca
• srednja siva vrednost
• varianca
• entropija slike (pove kako so sive vrednosti razpršene)
• //kumulativni histogram(seštevamo vrednosti)
• //aritmetična sredina
• //mediana (je vrednost, pod katero je 50% populacije, vrednosti)
Digitalna obdelava slik: Z digitalno sliko se da manipulirati. Ne smemo spreminjati
geometričnih lastnosti, ker potem ne velja več centralna projekcija in tako tudi ne več njene
enačbe.
Ločimo več postopkov digitalne obdelave slik:
• točkovni postopek: Obdelujemo posamezen pixel, sprememba vpliva na točno tist
pixel in na druge ne. Pojavi se pri menjavi pozitiva v negativ.
• lokalni postopek: Pri tem postopku se oziramo na okolico in delo na enem pixlu je
odvisno od okolice pixla. Najmanjša možna okolica pixla je 3x3 pixli
• globalni postopek: Okolico pixla predstavlja celotna slika, torej je en pixel odvisen
od celotne slike.
Postopki izboljšanja slik so:
1. TOČKOVNI POSTOPKI
a) prevedbene funkcije: zanima nas samo siva vrednost pixla in ne okolica
- 3 -
61/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
b) ekstrapolacija razpona: gre za pretvorbo iz ene v drugo sivo vrednost
c) sprememba histograma: sprememba iz ene v drugo sivo vrednost je naključna,
ker gledamo točkovno.
2. LOKALNI POSTOPKI
a) glajenje slike: z glajenjem slike zmanjšamo ostrino robov, prag T:če je nek
pixel (siva vrednost) večji od neke vrednosti, to naredi, drugače ne
a1) odprava šuma
a2) nadomestitev z mediano
b) izostritev slike: Gradient slike je odvod sive vrednosti po x in po y. Pokaže
nam smer največje spremembe (horizontalni in vertikalni referenčni operator);
nova siva vrednost = stara siva vrednost / standardni odklon
3. SEGMENTACIJA
je postopek, s katerim grupiramo slikovne elemente glede na podrobnost atributov.
Grupiranje:
• načelo podobnosti
• načelo bližine
• načelo neprekinjenosti
• načelo zaključenosti
Atributi so lahko:
• siva vrednost (amplitudna segmentacija)
• robovi (robna segmentacija)
• tekstura (teksturna segmentacija)
5.DRŽAVNO TOPOGRAFSKO – KARTOGRAFSKI SISTEM V SLOVENIJI (glavne
značilnosti/elementi, vloga fotogrametrije, topografska baza, glavni elementi, pomen
objektnega kataloga)
Državno topografsko – kartografski sistem:
• je sklop vseh topografskih podatkov o prostoru v numerični ali grafični, analogni in
digitalni obliki, ki jih za potrebe državnih organov in ostalih uporabnikov vzpostavlja,
vzdržuje in vodi GURS.
• je uradni sistem topografsko kartografskih podatkov in gradiv.
Zajema karte meril od 1: 5 000 do 1: 1 000 000 in baze prostorskih podatkov temu ustrezne
natančnosti in podrobnosti. V sistemu vodimo za državo pomembne podatke tako, da jih je
mogoče posredovati v obliki standardnih izdelkov. Osnovni namen državnega topografsko
kartografskega sistema je zagotavljanje potrebnih podatkov o prostoru in njihova prezentacija
na dogovorjen način. Naš topografsko kartografski sistem je vsebinsko podoben sistemom v
drugih evropskih državah. Skozi ta sistem želimo zagotavljati homogene podatke, potrebno
kakovost podatkov in njihovo vzdrževanje na območju cele države. Državni topografsko
kartografski sistem (DTKS) je sistem kart in digitalnih baz, ki so osnova za vodenje
prostorskih podatkov, uporabljamo pa jih tudi za vzdrževanje kart (nekatere od njih pa je
možno uporabiti tudi v GIS okoljih), skupaj s projekti, ki se vsebinsko navezuje na izdelavo,
vodenje in vzdrževanje tega sistema...
Vloga fotogrametrije: aerosnemanje, ciklično aerosnemanje, DOF5, DOF25.
Topografska baza:
Pri topografskih in kartografskih podatkih v digitalni obliki so aktualni predvsem skanogrami kart in
vektorski podatki posameznih objektnih skupin v podatkovnih bazah. Digitalne topografsko
kartografske baze vzpostavljamo v več nivojih natančnosti tako, da bo vsak nivo uporaben za čim širši
- 4 -
62/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
krog uporabnikov in izdelavo kart v več merilih. Večina držav se odloča za tri do štiri nivoje
natančnosti in podrobnosti vektorskih podatkovnih baz.
Na področju digitalnih vektorskih prostorski baz imamo že vzpostavljeno generalizirano
kartografsko bazo v merilu 1 : 25 000 na območju celotne države za vektorske sloje cest,
železnic, hidrografije in plastnic. Vzpostavljena imamo tudi register prostorskih enot in
register zemljepisnih imen.
Geodetska uprava Republike Slovenije razpolaga s skanogrami vseh izdelanih kart. Več kot
40% ozemlja Slovenije je pokrito z digitalnimi ortofoto načrti 1 : 5 000. Hkrati z izdelavo
digitalnih ortofoto načrtov pridobivamo tudi podatke za digitalni model reliefa (DMR) z
resolucijo 25 m. Za območje Slovenije imamo izdelan DMR 100 z gostoto celic 100x100
metrov.
Objektni katalog: je abstraktni model in zbirka topografske vsebine in nam navaja posamezne
definicije objektnega tipa (definicija pojma, definicija objekta v bazi, geometrični parametri,
tematski atributi), osnovni vir in metodo zajema, kriterije in način zajema in topološko obliko.
Pomen objektnega kataloga je v tem, da je zajem podatkov standardiziran in da so z
definicijami objektov nesporno določeni objekti in njihov način vektorizacije.
6.FOTOGRAMETRIČNI INSTRUMENTI (vrste in opis delovanja, primerjava
analitičnih instrumentov in digitalnih fotogrametričnih postaj)
Fotogrametrični instrumenti so:
• komparatorji (stereokomparatorji, monokomparatorji)
• analogni instrumenti
• analitični instrumenti (univerzalni analitični instrument, analitični korelatorji)
• digitalne postaje
Komparatorji:
Za izvrednotenje vrhunske natančnosti merimo slikovne koordinate s stereo oziroma z
monokomparatorjem. Elektronska enota za zajemanje podatkov, ki je priključena h
komparatorju, prenese zajete podatke v priključeni računalnik, ki jih preuredi in očisti
sistematskih pogreškov. Glede na zmožnosti računalnika lahko kar v nadaljevanju procesa
izvede računsko izvrednotenje modelov. Končni rezultat procesa so potem 3D koordinate
objektovih točk v objektovem koordinatnem sistemu. Komparatorji so v bistvu relativno
enostavni instrumenti za fotogrametrično izvrednotenje in zato tudi najbolj natančni.
Stereokomparatorji:
Nosilec posnetkov je oblikovan tako, da ga lahko premikamo v dveh, med seboj pravokotnih
smereh. Smeri obeh slikovnih koordinatnih sistemov, na nosilec položenega stereograma,
morajo biti vzporedne s smermi premikanja nosilca. Posnetke opazujemo stereoskopsko prek
optičnega sistema, v katerega sta vgrajeni markici M1 in M2, ki sta običajno togi. Razen tega
je eden od obeh posnetkov še dodatno gibljiv v smereh, vzporednih s smermi gibanja nosilca
posnetkov. Ustrezne enote registrirajo slikovni koordinati x',y' in paralaksi px,py. Izmerjene
komparatorske koordinate moramo potem ustrezno preoblikovati, da dobimo ustrezne
slikovne koordinate za izvrednotenje.
Monokomparatorji:
Nosilec posnetka, ki sprejme samo po en posnetek, je gibljiv v dveh, med seboj pravokotnih
smereh. V optičnem sistemu za opazovanje, ki je običajno tog, je markica M. Pridobljene
komparatorske koordinate z ustreznim preoblikovanjem dobimo slikovne koordinate. Sodobni
monokomparatorji so zelo natančni.
- 5 -
63/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
Analogni instrumenti:
Analogni instrument rešuje matematične izraze s fizikalnimi prvinami, še zlasti z optičnimi in
mehanskimi; z njim izvajamo točkovno izvrednotenje ali pa kontinuirano – linijsko kartiranje.
Na novejših analognih instrumentih je mogoče natančno uvesti elemente ZO. Konstrukcija
analognega instrumenta: Dva projektorja imata fizikalno oblikovani center projekcije O in
enako NO kakor snemalna kamera. Oblikujejo se na osnovi točke, v slikovno ravnino
projektorja vloženega fotograma, in projekcijskega centra obnovljeni projecirni žarki, ki
skupaj oblikujejo obnovljeni snop. Orientacija snopa v modelnem koordinatnem sistemu mora
ustrezati orientaciji v nadrejenem objektovem koordinatnem sistemu v trenutku snemanja.
Vsak projektor lahko vrtimo v centru projekcije okoli x,y in z osi slikovnega koordinatnega
sistema.
Analitični instrumenti:
Nosilec se premika, merilo je na miru, Nepravokotnost nima vpliva na slikovne koordinate.
Natančnost merjenja slikovnih koordinat je 0.001 mm. To je mejna natančnost preciznih
fotogrametričnih instrumentov. Poleg natančnega merjenja slikovnih koordinat, ima vpliv na
končno natančnost tudi zrnavost filma, natančnost fotopostopka razvijanja ter še drugi vplivi
na posnetek. Ideja analitičnega instrumenta je, da računalnik beleži vse premike in postavi
posnetek v pravi položaj (računalnik preračuna premike vrtil in sam premika posnetke).
Hkrati je bil mogoč izris na zunanji ploter.
Univerzalni analitični instrument:
Z analitičnim instrumentom oblikujemo razmerje med koordinatami objektovega in
koordinatami slikovnega sistema digitalno z računalnikom, ki je integralni del instrumenta.
Enota analitičnega instrumenta, ki vodi oziroma usmerja celoten proces izvrednotenja, je
procesni računalnik. Univerzalnost instrumenta je poleg ostalega v konstrukcijski zasnovi, ki
omogoča, da ga uporabljamo kot komparator oziroma stereokomparator ali kot instrument za
linijsko izvrednotenje (analogno ali digitalno), ker ima ustrezne premike, da lahko
stereoskopsko markico kontinuirano vodimo po prostorskih linijah modela.
Dva nosilca posnetkov ležita vsak na svojem sistemu križnih sani. Posnetek položimo na
ploščo nosilca, a sistem križnih sani omogoča, da nosilec premikamo v stalni ravnini v dveh
med seboj pravokotnih smereh. Na ta način lahko par homolognih točk navedemo na togi
markici M1 oziroma M2. Restitutor opazuje posnetka stereoskopsko skozi optični sistem,
enako kakor na stereokomparatorju. Nosilce premikamo z izredno natančnimi vreteni, ki jih
vrtimo z dvema ročnima kolesoma. Vendar vretena ne vrtimo neposredno z mehansko
povezavo vretena z ročnim kolesom, kakor je to običajno pri analognih instrumentih, temveč
posredno prek procesnega računalnika. Vsako ročno kolo vrti rotacijski oddajnik impulzov, in
ne vreteno kot pri analognih instrumentih. Oddane električne signale sprejema enota, ki je
dodana procesnemu računalniku. Te sprejete signale digitalizira in prevede v decimalni sistem
oziroma v instrumentalne (strojne) koordinate x,y. Z vrtenjem koles se v procesnem
računalniku tako dejansko spreminjata koordinati x,y koordinatnega sistema instrumenta.
Za digitalno vodenje nosilcev sta na križnih saneh vsakega nosilca nameščena dva linearna
oddajnika impulzov, ki procesnemu računalniku javljata koordinati vsakokratnega trenutnega
položaja nosilca. Računalnik javljene koordinate trenutnega položaja primerja z
instrumentalnimi koordinatami, ki jih dobi iz impulzov vrtenja ustreznega ročnega kolesa. Ko
računalnik ugotovi razliko med koordinatami, daje selekcionirane ukaze štirim
servomotorjem, ki zavrtijo vretena za ustrezne premike nosilcev.
- 6 -
64/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
Analitični korelatorji:
Problem je bil v količini spomina. Ta instrument je imel CCD senzor, ki je skaniral en del
posnetka, katerega smo potem obdelovali.
Digitalne postaje:
Ni več optičnega sistema za gledanje posnetka. Obdeluje se digitalno sliko, ni tudi posnetka.
Teh postaj je zelo veliko. Ključno pri postaji je, da opazujemo 3D – to je izvedeno s
polarizacijskimi očali in posebnim monitorjem (zaslon crystal eyes). Kvaliteta 3D opazovanja
je kar zadovoljiva. Specialna rešitev je prostorsko projeciranje, ki je izvedeno z dvema
projektorjema in posebnim ploterjem. Za 3D gledanje potrebujemo polarizacijska očala.
7.RAVNINSKE TRANSFORMACIJE (podobnostna, afina, bilinearna)
Podobnostna (Helmertova) transformacija:
ima en dodatni parameter, gre torej za 4-parametrično transformacijo, ki ohranja podobnost;
ohranjajo se koti, spremenijo pa se orientacija, položaj in merilo – uvaja zasuk, pomik in
razteg/dilacijo (povečavo oz. pomanjšavo). Za določitev parametrov transformacije
potrebujemo vsaj 2 točki, dani v obeh sistemih. Pri vklopu omogoča optimalno prilagoditev
merila. Relativne spremembe površin (spremembe v odstotkih) so povsod enake. Isto velja za
relativne spremembe dolžin.
4 parametri so 2 translaciji, 1 rotacija in 1 sprememba merila.
Prostorska podobnostna transformacija (absolutna orientacija modela)
Afina transformacija:
je 6-parametrična transformacija, ki ohranja vzporednost linij in delilno razmerje, uvaja
zasuk, pomik in usmerjeni razteg (različno spremembo merila v smereh obeh koordinatnih
osi), kar povzroči kotno striženje (kvadrat preslika v paralelogram). Za določitev parametrov
transformacije potrebujemo vsaj 3 točke, dane v obeh sistemih. Relativne spremembe
površine so še vedno povsod enake. Če se površine ohranjajo, govorimo o enakomerno afini
transformaciji (Košir, Magajna, 1997). Seveda so odstopanja od danih točk pri vklopu z afino
transformacijo še manjša kot pri vklopu s podobnostno.
Ima šest parametrov: translacijo (v y in x smeri), rotacijo in spremembo merila, ločeno po
koordinatnih oseh (sin in cos kota rotacije je pomnožen enkrat z merilom v y smeri, drugič z
merilom v x smeri). Za izračun transformacijskih parametrov potrebujemo minimalno tri
skupne točke. Faktor merila je odvisen od orientacije linije. Po transformaciji se ohranjajo
ravne linije in vzporednost, spremenijo pa se velikost, oblika, položaj in orientacija linij.
6 parametrov je 2 translaciji, 1 rotacija, 2 spremembi merila, 1 prečni strig.
Bilinearna transformacija:
ohranja ravnost horizontalnih in vertikalnih linij. Je 8-parametrična transformacija. Za
določitev parametrov transformacije potrebujemo vsaj 4 točke, dane v obeh sistemih.
- 7 -
65/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
8.SLIKOVNO UJEMANJE (postopki in opis, pomen v fotogrametriji, uporaba)
Pomen v fotogrametriji, uporaba: Cilj je avtomatsko iskanje homolognih točk. Naslanjati se
moramo na pravilo, kdaj bodo dve točki isti. Iščemo korelacije – funkcijsko povezavo med
dvema točkama na levem in na desnem posnetku. Za ugotavljanje podobnosti je več
kriterijev. Uporablja se za zajem stavb.
Postopki slikovnega ujemanja:
• Metoda križnega korelacijskega koeficienta
Ločimo dve vrsti korelacije ali ujemanja: ploskovne metode in linijske metode. Izberemo si
vzorčno matriko, ki jo polagamo po celem posnetku ali po iskalni matriki, ki je izrez iz
posnetka. Naredimo sintetični vzorec – cel posnetek poskaniramo. Sintetični vzorec
preklapljamo po celi sliki in vidimo kdaj se preklopi. S tem določimo točko na pixel
natančno. Mi pa potrebujemo višjo natančnost metoda subpixelske natančnosti. Potrebno je
signalizirati oslonilne točke, katere naknadno merimo, prav tako meritve veznih točk poteka
še polavtomatsko. Avtomatsko pa lahko merimo višine iz DMR, ki se meri pred izdelavo
ortofota. Uporablja se za zajem stavb.
r….koeficient korelacije
n…število uporabljenih elementov
-1

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
JEDRNA RAVNINA: oba perspektivna centra (točke na levem in na desnem posnetku), obe
slikovni točki, obe premici
EPIPOLARNI PARI (SLIKE):samo po vrsticah iščemo točke, po linijah jedrne ravnine. Ta
operacija teče zelo hitro.
9.AEROTRIANGULACIJA (namen AT, opis metod, vhodni podatki, rezultati, faze in
opis, pomen veznih in oslonilnih točk, planiranje razporeditve teh točk v bloku, metode
določanja veznih točk, opis izravnave bloka, ciklično aerosnemanje v Sloveniji)
Aerotriangulacija je ožji pojem od splošne fotogrametrične triangulacije. Zanimajo nas
koordinate točk v prostoru. Za vsak posnetek potrebujemo najmanj 6 parametrov (3 rotacije, 3
translacije). Če obdelujemo več posnetkov skupaj, govorimo o triangulaciji.
Namen AT: Namen tega je zmanjšanje števila oslonilnih točk. Posnetke damo v neko celoto –
jih povežemo v celoto, potem pa ves blok orientiramo v prostoru. Ta postopek je ekonomični,
saj se število oslonilnih točk zmanjša. Glavni cilj pa je z izravnavo istočasno določiti,
izračunati parametre posnetkov in koordinate vseh točk v izravnavi.
Opis metod:
Poznamo dve metodi (vrsti) AT:
• neodvisni modeli
enota: model
modelne koordinate (x,y,z)
je manj natančna metoda
so linearne enačbe
7 parametrov: X0,Y0,Z0,omega, fi, kapa, lambda
• blokovna izravnava snopov
enota: posnetek
slikovne koordinate (x,y)
je bolj natančna metoda
enačbe je potrebno linearizirati
6 parametrov: X0,Y0,Z0, omega, fi, kapa + dodatni (distorzija…)
Vhodni podatki: aeroposnetki v analogni ali digitalni obliki, oslonilne in kontrolne geodetske
točke izmerjene na terenu, kakovost teh podatkov
Rezultati: koordinate veznih točk in perspektivnih centrov za posamezni posnetek, rotacijski
koti okoli osi koordinatnega sistema (elementi ZO), kakovost elementov ZO
Faze in opis (projekt aerotriangulacije):
• priprave
Načrtujemo vse parametre v projektu, ki jih bomo morali obdelovati:
• zahteve projekta
• plan leta (preklop posnetkov, konstanta kamere, oblika bloka)
• predhodna ocena natančnosti (apriori)
• plan terenskega dela (signalizacija točk)
• terenske meritve (signalizacija oslonilnih točk)
Na terenu je potrebno signalizirati oslonilne točke, ki morajo biti vidne kasneje na posnetku.
Dobro je, če so signali na tleh. Poznamo več vrst signalov in velikost signala prilagajamo
- 9 -
67/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
glede na merilo posnetka. Na posnetku naj bi bil signal velik 0.2 mm. Ti signali morajo biti
izmerjeni tudi na terenu – jim določimo koordinate. //M=1:5000, velikost signala 1 meter//
• aerosnemanje (razvijanje, skaniranje)
• fotogrametrične meritve
Vzpostavimo notranjo orientacijo. Izmeriti moramo oslonilne točke in nove ter vezne točke.
Kontrolne točke izmerimo, a ne gredo v izravnavo in nam služijo zgolj za kontrolo. Kot
rezultat izravnave dobimo parametre in koordinate oslonilnih, veznih in novih točk, če
obstajajo.
• obdelava meritev (izravnava AT)
• ovrednotenje rezultatov (poročilo)
Dobimo elipse pogreškov in aposteriori oceno natančnosti. Višinske in planimetrične točke so
bile včasih ločene zaradi napetosti znotraj bloka, medtem ko so danes so dane vse tri
koordinate.
Pomen oslonilnih točk: orientacija modela
Pomen veznih točk: povezava večih fotogramov v model/blok
Planiranje razporeditve teh točk v bloku:
Oslonilne točke so točke določene na terenu, pojavljajo se na robovih bloka, njihovo število je
odvisno od zahtevane natančnosti, potrebna ustrezna signalizacija na terenu.
Vezne točke so poljubno izbrane točke na posnetku, pojavljajo se na prekrivajočih se delih,
morajo biti dobro vidne (lahko umetno gravirane).
Metode določanja veznih točk: Poznamo avtomatske in polavtomatske metode. Vezne točke
iščemo na osnovi prepoznavanja oblik in struktur že zajetih objektov (ujemanje površin,
oblik).
Opis izravnave bloka: Izravnava bloka poteka na iterativen način.
Ciklično aerosnemanje v Sloveniji: Snemanje opravljajo v merilih 1:17400 in 1:8700, na
vsaka 3 leta se izvaja CAS, posnamejo celotno Slovenijo. Te aeroposnetke potem potrebujejo
za:
• izdelavo digitalnih ortofoto načrtov
• reambulacijo TTN5, TTN10, TK25
• fotogrametrično digitalizacijo podatkov o stavbah za potrebe registra stavb
10.ORTOFOTO (opis postopka izdelave, kaj vpliva na njegovo kakovost,
prednosti/slabosti digitalnih ortofoto kart, stanje v Sloveniji)
Ortofoto je kombinacija linijske karte in fotografskega posnetka.
Opis postopka izdelave: Kot vhodna slika (digitalna slika) nam služi fotogrametrični
posnetek, ki je v centralni projekciji. S pomočjo direktne metode pridobimo izhodno sliko
(digitalna slika), ki je načrt (karta) v ortogonalni projekciji. Ortofoto je mono postopek. Pri
obdelavi potrebujemo samo posnetek. DMR delamo posebej. Potrebujemo znane elemente
NO in ZO. Vhodni podatki pri mono postopku so: digitalni posnetek, orientacijski parametri
(3 rotacije, 3 translacije), DMR (zadoščati mora kvaliteti).
Kaj vpliva na njegovo kakovost:
Kakovost ortofota je odvisna od:
• DMR odvisen od velikosti celice in natančnosti višin (viri, metoda zajema)
• aerotriangulacije
• velikosti slikovnih elementov (v naravi 0,5 metrov)
Prednosti/slabosti digitalnih ortofoto kart: višine moramo dodatno določiti iz DMR, realni
prikaz okolice (slika)
- 10 -
68/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
statični prikaz prostora: statičnost (enoperspektivno gledanje)
dinamični prikaz prostora: računalniška obdelava velike količine podatkov v zelo kratkem
časovnem intervalu
Stanje v Sloveniji: V Sloveniji bo do konca leta celotna država pokrita z DOF – om 5, imamo
pa že nekaj listov DOF-a 25.
11.AVTOMATIZACIJA FOTOGRAMETRIČNIH POSTOPKOV (kateri postopki so
avtomatizirani, načini avtomatizacije)
Avtomatsko iskanje homolognih točk. Potrebno je signalizirati oslonilne točke, katere
naknadno merimo, prav tako meritve veznih točk potekajo polavtomatsko. Avtomatsko pa
lahko merimo višine iz DMR, ki se merijo pred izdelavo ortofota.
12.KONTROLNI PROCESI V FOTOGRAMETRIJI(kaj je kakovost, zagotavljanje in
kontrola kakovosti, pomen kakovosti, stanje v Sloveniji)
Definicija kakovosti:
Kakovost:
• je relativen pojem, ki je odvisen od tega, s čim to primerjamo.
• je skupek vseh lastnosti nekega produkta in na njegove lastnosti, da zagotovi
uporabnikove potrebe
Zagotavljanje kakovosti (preventiva)
Kontrola kakovosti (kurativa) glede na:
• poreklo (od kje so podatki prišli, metode)
• pozicijska natančnost (odstopanja)
• atributna natančnost (če je vzet pravilni atribut)
• popolnost (postaviti abstraktni model, stopnja detajla)
• logična konsistentnost (topologija – zaprt poligon, stikanje linij v točki)
Pomen kakovosti:
Boljša je kakovost posnetkov, večja je možnost za popolno avtomatizacijo postopkov.
Stanje v Sloveniji:
13.UPORABA GPS V FOTOGRAMETRIJI (v katerih procesih se lahko uporablja)
• uporaba avtomatskega GPS – a pri navigaciji in bolj natančnem vodenju načrtovanega
aerosnemanja
• uporaba kinematičnega GPS – a pri natančni določitvi koordinat perspektivnega centra
(OTF, CBA) // pri snemanju v letalu//
• uporaba GPS – a pri določanju koordinat oslonilnih in kontrolnih točk (statične in hitre
statične metode)
- 11 -
69/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
14.FOTOGRAMETRIČNO DOKUMENTIRANJE KULTURNE DEDIŠČINE (namen
dokumentiranja, primerjava metod (ročne meritve, geodetske meritve, fotogrametrične
meritve), faze projekta izvedbe dokumentiranja, nivoji dokumentacije (fotografija,
pravila 3x3, preventivna snemanja, končni izdelki), izdelki)
Namen dokumentiranja: Izdelki arhitekturne fotogrametrije so namenjeni različnim
uporabnikom: arhitektom, konzervatorjem, restavratorjem… Prihaja do interdisciplinarnega
združevanja panog, izvajanje postopkov za ohranitev kulturnih spomenikov.
Osnovni namen izdelave tehnične dokumentacije spomenikov je, da se s fotogrametričnimi in
geodetskimi meritvami izdelajo, dopolnijo ali obnovijo načrti zgradb, ruševin, poslikav,
arheoloških najdišč…
Primerjava metod:
Ročne meritve:
Potreben je stik s terenom in običajno tudi gradbeni oder. Merske točke so izbrane
neposredno na objektu in predstavljajo enkratno stanje. Natančnost je boljša po detajlih,
glavni strošek nam predstavlja oder in terensko delo in preživimo veliko časa na terenu.
Ročne meritve na objektu (teodolit, nivelir z nivelirno lato, merski trak, trasirka, libela)
Geodetske meritve:
Potrebna je skica geodetske izmere ( plan geodetskega in fotogrametričnega snemanja,
stabilizacija geodetskih točk poligona, morebitna navezava na obstoječo geodetsko mrežo),
poligon, nivelman, tahimetrična izmera, skica fasadnih površin in detajlov, seznam oslonilnih
točk.
Fotogrametrične meritve:
Potrebna je skica fotogrametrične izmere, fotografiranje objekta, arhiviranje negativov,
fotoskice, fotopovečave, instrumenti za terensko delo, elaborat geodetskih izračunov.
Pri fotogrametričnem snemanju ni potreben stik s terenom in gradbeni oder. Merske točke so
trajno dokumentirane, natančnost je boljša pri prostorsko razsežnih objektih. Glavni strošek
nam predstavlja izdelava posnetkov in izvrednotenje, manj časa porabimo na terenu.
Fotogrametrično snemanje in izvrednotenje (fotokamere, material za signaliziranje, geodetski
instrumenti za izmero oslonilnih točk, fotolaboratorij, fotogrametrični instrumenti za
izvrednotenje). Prednosti uporabe fotogrametričnih metod so naslednje:
♦ podatke za meritve lahko pripravimo vnaprej
♦ meritve na objektu lahko opravimo takoj po fotografiranju in jih tudi naknadno dopolnimo
♦ pri meritvah večjih količin podatkov s fotogrametričnimi metodami opravimo manj
dragega in dolgotrajnega terenskega dela.
Faze projekta izvedbe dokumentiranja:
• naročnik določi obseg vsebine in način prikaza podatkov
• zbere se obstoječe gradivo
• rekognosciranje in določitev razgibanosti reliefa, zaraščenost objekta in dostopnost do
objekta
• geodetska izmera
Potrebna je skica geodetske izmere ( plan geodetskega in fotogrametričnega snemanja,
stabilizacija geodetskih točk poligona, morebitna navezava na obstoječo geodetsko mrežo),
poligon, nivelman, tahimetrična izmera, skica fasadnih površin in detajlov, seznam oslonilnih
točk.
• fotogrametrična izmera
Potrebna je skica fotogrametrične izmere, fotografiranje objekta, arhiviranje negativov,
fotoskice, fotopovečave, instrumenti za terensko delo, elaborat geodetskih izračunov.
- 12 -
70/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
Nivoji dokumentacije:
Fotografije: so metrične ali nemetrične.
Pravila 3x3:Poznamo:
- 3 geometrijska pravila
• zagotovite merske informacije
• objekt fotografirajte z vsebinskim preklopom
• posnamite stereo – fotografije
- 3 fotografska pravila
• izberite dober fotoaparat
• ohranjajte notranjo geometrijo fotoaparata
• pazite na enakomerno osvetlitev
- 3 organizacijska pravila
• naredite dobre skice
• zapišite potrebne podatke v protokol
• zaključna dela
Izdelki arhitekturne fotogrametrije:
♦ tabela ali dvodimenzionalni – grafični načrti
♦ redresirani posnetki, fotomozaiki
♦ kombinacija grafičnega načrta in rastrske slike
♦ metrična rekonstrukcija porušenih objektov iz obstoječih fotografij
♦ 3D modeli objektov
♦ 3D prikazi mest
♦ preventivno fotogrametrično snemanje
15.DIGITALNI MODEL RELIEFA (kaj je DMR in DMV, metode zajema, obdelava in
vizualizacija, stanje v Sloveniji)
Digitalni model reliefa (DMR) je digitalna predstavitev terenskega reliefa - zemeljske
površine. Sestavljen je iz niza prostorskih točk, ki so dane z vsemi tremi prostorskimi
koordinatami X, Y in Z v izbranem koordinatnem sistemu. V računalniškem smislu je to
takšen način organizacije in hranjenja podatkov o reliefu, da je možna njihova neposredna
računalniška obdelava.
Digitalni model višin (DMV) je digitalna predstavitev terenskega reliefa - zemeljske površine.
Sestavljen je iz niza točk, ki so dane z višinsko koordinato Z v izbranem koordinatnem
sistemu.
Metode (načini) zajemanja podatkov:
• posredno
• neposredno
• kombinirano
Viri zajemanja: karte, geodetske meritve, fotogrametrija, daljinsko zaznavanje, zajem za
druge namene.
Avtomatizirane tehnike zajema:
• polsamodejna vektorizacija (skener – digitalizacija kartografskih virov)
• image matching (temelji na osnovnih lastnostih geometrije)
- 13 -
71/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
• lasersko skaniranje (za izdelavo natančnejših modelov reliefa za manjša območja,
prevelika razgibanost terena je ovira)
• daljinsko zaznavanje (v čim krajšem času pokriti večje območje, tehnologija zajema
podatkov o objektu s senzorjem, ki je zmeraj zelo daleč od objekta, osnova in pogoj je
EMV različnih valovnih dolžin različnih snovi)
Obdelava in vizualizacija:
Predobdelava: S postopki predobdelave so viri ovrednoteni ter izboljšani z izločitvijo grobih
in sistematičnih napak. Pomembna elementa predobdelave sta:
• ocena kakovosti izbranih virov ter odstranitev grobih in sistematičnih napak
• dodajanje/reduciranje napak.
Najpomembnejši koraki ocene kakovosti izbranih virov ter odstranitve grobih in sistematičnih
napak so:
• vizualna ocena referenčnih podatkov in ročno popravljanje grobih napak
• statistična ocena referenčnih točk ter samodejna odstranitev grobih napak
• statistična ocena zveznih slojev ter samodejna odstranitev sistematičnih in grobih napak.
Obdelava:Predhodnim postopkom sledi izbira primernih metod za obdelavo ali splošneje za
interpolacijo DMR. Razvita je bila metoda utežnega seštevanja virov z geomorfološkimi
popravki. Postopek obdelave je naslednji:
• interpolacija posameznih zveznih slojev – v odvisnosti od narave virov, v ploskve celičnih
mrež enake ločljivosti in istega koordinatnega izhodišča
• mozaičenje v osnovni sloj
• utežno seštevanje slojev predvsem glede na parametre analiz kakovosti
• geomorfološki popravki s pomočjo ploskev trenda
• upoštevanje (nekaterih) točk
• izboljšanje modela na osnovi hidroloških analiz in nadgradnja DMV 20 v DMR.
Stanje v Sloveniji: V Sloveniji ima področje DMR v primerjavi z drugimi državami
dolgoletno tradicijo, ki sega v konec 60-tih let prejšnjega stoletja, ko je bil izdelan relativni
model višin občine Domžale. V Sloveniji imamo DMR 100, DMR 25, DMR 10, InSAR DMV
25, InSAR DMV 100, plastnice vektorizirane s kart velikih meril, zbirke evidenc in registrov.
16.SODOBNE TEHNOLOGIJE (visokoresolucijski satelitski sistemi, lasersko
skeniranje, InSAR, opis glavnih značilnosti tehnologij, primerjava s fotogrametrijo)
Visokoresolucijski satelitski sistemi: Glede na gibljivost senzorjev ločimo fiksne in gibljive
sisteme. Glede na spektre snemanja pa ločimo pankromatske (vidna in IR svetloba),
multispektralni (3-7 spektrov, barvni posnetek), hiperspektralni (do 100 spektrov) sisteme.
Lasersko skaniranje omogoča zajem podatkov s pomočjo odboja laserskega signala od
površja Zemlje tudi za potrebe izdelave digitalnega modela reliefa. Velika prednost je
predvsem ta, da tehnika omogoča pridobitev podatkov o terenu tudi, če je le-ta poraščen z
gozdom. Omogoča visoko stopnjo avtomatizacije, veliko število točk in veliko natančnost. K
razvoju je pripomogel tudi razvoj satelitske določitve položaja GPS, ki je potreben pri
merjenju z laserskim skaniranju. Laserski skanerji so sestavljeni iz optično – mehanskih
delov. Delujejo na principu aktivnega zaznavanja (oddaja in sprejem laserskega žarka).
InSAR – Umetna odprtinska radarska interferometrija. Radar proti površini usmeri impulze,
ki imajo značilno valovno dolžino in polarizacijo. Energija mikrovalovnega impulza se siplje
v vse smeri. Povratno sipanje se vrne do sprejemne antene, ki zazna signal. S premikanjem
- 14 -
72/150

Fotogrametrija II – odgovori na vprašanja
nosilca in s tem odtisa, na površini ustvarimo radarsko podobo. Torej oddajnik na satelitu
pošlje proti Zemlji radarski snop: Osvetli del površine. Ker poznamo hitrost razširjanja EMV,
lahko iz izmerjenih časov potovanja žarkov določimo oddaljenost predmetov, na katerih se je
žarek odbil.
Opis glavnih značilnosti tehnologij:
Daljinsko zaznavanje: je vsako zbiranje informacij o obliki in lastnosti oddaljenih objektov.
Primerjava s fotogrametrijo:
Fotogrametrija ima matematično in geometrijsko osnovo in išče geometrične lastnosti
objektov. Daljinsko zaznavanje ima fizikalne osnove in išče negeometrične lastnosti objektov.
Senzorji: Poznamo optične (vidna svetloba in svtloba blizu IR), mikrovalovne (aktivni (SAR)
in pasivni tip) senzorje
17.GEOGRAFSKI INFORMACIJSKI SISTEMI (kaj je GIS, vloga fotogrametrije v
GIS)
GIS je zbirka računalniških programov, namenjenih obdelavi podatkov s prostorsko ali
kartografsko komponento. Podatki so predstavljeni na podlagi prostorskih položajev. GIS teži
k zbiranju podatkov z namenom, da bi obdelali in primerjali vrsto socialno – ekonomskih,
ekoloških in zemljiških dejavnikov. GIS predstavlja:
• sistem za vnos podatkov
• shranjevanje in iskanje na osnovi geografskih položajev
• dovoljuje popravljanje podatkov
• statistično obdelavo, modeliranje in združevanje podatkov.
Vloga fotogrametrije v GIS:
Geodezija se vključuje v geoinformatiko z:
• novimi tehnikami pridobivanja podatkov (GPS, daljinsko zaznavanje, totalne postaje)
• novimi orodji obdelave podatkov (analitična digitalna fotogrametrija, ortofoto kartiranje)
- 15 -
73/150

Razvoj in načrtovanje prostora, 1. LETNIK GEO TUN
Štud. leto 2008/09, Izredni študij
Pregledni test snovi
Ime in priimek:________________________ in/ali vpisna številka:________________________
Skupaj možnih 15 točk. Vsak odgovor šteje 1 točko. Za pozitivno oceno je potrebno zbrati vsaj 8 točk:
8 – 9 točk: zd(6), 9,5 – 10,5 točk: db (7), 11 – 12 točk: pd (8), 12,5 – 13,5 točk: pd (9), 14 - 15 točk: odl (10)
1 Kaj je karta in kaj nam pove njeno merilo
Karta je risba, ki ponazarja stanje v prostoru.
Merilo karte pove, kolikokrat manjše kot v realnosti, je na karti predstavljeno stanje v prostoru.
2 Razloži pojme:
1. Izključna namenska raba prostora se določi za območje v katerem je recimo možno opravljati eno samo
dejavnost (npr. stanovati),
2. Sočasna raba prostora se določi območju, na katerem se hkrati izvajajo različne dejavnosti in se tako isti prostor
izkorišča večnamensko.
3. Nepovratna raba prostora, npr. urbanizirane površine iz več razlogov težko spremeniti nazaj v kmetijske.
4. Spremembe rabe imenujemo povratne, če je rabo v prihodnosti možno spremeniti nazaj v prvotno (npr.
renaturacija)
5. Sosledje rab kaže, da človek najbolj pogosto stopnjuje intenzivnost rabe prostora: za potrebe kmetijstva poseka
gozd, kasneje na kmetijskih zemljiščih načrtuje gradnjo objektov ali infrastrukture.
3 Kaj je namen opremljanja stavbnih zemljišč
Namen opremljanja stavbnih zemljišč je projektiranje in gradnja komunalne opreme in objektov ter omrežij druge
gospodarske javne infrastrukture za izvedbo prostorskih ureditev, načrtovanih s PA.
4 Katere podatke bo mogoče pridobiti na portalu Prostorskega informacijskega sistema (PIS),
ko bo le-ta vzpostavljen (naštej vsaj 4)
1. Podatke o dejanskem stanju v prostoru
2. Podatke o pravnem stanju v prostoru
3. Podatke o drugih pravnih režimih
4. Podatke o vrednotenju vplivih in omejitvah kulturne dediščine in ohranjanja narave
5. Podatke iz upravnih aktov, ki se nanašajo na gradnjo
6. Druge podatke, ki omogočajo pripravo, sprejem in spremljanje PA
5 Ali so podatki PIS javni (obkroži pravilen odgovor)
Da
Ne
74/150

6 Naštej najpomembnejša področja (5) omejitev v prostoru!
1. Varstvo voda
2. Varstvo narave
3. Varstvo kulturne dediščine
4. Najboljša kmetijska zemljišča
5. Varovalni gozdovi in gozdovi s posebnim pomenom
7 Katere omejitve (poleg pravnih režimov) v prostoru še poznamo
1. Fizične omejitve so povezane z značilnostmi prostora kot so velike strmine ali poplavljenost in z izvedenimi
posegi kot so obstoječe stavbe ali ceste.
2. Priporočilne (administrativne) omejitve izhajajo iz različnih predpisov in navodil za ravnanje v prostoru. To so
na primer meje države, zavarovana območja, zasebna lastnina ali območja, ki so s planskimi akti namenjena samo
določeni rabi.
3. Nekatere omejitve pa so dogovorne narave in so povezane z ustaljenimi načini rabe prostora. Kršenje takih
nenapisanih pravil obnašanja v prostoru je lahko razlog za slabo voljo in medsosedski prepir.
8 Razloži pojma:
1. naravna rast prebivalstva (rodnosti oziroma natalitete in smrtnosti oziroma mortalitete),
2. mehanska rast prebivalstva (doseljevanja oziroma imigracij in odseljevanje oziroma emigracij).
9 Kako prikazujemo razporeditev (gostoto) prebivalstva v prostoru
1 z velikostjo kroga na zemljevidu – velikost pomeni število ljudi, ki živijo na določenem območju,
2 z relativnimi gostotami – na ta način prikazujemo razmerje med številom prebivalstva in površino na določenem
območju
10 Naštej vsaj tri vire, kjer lahko pridobimo podatke o prebivalstvu! Ob vsakem viru napiši
tudi, s katerimi podatki razpolaga!
1. SURS (vsi staitsitični podatki o prebivalstvu)
2. . Centralni register prebivalstva, Evidence o tujcih in o osebah z začasnim zatočiščem v Sloveniji Ministrstva za
notranje zadeve;
3. Zbirka podatkov o umrlih Inštituta za varovanje zdravja Republike Slovenije;
11 Kako razvrščamo naselja glede na pretežno sestavo prebivalstva!
1 Podeželska (ruralna) naselja
2 Mestna (urbana) naselja
12 Vlogo in pomen naselij opredeljujemo glede na (naštej 4 poglavitne elemente poselitve, ki
določajo vlogo in pomen posameznega naselja v prostoru):
1. velikost
2. opremljenost z dejavnostmi (funkcijami)
3. lega v prostoru (prometna vozlišča, nahajališče rudnih bogastev, naravno okolje …)
4. povezovanje med naselji, še posebej med mestom in podeželjem
75/150

13 Razloži pojem centralno naselje!
Centralno naselje je središče, v katerem so osredotočene terciarne (storitve) in kvartarne (javne
službe) dejavnosti, namenjene oskrbi prebivalstva v okolici, kakor tudi oskrbi lastnega prebivalstva.
14 Naštej vrste javnih zelenih površin v mestih (vsaj 5)!
1. mestni park
2. zabaviščni park,
3. komunalne zelenice,
4. mestni gozdni parki,
5. zoološki in botanični vrtovi, arboretumi, alpinetumi in razni spominski parki itd.
6. “poljavne” zelene površine – zelenice in manjši parki, ki so v lastništvu idealnih deležev etažnih lastnikov.
7. zasebne zelene površine so vrtovi, atriji (atrijskih hiš), parcele za ljubiteljsko obdelovanje, parki znotraj parcel
pomembnih upravnih in poslovnih stavb, hotelov, bolnic in podobnih zgradb.
8. parcele za ljubiteljsko obdelovanje
15 Naštej vsaj tri bistvene značilnosti infrastrukture!
1. praviloma je na voljo vsem uporabnikom za proizvodnjo ali potrošnjo,
2. uporaba njenih storitev je vezana na kraj in čas,
3. hkrati jo lahko uporablja več potrošnikov, ne da bi se pri tem ovirali,
4. v večini dežel je v javni lasti ali pod družbenim nadzorom,
5. ima izrazito javni značaj,
6. potrebne so velike naložbe, ki so slabo donosne,
7. trg ne more biti regulator razvoja in delovanja (cene),
8. velik vpliv ima na oblikovanje cen v gospodarstvu.
76/150

NAČRTOVANJE NASELIJ RABE POVRŠIN, 1. LETNIK GEO VSŠ
Štud. leto 2007/08, Izredni študij
Pregledni test
Ime in priimek:________________________ in/ali vpisna številka:________________________
Skupaj možnih 15 točk. Vsak odgovor šteje 1 točko. Za pozitivno oceno je potrebno zbrati vsaj 8 točk:
8 – 9 točk: zd(6), 9,5 – 10,5 točk: db (7), 11 – 12 točk: pd (8), 12,5 – 13,5 točk: pd (9), 14 - 15 točk: odl (10)
1 Naštej vsaj tri stroke, ki uporabljajo pojem prostor. Zraven navedi, kako ga posamezne
stroke pojmujejo in uporabljajo
1. biologija: medcelični prostor ali življenjski prostor živali in rastlin, ki živijo v enakih življenjskih razmerah;
2. fizika: breztežnostni prostor je prazen prostor, del prostora, v katerem ni snovi;
3. matematika: matematični prostor je skupnost elementov in odnosov med njimi;
4. strojništvo: kompresijski prostor je najmanjši prostor v valju, ko je bat v skrajni legi;
2 Kaj je bistvena značilnosti javnih prostorov
Bistvena značilnost javnih prostorov je, da so dostopni vsakomur, brez omejitev in pod enakimi pogoji.
3 Zakaj v prostorskem načrtovanju določamo rabe prostora
V prostorskem načrtovanju se določa raba prostora za razvoj novih dejavnosti in prenovo oziroma preobrazbo
obstoječih ureditev.
4 Katere vrste rab prostora poznamo
1. Dejanska raba prostora
2. Katastrska raba prostora
3. GERK (rkg.gov.si/GERK/viewer.jsp)
4. Planska raba prostora
5 Kaj je načrt V kakšnem merilu in natančnosti izdelujemo načrte
Načrt je tehnična risba namenjena predstavitvi novega posega. Izdela se v merilu in na način, ki omogoča prikaze
vseh potrebnih detajlov.
6 Naštej vse tri vidike prostorskega načrtovanja!
1. Družbeni (socialni) – gre za načrtovanje socialnega okolja in skrb za življenjski standard prebivalstva
2. Gospodarski (ekonomski) – se ukvarja z načrtovanjem gospodarskih dejavnosti
3. Prostorski (+ okoljski) – ureja človekovo okolje in družbeno delovanje na določenem območju ter želi doseči
harmoničen ekonomski in socialni razvoj ob upoštevanju danega geografskega okolja.
1
77/150

7 Kateri prostorski akti so podlaga za izdajo gradbenega dovoljenja
Podlaga za izdajo gradbenega dovoljenja so izvedbeni prostorski akti.
8 Javnost lahko v proces prostorskega načrtovanja vključujemo na dva načina. Katera
1. Formalni način 2. Neformalni način
9 Razloži pojma:
1. Dejanska raba prostora:
2. Planska raba prostora:
10 Kaj je trajnostni prostorski razvoj
Trajnostni prostorski razvoj je proces, v katerem načrtujemo prostor s ciljem, da s svojim ravnanjem in za svoje
potrebe ne onemogočimo drugim in prihodnjim generacijam, da bi zadovoljili svoje potrebe.
11 Razloži naravno rast prebivalstva!
Naravna rast prebivalstva je presežek rodnosti nad smrtnostjo (posledica čedalje daljše življenjske dobe, manjše
umrljivosti majhnih otrok in mladih …)
12 Kaj je relativna gostota prebivalstva!
Relativna gostota prebivalstva je razmerje med številom prebivalstva in površino na določenem območju
13 Kje lahko pridobimo največ podatkov o prebivalstvu
Na SURS (Statistični urad RS).
14 Naštej vsaj štiri značilnosti uporabe infrastrukture!
1. praviloma je na voljo vsem uporabnikom za proizvodnjo ali potrošnjo,
2. uporaba njenih storitev je vezana na kraj in čas,
3. hkrati jo lahko uporablja več potrošnikov, ne da bi se pri tem ovirali,
4. v večini dežel je v javni lasti ali pod družbenim nadzorom,
5. ima izrazito javni značaj,
6. potrebne so velike naložbe, ki so slabo donosne,
7. trg ne more biti regulator razvoja in delovanja (cene),
8. velik vpliv ima na oblikovanje cen v gospodarstvu
15 Pri katerem organu pooblaščeni geodet pridobi pogoje za parcelacijo in v kakšni obliki se ti
pogoji izdajajo
Pogoje za parcelacijo pooblaščeni geodet pridobi pri občinskem organu, pristojnem za urejanje prostora
Pogoje za parcelacijo se izda v obliki potrdila, ki vsebuje tudi podatek o namenski rabi zemljišča.
2
78/150

NAČRTOVANJE NASELIJ RABE POVRŠIN, 1. LETNIK GEO VSŠ
Štud. leto 2007/08, Izredni študij
Pregledni test
Ime in priimek:________________________ in/ali vpisna številka:________________________
Skupaj možnih 15 točk. Vsak odgovor šteje 1 točko. Za pozitivno oceno je potrebno zbrati vsaj 8 točk:
8 – 9 točk: zd(6), 9,5 – 10,5 točk: db (7), 11 – 12 točk: pd (8), 12,5 – 13,5 točk: pd (9), 14 - 15 točk: odl (10)
1 Naštej vrste prostorov, ki jih opredeljujemo glede na lastništvo in možnost uporabe
1. javni
2. poljavni
3. zasebni
2 Katere danosti in vidike moramo upoštevati pri določanju rabe prostora Naštej!
1. naravne danosti
2. ustvarjene danosti
3. razvojni programi ni načrti
4. omejitve v prostoru
3 Naštej sestavine, ki jih uvrščamo med naravne danosti prostora
1. voda
2. zrak
3. tla
4. bisofera
4 Naštej osnovne rabe prostora!
1. območja stavbnih zemljišč
2. območja kmetijskih zemljišč
3. območja gozdnih zemljišč
4. vodne površine
5. drugo (infrastruktura, kamnolomi, I. območje varstva pitne vode…)
5 Kaj je karta
Karta je risba, ki ponazarja stanje v prostoru.
6 Kako delimo prostorske akte glede na njihovo izvedbeno raven in glede na čas trajanja
(ročnost)
1. strateške prostorske akte (dolgoročni PA)
2. izvedbeni prostorski akti (kratkoročni PA)
79/150

7 Kateri prostorski akti so podlaga za izdajo gradbenega dovoljenja
Podlaga za izdajo gradbenega dovoljenja so izvedbeni prostorski akti
8 Zakaj je vključevanje javnosti v proces prostorskega načrtovanja pomembno
Zaradi doseganja večjega soglasja glede načrtovanih ureditev, urejanja in vzdrževanja prostora.
9 Razloži pojma:
1. dejanska raba prostora: sedanja, trenutna raba v prostoru, tako kot se v njem izvajajo dejavnosti
2. planska raba prostora: namenska oziroma načrtovana raba prostora, ki je določena s prostorskimi akti, ter določa
možno bodočo rabo prostora in razvoj dejavnosti v njem
10 Kateri pravni režimi predstavljajo omejitve v prostoru Naštej vsaj 4!
1. varstvo voda
2. varstvo naravnih vrednot
3. varstvo kulturne dediščine
4. varstvo kmetijskih zemljišč
5. varstvo gozdov
11 Kakšne vrste omejitev v prostoru še poznamo poleg pravnih režimov Naštej!
1. dogovorne
2. fizične
3. priporočilne
12 Naštej vsaj 4 različne strukture prebivalstva, ki jih obravnavamo pri prostorskem
načrtovanju!
1. starostna
2. izobrazbena
3. spolna
4. zaposlitvena
13 Opiši zaposlitveno strukturo prebivalstva!
Delovno aktivno prebivalstvo (0-15, 16-65, nad 65 let), ki se deli na zaposlene in nezaposlene. Med nezaposlene
prebivalce vključujemo vzdrževane prebivalce in dijake ter študente, ki se še šolajo.
Zaposleni prebivalci se zaposlujejo (po sektorjih: primarni, sekundarni, terciarni, oziroma panogah zaposlitve:
predelovalna industrija, trgovina, šolstvo …)
14 Naštej tri najpomembnejše elemente poselitve!
1. tipologija naselij (naselja)
2. vloga in pomen naselij (gravitacijska območja, teorija centralnih krajev)
3. prostorska razporeditev naselij (urbano omrežje)
15 Pri katerem organu pooblaščeni geodet pridobi pogoje za parcelacijo in v kakšni obliki se ti
pogoji izdajajo
80/150

Pogoje za parcelacijo pooblaščeni geodet pridobi pri občinskem organu, pristojnem za urejanje prostora
Pogoje za parcelacijo se izda v obliki potrdila, ki vsebuje tudi podatek o namenski rabi zemljišča.
81/150

FGG, GEODEZIJA TUN
Izpit iz Matematike 1
12.2.2009, čas pisanja 90 minut
1. Dani sta točki A(1,5,6) in B(4,-1,4) ter ravnina Ω z enačbo x-2y+3z-36=0.
Premica skozi točki A in B prebada dano ravnino Ω v točki C. Poišči ploščino
trikotnika OBC, pri čemer je O izhodišče koordinatnega sistema.
2. Premica r je dana s presekom ravnin Σ : x + y − z = 1 in Π : x + z = 2 . Poišči
pravokotno projekcijo premice r na ravnino x − y + z = 3.
.
3. Poišči vse rešitve neenačbe 2x − 3x + 10 ≤ 10 .
1−
cos x
4. Poišči limito lim
x 0 2
x
→
.
82/150

FGG, Operativno Gradbeništvo in TUN
Izpit iz Matematike 1
29.1.2009, čas pisanja 90 minut
1. Dani sta točki A(1,5,6) in B(4,-1,4) ter ravnina Ω z enačbo x-2y+3z-36=0.
a) V kateri točki seka premica skozi točki A in B dano ravnino Ω
b) Iz točke O(0,0,0) projeciramo točko A na ravnino Ω . Določi koordinate njene
projekcije.
⎡2
0 0⎤
2. Dana je matrika A =
⎢ ⎥
⎢
2 1 4
⎥
. Izračunaj lastne vrednosti te matrike. Poišči lastne
⎢⎣
3 1 1⎥⎦
vektorje, ki pripadajo največji lastni vrednosti.
2
n
3. Dano je zaporedje a = 4
n 2
. Poišči limito tega zaporedja ( utemelji postopke ) .
1+
2n
Koliko členov tega zaporedja leži ZUNAJ ε = 001 . okolice limite Koliko členov zaporedja
[ ]
leži na intervalu 1, 1.9
4. Dana je funkcija s predpisom f ( x)
= x − 2 .
a) Poišči tisto točko na grafu funkcije, v kateri je tangenta na graf vzporedna premici
y = x.
b) Poišči enačbo tangente ter nariši lep graf funkcije s tangento.
83/150

B
FGG GRAD VSŠ
1. kolokvij iz Inženirske matematike
12.12.2007 – čas pisanja 90 minut
1. Ali za kvadratni n × n matriki A in B velja vedno enakost
2 2
( A + B)(
A − B)
= A − B Kdaj enakost velja
ϖ ϖ
2. V enakokrakem trapezu ABCD označimo z a = DC in b = AD . Vektor AB je enak 2 a ϖ .
Točka E leži na daljici BC in jo razpolavlja, točka F pa deli daljico DC v razmerju 1 proti 1.
Daljici AE in BF se sekata v točki S. Izrazi vektor AS z vektorjema a ϖ in b ϖ . Določi razmerje
ploščin trikotnikov Δ ABS in ΔBCF.
.
3. Premica M, ki je dana z enačbo 2 x − 2 = y + 1 = −z
, prebada ravnino Π : x + y + z − 2 = 0 v
točki P1
ter ravnino Σ : x − y + z + 4 = 0 v točki P2
. Poišči koordinate točk P1
in P2
. Poišči
enačbo presečne premice R ravnin Π in Σ. Zapiši enačbo ravnine Ω , ki vsebuje premico R in
ki razpolavlja daljico P 1P2
.
4. Tetraeder ima oglišča B(1,1,3), C(-1,2,4), A(2,3,5) in prostornino 6. Določi četrto
x y −1
z + 1
oglišče, če veš, da leži na premici = = .
3 6 9
5. Določi parameter m tako, da bo sistem
x + my =
4x
+ 2y
=
mx + 4y
=
neprotisloven in zapiši njegovo rešitev.
1
6
2
−
−
z
mz
84/150

C
FGG GRAD VSŠ
1. kolokvij iz Inženirske matematike
12.12.2007 – čas pisanja 90 minut
1. Ali za kvadratni n × n matriki A in B velja vedno enakost
2 2
2
( A − B)
= A − 2AB
+ B Kdaj enakost velja
ϖ
2. Točke A,B,C,D,E in F so zaporedna oglišča pravilnega šestkotnika. Označimo z a = AB
ϖ
in b = BC . Točka G leži na daljici EF in jo deli v razmerju 1 proti 1. Daljici AC in BG se sekata
v točki S. Izrazi vektor AS z vektorjema a ϖ in b ϖ . Določi razmerje ploščin trikotnikov
ΔBCS..
Δ ABS in
3. Tetraeder ima oglišča B(-1,2,4), C(2,3,5) in A(1,1,3) in prostornino 4. Določi četrto
y −1 z + 1
oglišče, če veš, da leži na premici x = = .
2 3
⎡ 2 1 −1⎤
⎢ ⎥
4. Reši matrično enačbo AX = B + I če je A = ⎢ 3 2 1 ⎥ in
⎣
⎢−1 1 3 ⎦
⎥
⎡ 0 1 −1⎤
⎢ ⎥
B = ⎢ 0 1 0 ⎥.
⎣
⎢−1 1 0 ⎦
⎥
5. Dani sta ravnini Π : x + y + z − 1=
0 ter Σ : x − y + z + 4 = 0. Premica L, ki je dana z
enačbo 2x
− 2 = y + 1 = −z
, prebada prvo ravnino v točki P1
, drugo pa v točki P2
. Poišči
koordinate točk P1
in P2
. Poišči enačbo presečne premice R ravnin Π in Σ.
Zapiši enačbo
ravnine Ω , ki vsebuje premico R in ki razpolavlja daljico P 1P 2
.
85/150

Ime in priimek: .......................................................vpisna številka:..........................
SKUPINA A
FGG: Operativno gradbeništvo – Matematika 1
Kolokvij 1: 17.11.2008
Čas pisanja : 90 minut
Nivo: osnovni zahtevnejši
1) Kako izračunaš ploščino trikotnika, ki ga določajo točke A(2,3), B(1,4)
in C(-1,-2)
ϖ
ϖ
2) Dan je trikotnik ABC. Označimo z a = AB in z b = AC . Točka E deli rob
BC v razmerju CE:EB=1:3, točka F deli rob AC v razmerju AF:FC=1:2, S
pa je presek daljic AE in BF. Izrazi vektorje CE , AE , BF in SC z
vektorjema a ϖ in b ϖ .
3) Točke A(1,-1,0), B(3,1,4), C(2,6,3), D(4,8,6) so oglišča piramide.
Izračunaj višino na ploskev BCD.
4) Dani sta točki A(2,3,4) in B(-1,4,6). Poišči enačbo ravnine, ki gre skozi
točko A in ki je pravokotna na daljico AB
5) Za katere vrednosti parametra a ima sistem natanko eno rešitev Pri
tej vrednosti parametra poišči še rešitev sistema.
x + y + z = 1
4x
+ 2y
= 6
x + 2y
+ az = 2
6) Poišči enačbo premice, ki leži v ravnini x - 4y + 2z - 7 = 0 in ki pod
pravim kotom seka premico, ki je podana s presekom ravnin
x - 2y - 4z = -3 ter 2x + y -3z = -1.
7) Dan je sistem linearnih enačb
x − 3y + z + w = 1
3x + 2y − z − w = a
2x − 17y + 6 z + bw =3
Za katere vrednosti parametrov a in b je sistem nerešljiv
OPOMBA: Za oceno kolokvija 6 oziroma 7 mora študent zadovoljivo rešiti naloge
od 1 do 5. Za boljšo oceno mora reševati naloge 1-3 ter 6 in 7. Za kateri nivo se
je odločil mora študent označiti na listu z nalogami, ki ga mora na koncu oddati
s svojim izdelkom.
86/150

Ime in priimek: .......................................................vpisna številka:..........................
Nivo: osnovni
zahtevnejši
SKUPINA B
FGG : Operativno gradbeništvo – Matematika 1
Kolokvij 1 : 17.11.2008
Čas pisanja : 90 minut
1) Dane so točke D(1,2), E(2,3) in F(a,4). Določi a tako, da bodo točke
ležale na isti premici.
ϖ
ϖ
2) Dan je trikotnik ABC. Označimo z a = AB in z b = AC . Točka E deli rob
BC v razmerju CE:EB=3:1, točka F deli rob AC v razmerju AF:FC=2:1, S
pa je presek daljic AE in BF. Izrazi vektorje CE , AE , BF in SC z
vektorjema a ϖ in b ϖ .
3) V prostoru so dane točke A(3,-1,0), B(1,0,2), C(2,-1,1) in D(1,2,1).
Izračunaj ploščino paralelograma, ki ga določata vektorja AB in AC .
Izračunaj prostornino paralelepipeda, ki je napet na vektorje AB , AC in
AD . Izračunaj višino paralelepipeda iz točke D na osnovno ploskev ABC.
4) Poišči presek premice p, ki je dana z y=2x+1, z=3x-4 z ravnino, ki gre
skozi točko A(2,0,3) in je pravokotna na dano premico.
5) Za katere vrednosti parametra b ima sistem natanko eno rešitev Pri
tej vrednosti parametra poišči še rešitev sistema.
x + y + bz = 1
4x
+ 2y
+ z = 6
x + 2y
+ z = 2
6) Določi enačbo ravnine Σ , ki jo določajo skozi točke A(2,-1,3), B(3,4,8)
in C(-2,5,7). Na ravnini poišči tisto točko D, ki je najbližja točki E(3,4,2).
7) Dan je sistem linearnih enačb
x − 3y + z + w = 1
3x + 2y − z − w = a
2x − 17y + 6 z + bw =3
Za katere vrednosti parametrov a in b je sistem nerešljiv
OPOMBA: Za oceno kolokvija 6 oziroma 7 mora študent zadovoljivo rešiti naloge
od 1 do 5. Za boljšo oceno mora reševati naloge 1-3 ter 6 in 7. Za kateri nivo se
je odločil mora študent označiti na listu z nalogami, ki ga mora na koncu oddati
s svojim izdelkom.
87/150

Ime in priimek: .......................................................vpisna številka:..........................
FGG: Operativno gradbeništvo – Matematika 1
Kolokvij 2: 16.1.2009 --- Čas pisanja : 90 minut
2n −1
1) Izračunaj limito α zaporedja s splošnim členom a n
= . Določi vse
4 n + 3
tiste člene zaporedja, ki ne ležijo v intervalu ( α − 0,001, α + 0,001).
⎡2
−1
0⎤
⎡1
0 0⎤
2) Dani sta matriki A =
⎢ ⎥
⎢
0 2 2
⎥
in B =
⎢ ⎥
⎢
2 − 2 0
⎥
. Reši matrično enačbo
⎢⎣
0 0 1⎥⎦
⎢⎣
0 3 2⎥⎦
−1
−1
−1
−1
AX = B . Pomoč: ( AB)
= B A .
4n+
1
3) Dokaži, da je število 3 − 3 deljivo s 30 za vsak
n ∈ N.
1−
cos x
4) Poišči limito lim
x→ 0
.
2
x
5) Poišči vse rešitve neenačbe 2x − 3x + 10 ≤ 10 .
6) Dani sta funkciji f , g : R → R s predpisoma
2
⎧ x −1
x ≥ 0⎫
⎪
⎪
= ⎨ −1
⎧x
+ 1 x ≥ −1⎫
f ( x)
x < 0 ⎬ ter g(
x)
= ⎨
⎬ .
2
⎪⎩( x −1) ⎪ ⎩ 0 x < −1⎭
⎭
Poišči f οg
, g ο f ter skiciraj grafe funkcij f , g in
f ο g .
OPOMBA: Lažje naloge so 1 do 4, nekoliko težji sta 5 in 6. Vsak študent obkroži
tiste štiri naloge, ki naj bodo ocenjene, pri čemer je naloga 1 OBVEZNA. Število
doseženih točk bo odvisno od uspešnosti reševanja ter od izbora nalog. V
primeru, da študent, na primer, pravilno reši naloge od 1 do 4 lahko doseže
največ 80 točk.
88/150

Ime in priimek: .......................................................vpisna številka:..........................
Nivo: osnovni zahtevnejši ( OZNAČI IZBIRO )
FGG : Geodezija TUN – Matematika 1
Kolokvij 1 : 24.11.2008
Čas pisanja : 90 minut
1) Ali leži premica x+1=y=5-z v ravnini 2x-y+z=3
ϖ ϖ ϖ
2) Vektorji a = AB , b = AD in c = AE razpenjajo paralelepiped ABCDEFGH.
Točka S je središče ploskve ABCD, točka T pa deli stranico AE v razmerju
3:1. Presečišče daljic AG in ST označimo z V. Izrazi vektor AV s pomočjo
vektorjev a ϖ b
ϖ ϖ , in c .
3) Naj bo A pravokotna projekcija točke B na osnovnico CD trikotnika z
oglišči C(1,-1,2), D(-1,1,2) in B(1,2,3). Poišči točko A, enotni vector v
smeri AE in oddaljenost točke A od točke E(1.5, -1.5,0).
y + 1 z − 2
4) Dani sta premici p : x + 3 = = in q : x + y = 2,
2 x + y + z = 3 . Poišči
2 3
enačbo ravnine, ki je vzporedna premicama p in q in ki gre skozi
koordinatno izhodišče.
5) Diskutiraj in reši sistem enačb v odvisnosti od parametra b:
x − y + 2z
+ u = 1
2x
5x
+
+
3y
5y
−
−
6) Prezrcali koordinatno izhodišče čez ravnino, ki vsebuje točke A(1,-1,2),
B(2,0,-1) in C(0,2,1). Kolikšna je oddaljenost izhodišča od te ravnine
7 Diskutiraj in reši sistem enačb v odvisnosti od parametrov a in b:
ax + y + z + u = 1
x
x
+
−
ay
y
+
+
2z
2z
z
az
−
−
+
+
u
u
u
u
=
=
=
=
0
b
b
0
OPOMBA: Za oceno kolokvija 6 oziroma 7 mora študent zadovoljivo rešiti naloge
od 1 do 5. Za boljšo oceno mora reševati naloge 1-3 ter 6 in 7. Za kateri nivo se
je odločil mora študent označiti na listu z nalogami, ki ga mora na koncu oddati
s svojim izdelkom.
89/150

FGG, GEODEZIJA VSŠ
Ime in priimek : ……………………………..
2. kolokvij iz Matematike Šifra : ………………………………………..
6.3.2006
1. Definicija limite zaporedja. Ali je konvergentno zaporedje nujno omejeno Ali je konvergentno
zaporedje nujno monotono
1 4
2. Pokaži, da je 11 n+ − 2
n deljivo s 5 za vsak n∈
N .
3. Določi definicijsko področje funkcije y= f( x) = 4x−3 − 2x+ 3 .
n
4. Zaporedje ( an) n∈N
je dano s a1 =− 1, an
= , n≥2.
Zapiši prve tri člene zaporedja.
n − n
Izračunaj limito zaporedja. Koliko členov zaporedja leži zunaj ε = 0.1 okolice limite.
5) Izračunaj limito
2 4 4
lim ( 1 1)
n→∞ n n + − n −
6) Napiši enačbo tangente in normale na graf funkcije
y f x x x x
3 2
= ( ) = + 2 −4 − 3 v točki (-2,5).
ODGOVORI:
1)………………………………………………………………………………………………………………
2)………………………………………………………………………………………………………………
3)……………………………………………………………………………………………………………..
4)………………………………………………………………………………………………………………
5)………………………………………………………………………………………………………………
6)………………………………………………………………………………………………………………
90/150

FGG, VSŠ Geodezija : Inženirska matematika
12.2.2009 : Čas pisanja : 90 minut
1) Točke A(1,-1,0), B(3,1,4), C(2,6,3), D(4,8,6) so oglišča piramide. Izračunaj
višino na ploskev BCD.
2 −
2) Dana je funkcija s predpisom f x x x e x / 2
( ) = 2( + 3 ) . Določi naravno definicijsko
področje, ničle, stacionarne točke, intervale monotonosti ter nariši lep graf
funkcije. Poišči največjo in najmanjšo vrednost funkcije na intervalu [ 04 , ].
2 2
3) Notranjost kroga x + y = 8 prerežemo s parabolo y 2 = 2x.
Nariši skico in
izračunaj razmerje ploščin likov, ki jih dobiš.
y
4) Reši začetni problem y ′ − = x,
y(1)
= 0!
x + 1
91/150

FGG visoki strokovni študij
Matematika
1. Popolna (matematična) indukcija. Uporabi jo
na konkretnem primeru.
2. Razloži pojem natančne zgornje meje neprazne
množice realnih števil! Kdaj obstaja
3. Zapiši trikotniško neenakost za realna števila.
Kdaj velja enakost
4. Formuliraj binomski izrek o potenciranju binoma
(razlaga koeficientov).
5. Definicija funkcije. Katero funkcijo imenujemo
bijektivno
6. Kdaj sta dve funkciji enaki
7. Za kakšno funkcijo obstaja inverzna funkcija
8. Natančna definicija funkcij arcsin in arctg, (ki
ju imamo na kalkulatorju). Kdaj za števili x
in y velja y = arcsinx
9. Katere od funkcij f k : D k → R (k = 1, 2, ..., 7),
kjer je f 1 (x) = x, f 2 (x) = √ x 2 , f 3 (x) =
|x|, f 4 (x) = 1 2 ln(x2 ), f 5 (x) = lnx, f 6 (x) =
arcsin(sinx), f 7 (x) = tg(arctgx) so med seboj
enake, če so D 1 , ..., D 7 naravna definicijska
območja funkcij f 1 , ..., f 7
10. Kaj je kompozitum g ◦ f preslikav f : A → B,
g : C → D Kdaj ga lahko izračunamo
11. Kaj je vektor Kdaj sta dva vektorja enaka
12. Kako je definirana vsota dveh vektorjev
13. Definicija produkta vektorja s skalarjem!
Zapiši nekaj lastnosti!
14. Kdaj sta dva vektorja vzporedna
15. Kdaj so vektorji ⇀ a 1 , ⇀ a 2 ,. . . , ⇀ a n linearno neodvisni
16. Kdaj so vektorji ⇀ a 1 , ⇀ a 2 , ⇀ a 3 linearno neodvisni
(geometrijski opis)
17. Kdaj sta vektorja ⇀ a 1 , ⇀ a 2 linearno neodvisna
(geometrijski opis)
18. Ali so lahko vektorji ⇀ 0, ⇀ a, ⇀ b linearno neodvisni
Odgovor utemelji!
19. Kdaj vektorji ⇀ a, ⇀ b in ⇀ c sestavljajo bazo ( ⇀ a, ⇀ b,
⇀
c) prostora Če je a, ⇀ b, (⇀ ⇀ c) baza, ali lahko
in na koliko načinov lahko zapišemo poljubni
vektor ⇀ d v obliki linearne kombinacije baznih
vektorjev
20. Definicija osnovnega triroba ( ⇀ i, ⇀ j, ⇀ k)!
21. Natanko razloži definicijo skalarnega produkta!
Kako ga izračunamo v bazi ( ⇀ i, ⇀ j, ⇀ k)
22. Kako s pomočjo skalarnega produkta
izračunamo dolžino vektorja ⇀ a
23. Kaj lahko poveš o kotu med vektorjema ⇀ a in
⇀
b, če veš, da je njun skalarni produkt ⇀ a · ⇀
b
negativen
24. Kaj pomeni izraz ⇀ a × ⇀ b Zapiši definicijo te
operacije in lastnosti. Kako ga izračunamo v
bazi ( ⇀ i, ⇀ j, ⇀ k)
25. Ali poznaš vsaj eno latnost, ki jo ima skalarni
produkt, vektorski pa ne Napiši konkreten
primer!
26. Ali je vektorski produkt asociativen Poišči
konkreten primer!
27. Kdaj je skalarni produkt enak 0 Kdaj je vektorski
produkt enak 0
28. Kako s pomočjo vektorskega produkta
izračunamo ploščino trikotnika z ogljišči A, B
in C
29. Natančno razloži, kaj je mešani produkt treh
vektorjev. Kakšen je njegov geometrijski pomen
Kako ga izračunamo v bazi ⇀ i, ⇀ j, ⇀ k
30. Poišči vsaj en pogoj, ki je potreben in zadosten
za koplanarnost treh geometrijskih vektorjev
⇀
a, ⇀ b in ⇀ c!
31. Kdaj je mešani produkt treh vektorjev enak 0
32. Opiši vse možne situacije, v katerih je mešani
produkt vektorjev ⇀ a, ⇀ b in ⇀ a × ⇀ b enak 0
33. Zapiši vektorsko enačbo premice, ki poteka
skozi točki T 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) in T 2 (x 2 , y 2 , z 2 )!
34. Različne oblike enačbe premice v prostoru!
35. Izpelji formulo za oddaljenost koordinatnega
izhodišča od ravnine Ax + By + Cz = D.
92/150

36. Kdaj sta premici
vzporedni
37. Kdaj sta ravnini
x − x 0
p 0
= y − y 0
q 0
= z − z 0
r 0
,
x − x 1
p 1
= y − y 1
q 1
= z − z 1
r 1
A 0 x+B 0 y+C 0 z = D 0 , A 1 x+B 1 y+C 1 z = D 1
vzporedni
38. V prostoru je dana ravnina z enačbo Ax+By+
Cz = D. Kakšnemu pogoju morajo zadoščati
komponente vektorja ⇀ s = (u, v, w), da bo vektor
⇀ s vzporeden ravnini Kakšnemu pogoju,
da bo pravokoten na ravnino
39. Definicija m × n matrike. Kdaj sta matriki A
in B enaki
40. Kako množimo matrike Zapiši primer produkta
dveh konkretnih matrik. Ali lahko
zračunamo produkt dveh poljubnih matrik
41. Ali velja za kvadratni n×n matriki A, B vedno
enakost A 2 − B 2 = (A − B)(A + B) Če ne
velja, navedi potreben in zadosten pogoj, ki
mu morata ustrezati matriki A in B, da velja
ta enakost! Odgovor utemelji!
42. Definicija inverzne matrike! Kdaj je matrika
obrnljiva
43. Če veš, da sta matriki A in B obrnljivi n × n
matriki reši matrično enačbo (AX) −1 = B in
naredi preizkus!
44. Katera od identitet
(AB) −1 = A −1 B −1 ,
(AB) −1 = B −1 A −1
velja za poljubni obrnljivi n × n matriki A, B.
Dokaži jo!
45. Posebne vrste matrik.
46. Izrazi (AB) T s pomočjo A T in B T . Za kakšni
matriki A in B formula velja Dokaži jo!
47. Kaj je sistem linearenih enačb Kaj je njegova
rešitev Zapiši ga v matrični obliki.
48. Opiši Gaussovo eliminacijsko metodo
reševanja (diskusijo) sistema m linearnih
enačb za n neznakami.
49. Reši linearno enačbo ax = b, kjer sta a, b dana
realna parametra!
50. Kdaj je sistem linearnih enačb homogen Ali
je homogen sistem vedno rešljiv Odgovor utemelji!
51. Struktura rešitev linearnega sistema. Ali ima
lahko linearni sistem natanko dve rešitvi
52. Ali ima lahko sistem treh linearnih enačb za
dve neznanki neskončno rešitev Odgor utemelji!
Geometrijski zgled
53. Definicija determinante kvadratne matrike!
54. Zapiši nekaj lastnosti determinant s katerimi
jih računamo!
55. Definicija lastnih vrednosti in pripadajočih lastnih
vektorjev matrike A!
56. Kaj je karakteristični polinom matrike A
57. Kaj so ničle karakterističnega polinoma matrike
A
58. Kaj je diagonalizacija kvadratne matrike
Kdaj je možna Ali se da simetrična matrika
vedno diagonalizirati
59. Definicija kartezičnega produkta množic A in
B. Definicija množice R n .
60. Kako seštevamo vektorje v R n
61. Definicija in lastnosti produkta vektorja s skalarjem
v Evklidskem prostoru R n .
62. Pojem linearne kombinacije in linearne neodvisnosti
vektorjev v Evklidskem prostoru R n .
63. Kaj je baza Evklidskega prostora R n . Njena
osnovna lastnost. Kaj je standardna baza R n
64. Kako je definiran skalarni produkt v R n
Osnovne lastnosti. Pojem pravokotnosti.
65. Kdaj je zaporedje (x n ) n∈N konvergentno
(kdaj ima limito)
2
93/150

66. Ali je zaporedje, ki je konvergentno nujno navzgor
omejeno Odgovor utemeljite.
67. Ali je omejeno zaporedje nujno konvergentno
če ni, navedi primer.
68. Ali je zaporedje z natanko enim stekališčem
nujno konvergentno Če ni, navedi primer.
69. Ali ima vsako omejeno zaporedje vsaj eno stekališče
70. Ali je monotono, omejeno zaporedje konvergentno
Če ni, navedi primer.
71. Zapiši Cauchyjev kriterij konvergence
številskega zaporedja.
72. Računska pravila za računanje z limitami zaporedij.
73. Katero številsko vrsto imenujemo konvergentno
Kaj je geometrijska vrsta Kdaj je konvergentna
74. Kaj je potreben pogoj za konvergenco številske
vrste
75. Zapiši kvocientni in korenski kriterij konvergence
številske vrste.
76. Ali je vrsta ∑ ∞
( k−1
) k
k=1 k konvergentna Odgovor
utemelji!
77. Ali ima lahko konvergentna vrsta neskončno
svojih členov med seboj enakih in hkrati
različnih od 0 Odgovor utemelji!
78. Katero vrsto imenujemo harmonično Ali je
konvergentna
79. Definicija limite funkcije f v točki a.
80. Definicija zveznosti funkcije f v točki α in na
intervalu [a, b].
81. Definicija lokalnega in globalnega minimuma
(maksimuma) funkcije f : [a, b] → R.
82. Navedi primer omejene zvezne funkcije f :
[0, 1] → R, ki ne zavzame svojih natančnih
meja.
83. Navedi vsaj en zadostni pogoj, da ima zvezna
funkcija f : [a, b] → R na intervalu [a, b] vsaj
eno ničlo.
84. Definicija odvoda funkcije f v točki a. Navedi
primer funkcije, ki je zvezna v neki točki in v
tej točki ni odvedljiva.
85. V katerih točkah svojega definicijskaga
območja funkcija arcsin ni odvedljiva
Kakšen je odvod v vseh drugih točkah
86. Zapiši računska pravila za odvod vsote, produkta,
kvocienta in kompozita dveh funkcij.
87. Ali ima funkcija f v točki a v kateri je odvod
enak 0 nujno lokalni ekstrem Zapiši vsaj en
zadostni pogoj za to.
88. Računski postopek za iskanje globalnega ekstrema
zvezne funkcije f : [a, b] → R, ki je
odvedljiva na (a, b).
89. Zapiši Rolleov in Lagrangeov izrek. Geometrijska
skica.
90. Kdaj je odvedljiva funkcija f : (a, b) → R padajoča
(zapiši zadosten pogoj)
91. Zapiši L’Hospitalov izrek o računanju limit.
92. Definicija višjih odvodov.
93. Zapiši Taylorjevo formulo prvega reda s prirastkom
h v okolici točke x 0 za dvakrat zvezno
odvedljivo funkcijo f in z njeno pomočjo oceni
razliko med prirastkom funkcije f in njenim
diferencialom.
94. Definicija diferenciala funkcije, geometrijska
skica.
95. Definicija konveksnosti in konkavnosti funkcije.
Kako računsko preverimo ti dve lastnosti
96. Definicija določenega integrala funkcije f :
[a, b] → R.
97. Zapiši nekaj lastnosti določenega integrala.
98. Newton-Leibnitz-ov izrek.
99. Izračun določenega integrala.
100. Pod kakšnim kotom seka krivulja z enačbo y =
abscisno os
∫ x
0
dt
ln(2+t 2 )
101. Zapiši izrek o uvedbi nove spremenljivke
∫
v
1 √
določen integral. V integral
0 1 + 4x2 dx
uvedi novo spremenljivko t = 2x.
3
94/150

102. Definicija logaritemske, eksponentne in potenčne
funkcije.
103. Kaj je nedoločeni integral
104. Kako z določenim integralom izračunamo
ploščino lika omejenega z grafoma dveh funkcij
105. Prostornina rotacijskega telesa.
106. Ločna dolžina grafa funkcije f : [a, b] → R;
ločna dolžina parametrično podane poti.
107. Težišče homogenih likov.
108. Kaj je ∫ ∞
a f(x)dx
109. Kdaj imenujemo množico M ⊂ R 2 omejeno,
odprto, zaprto
110. Kaj je ε-okolica točke (x 0 , y 0 ) ∈ R 2
111. Definicija prvih parcialnih odvodov funkcije f :
R 2 → R v točki (a, b).
112. Totalni diferencial funkcije dveh spremenljivk.
121. Uporaba dvojnega integrala: prostornina valjastih
teles omejenih z grafoma dveh funkcij
(formulacija in skica)
122. Izračun težišča nehomogenega ravninskega
lika.
123. Kako izračunamo ploščino lika D
podanega v polarnih kooordinatah
D = {(rcosϕ, rsinϕ, (r, ϕ) ∈ ∆}
124. Krivuljni integral in Greenova formula.
125. Kaj so diferencialne enačbe. Kaj je splošna,
partikularna rešitev diferencialne enačbe. Preprost
primer.
126. Kaj je rešitev začetnega problema. Preprost
zgled.
127. Linearna diferencialna enačba prvega reda.
Struktura rešitve.
128. Kako dobimo karakteristični polinom linearne
diferencialne enačbe n-tega reda s konstantnimi
koeficienti Struktura rešitve zgornje diferencialne
enačbe.
113. Verižno pravilo: Naj bo z = f(x, y), x =
u(t), y = v(t). Izračunaj odvod funkcije t ↦→
f(u(t), v(t)) v točki t = a. Kdaj formula velja
114. V kateri smeri v točki, (x 1 , ..., x n ) ∈ R n diferenciabilna
funkcija f : R n → R najhitreje
pada
115. Definicija drugih parcialnih odvodov funkcije
f : R 2 → R v točki (a, b).
116. Metoda določanja globalnega ekstrema odvedljive
funkcije na zaprtem omejenem ravninskem
območju.
117. Definicija dvojnega integrala.
118. Osnovne lastnosti dvojnega integrala.
119. Izračun dvojnega integrala po pravokotniku in
po bolj splošnih ravninskih likih.
120. Zamenjaj vrstni red integriranja v dvakratnem
integralu ∫ 0
−1 dx ∫ −x 2
f(x, y)dy, kjer je
2x
f : R 2 → R zvezna funkcija.
4
95/150

ê
9>@;45'ACBD,4> E FHGI>@E F-G15',4>
)+*-,/.102.1,4365'785¢9:5';=<
J$KMLON$KPNRQ$QRS
í
N
ê
ê
ê
ê
ë
¬
Ïì L
S
ï ì ¨ í
‘’
‘’
“
“
í
í
m
% Ž•” a E
Š
E
ë
M
k|{XcdaOf}cOh"aei¥k
L
£§¦©¨ £§ ¨¢£§ ¦©¨¡ ¨
¢¡¤£¥£§¦©¨¢
"!
#$!
%$!
'( &
`¥monpdaq`¥r¥i¥aOdsut'daqbvaOrwkxi¥s$nwkydaOzsg`¥aOda !
TUOVXWZY\[^]^W$_D`¥aOb"ceda"fgc"hOcjilk
`lk~oa"da€bnwkyi¥mhxnwk‚t'ƒ|c"ilaj{s}r¥s„rwc
ˆ kxdc ! a"`ilk `lk~oaOdonwa$‰ŠŒ‹|ƒ|s}d‚mr ! c ˆ bOc ~oa"donwk‚‰ % ‹RŽ %" Ž % ‹$ ‘"R! i¥k
zXcO`¥kx{Xk…n†cO‡da
ˆ dcR’
®j¸
¤¼¹R½\Ÿ¡¥ ®e¯¿¾À³Á¸±ÂÀÃÀÄ KeÅ £Æ Ç ¹ÉÈ
´\¹RºŸO´X¦¹X¦£»
œ+ž€Ÿ¡ ‚¢¤£$¥w¦§¨©«ª­¬ ¨\© ®e¯±° ¨©u² ¬ ¨Pü© ®j³ §^´µ¨©u¬ ¨·©
“„”–•—˜…š„›¢—
Ê"Æ Ç Ÿ± ‚¼¹R½¥x¹2Ë«¢¤£q¦Ÿ©º¥xŸ¡ÊvŸÆ Ç §ÌÆ Ê"Æ Ç Ÿ€¢¤ŸOÍPŸOÊv´§^Î@½\§P¹RÏ$£R´¹RÍ^Ð °Ñ
¦ŸÊx¥vŸ¡½\§uÆ
Ê"Æ Ç Ÿ–º¥v¹o¼£R $£O¢‚´§^ ¹ ®e¯±¾–³
¦ŸÊv¥vŸO½§ÌÆ
Ç ¹ÉÒ ¢¤£Æ
º¹Ó½ŸOÍP§¤½¹$ÍÔ¦§ Ç £ ®e¸
¼-¥x¹RÕ¡ÖÓŸO¥w¦× S œ L"K
ØÚÙ ¢‚Ÿ¡ÖÓŸ¡ÍÛ¦§ ° Õ¡¹R ¹X¦©ÊxŸ»½\¹RÍÔ¦§ Ç § ® È6§PÍÒ Ñ
¹O¢‚¹ KµÜ ¦×\´£@º¥xŸ¡ÊxŸÆ Ç §ÌÆ Ê"Æ Ç ŸÝ£RÕ¡´\¹\Æ Ç §^ÖÓ£@Õ»Þ Kµß Õ¡¥x¹RÕ¡§†¼Ÿ¡ ‚¢¤£R¥
ÊxŸ¡
¨©
® ÞàÕD¼ ŸO ¤¢‚£R¥w¦§¨©áª ° ¨©Ì² §^´@¨©u K
£RÍP§^ Æ Êv´¹©¦Ÿº¥v£$Êw¢¤£$¥v´§^´¹¢¤Ÿ¢‚¥v¹RŸO½¥v¹ ®e¯±¾ Þ ° Æ Ç Ÿ|¦ŸÉã䨩áªåã$¬àã ¨©u² ãX¬ N ãÔ¨©u–ãX¬ NRæ
ØÚâ
ç”q•—\˜wš„›„—„œ€èé¥vŸ¡ÕO¥ Ç ¹RÍP§º\¥vŸ¡ÖÓ§ Ç £
¬îí ¨
Ç Ÿ¡Õ©¥v¹o¼´§^´£ Æ
¨ N ì¿ï N
¬ LOJRK
Êx§Êv§^Êw¢¤ŸOÖ8´¹RÊxÍPŸO½´X¦§^Î@Ÿ¡´\¹\Æ Ç òÓ¼-£½¼§^Êv´\£RÊw¢‚§£½óº¹R¥x¹RÖÓŸ¢¤¥x¹åªZœ
ð”q•—\˜wš„›„—„œ€ñ©ò¥v¹o¼´¹o¼¹X¦y§^´2¥xŸ¤Æ
¬ L
¬ ¨ L
ï S ì ï ª
¬ LOS:ô
ï ª ì ï S
ø\ù‘úéû ö_ õjöj÷
üXýÿþ U]^W¡ XU£¢¥¤§¦©¨¦ !¦ "#$%&'¦)(©¦+*-, .¦©¨/0
!$1,©'.¦234#"5¨/.0
6 7$8¦©7.9:3;3@¡$8, ,9¦¥$8¦ 79.,+‚ƒD 0
.¦#@¡$8Ue'$_,#@¡$8 6 $8¦©¨~=,u0
„ =eƒ@p$1Dc 6 i$8=,
a a o&"†@¡$S 6 $8¦©¨9¦R',]0 ¦}5‡ ‡'knm a E
Š aSˆ o‰D4Š¦©.¦#@¡$8=&¦>*W$8U, 6 €',]0 ]‹=}5‡ ‡ŒD
}…k
U]^W¡ XU£¢§Ž2@¡$1=$1B M # ' .€$890 ¨7"p@¡$1 M E
% ( ,©iU,C9,© 0 .,R$890 &'7¢
XýDþ
¨~.,•0 &'7¨~, D–£¦ M— # a E
% …$890 &'7U.¦R&¦ U¦ ¢
v$_>”2@W,©¨BWi9,R$8¦
#
E M
96/150
‘#
%
d E

PRIIMEK IME VPISNA ŠTEVILKA SMER NALOGA TOČKE
1.
2.
3.
4.
5.
SKUPAJ
1. KOLOKVIJ IZ INŽENIRSKE MATEMATIKE
15.12.2004
A
Navodilo: Vse odgovore dobro utemelji.
Čas reševanja: 90 minut. Točkovanje: 25+25+25+15+15=105. Srečno!
1. naloga: Reši matrično enačbo: XA = A + X, kjer je
⎡
A = ⎣ 5 −1 3
⎤
−2 0 2 ⎦ .
1 1 0
2. naloga: V pravilnem šestkotniku ABCDEF deli točka H stranico CD v razmerju 3 : 1, točka
K pa stranico F E v razmerju 1 : 2. Daljici F H in BK se sekata v točki S. Izrazi vektor −→ AS z
vektorjema −→ a = −→ AB in −→ b = −→ AF . Izrazi ploščino ∆ABS z vektorjema −→ a in −→ b .
3. naloga: Podani sta ravnina Π : 2x + 3y − z = 2 in premica p : x + 3 = y + 5 = z−5 . Preveri, da
5
sta vzporedni in izračunaj razdaljo med njima. Premica p ′ je premica, ki jo dobimo, ko zrcalimo
premico p preko ravnine Π. Zapiši parametrično obliko enačbe premice p ′ .
4. naloga: Ali so vektorji −→ a = (2, −1, −2), −→ b = (−1, 0, −3) in −→ c = (7, −2, 7) koplanarni
Odgovor utemelji!
[ ]
2
5. naloga: Ali je vektor lastni vektor za matriko
3
lastna vrednost
[
1 2
3 2
]
Če je, kolikšna je pripadajoča
97/150

A
REŠITVE:
1. naloga:
⎡
X = A (A − I) −1 = ⎣
8
7
− 2 7
− 1 7
0 2 2
1
7
5
7
13
7
⎤
⎦
2. naloga: −→ AS = 8
−→ 19
a + 22
19
−→ b in pl∆ABS = 11
19 |−→ a × −→ b |.
3. naloga: Premica p in ravnina Π sta vzporedni, ker je smerni vektor premice pravokoten na normalo ravnine:
−→ s · −→ n = 0. Razdalja med njima je tako enaka oddaljenosti katerekoli točke na premici p do ravnine Π. Izberimo
npr. A(−3, −5, 5) ∈ p. Pravokotna projekcija te točke na ravnino Π je točka A ′ (1, 1, 3) in
d(p, Π) = d(A, Π) = | −−→ AA ′ | = 2 √ 14.
Zrcalna slika točke A čez ravnino Π je A ′′ (5, 7, 1) in leži na premici p ′ . Ugotovimo še, da je smerni vektor premic
p in p ′ enak ter imamo enačbo:
p ′ : x = 5 + λ,
y = 7 + λ,
z = 1 + 5λ.
4. naloga: Dani vektorji niso koplanarni, saj so linearno neodvisni: prevermo lahko, da je linearna kombinacija
α −→ a + β −→ b + γ −→ c = −→ 0 samo v primeru, ko so α = β = γ = 0 (lahko si pomagamo tudi z Gaussovimi eliminacijami
ali pa z ugotovitvijo, da je mešani produkt [ −→ a , −→ b , −→ c ] ≠ 0).
5. naloga: Dani vektor je lastni vektor dane matrike, ki pripada lastni vrednosti 4, saj je:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 2 8 2
= = 4 · .
3 2 3 12 3
98/150

PRIIMEK IME VPISNA ŠTEVILKA SMER NALOGA TOČKE
1.
2.
3.
4.
5.
SKUPAJ
1. KOLOKVIJ IZ INŽENIRSKE MATEMATIKE
15.12.2004
B
Navodilo: Vse odgovore dobro utemelji.
Čas reševanja: 90 minut. Točkovanje: 25+25+25+15+15=105. Srečno!
1. naloga: Reši matrično enačbo: X + B = XB, kjer je
⎡
B = ⎣ 2 2 1
⎤
0 2 2 ⎦ .
1 3 3
2. naloga: Podani sta ravnina Σ : 2x + 3y − z = 2 in premica p : x − 4 = y − 6 = z+4 . Preveri, da
5
sta vzporedni in izračunaj razdaljo med njima. Premica p ′ je premica, ki jo dobimo, ko zrcalimo
premico p preko ravnine Σ. Zapiši parametrično obliko enačbe premice p ′ .
3. naloga: V pravilnem šestkotniku ABCDEF deli točka J stranico CD v razmerju 1 : 2, točka
I pa stranico F E v razmerju 3 : 1. Daljici CI in AJ se sekata v točki T . Izrazi vektor −→ BT z
vektorjema −→ a = −→ AB in −→ b = −→ BC. Izrazi ploščino ∆BCT z vektorjema −→ −→ a in b .
[ ]
2
4. naloga: Ali je vektor lastni vektor za matriko
3
lastna vrednost
[
1 2
3 2
]
Če je, kolikšna je pripadajoča
5. naloga: Ali so vektorji −→ a = (2, −1, −2), −→ b = (−1, 0, −3) in −→ c = (7, −2, 7) koplanarni
Odgovor utemelji!
99/150

B
REŠITVE:
1. naloga:
X = B (B − I) −1 =
⎡
⎣ −2 0 2
5 1 −3
1 1 0
⎤
⎦
2. naloga: Premica p in ravnina Σ sta vzporedni, ker je smerni vektor premice pravokoten na normalo ravnine:
−→ s · −→ n = 0. Razdalja med njima je tako enaka oddaljenosti katerekoli točke na premici p do ravnine Σ. Izberimo
npr. T (4, 6, −4) ∈ p. Pravokotna projekcija te točke na ravnino Σ je točka T ′ (0, 0, −2) in
d(p, Σ) = d(T, Σ) = | −−→ T T ′ | = 2 √ 14.
Zrcalna slika točke T čez ravnino Σ je T ′′ (−4, −6, 0) in leži na premici p ′ . Ugotovimo še, da je smerni vektor
premic p in p ′ enak ter imamo enačbo:
p ′ : x = −4 + λ,
y = −6 + λ,
z = 5λ.
3. naloga: −→ BT = − 8
−→ 19
a + 22
19
−→ b in pl∆BCT = 4
19 |−→ a × −→ b |.
4. naloga: Dani vektor je lastni vektor dane matrike, ki pripada lastni vrednosti 4, saj je:
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 2 8 2
= = 4 · .
3 2 3 12 3
5. naloga: Dani vektorji niso koplanarni, saj so linearno neodvisni: prevermo lahko, da je linearna kombinacija
α −→ a + β −→ b + γ −→ c = −→ 0 samo v primeru, ko so α = β = γ = 0 (lahko si pomagamo tudi z Gaussovimi eliminacijami
ali pa z ugotovitvijo, da je mešani produkt [ −→ a , −→ b , −→ c ] ≠ 0).
100/150

c
&5 :
5
c
W
;
§¥ !#"$¥¨§ %&''($)&''&
¤¦¥¨§©¥§©©¥
¢¡£¡
©¥¨§/ 0 ¥1§"2"3 §¥¨"2"3"$ 0 !#"4
*,+.-
&576 5 ( 895769:;
FGH =A@CBED
©¥¨§/ 0 ¥"3K¥ 0 ¥/§©A©!LA©1 0 /"2¥MON3 P¨©©."3©§¥QR 0 ¥/"
IJ+.-
SUT 5,VXW
PM
N3¥\% ]/"^QR 0 ¥/ S !¥/"3C¥¨.¥¨O_`©¥¨§/
0 ¥3a"3O¥¨1"3N S¢b¢ced
YZ©[
FGH =fA@CBED
gJ+.h _#©"33/" T\ikj V jmlon /"^_#© ©.N2"31N3¥¨1©AQR©LpP¨©4
ikjq
W :]69& ikj¢r i
:;
VsYZ©[ N3¥\% ]/"^N3 _`©"33a"2LA©©©©A¥MO [N3©]©LA">/"3©.§t: d
T
!Vsu¦"$LA"3Pa¥©1"3"$ 0 ©AN$ _#©"$3/ .¥¨O¥¨N$ 1 0 $¦3/"$©©AP¨¥¨L.¥¨© d
T
T 0 V
_¥v §¥§"2¥¨KLwL ¥¨s§_"3LpL L.© N$¥ 0 "w 0 P¨"3©[xN3 _#©"3$/ d
h
FGH =fA@CBED
zU{}|Z~€ y | ƒ‚ {}„3…/{,†Z‡kˆŠ‰Š‹R„oŒŽ ‘| ’ƒ“k”}’•‚}’ ~€–“,’k—ƒ~€’ŠŒmCƒ‰˜ƒ …/‹›š
y
101/150

c
c
W
:
&]6¼»$½
;
žoŸ ¡ † y
œt
*,+ 5 T & r &V
IJ+ ¢ W T ' r1£¤ V ‹R„ ¢ W ¥§¦ C’ ~€¨…,…ES©|aŒm~R…ƒª \‹R‚ „{ «}Ž­¬`Œm„ª}®ƒ‹¯…/{°…±>Œm“}‹,‹R„•…ƒª >‹R‚ „o{
¦³² ~´ƒ‚}ƒ~/‹R‰µ’ ]“k{·‹R¸^SUT 5
V¦W SUT 5 ¤ V |aR¹“k‹ 5
5 ¤ «µ‹R„º¸a{k’·—ƒ‹¯…ƒª•\‹R‚ „o{k]„•…ƒ„
‹R„o‚}ƒ~/¸ ² {¦…
S b¢c T 5,V°W
gJ+
¦ {•« ² ’ ª { y ¸[ƒ‰µ’Z| ² ’•‰µ’ y ®¨…’–‰
{kƒ‰Š{k\‹ y ®ƒ„¢¾‹R„o“kŒmª}®ƒ‹¯… Ž ¦ —¿«^À{ ² ’•~€¹“…Á…¡ª}’•„o‚}ƒ~/Â
”}ƒ„o\„’ ¾ª}ƒ~¾…p„o{k~Ã{ y | y {…Ä’ y ® p‹R„Å„o{k‚ ¸a”}’•~˜’•‰˜¨…ƒ„’}Ž.Æ‘…¿”}’ ‚•{ÇÈ‹R‰Š‹R\{7… : Ž ¦ ®¿«
¥¨Q ikj W : ‹R„ §_ ikj W : Ž
102/150

"!#"%$'&)(*&¢+,&)-/. +102-%&)3546%0 7 8:9;027 89"&)%0
=@A=@BAB>C
ƒ‚…„]†M‡aˆƒ‰ƒ†ƒŠŒ‹U>Ž‘G’@“” 1•z– ’O‘o— ‘
œž ŸGBšA¡ œ¤¢C
ŒÃCšA›
–G£¤• ’¦¥‘©§¨‘ ¥© >ŽI«ªh — ¥ ªM¬©®­ – ¥’ £@°¯ =²± ­ >ªMŽA³>´ ’ ©’ ´¢ ­ –GŽ ” >Ž ‘ >µ
”
Ã/Ì À
œ AÍ
Ã
Ó
Ä
¯ ¢< <
ž Ÿ¹Ú ¯tÙ
» Ã/Ì À
œ >Í
!) ÿ s v|w ! ¢ þ u üçý|þ !) ÿ s v|w ¤#'s°þ ¢ üçýzþ !)*$ ¢ þ =>AT²f~mV¦7>\¥RcV@>¦A
üçýzþ
¤ v|w('s°þ ¢5B ý|þ ! ¦
u
Z
u
Z
Ð <
C
§
2
R
£§¦©¨ £§ ¨¢£§
¢¡¤£¥£§¦©¨¢
¦©¨¡
eaf§ghMT icj TZYlk[mZeaRonqp[rAstpGrAstpGrAstp[r>uvxw[wAgU y kGQ\¥R QSRzYlk[mleak>n{|r}b6f~mW_`gM\¥R i mT>€
D1EGFIHKJMLONOHAPQSRUTWVXGTZY[TG\¥R]VT[^\ST6_àRcb6Rcd
]‚…„]†M‡aˆƒ‰ƒ†ƒŠŒ·1>£OM¸ ’¹” –oºhª ’ ¸ ’ • © ŽI¬>»h¼¨¸ •z–©½§¾hªhŽ ¸ ’ •z–GŠ
¿ÀÂÁ¤ÃÄ £Oª ÀÅÆÅÁ6Å ¢ÇŸ Å ¢ ÅÁ6ŤÃ
È]‚…„]†M‡aˆƒ‰ƒ†ƒŠŒÉËÊ> ­ ¥’@“ >£ ’¹©®­ ³ªh © £O– ” ªI• ’”I¥ – ¥—©®­š’ ŽA>ª ¥ – — ÊA–oª ­ ª ’ Š
Ñ
Ï
ž Ÿ ¯
žÎ< ¯
AÏ
“¹©Ø© Ḿ£@K© ª ’ ¼,¸ £@–Gªh>¼
Ò]‚…„]†M‡aˆƒ‰ƒ†ƒŠŒ·1>ªhË•z– ‘ A´ — – ” •z– ÀaÓ
AÔoÕ “ ¯×Ö
Û ‹U>Ž‘G’@“¤” …•z– ‘ A´ — – ” •z–©ŽI>ª ¥ – — Ê>–oª ­ ªh ’ ª ’O‘o— M¸ ¾hªMI•²ªI•z–GÊ> ¥ ³£ ’ ¼ ’¤­ =
B)Þ>ŸG=
Û ÉËÊ> ­ ¥’@“ Ž ­ – —’ ¸ £@–Gª ’¤‘ >´¢ — – ” •z¨£O–‘o’ •z ’@‘|¥ –oª³ÜšÝZ>ŽI>£ ’ ¸ –©£ ’ ¼ ’¦­ – “ ¸ –}•z–ØÜ Ä
ãäzåçæ àUP ߌàâá
ENOHAëIE)ìîíKïØðñuòvôó@õaö[÷ÂóÆøcù©ùøúûï[ìâüŒý[þ[ÿ s v w ¡£¢ þ¬uñþ[r u¥¤Œý r§¦©¨Iöc÷ûAõ®øxöSóÆï[ù ïA÷ x÷³ù cú¤÷÷Âì
èIéÎê
w!#"%$ôu&¤(' s¬þ ¢ ü…ýGþ!)*$,+-'/.1032 íKöGïÆû4x÷3šï576Wú ø û8ï% 1÷ ZõaïAõ ÷tðòu:9Ës:v«÷;Gõ®ï ÷< ÷Iöc÷û
v
Aõ®øxöSóÆï[ù[ì
ENOHAëIEKìEDFG÷ûïtûø}ö[øH-I÷Âõ®ïIï+©ï[öGï[õçùøcúûï[ìJIKILFI ¢ v#I ¢ ILFI@M wN+ óOtûøPZïJLQ. ¢ $
ÿSR
CIé6ê
ÿ
$
TIé6ê ENOHAëIEKì7UOïVQWS[õ®ï c÷XYGõ®øY§c÷©õ ÷ÂóÆøcõ ÷û}÷°ö ÷[ì
" ] " ÿ
v ð°s
ð°s©p
v
ð°s°p
v
^
b d~f
Z([£\
f~b d
Z,[£\
uòd~f~b
[£\ ]
v ¢
vs
u8_ "%$a` v
óbGõ®øÂû6ùcõxóÆïcùøõd6W÷Âõaï2
eVgfGtûøP6Wø6øó@õ ÷ûïËùõxó@ï+S ïcï[óÆøcõeâùcøúûïcIih#IAujI Ub I ` vŒ÷l ï[óOcùøõd6W÷Âõaï2
ÿk
ENOHAëIEKì]íKïGõ®øxöxûøhûø

2. KOLOKVIJ IZ INŽENIRSKE MATEMATIKE
22.2.2005
Navodilo: Vse odgovore dobro utemelji.
Čas reševanja: 90 minut. Točkovanje: 20+25+30+10+15=100. Srečno!
1. naloga: Izračunaj limiti:
( ) n n + 3
(√ )
(a) lim
(b) lim n2 + 2n − n .
n→∞ n + 2
n→∞
2. naloga: Določi definicijsko območje funkcije
f(x) = ln ( |x 2 + x − 6| − |x + 3| ) .
3. naloga: Zaporedje (a n ) n∈N
je podano z rekurzivno formulo
a n+1 = √ 2a n + 2, a 1 = 1.
• Pokaži, da zaporedje monotono narašča in da je navzgor omejeno s 4.
• Utemelji konvergenco zaporedja in izračunaj njegovo limito.
• Kaj je supremum in kaj infimum množice členov zaporedja
4. naloga: Ali je konvergentno zaporedje nujno navzgor omejeno Odgovor utemelji!
5. naloga:
• Kaj je številska vrsta
• Ali je vrsta ∑ ∞
) n
n=1 konvergentna Odgovor utemelji!
REŠITVE:
1. naloga: (a) e, (b) 1.
( n−1
n
2. naloga: Funkcija f je definirana, ko velja: |x 2 + x − 6| > |x + 3|. Z rešitvijo te neenačbe dobimo:
D f = (−∞, −3) ∪ (−3, 1) ∪ (3, ∞).
3. naloga: Naraščanje in omejenost pojkažemo s pomočjo matematične indukcije. Ker je zaporedje naraščajoče in
navzgor omejeno, je konvergentno. Njegova limita je 1 + √ 3. Supremum množice členov zaporedja je enak limiti,
infimum pa je 1 (prvi člen).
4. naloga: Vsako konvergentno zaporedje je omejeno (navzgor in navzdol). Konvergentno zaporedje (a n ) n∈N
ima
limito α in za vsak ε > 0 izven ε-okolice limite α leži le končno mnogo členov zaporedja: a 1 , . . . , a k . Zgornja meja
tega zaporedja je tako npr. max{a 1 , . . . , a k , α + ε}.
5. naloga:
Številska vrsta je enaka limiti zaporedja delnih vsot členov vrste:
∞∑
a n = lim s n, s n = a 1 + · · · + a n .
n→∞
n=1
Če ta limita obstaja, je vrsta konvergentna. Potreben pogoj za konvergeno vrste je, da gredo njeni členi proti 0:
lim n→∞ a n = 0. Vrsta ∑ ∞
( n−1
) n (
n=1 n ni konvergentna, saj je n−1
) n
limn→∞
n = e −1 .
104/150

£ ! " ¤ ¨£
¢¡¤£¦¥¨§©¥¨£
#%$'&($')%*(*%&
­%® ¢°¯ * “©¨«ª9¬
® ¢±¦ * •
²
¢ &
¨ ¢w»w¼ &
€ ‘ €†‚ ƒoœ €€ ‰0… € ‰Và € –C ‚ ž_„ — ‰VÞ_… ‹ ˆ ¢°¸ * …Vˆ œl }
ÊIv¢xIy4zM{w|wyw}Ë
¢
\©g ` §
¼
ñrôOð¦¿gONFüŸôOðFòríírï¢Fô¢)= PNQ$ŸgÃb §
WZX
ê U
#
g«b § ñrþ¤¢ý¥¢×òrí£¦
ð£å¦ºgÃbµð£ï3¦ g54 `&6 d §
ñOôrí§ójõ1©2
§
QMRTSVU4>XW YOZ >ED\[F]EQMKCLM

PRIIMEK IME VPISNA ŠTEVILKA NALOGA TOČKE
1.
2.
3.
4.
5.
SKUPAJ
3. KOLOKVIJ IZ INŽENIRSKE MATEMATIKE
8.4.2005
Navodilo: Vse odgovore dobro utemelji.
Čas reševanja: 90 minut. Točkovanje: 20+35+25+10+15=105. Srečno!
1. naloga: Iz žice dolge 6 enot želimo oblikovati enakokrak trikotnik. Pri kateri dolžini stranic
bo ploščina trikotnika največja
2. naloga: Določite definicijsko območje funkcije
f(x) = e−x
x
in raziščite njeno obnašanje na robu območja. Poiščite ničle, pole, asimptote, ekstremne in prevojne
točke. Zapišite intervale naraščanja, padanja, konveksnosti in konkavnosti funkcije f ter
skicirajte njen graf.
3. naloga: Izračunajte integral
Morda bo v pomoč: (arcsin x) ′ = 1 √
1−x 2
.
∫ 1
0
arcsin x dx.
4. naloga: Ali ima funkcija f v točki a, v kateri je odvod enak 0, nujno lokalni ekstrem Zapišite
vsaj en zadostni pogoj za to!
5. naloga:
• Definicija določenega integrala ∫ b
f(x) dx.
a
• Izračunajte limito
lim
n→∞
n∑
k=1
(
1 + 2k n
) 2
1
n . 106/150

REŠITVE:
1. naloga: Označimo z a osnovnico z b pa oba kraka enakokrakega trikotnika. Obseg trikotnika je 6 enot, zato je
b = 3 − a 2
. Ploščina trikotnika je:
p = av
2 = a√ 9 − 3a
,
2
kjer smo višino trikotnika v dobili po Pitagorovem izreku: v 2 = b 2 − a2
4
= 9 − 3a. Iščemo torej maksimum funkcije
p = p(a) za a ∈ [0, 3]. S pomočjo odvoda dobomo stacionarno točko a = 2 in, ker je p(0) = p(3) = 0, je največja
ploščina enaka p(2) = √ 3. Dobimo jo, če je trikotnik enakostraničen: a = b = 2.
2. naloga: D f = R \ {0}, v x = 0 ima f pol, pri katerem gre z leve v −∞ in z desne v +∞. V −∞ funkcija nima
asimptote in gre v −∞, v +∞ pa se f približuje asimptoti y = 0. Funkcija nima ničel, ima lokalni maksimum v
točki x = −1, prevojev ni. Na intervalu (−∞, −1) funkcija narašča, drugje pada. Za x > 0 je f konveksna, za
x < 0 pa konkavna. Graf funkcije:
10
5
-4 -2 2 4
-5
-10
-15
3. naloga: Najprej uporabimo metodo per partes, potem pa uvedemo še novo spremenljivko (npr. t = 1 − x 2 ali
t = √ 1 − x 2 ):
∫ 1
∫ arcsin x dx = x arcsin x∣ 1 1
x dx
− √ = π
0 1 − x
2 2 + 1.
0
0
4. naloga: Ne, iz pogoja f ′ (a) = 0 ne sledi nujno, da ima f v točki a lokalni ekstrem. Zadostni pogoj za to je
npr., da funkcija f ′ v točki a spremeni predznak (ali pa: f ′ (a) = 0 in f ′′ (a) ≠ 0).
5. naloga:
• Določeni integral zvezne funkcije f na intervalu [a, b] definiramo kot limito Riemanovih vsot:
∫ b
a
f(x) dx = lim
n→∞
k=1
n∑
f(ξ k )∆x k ,
kjer so a = x 0 ≤ x 1 ≤ · · · ≤ x n = b delilne točke, ∆x k = x k − x k−1 dolžine podintervalov ter ξ k ∈ [x k−1 , x k ],
k = 1, . . . , n.
• Opazimo, da gre za limito Riemanove vsote za funkcijo f(x) = (1 + 2x) 2 na intervalu [0, 1], razdeljenem na
n enakih delov. Po gornjemo jo lahko izračunamo s pomočjo določenega integrala:
lim
n∑
n→∞
k=1
(
1 + 2k ) 2
1
n
n = ∫ 1
0
(1 + 2x) 2 dx = 13
3 . 107/150

£ ! " ¤ ¨£
¢¡¤£¦¥¨§©¥¨£
#%$'&($%&(#')%)'*
Ñ
Ï
”
÷
Ð
Ð
¸
”¯
Ñ
ù
Á
Ñ
\ãEïªßôߣ¢aà¿ß;ò ð¤ h禥\ñªí¯ïªðaå¡ h碦 ãiçaãièMᨧªó háèHáÅæEâªßhì í© \åëó ç§Íå¬åTíã=êeßÍéhí© \åëéçaãEí¯åY離áéhì.áhí;èHÝ
£In¢pIq4rMsotoqIÝZþ‰çMÿ;í¯å\ðaå¡
¹
¸
Ï
”
Ò
˜
¸
Ñ
¹
¸
¸
Ð
¦
”
¹
°
”
”¯
Ñ
’ «­” Ÿ ¡ ˜ « ” ) …6~ )'¡ z'‚ … «­” ) …(~ )%¡ °
# ”¾‚ ~ «­”¯ ¡ Á ” Ó
’
CÓ
\à¿áhí© ªò ãiá(§Íì.çEéhí;ßhãiè)¥\ñªí¯ïªðaå¡ hçäí;á©éáhí;çaà
Ï ¼In¿p;qVrsotoqIÝ&%Ûá'
há§ÍìhçEéhí;ßhãiè4êeá, hç # åTí- hç·éßhãiç4ò
ð¤
÷
¹
ü
#9ý
# ‚ ~ «­”¯ ¡ Á Ó
’
"!
˜
\ãEïªß†ß£¢aà¿ßÍð¤ hç hçÛßhãEàºåTí¯ïªáÅïÍì.ßaâªáw”o˜ Á 4˜w’
ÆIn¢pIq4rMsotoqIÝ0/aí;èMç=âÍì.áðaå¡
Ï
˜
ð¤ \ñ( hç
¹
¹
*
Ï
°
ü
*
ü
*
åTí+ hßô¦éßhãiç4ò
” Á Ò ”¯ ”¯ ”¯ °
Ï
Ñ
Ñ
Ð Ñ Ñ Ð
í;ç=âªá‘ì.çEéá'6¢EßÍéhåTãEå;ã_êeßhà¿ß¾ò
ãiè hᨧªç5§Íì ðañ²í;áhà¿ß¢EßÍéhåTãEåéhåTì.çaïªè­í;ß43=âÍì.çäè­ñeéhå5¢aì.çaæwæiáhàºí©
Ï
!
1
’
ü
*
ü
*
°
ð¤ hß
QMRTSVUIWFPX>FBFZEDAGH.GHFJCG=>KCLM

PRIIMEK IME VPISNA ŠTEVILKA NALOGA TOČKE
1.
2.
3.
4.
5.
SKUPAJ
4. KOLOKVIJ IZ INŽENIRSKE MATEMATIKE
24.5.2005
Navodilo: Vse odgovore dobro utemelji.
Čas reševanja: 90 minut. Točkovanje: 25+25+25+15+15=105. Srečno!
1. naloga: Izdelati moramo lesen zaboj pravokotne oblike (brez pokrova) s prostornino 4m 3 .
Kolišne naj bodo dolžine stranic, da bomo porabili najmanj lesa
2. naloga: Podana je funkcija
f(x, y) =
• Določi njeno definicijsko območje in ga skiciraj.
• Izračunaj limito funkcije f v točki (0, 0).
• Izračunaj vrednost izraza:
1
ln (x 2 + y 2 ) .
y · ∂f
∂x − x · ∂f
∂y .
3. naloga:
• Nariši integracijsko območje in zamenjaj vrstni red integracije v naslednjem dvojnem integralu:
∫ 1 ∫ √ 1−x 2
dx f(x, y) dy.
1−x
0
2
2
• Izračunaj zgornji integral za
f(x, y) =
y
1 − x 2 .
4. naloga: Kako izračunamo koordinati težišča nehomogenega omejenega ravninskega lika Ali
znaš formuli izpeljati
5. naloga: Katera od funkcij f 1 (x) = x 2 , f 2 (x) = e 2x , f 3 (x) = sin 2x, je rešitev diferencialne
enačbe y ′′ + 4y = 0 Odgovor utemelji! Kaj je splošna rešitev te diferencialne enačbe
109/150

REŠITVE: 1. naloga: Naj bodo x, y in z = 4
xy
stranice zaboja. Poiskati je treba minimum naslednje funkcije
dveh spremanljivk
P (x, y) = xy + 2xz + 2yz = xy + 8 y + 8 x .
S pomočjo parcialnih odvodov dobimo stacionarno točko, ki je rešitev naloge:
x = y = 2, z = 1.
2. naloga:
• D f = { (x, y) ∈ R 2 | x 2 + y 2 ≠ 1 ∧ (x, y) ≠ (0, 0) }
• lim (x,y)→(0,0) f(x, y) = 0
• y · ∂f
∂x − x · ∂f
∂y = 0
3. naloga:
•
•
∫ 1
0
∫ 1
0
∫ √ 1−x 2
dx f(x, y) dy =
1−x 2
2
∫ 1
2
∫ √ 1−x ∫ 2
y
1
(
dx
1−x 2 1 − x 2 dy = 1 y
2
2
0 1 − x 2 ∣
2
0
∫ √ 1−y ∫ 2
1 ∫ √ 1−y 2
dy f(x, y) dx + dx f(x, y) dx
√ 1−2y 1
2 0
√
1−x 2
1−x 2
2
)
dx = 1 8
∫ 1
0
(
3 + x
2 ) dx = 5
12 .
4. naloga: Koordinati težišča omejenega ravninskega lika L z gostoto masne porazdelitve ρ(x, y) izračunamo z
dvojnim integralom:
x ∗ = 1 ∫∫
xρ(x, y) dx dy, y ∗ = 1 ∫∫
yρ(x, y) dx dy,
m(L) L
m(L) L
kjer je masa: m(L) = ∫∫ L ρ(x, y) dx dy. Izpeljava formule: lik razkosamo na n majhnih masnih delčkov L i z maso
skoncentrirano v točki (x i , y i ): m(L i ) = ρ(x i , y i )S(L i ). Zapišemo enačbe za težišče (diskretnega) sistema n masnih
točk (statični moment ÷ masa)in dobimo Riemanovi integralski vsoti
x ∗ = 1
m(L)
n∑
i=1
ki nam v limiti dasta zgornja integrala.
x i ρ(x i , y i )S(L i ), y ∗ = 1
m(L)
n∑
y i ρ(x i , y i )S(L i ),
5. naloga: Funkcije f 1 , f 2 , f 3 dvakrat odvajamo in vstavimo v enačbo. Edina, ki enačbi zadošča je f 3 (x) = sin 2x.
Splošna rešitev dane diferencialne enačbe je oblike y(x) = C 1 sin 2x + C 2 cos 2x, C 1 , C 2 ∈ R.
i=1
110/150

PRIIMEK IME VPISNA ŠTEVILKA SMER NALOGA TOČKE
1.
2.
3.
4.
5.
SKUPAJ
IZPIT IZ INŽENIRSKE MATEMATIKE
1.6.2005
Navodilo: Vse odgovore dobro utemelji. Čas reševanja: 90 minut. Naloge so enakovredne. Srečno!
1. naloga: V trapezu ABCD velja: −→ AB = −3 −→ CD. Označimo:
−→ −→ −→ −→
a = AB in b = AD. Točka S
naj bo presečišče diagonal trapeza.
• Izrazi vektor −→ AS z vektorjema −→ a in −→ b .
• Primerjaj ploščini trikotnika ABS in trapeza ABCD.
2. naloga: Poišči lastne vrednosti in pripadajoče lastne vektorje matrike
⎡
A = ⎣ −2 0 3
⎤
−2 1 2⎦.
−1 0 2
Ali matriko A lahko diagonaliziramo
P −1 AP diagonalna.
Če jo lahko, poišči tako obrnljivo matriko P, da bo matrika
3. naloga: Določi definicijsko območje funkcije
f(x) = 2x − 1
(x − 1) 2
in razišči njeno obnašanje na robu območja. Poišči ničle, pole, asimptoto in lokalne ekstreme in
prevojne točke. Določi intervale naraščanja in padanja ter konveksnosti in konkavnosti funkcije
ter skiciraj njen graf.
4. naloga: Izračunaj volumen telesa, ki nastane pri vrtenju krivulje y = x lnx na intervalu [0, 1]
okoli x-osi. (Pozor: izlimitiran integral!)
5. naloga: Poišči ekstremne vrednosti funkcije f(x,y) = x(y−x+1) na območju, ki ga omejujeta
krivulji y = x 2 − 2 in y = x.
111/150

REŠITVE:
1. naloga: −→ AS = 3 4−→ b +
1−→ a , ploščini pa dobimo z vektorskim produktom: pABS = 1 2 |−→ a × −→ AS| = 3 8 |−→ a × −→ b | in
4
p ABCD = 1 2 |4 3−→ a ×
−→ b | =
2
3 |−→ a × −→ b |, torej je p ABS : p ABCD = 9 : 16.
2. naloga: Lastne vrednosti matrike A so λ 1,2 = 1 in λ 3 = −1, pripadajoči lastni vektorji pa
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
v 1 =
⎣ 1 0
1
⎦, v 2 =
⎣ 0 1
0
⎦ in v 3 =
Matriko A lahko diagonaliziramo, ker ima tri linearno neodvisne lastne vektorje.
⎡
Za P = ⎣ 1 0 3
⎤
⎡
0 1 2 ⎦ je P −1 AP = ⎣ 1 0 0
⎤
0 1 0 ⎦.
1 0 1
0 0 −1
⎣ 3 2
1
⎦.
3. naloga: D f = R \ {1}, v x = 1 ima f pol druge stopnje, pri katerem gre z obeh strani v +∞. V ∞ se f
približuje asimptoti y = 0. Funkcija ima ničlo v točki x = 1 2
, lokalni minimum v točki x = 0 in prevoj v točki
x = − 1 2 . Na intervalu (0,1) funkcija narašča, drugje pada. Za x > 1 2 je f konveksna, za x < 1 2
pa konkavna. Graf
funkcije:
5
4
3
2
1
-4 -2 2 4
-1
4. naloga:
V = π
∫ 1
0
x 2 ln 2 x dx = π lim
a→0
∫ 1
a
( 1
x 2 ln 2 x dx = π lim
a→0 3 a3 lna + 2 )
27 (1 − a3 ) = 2π
27 .
Pri računanju integrala 2x zaporedoma uporabimo metodo per partes.
5. naloga: Funkcija ima eno stacionarno točko: (0, −1). Poleg le-te ter oglišč: (−1, −1) in (2,2), sta na spodnjem
robu območja še dve kritični točki: (1, −1) in ( − 1 3 , ) −17 9 . Minimalno vrednost −1 doseže f v dveh točkah na
paraboli: v (1, −1) in (−1, −1), maksimum 2 pa v oglišču (2,2).
112/150

113/150

114/150

115/150

116/150

117/150

118/150

119/150

120/150

121/150

122/150

123/150

124/150

125/150

126/150

127/150

128/150

129/150

130/150

131/150

132/150

133/150

134/150

135/150

136/150

137/150

138/150

139/150

140/150

141/150

142/150

143/150

144/150

145/150

146/150

147/150

148/150

149/150

150/150