Třífázové obvody

3. Střídavé třífázové obvody
Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů FS
Příklad 3.1.
V přívodním vedení trojfázového elektrického sporáku na 3 x 400 V, jehož topná tělesa jsou
zapojena do trojúhelníku, byl naměřen proud 6 A. Jak velký proud prochází topným tělesem,
jak velký je odpor topného tělesa v jedné fázi za tepla, jak velký je příkon sporáku
Zadáno: U n = 3 x 400 V, I = 6 A, zapojení D, cosϕ = 1
Určit: I f , R f , P
Řešení:
Schéma zapojení
I
U
I f
R f
R f
R f
U
6
I = I
f
= = 3,46 A
3 3
U 400
R
f = = 115,47 Ω
I 3,46
=
f
P = 3 ⋅U
⋅ I ⋅ cosϕ
= 3 ⋅ 400 ⋅ 6 ⋅1
= 4152 W = 4,15 kW
Příklad 3.2
Elektrický průtokový ohřívač o příkonu 5 kW ohřívá vstupní vodu o teplotě θ V = 5 °C. Určete
teplotu vystupující teplé vody při průtoku vytékající vody
a) 1 l / min
b) 3 l / min
Zadáno: P = 5 kW, θ V = 5 °C, c = 1,163 Wh . kg -1 . K -1
Určit: θ 2
P
když Q =
60 ⋅ ∆θ
⋅ c
kde
Q - průtok vody (l / min)
P - tepelný příkon (W)
∆θ (θ 2 – θ 1 ) - zvýšení teploty (K)
1

c – měrná tepelná kapacita vody (c = 1,163 Wh . kg -1 . K -1 )
Řešení: když rozepíšeme a dosadíme
( θ − )
60 θ ⋅ c =
⋅
2 1
P
Q
P
Q ⋅
60 ⋅θ
2
− 60 ⋅θ1
=
c
P
60 ⋅θ
2
= + 60 ⋅θ1
Q ⋅ c
θ P
2
=
1
Q ⋅ c ⋅ 60 + θ
a) θ 1 = 76,65 °C b) θ 1 = 28,88 °C
Příklad 3.3
El. třífáz. souměrný spotřebič zapojený do hvězdy má tyto jmen. parametry: P n = 5000 W, U n
= 3 x 400 V. Určete příkon a odebíraný proud při jeho připojení na napětí sítě 3 x 380 V.
Zadáno: P n = 5000 W, U n = 3 x 400 V, cosϕ = 1
Určit: P, I při U s = 3 x 380 V
Řešení:
Příkon
P
= 3 ⋅U S
⋅ I
Odpor jedné fáze
U
R
f
=
I
f
f
f
Proud při U = 400 V
P 5000
U
f 400
I
f
= = = 7,225 A a z toho R
f
= = = 32 Ω
3 ⋅U
3 ⋅ 400
I 3 ⋅ 7,225
S
f
I f při U = 380 V
U
f 380
I
f
= = = 6,864 A
R 3 ⋅32
f
Výkon při U = 380 V
P = 3 ⋅380
⋅ 6,864 = 4512 W
Nebo ze vztahu
2
U
f
P = 3 ⋅U
⋅ I = 3⋅U
f
⋅ I
f
= 3⋅
=
R
z toho vyplývá, že
f
U
R
2
f
2

P
P
n
⎛
=
⎜
⎝
U
U
n
⎞
⎟
⎠
2
⇒ P
380V
= P
n
⎛ 380 ⎞
⋅
⎜
⎟
⎝ U
n ⎠
2
⎛ 380 ⎞
= 5000 ⋅⎜
⎟
⎝ 400 ⎠
2
= 4512
W
Příklad 3.4
Elektrický průtokový ohřívač o příkonu 4,5 kW je připojen k napětí 3 x 400 V. Určete
odebíraný proud ze sítě a průtok vody, při kterém dojde k ohřevu vody o 40 °C, když
Zadáno: P = 4,5 kW, U s = 3 x 400 V, cosϕ = 1, ∆θ = 40 °C, c = 1,163 Wh . kg -1 . K -1
Určit: I, Q
Řešení:
P
Q =
60 ⋅ ∆θ
⋅ c
kde
Q – průtok (l / min)
P – tepelný příkon (W)
∆θ – zvýšení teploty (K)
c – měrná tepelná kapacita (c = 1,163 Wh . kg -1 . K -1 )
P = 3 ⋅U
⋅ I = 3⋅U
f
f
S
⋅ I
3
P 4,5 ⋅10
I
f
= = = 6,495 A
3 ⋅U
3 ⋅ 400
S
f
3
P 4,5 ⋅10
a průtok Q = =
= 1, 612
60 ⋅ ∆θ
⋅ c 60 ⋅ 40 ⋅1,163
l / min
Příklad 3.5
El. průtokový ohřívač o příkonu 5 kW je určen k napájení z trojfázové sítě o napětí 3 x 400 V.
Určete příkon ohřívače při jeho připojení na síť 3 x 380 V a odpojení jedné fáze (např.
pojistkou) a to v případě zapojení topných článků do hvězdy.
Zadáno: P = 5 kW, U = 3 x 400 V, spotřebič zapojen do Y
Určit: Výkon při napětí 3 x 380 V a při přerušení jedné fáze,
Řešení:
2
2
U
f U
S 400
P = 3⋅U
⋅ I
f
= 3⋅U
f
⋅ ⇒ R = = = 32
R P 5000
když R je odpor jedné fáze a U = 3 ⋅U
f
Ω
U
2 380 2
S
Při napětí 380 V je P = = = 4512, 5 W
R 32
Při odpojení jedné fáze
U
S
I = =
2 ⋅ R
380
64
= 5,9375 A
S
f
U S
I s
I s
I
R
R
R
I s
3

P = U
s
⋅ I = 380 ⋅ 5,9375 = 2256,25 W
Příklad 3.6
Elektrický průtokový ohřívač o příkonu 5 kW je určen k napájení z trojfázové sítě o napětí 3 x
400 V. Určete příkon ohřívače při jeho připojení na síť 3 x 380 V a při odpojení jedné fáze
(např. pojistkou) a to v případě zapojení spotřebiče do trojúhelníka.
Zadáno: P = 5 kW, U = 3 x 400 V, cosϕ = 1
Určit: Výkon při napětí 3 x 380 V a při přerušení jedné fáze
Řešení:
P 3 ⋅U
⋅ I ⇒ I = 7,22 A
=
S S S
= I
I S
3 = 4,16
f
A
U
f
U 400
R
f
= ale ⇒ =
S
U
f
U
S
R
f = = 96 Ω
I
I 4,16
P = 3⋅U
f
f
⋅ I
f
= 3⋅U
S
U
S
⋅
R
=
f
380
= 3⋅
96
2
= 4512 W
Přerušení jedné fáze:
R
U S
R
R
I
⇒
I
R
R
R
⇒
I
R tot
96 ⋅192
U
S 380
R
tot
= = 64 Ω I = = 5, 9375 A
96 + 192
R 64
P = U
S
⋅ I = 380 ⋅ 5,9375 = 2256,25 W
=
tot
Příklad 3.7
El. trojfázová pec, zapojená do trojúhelníku odebírá při připojení na síť s napětím U s = 400 V
proud I = 15 A při účiníku cosϕ = 1. Jaký je příkon pece a kolik kWh spotřebuje při
šestihodinovém chodu
Zadáno: U s = 400 V, I = 15 A, cosϕ = 1, zapojení D
Určit: Příkon a spotřebu při šestihodinovém chodu.
Řešení:
P = 3 ⋅U
s
⋅ I ⋅ cosϕ
= 3 ⋅ 400 ⋅15
= 10400 W = 10,4 kW
práce W = P ⋅t
= 10 ,4 ⋅ 6 = 62, 4 kWh
4

Příklad 3.8
Na štítku trojfázového el. motoru, který je zapojen do trojúhelníku jsou údaje: P N = 5 kW,
U N = 690/400 V, cosϕ = 0,8, η N = 85 %. Jak velký je činný, zdánlivý a jalový příkon, proud
ve vedení, jeho činná a jalová složka a proud v jedné fázi statoru
Zadáno: P N = 5 kW, U N = 690/400 V, cosϕ N = 0,8, η N = 85 %.
Určit: P p , S, Q, I, I P , I Q , I f
Řešení:
PN
5
Činný příkon PpN
= = = 5, 88 kW
−2
η
N 85 ⋅10
PpN
5,88
Zdánlivý příkon S
N
= = = 7, 35 kVA
cosϕ
0,8
N
Jalový příkon Q ⋅ sin ϕ = 7,35 ⋅ 0,6 = 4, 35 kvar kde sinϕ = 1− cos
2 ϕ
N
= S N N
3
S
N 7,35 ⋅10
Proud ve vedení I
N
= = = 10, 6 A
3 ⋅U
3 ⋅ 400
N
Činná složka proudu ve vedení I P
= I ⋅ cos ϕ = 10,6 ⋅ 0,8 = 8, 48 A
Jalová složka proudu ve vedení I Q
= I ⋅sin ϕ = 10,6 ⋅ 0,6 = 6, 36 A
10,6
Proud ve vinutí jedné fáze I = I
f
= = 6, 12 A
3 1,732
Příklad 3.9
Stanovte průřez vodiče dlouhého 15 m pro trojfázový el. motor výkonu P = 3 kW na napětí 3
x 230 V. El. motor pracuje při účiníku cosϕ = 0,83 a s účinností η = 0,82. Dovolený úbytek
napětí na přívodním vedení je 1 %.
Zadáno: l =15 m, P = 3 kW, U = 3 x 400 V, cosϕ = 0,83, η = 0,82,
Určit: průřez vodiče S
Řešení:
P 3
Příkon motoru P p = = = 3, 65 kW
η 0,82
Pp
Vedením prochází proud I =
= 11, 04 A
3 ⋅U
⋅ cosϕ
ρ = 0,0178 ⋅10
−6
Ω ⋅ m
Dovolený úbytek napětí je 1 %, tj. 4 V. Je to ovšem sdružený úbytek, který musíme přepočítat
na fázový, abychom mohli vypočítat odpor a z něho průřez jedné fáze.
∆U
4
Proto ∆U f
= = = 2, 309 V
3 1,732
∆U
f
takže vedení smí mít odpor R = = 0, 209 Ω
I
5

ρ ⋅ l 0,0178 ⋅15
a z toho průřez vodiče (pro měď) S = = = 1, 277
R 0,209
čemuž odpovídá průřez 1,5 mm 2 .
mm 2
Příklad 3.10
Jak velký je úbytek napětí v trojfázové přípojce délky 400 m s průřezem vodiče 25 mm 2 (Cu)
ke spotřebiči s příkonem P = 20 kW při napětí U = 3 x 400 V.
Pozn.: Přihlížíme jen k odporu vedení.
Zadáno: délka = 400 m, S = 25 mm 2 , P = 20 kW, U = 3 x 400 V, cosϕ = 1, ρ = 0,0178 . 10 -6
Ω . m
Určit: ∆U
Řešení:
l 400
R V
= ρ ⋅ = 0 ,0178 ⋅ = 0,285 Ω
S 25
3
P 20 ⋅10
I P proudu ve vedení I P
= I ⋅ cosϕ = = = 28, 87 A
3 ⋅U
1,732 ⋅ 400
Když uvažujeme cosϕ = 1
Úbytek napětí ∆U = I ⋅ R = 28 ,87 ⋅ 0,285 = 8, 23 V
f
P
∆U
f 8,23
v procentech ∆u
= 100 ⋅ = 100 ⋅ = 3,58%
U 230
f
V
Příklad 3.11
Jaké jsou výkonové poměry trojfázového spotřebiče zapojeného do hvězdy tvořené
impedancemi Z = 100 ∠30 °, v trojfázové síti 3 x 400/230 V, 50 Hz.
Zadáno: Z = 100 ∠30 °, U = 3 x 400/230 V, f = 50 Hz
Určit: S, P, Q
Řešení:
Velikost impedancí je Z = 100 Ω, jejich fáze je 30°, cos ϕ = cos30°
= 3 / 2 = 0, 866 a
sin ϕ = sin 30°
= 0,5 .
U
f 230
Proud tekoucí impedancí I = = = 2, 3 A
Z 100
Zdánlivý výkon S = 3 ⋅U
⋅ I = 3 ⋅ 400 ⋅ 2,3 = 1593, 48 A
Činný výkon P = 3 ⋅U
⋅ I ⋅ cosϕ
= 3 ⋅ 400 ⋅ 2,3 ⋅ 0,866 = 1379, 96 W
Jalový výkon Q = 3 ⋅U
⋅ I ⋅sinϕ
= 3 ⋅ 400 ⋅ 2,3 ⋅ 0,5 = 796, 74 var
Příklad 3.12
Transformovna závodu napájí tři haly 1, 2, 3 dle obr. 1, trojfázovou soustavou se sdruženým
napětím U S = 400 V, 50 Hz. V určitém čase ukazují měřící přístroje na rozváděči tyto činné
6

výkony a proudy odebírané jednotlivými halami, ve kterých jsou jen souměrné spotřebiče
induktivního charakteru.
P 1 = 222 kW P 2 = 250 kW P 3 = 135 kW
I 1 = 365 A I 2 = 390 A I 3 = 205 A
Vypočítejte celkový účiník (cosϕ) závodu v místě jeho napájení a celkový proud, odebíraný
ze sekundáru transformátoru.
Zadáno: P 1 = 222 kW, P 2 = 250 kW, P 3 = 135 kW, I 1 = 365 A, I 2 = 390 A, I 3 = 205 A
Obr. 1
22 kV
I 3
I 1 I 2 I 3
Hala 1
P 1 = 222 kW
Hala 2
P 2 = 250 kW
Hala 3
P 3 = 135 kW
Určit: celkový účiník cosϕ, celkový proud I
Řešení: Zdánlivé výkony hal
S = ⋅U
⋅ I = 3 ⋅ 400 ⋅365
252,879 kVA
1
3
1
=
2
= 3 ⋅U
⋅ I
2
= 3 ⋅ 400 ⋅390
=
3
= 3 ⋅U
⋅ I
3
= 3 ⋅ 400 ⋅ 205 =
S 270,2 kVA
S 142,03 kVA
účiníky jednotlivých hal
P1
222
cosϕ 1
= = = 0,8779 ϕ = 28,6 °
S 252,879
1
P2
250
cosϕ 2
= = = 0,926 ϕ = 22,18 °
S 270,2
2
P3
135
cosϕ 3
= = = 0,9505 ϕ = 18,10 °
S 142,03
3
7

V komplexním tvaru
S = 252,9∠28,
6°
S = 270,2∠22,
2°
S = 142,03∠18,
1°
1
Celkový zdánlivý výkon v komplexní formě
S = S + S + S = 252,9 ⋅ cos 28,6° + j ⋅ sin 28,6°
1
+ 142,03 ⋅
2
2 3
( ) + 270,2 ⋅ ( cos 22,18° + j ⋅ sin 22,18°
)
( cos18,1° + j ⋅ sin18,1°
) = 601,03 + j ⋅ 267,27 = 657,78∠23,97°
činný výkon závodu je reálná složka S.
P 601,03
Celkový účiník závodu cos ϕ = = = 0, 914
S 657,78
S 657780
Celkový proud I = = = 949, 45 A
3 ⋅U
3 ⋅ 400
3
+
Příklad 3.13
Trojfázový generátor v zapojení do Y bez nulového vodiče je zatížen ohmickými odpory R 1 =
20 Ω, R 2 = 30 Ω podle zapojení. Fázové napětí je 220 V. Jak velký je proud v přívodním
vedení Nakreslete fázorový diagram napětí a proudu.
U f1
I 1
I 3
U S1
U f2
R 1
U f3
I 2
U S2
R 2
Zadáno: U f = 230 V, R 1 = 20 Ω, R 2 = 30 Ω, cosϕ = 1
Určit: I 1 , I 2 , I 3 , nakreslit fázorový diagram napětí a proudů.
Řešení:
I
I
U
Uf
⋅
3 230 ⋅
=
20
S
1
= =
=
R1
R1
U
Uf
⋅
3 230 ⋅
=
30
S
2
= =
=
R2
R2
3
3
19,9
A
13,28 A
Proud I 3 , je dán geometrickým součtem proudů I 1 a I 2 ve fázi s napětím na odporech.
8

I m
U f2
U f3
- U f2
U S2
α = 60°
60°
U f1
U S1
- U f2
R e
I 2
I 3
60°
180° - α
I 1
Podle cosinové věty
2 2 2
I = I + I − ⋅ I ⋅ ⋅ cos 180 −α
3 1 2
2
1
I
2
cos
( 180 − α ) = − cosα
( )
2 2
2
2
I = I + I + 2 ⋅ I ⋅ I ⋅ cos60°
= 19,9 + 13,28 + 2 ⋅19,9
⋅13,28
⋅ 0,5 28,92 A
3 1 2 1 2
=
Příklad 3.14
Na trojfázovou síť 3 x 400 V, 50 Hz s vyvedeným středem N je připojena elektrická pec, která
má celkem 6 topných těles s odporem 10 Ω, z nichž vždy dvě jsou spojeny do série v každé
fázi. Vypočítejte proudy tekoucí topnými tělesy při spojení těles do hvězdy a připojení uzlů na
střed N. Jak se změní proudy v přívodních vodičích jestliže na jedné sekci topného tělesa
vznikne zkrat. Nakreslete fázorový diagram napětí a proudů.
9

L 1
I 1
R
N
I N
I 3
I 2
R
R
L 3
R
R
R
L 2
Zadáno: U 1 = U 2 = U 3 = 230 V (fáz. nap), f = 50 Hz, R = 10 Ω, cosϕ = 1
Určit: I 1 , I 2 , I 3, I N
Řešení:
U
1
= U 1
− j120°
U
2
= U
2
⋅ e = U
+ j120°
U
3
= U
3
⋅ e = U
U 1 = U 2 = U 3
Fázové proudy:
2
3
∠ −120°
∠ + 120°
U1
230
I
1
= = = 11,5 A
2 ⋅ R 20
U
2∠ −120°
230
I 2 = = ∠ −120°
= 11,5 A∠
-120°
2 ⋅ R 20
U
3∠ + 120°
230
I
3
= = ∠ + 120°
= 11,5 A∠ + 120°
2 ⋅ R 20
Proud v nulovém vodiči
= I + I + I = 11,5 + 11,5 ⋅ cos −120°
+ j ⋅ sin −120°
+ 11,5 ⋅ cos120° + j ⋅ sin120°
I N
[ ( ) ( )] ( ) 0
1 2 3
=
I m
I 3
U 1
R e
I 2 + I 3
I 1
I 2
Při souměrném zatížení je proud nulovým vodičem roven 0.
10

Při zkratu jedné sekce topného tělesa se změní proudy ve fázích takto:
U
1 230
I
1
= = = 23 A
R 10
Proudy ve fázi I
2
a I
3
se nezmění, potom proud v nulovém vodiči
[ cos( −120°
) + j ⋅sin( −120°
)] + 11,5 ⋅ ( cos120° + j sin120°
)
I N
= I
1
+ I
2
+ I
3
= 23 + 11,5 ⋅
1 3 1 3
= 23 −11,5
⋅ − j ⋅11,5
⋅ −11,5
⋅ + j ⋅11,5
⋅ = 11,5 A
2 2 2 2
I 2 + I 3
I N
=
U 3
I m
I 3
I 2
U 1 I 1
R e
U 2
11