Dvojni vektorski produkt - Student Info

Algebra I Dvojni vektorski produkt 4
6. Splošni primer
Zdaj se lahko lotimo tudi reševanja sistema (7,8) v splošnem.
(⃗a × ⃗ b,⃗c,⃗a) ⃗a ⃗ ∣ b ∣∣∣
∣ (⃗a ×
α =
⃗ b,⃗c, ⃗ ⃗a⃗a (⃗a × ⃗ ∣
b,⃗c,⃗a) ∣∣∣
b) ⃗ b ⃗ b ∣⃗ b⃗a (⃗a × ⃗ b,⃗c, ⃗ b) ⃗a⃗a ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
, β =
⃗a⃗a ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
. (15)
∣⃗ b⃗a ⃗ b ⃗ b ∣⃗ b⃗a ⃗ b ⃗ b
Preoblikujmo mešana produkta. Prvega,
in drugega,
(⃗a × ⃗ b,⃗c,⃗a) = (⃗a,⃗a × ⃗ b,⃗c) (16)
= (⃗a × (⃗a × ⃗ b))⃗c (17)
= ((⃗a ⃗ b)⃗a − |⃗a| 2 ⃗ b)⃗c (18)
= (⃗a ⃗ b)(⃗a⃗c) − |⃗a| 2 ( ⃗ b⃗c), (19)
(⃗a × ⃗ b,⃗c, ⃗ b) = ( ⃗ b,⃗a × ⃗ b,⃗c) (20)
= ( ⃗ b × (⃗a × ⃗ b))⃗c (21)
= −( ⃗ b × ( ⃗ b × ⃗a))⃗c (22)
= −(( ⃗ b⃗a) ⃗ b − | ⃗ b| 2 ⃗a)⃗c (23)
= −(⃗a ⃗ b)( ⃗ b⃗c) + | ⃗ b| 2 (⃗a⃗c). (24)
Pripravljeni smo na poenostavitev izrazov za skalarja α in β, podanih v (15): spričo zveze med
vektorskim in skalarnim produktom (38) in enakosti (19,24) sklepamo
Podobno,
α = ((⃗a⃗ b)(⃗a⃗c) − |⃗a| 2 ( ⃗ b⃗c))( ⃗ b ⃗ b) − (−(⃗a ⃗ b)( ⃗ b⃗c) + | ⃗ b| 2 (⃗a⃗c))(⃗a ⃗ b)
|⃗a × ⃗ b| 2 (25)
= −|⃗a|2 ( ⃗ b⃗c)( ⃗ b ⃗ b) + (⃗a ⃗ b) 2 ( ⃗ b⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (26)
= (−|⃗a|2 | ⃗ b| 2 + (⃗a ⃗ b) 2 )( ⃗ b⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (27)
= −|⃗a ×⃗ b| 2 ( ⃗ b⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (28)
= − ⃗ b⃗c. (29)
β = (⃗a⃗a)(−(⃗a⃗ b)( ⃗ b⃗c) + | ⃗ b| 2 (⃗a⃗c)) − ( ⃗ b⃗a)((⃗a ⃗ b)(⃗a⃗c) − |⃗a| 2 ( ⃗ b⃗c))
|⃗a × ⃗ b| 2 (30)
= |⃗a|2 | ⃗ b| 2 (⃗a⃗c) − (⃗a ⃗ b) 2 (⃗a⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (31)
= |⃗a ×⃗ b| 2 (⃗a⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (32)
= ⃗a⃗c. (33)
Izračunali smo iskana skalarja, dokaza je konec.
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ