Rotační jednodílný hyperboloid

Rotační
jednodílný
hyperboloid

připomenutí z přednášky z 21.11.2012
rotací hyperboly
x
a
rotační jednodílný hyperboloid
2
2
b
z
2
2
1
kolem její vedlejší osy o(o=z) vznikne
1
PROBLÉM Co je řezem této plochy rovinou kolmou k ose
x
a
2
2
y
a
2
2
z
b
2
2
x
a
2
2
y
a
2
2
z
b
2
2
1
z
k
x
a
2
2
y
a
2
2
1
k
b
2
2
pro libovolné kR kružnice,
která má střed na ose o=z a poloměr r, kde
r
k
1
b
2
2

Řezy jednodílného rotačního hyperboloidu
rovinou rovnoběžnou s osou o
x
a
2
2
y
a
2
2
z
b
2
2
1
S=[0,0,0] , o z
x
a
2
2
y
a
2
2
z
b
2
2
1
y
k
x
a
2
2
z
b
2
2
1
k
a
2
2
tzn. řezy rovinou rovnoběž. s nárysnou
1. k ±a ……. hyperbola
2
k
a) 0 ..... hlavní osa hyperboly – osa x
a
1
2
2
b) k
0
..... hlavní osa hyperboly – osa z
a
1
2

Řezy jednodílného rotačního hyperboloidu
rovinou rovnoběžnou s osou o
x
a
2
2
y
a
2
2
z
b
2
2
1
S=[0,0,0] , o z
x
a
2
2
y
a
2
2
z
b
2
2
1
y
k
x
a
2
2
z
b
2
2
1
k
a
2
2
tzn. řezy rovinou rovnoběž. s nárysnou
2. k = a …….
2 2 2
x y z
2 2 2
a a b
x z
tzn.
0
a b
2 2
1 y a
2 2
x
a
z
b
0
x
a
z
b
0
řezem jsou dvě různoběžné přímky p, q
b
p : z x y a,
q : z
a
b
a
x
y a
obdobně pro rovinu y = -a
platí též pro ostatní roviny, které jsou rovnoběžné s osou rotačního hyperboloidu

Řezy jednodílného rotačního hyperboloidu rovinou rovnoběžnou s osou o
x
a
2
2
y
a
2
2
z
b
2
2
1
S=[0,0,0] , o z
2 2 2
x y z
2 2 2
a a b
x z
tzn.
0
a b
2 2
1 y a
2 2
x
a
z
b
0
b
p : z x y a,
q : z
a
b
a
x
a
x
z
b
0
řezem jsou dvě různoběžné přímky p, q
y a
vzájemná poloha přímek p, q a osy o
p, o jsou mimoběžné přímky ,
q, o jsou též mimoběžné přímky
p, q jsou rovnoběžné s asymptotami dané
hyperboly - OPRAVDU
hyperboloid vznikl rotací hyperboly
x
a
2
2
asymptoty této hyperboly:
platí
z
b
2
2
1
y 0
kolem osy z
~ b
:
0, ~ b
p z x y q : z x y 0
a
a
p ~ p q q~
rotací těchto asymptot vznikne
rotační asymptotická plocha

Jednodílný rotační hyperboloid
plocha vzniklá rotací hyperboly kolem vedlejší osy
Je-li obrysem rotačního hyperboloidu
hyperbola, jejími asymptotami je obrys
příslušné asymptotické kuželové
plochy.
Vrchol V asymptotické kuželové plochy
splývá se středem S rotačního
hyperboloidu, tzn. je středem hrdelní
(nejmenší) kružnice.

Jednodílný rotační hyperboloid
plocha vzniklá rotací přímky p kolem osy o, která je s ní mimoběžná

Přímky na jednodílném rotačním hyperboloidu
• Přímky na jednodílném rotačním
hyperboloidu jsou mimoběžné s osou rotace
• Existují dva systémy (reguly) přímek:
p-přímky a q-přímky.
• Každé dvě přímky jednoho regulu jsou navzájem mimoběžné.
• Každá p-přímka protíná každou q-přímku.
• Každým bodem plochy prochází právě jedna p-přímka a právě jedna
q-přímka. Tyto určují tečnou rovinu plochy v daném bodě.

Bod na jednodílném rotačním hyperboloidu
skriptum ČERKOČ str.146
Postup:
1. půdorys r 1 rovnoběžk.kružnice r bodu A
2. nárys r 2 resp. r´2 rovnoběžk. kružnice r
bodu A – užitím bodu K příp. L
3. body A 2 ,resp. A´2
obdobně pro bod B
1. nejdříve nárys r 2 rovnoběžk.kružnice r
bodu B
2. půdorys r 1 rovnoběžk.kružnice r bodu B
– užitím bodu K
3. body B 1 resp. B´1

Střed a asymptotická kuželová plocha rotačního
hyperboloidu
Řešení:
1. půdorys h 1 hrdelní kružnice h
2. nárys h 2 hrdelní kružnice h – užitím
bodu H
3. střed S plochy - S 1 a S 2
4. řez plochy půdorysnou - r 1 a r 2
5. přímka p´ asymptotické kuželové
plochy – p´ p Sp´
6. stopník P přímky p
7. obrys asymptotické kuželové plochy
daného hyperboloidu mezi rovinou
středu plochy a půdorysnou

Otáčení tvořící přímky na jednodílném rotačním
hyperboloidu skriptum ČERKOČ str.147
Řešení:
Využití rovnoběžkových kružnic r A a r B
bodů A a B
POZOR
Nutno otáčet OBA body
• o stejný úhel (zde 60 o )
• ve stejném směru
(zde po směru hodinových ručiček)

Otáčení tvořící přímky na jednodíl. rotač. hyperboloidu
skriptum ČERKOČ str.147 – užitím hrdelní kružnice
Řešení:
Půdorys každé přímky ležící přímky na
daném rotačním hyperboloidu - tečna
hrdelní kružnice h 1
přímka jednoznačně určena 2 body
(pro nárys přímky p 1 využijeme kromě
bodu H ještě další bod – např. stopník
A 1 přímky p 1 (stopníky všech přímek na RH
musí ležet na příslušné rovnoběžk. kružnici))

Tečná rovina plochy
Tečná rovina plochy v jejím regulárním
bodě T obsahuje všechny tečny všech
křivek procházejících bodem T.

Tečná rovina jednodílného rotačního hyperboloidu
hledáme tedy p-přímku a q-přímku
procházející bodem T
Řešení:
užitím hrdelní kružnice h
tečná rovina (p T , q T ) zobrazena
pro bod T, pro který platí: z T z S