Dvojni vektorski produkt - Student Info

Algebra I Dvojni vektorski produkt 2
3. Osnovni premisleki
Privzemimo veljavnost obrazca (1) in dokažimo zvezo (2):
⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = −( ⃗ b × ⃗c) × ⃗a
= −(−(⃗c⃗a) ⃗ b + ( ⃗ b⃗a)⃗c)
= (⃗a⃗c) ⃗ b − (⃗a ⃗ b)⃗c.
Nadaljujmo zdaj z dvojnim vektorskim produktom ⃗v = (⃗a × ⃗ b) × ⃗c.
Če je kakšen izmed vektorjev ⃗a, ⃗ b,⃗c ničeln, potem sta leva in desna stran zveze (1) ničelni, torej
zveza drži. Podobno v primeru, ko sta neničelna vektorja ⃗a in ⃗ b vzporedna. V tem primeru je
leva stran zveze (1) enaka
(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = ⃗0 × ⃗c = ⃗0.
Izrazimo
⃗ b = λ⃗a
za neki realen skalar λ in preoblikujemo desno stran iste zveze:
(− ⃗ b⃗c)⃗a + (⃗a⃗c) ⃗ b = (−λ⃗a⃗c)⃗a + (⃗a⃗c)(λ⃗a) = λ(−(⃗a⃗c)⃗a + (⃗a⃗c)⃗a) = λ⃗0 = ⃗0.
Skratka, tudi v tem primeru obrazec drži.
Odslej smemo privzeti, da vektorji ⃗a, ⃗ b,⃗c niso ničelni in da vektorja ⃗a in ⃗ b nista vzporedna. Torej
so vektorji ⃗a, ⃗ b in ⃗a × ⃗ b nekomplanarni in vektor ⃗v se enolično linearno izraža z njimi:
pri čemer so α, β in γ realni skalarji.
(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = α⃗a + β ⃗ b + γ(⃗a × ⃗ b), (3)
Skalarno pomnožimo obe strani enakosti (3) z vektorjem ⃗a × ⃗ b:
((⃗a × ⃗ b) × ⃗c)(⃗a × ⃗ b) = α⃗a(⃗a × ⃗ b) + β ⃗ b(⃗a × ⃗ b) + γ|⃗a × ⃗ b| 2 .
Leva stran zadnje enakosti je ničelna, prav tako prva dva seštevanca v desni strani, saj gre v
vseh treh primerih za mešane produkte v katerih sta po dva vektorja enaka oziroma vzporedna.
Tako dobimo
0 = γ|⃗a × ⃗ b| 2 .
Vektor ⃗a × ⃗ b ima neničelno dolžino, saj sta vektorja ⃗a in ⃗ b nekolinearna. Tako je
γ = 0,
zvezo (3) pa poenostavimo v
(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = α⃗a + β ⃗ b. (4)
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ