Dvojni vektorski produkt - Student Info

Algebra I Dvojni vektorski produkt 1
Dvojni vektorski produkt
Oktober 2000/2001
1. Obrazec za dvojni vektorski produkt
Naj bodo ⃗a, ⃗ b,⃗c poljubni vektorji v prostoru. Dokažimo, da veljata za dvojni vektorski produkt
naslednja obrazca:
(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = (− ⃗ b⃗c)⃗a + (⃗a⃗c) ⃗ b, (1)
⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = (⃗a⃗c) ⃗ b − (⃗a ⃗ b)⃗c. (2)
Pri tem se bomo držali brezkoordinatnega pristopa. Ob osnovnih lastnostih skalarnega, vektorskega
in mešanega produkta bomo pri naših sklepih potrebovali še nekatera dejstva, ki jih
naštejemo v zadnjem razdelku.
2. Načrt izpeljave obrazca
Vsako obsežnejšo dejavnost velja strnjeno predstaviti z načrtom.
- Najprej bomo pokazali, da je zveza (2) preprosta posledica obrazca (1). Tako se bomo v
nadaljevanju lahko posvetili zgolj vektorju ⃗v = (⃗a × ⃗ b) × ⃗c.
- Kratko bomo obravnavali primera, ko je kakšen od vektorjev ⃗a, ⃗ b,⃗c ničeln ali ko sta ⃗a in ⃗ b
vzporedna, in nadaljevali s privzetkom, da sta vektorja ⃗a in ⃗ b nekolinearna.
- Linearno bomo izrazili vektor ⃗v z nekomplanarnimi vektorji ⃗a, ⃗ b,⃗a × ⃗ b, pri čemer se bo
izkazalo, da se ⃗v linearno izraža že z vektorjema ⃗a in ⃗ b: ⃗v = α⃗a + β ⃗ b.
- Pridelali bomo sistem dveh linearnih enačb za neznana skalarja α in β.
- Ogledali si bomo posebni primer, ko je ⃗c = ⃗a.
- Končno bomo rešili sistem v splošnem in sklenili α = − ⃗ b⃗c, β = ⃗a⃗c.
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ

Algebra I Dvojni vektorski produkt 2
3. Osnovni premisleki
Privzemimo veljavnost obrazca (1) in dokažimo zvezo (2):
⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = −( ⃗ b × ⃗c) × ⃗a
= −(−(⃗c⃗a) ⃗ b + ( ⃗ b⃗a)⃗c)
= (⃗a⃗c) ⃗ b − (⃗a ⃗ b)⃗c.
Nadaljujmo zdaj z dvojnim vektorskim produktom ⃗v = (⃗a × ⃗ b) × ⃗c.
Če je kakšen izmed vektorjev ⃗a, ⃗ b,⃗c ničeln, potem sta leva in desna stran zveze (1) ničelni, torej
zveza drži. Podobno v primeru, ko sta neničelna vektorja ⃗a in ⃗ b vzporedna. V tem primeru je
leva stran zveze (1) enaka
(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = ⃗0 × ⃗c = ⃗0.
Izrazimo
⃗ b = λ⃗a
za neki realen skalar λ in preoblikujemo desno stran iste zveze:
(− ⃗ b⃗c)⃗a + (⃗a⃗c) ⃗ b = (−λ⃗a⃗c)⃗a + (⃗a⃗c)(λ⃗a) = λ(−(⃗a⃗c)⃗a + (⃗a⃗c)⃗a) = λ⃗0 = ⃗0.
Skratka, tudi v tem primeru obrazec drži.
Odslej smemo privzeti, da vektorji ⃗a, ⃗ b,⃗c niso ničelni in da vektorja ⃗a in ⃗ b nista vzporedna. Torej
so vektorji ⃗a, ⃗ b in ⃗a × ⃗ b nekomplanarni in vektor ⃗v se enolično linearno izraža z njimi:
pri čemer so α, β in γ realni skalarji.
(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = α⃗a + β ⃗ b + γ(⃗a × ⃗ b), (3)
Skalarno pomnožimo obe strani enakosti (3) z vektorjem ⃗a × ⃗ b:
((⃗a × ⃗ b) × ⃗c)(⃗a × ⃗ b) = α⃗a(⃗a × ⃗ b) + β ⃗ b(⃗a × ⃗ b) + γ|⃗a × ⃗ b| 2 .
Leva stran zadnje enakosti je ničelna, prav tako prva dva seštevanca v desni strani, saj gre v
vseh treh primerih za mešane produkte v katerih sta po dva vektorja enaka oziroma vzporedna.
Tako dobimo
0 = γ|⃗a × ⃗ b| 2 .
Vektor ⃗a × ⃗ b ima neničelno dolžino, saj sta vektorja ⃗a in ⃗ b nekolinearna. Tako je
γ = 0,
zvezo (3) pa poenostavimo v
(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = α⃗a + β ⃗ b. (4)
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ

Algebra I Dvojni vektorski produkt 3
4. Prevedba v sistem linearnih enačb z dvema neznankama
Skalarno pomnožimo obe strani enakosti (4) z vektorjem ⃗a,
((⃗a × ⃗ b) × ⃗c)⃗a = α⃗a⃗a + β ⃗ b⃗a, (5)
in ponovimo vajo z vektorjem ⃗ b,
((⃗a × ⃗ b) × ⃗c) ⃗ b = α⃗a ⃗ b + β ⃗ b ⃗ b. (6)
Pridelali smo enačbi:
(⃗a⃗a)α + (⃗a ⃗ b)β = (⃗a × ⃗ b,⃗c,⃗a) (7)
( ⃗ b⃗a)α + ( ⃗ b ⃗ b)β = (⃗a × ⃗ b,⃗c, ⃗ b). (8)
5. Veljavnost obrazca v primeru ⃗c = ⃗a
Najprej rešimo sistem (7,8) za posebni primer ⃗c = ⃗a:
(⃗a⃗a)α + (⃗a ⃗ b)β = (⃗a × ⃗ b,⃗a,⃗a), (9)
( ⃗ b⃗a)α + ( ⃗ b ⃗ b)β = (⃗a × ⃗ b,⃗a, ⃗ b) (10)
oziroma
(⃗a⃗a)α + (⃗a ⃗ b)β = 0, (11)
( ⃗ b⃗a)α + ( ⃗ b ⃗ b)β = |⃗a × ⃗ b| 2 . (12)
Sistem (11,12) rešimo z metodo, opisano zadnjem razdelku, pri čemer uporabimo tudi zvezo (38)
med vektorskim in skalarnim produktom
0 ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
∣ |a × b|
α =
⃗ b ⃗ b ⃗a⃗a ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
= −|⃗a ×⃗ b| 2 (⃗a ⃗ b)
|⃗a × ⃗ = −⃗a ⃗ b,
b| 2 ∣⃗ b⃗a ⃗ b ⃗ b ⃗a⃗a 0
∣⃗ b⃗a |a × b|
2 ∣
β =
⃗a⃗a ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
= (⃗a⃗a)|⃗a ×⃗ b| 2
|⃗a × ⃗ = ⃗a⃗a = |⃗a| 2 .
b| 2 ∣⃗ b⃗a ⃗ b ⃗ b
Torej je
(⃗a × ⃗ b) × ⃗a = α⃗a + β ⃗ b = (− ⃗ b⃗a)⃗a + (⃗a⃗a) ⃗ b = (−⃗a ⃗ b)⃗a + |⃗a| 2 ⃗ b, (13)
obrazec (1) velja v primeru ⃗c = ⃗a. Od tod lahko izpeljemo tudi zvezo
⃗a × (⃗a × ⃗ b) = (⃗a ⃗ b)⃗a − |⃗a| 2 ⃗ b. (14)
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ

Algebra I Dvojni vektorski produkt 4
6. Splošni primer
Zdaj se lahko lotimo tudi reševanja sistema (7,8) v splošnem.
(⃗a × ⃗ b,⃗c,⃗a) ⃗a ⃗ ∣ b ∣∣∣
∣ (⃗a ×
α =
⃗ b,⃗c, ⃗ ⃗a⃗a (⃗a × ⃗ ∣
b,⃗c,⃗a) ∣∣∣
b) ⃗ b ⃗ b ∣⃗ b⃗a (⃗a × ⃗ b,⃗c, ⃗ b) ⃗a⃗a ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
, β =
⃗a⃗a ⃗a ⃗ ∣
b ∣∣∣
. (15)
∣⃗ b⃗a ⃗ b ⃗ b ∣⃗ b⃗a ⃗ b ⃗ b
Preoblikujmo mešana produkta. Prvega,
in drugega,
(⃗a × ⃗ b,⃗c,⃗a) = (⃗a,⃗a × ⃗ b,⃗c) (16)
= (⃗a × (⃗a × ⃗ b))⃗c (17)
= ((⃗a ⃗ b)⃗a − |⃗a| 2 ⃗ b)⃗c (18)
= (⃗a ⃗ b)(⃗a⃗c) − |⃗a| 2 ( ⃗ b⃗c), (19)
(⃗a × ⃗ b,⃗c, ⃗ b) = ( ⃗ b,⃗a × ⃗ b,⃗c) (20)
= ( ⃗ b × (⃗a × ⃗ b))⃗c (21)
= −( ⃗ b × ( ⃗ b × ⃗a))⃗c (22)
= −(( ⃗ b⃗a) ⃗ b − | ⃗ b| 2 ⃗a)⃗c (23)
= −(⃗a ⃗ b)( ⃗ b⃗c) + | ⃗ b| 2 (⃗a⃗c). (24)
Pripravljeni smo na poenostavitev izrazov za skalarja α in β, podanih v (15): spričo zveze med
vektorskim in skalarnim produktom (38) in enakosti (19,24) sklepamo
Podobno,
α = ((⃗a⃗ b)(⃗a⃗c) − |⃗a| 2 ( ⃗ b⃗c))( ⃗ b ⃗ b) − (−(⃗a ⃗ b)( ⃗ b⃗c) + | ⃗ b| 2 (⃗a⃗c))(⃗a ⃗ b)
|⃗a × ⃗ b| 2 (25)
= −|⃗a|2 ( ⃗ b⃗c)( ⃗ b ⃗ b) + (⃗a ⃗ b) 2 ( ⃗ b⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (26)
= (−|⃗a|2 | ⃗ b| 2 + (⃗a ⃗ b) 2 )( ⃗ b⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (27)
= −|⃗a ×⃗ b| 2 ( ⃗ b⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (28)
= − ⃗ b⃗c. (29)
β = (⃗a⃗a)(−(⃗a⃗ b)( ⃗ b⃗c) + | ⃗ b| 2 (⃗a⃗c)) − ( ⃗ b⃗a)((⃗a ⃗ b)(⃗a⃗c) − |⃗a| 2 ( ⃗ b⃗c))
|⃗a × ⃗ b| 2 (30)
= |⃗a|2 | ⃗ b| 2 (⃗a⃗c) − (⃗a ⃗ b) 2 (⃗a⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (31)
= |⃗a ×⃗ b| 2 (⃗a⃗c)
|⃗a × ⃗ b| 2 (32)
= ⃗a⃗c. (33)
Izračunali smo iskana skalarja, dokaza je konec.
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ

Algebra I Dvojni vektorski produkt 5
7. Naloga: krajši dokaz
Napiši krajši dokaz veljavnosti obrazcev (1,2), kakor sledi. Ob predpostavki, da sta vektorja ⃗a
in ⃗ b nekolinearna, linearno izrazi vektor ⃗c z vektorji ⃗a, ⃗ b,⃗a × ⃗ b, torej
⃗c = α⃗a + β ⃗ b + γ(⃗a × ⃗ b), (34)
pri čemer realni skalarji α, β, γ nimajo prav veliko skupnega s skalarji iz gornje razprave. Nato
preoblikuj dvojni vektorski produkt
(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = (⃗a × ⃗ b) × (α⃗a + β ⃗ b + γ(⃗a × ⃗ b)) = . . .
Izkazalo se bo, da potrebuješ samo še informacijo o skalarjih α in β in o posebnih dvojnih
vektorskih produktih
(⃗a × ⃗ b) × ⃗a, (⃗a × ⃗ b) × ⃗ b. (35)
Skalarja α in β dobiš tako, da enakost (34) skalarno pomnožiš enkrat z ⃗a, drugič z ⃗ b, in rešiš
dobljeni sistem linearnih enačb. Prvi dvojni vektorski produkt v (35) pa linearno izrazi z vektorjema
⃗a in ⃗ b,
(⃗a × ⃗ b) × ⃗a = λ⃗a + µ ⃗ b. (36)
Obe strani zadnje enakosti skalarno pomnoži enkrat z vektorjema ⃗a in drugič z vektorjem ⃗ b,
da se prebiješ do sistema linearnih enačb za neznana skalarja λ in µ, ki je enakovreden sistemu
(11,12). Reši sistem. Pred sabo imaš izraza za λ in µ, ki ju vstaviš v enakost (36). Zaradi
antikomutativnosti vektorskega produkta je
(⃗a × ⃗ b) × ⃗ b = −( ⃗ b × ⃗a) × ⃗ b,
zato lahko drugi vektorski produkt v (35) preoblikuješ sloneč na izpeljanem obrazcu za prvega,
pri čemer je potrebna zamenjava vlog vektorjev ⃗a in ⃗ b. Od cilja te loči vaja iz poenostavljanja
izrazov. Potreben bo še sklic na zvezo (38) med vektorskim in skalarnim produktom, ampak to
so že podrobnosti.
8. Dodatek
V gornji razpravi večkrat uporabimo naslednje resnice in pripomočke.
(a) Zvezo med vektorskim in skalarnim produktom,
|⃗a × ⃗ b| 2 + (⃗a ⃗ b) 2 = |⃗a| 2 | ⃗ b| 2 , (37)
lahko izpeljemo neposredno iz geometrijske definicije skalarnega in vektorskega produkta.
V tem sestavku jo uporabljamo večinoma v obliki
|⃗a × ⃗ b| 2 = |⃗a| 2 | ⃗ b| 2 − (⃗a ⃗ b) 2 . (38)
(b) Naj bodo realna števila a, b, c, d, p, q. V primeru, da velja ad − bc ≠ 0, ima sistem linearnih
enačb
ax + by = p,
cx + dy = q
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ

Algebra I Dvojni vektorski produkt 6
enolično rešitev
x =
p
∣ q
a
∣ c
b
d ∣
b
d ∣
=
∣ ∣∣∣ a p
pd − qb
ad − bc , y = c p ∣
a b
∣ c d ∣
=
aq − cp
ad − bc ,
v kar se lahko prepričamo, na primer, če rešimo sistem z metodo nasprotnih koeficientov.
Ljubljana 24. oktober 2001 c○AM in BZ