Dvojni vektorski produkt - Student Info

Algebra I Dvojni vektorski produkt 3
4. Prevedba v sistem linearnih enačb z dvema neznankama
Skalarno pomnožimo obe strani enakosti (4) z vektorjem ⃗a,
((⃗a × ⃗ b) × ⃗c)⃗a = α⃗a⃗a + β ⃗ b⃗a, (5)
in ponovimo vajo z vektorjem ⃗ b,
((⃗a × ⃗ b) × ⃗c) ⃗ b = α⃗a ⃗ b + β ⃗ b ⃗ b. (6)
Pridelali smo enačbi:
(⃗a⃗a)α + (⃗a ⃗ b)β = (⃗a × ⃗ b,⃗c,⃗a) (7)
( ⃗ b⃗a)α + ( ⃗ b ⃗ b)β = (⃗a × ⃗ b,⃗c, ⃗ b). (8)
5. Veljavnost obrazca v primeru ⃗c = ⃗a
Najprej rešimo sistem (7,8) za posebni primer ⃗c = ⃗a:
(⃗a⃗a)α + (⃗a ⃗ b)β = (⃗a × ⃗ b,⃗a,⃗a), (9)
( ⃗ b⃗a)α + ( ⃗ b ⃗ b)β = (⃗a × ⃗ b,⃗a, ⃗ b) (10)
oziroma
(⃗a⃗a)α + (⃗a ⃗ b)β = 0, (11)
( ⃗ b⃗a)α + ( ⃗ b ⃗ b)β = |⃗a × ⃗ b| 2 . (12)
Sistem (11,12) rešimo z metodo, opisano zadnjem razdelku, pri čemer uporabimo tudi zvezo (38)
med vektorskim in skalarnim produktom
0 ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
∣ |a × b|
α =
⃗ b ⃗ b ⃗a⃗a ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
= −|⃗a ×⃗ b| 2 (⃗a ⃗ b)
|⃗a × ⃗ = −⃗a ⃗ b,
b| 2 ∣⃗ b⃗a ⃗ b ⃗ b ⃗a⃗a 0
∣⃗ b⃗a |a × b|
2 ∣
β =
⃗a⃗a ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
= (⃗a⃗a)|⃗a ×⃗ b| 2
|⃗a × ⃗ = ⃗a⃗a = |⃗a| 2 .
b| 2 ∣⃗ b⃗a ⃗ b ⃗ b
Torej je
(⃗a × ⃗ b) × ⃗a = α⃗a + β ⃗ b = (− ⃗ b⃗a)⃗a + (⃗a⃗a) ⃗ b = (−⃗a ⃗ b)⃗a + |⃗a| 2 ⃗ b, (13)
obrazec (1) velja v primeru ⃗c = ⃗a. Od tod lahko izpeljemo tudi zvezo
⃗a × (⃗a × ⃗ b) = (⃗a ⃗ b)⃗a − |⃗a| 2 ⃗ b. (14)
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ