1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 Zadanie 1. Wygeneruj szkody dla ...
1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 Zadanie 1. Wygeneruj szkody dla ... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 Zadanie 1. Wygeneruj szkody dla ...
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 Zadanie 1. Wygeneruj szkody dla polis z kolejnych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jednej polisy. Wygeneruj wartości X szkód wg rozkładu P (X = 100) = 0, 5, P (X = 200) = 0, 25, P (X = 500) = 0, 25. Szkody o wartości 500 są regulowane w roku następnym szkody o pozostałych wartościach w roku zajścia. Wylicz składki na każdy rok w następujący sposób: składka I: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następnych składka=średnia ze szkód wypłaconych w roku poprzednim razy częstość szkód w roku poprzednim razy 1,1 składka II: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następnych - w roku n - składka=średnia ze szkód zaistniałych w roku n − 2 razy częstość szkód w roku n − 2 razy 1,1 Którą z metod uważasz za rozsądniejszą i dlaczego. Uwaga: Średnia ze szkód i częstość szkód jest liczona na podstawie symulacji. Wyniki przedstaw w tabelach. Wyznacz też składki nie opierając się na symulacjach ale na parametrach odpowiednich rozkładów. Porównaj wyniki. Szkody uregulowane (K - liczba , s - wartość) l.polis l.szkód 1980 1981 1982 1983 1984 1985 K s K s K s K s K s K s 1980 1000 1981 4000 1982 8000 1983 6000 1984 4000 1985 4000 suma średnia Wielkość szkód do zapłaty w roku 1986 = Porównanie składek rok składka kwota wartość H1-S składka kwota H2-S I składek H1 szkód S II składek H2 1980 25 25000 25 25000 1981 25 100000 1982 1983 1984 1985 suma suma
- Page 2 and 3: Agata Boratyńska Statystyka aktuar
- Page 4: Agata Boratyńska Statystyka aktuar
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 1<br />
<strong>ZADANIA</strong> <strong>NA</strong> ĆWICZENIA 3 I 4<br />
<strong>Zadanie</strong> <strong>1.</strong><br />
<strong>Wygeneruj</strong> <strong>szkody</strong> <strong>dla</strong> polis z kolejnych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9,<br />
gdzie N jest liczbą szkód z jednej polisy. <strong>Wygeneruj</strong> wartości X szkód wg rozkładu<br />
P (X = 100) = 0, 5, P (X = 200) = 0, 25, P (X = 500) = 0, 25. Szkody o wartości<br />
500 są regulowane w roku następnym <strong>szkody</strong> o pozostałych wartościach w roku zajścia.<br />
Wylicz składki na każdy rok w następujący sposób:<br />
składka I: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następnych składka=średnia ze<br />
szkód wypłaconych w roku poprzednim razy częstość szkód w roku poprzednim razy 1,1<br />
składka II: w latach 1980-1981 składka po 25, w latach następnych - w roku n - składka=średnia<br />
ze szkód zaistniałych w roku n − 2 razy częstość szkód w roku n − 2 razy<br />
1,1<br />
Którą z metod uważasz za rozsądniejszą i <strong>dla</strong>czego.<br />
Uwaga: Średnia ze szkód i częstość szkód jest liczona na podstawie symulacji.<br />
Wyniki przedstaw w tabelach. Wyznacz też składki nie opierając się na symulacjach ale<br />
na parametrach odpowiednich rozkładów. Porównaj wyniki.<br />
Szkody uregulowane (K - liczba , s - wartość)<br />
l.polis l.szkód 1980 1981 1982 1983 1984 1985<br />
K s K s K s K s K s K s<br />
1980 1000<br />
1981 4000<br />
1982 8000<br />
1983 6000<br />
1984 4000<br />
1985 4000<br />
suma<br />
średnia<br />
Wielkość szkód do zapłaty w roku 1986 =<br />
Porównanie składek<br />
rok składka kwota wartość H1-S składka kwota H2-S<br />
I składek H1 szkód S II składek H2<br />
1980 25 25000 25 25000<br />
1981 25 100000<br />
1982<br />
1983<br />
1984<br />
1985<br />
suma<br />
suma
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 2<br />
<strong>Zadanie</strong> 2. (egzaminy aktuarialne) Portfel składa się z n = 1000 niezależnych jednorodnych<br />
ryzyk. Dla pojedynczego ryzyka wartość oczekiwana roszczeń jest równa 10 i odchylenie<br />
standardowe też jest równe 10. Niech S oznacza sumaryczną wartość roszczeń w portfelu.<br />
Składka przypadająca na pojedyncze ryzyko wynosi H i została skalkulowana tak aby<br />
P (S > nH) = 0, 01,<br />
przy czym to prawdopodobieństwo obliczono korzystając z aproksymacji rozkładem normalnym.<br />
Przypuśćmy, że możemy objąć ubezpieczniem dodatkowych n 1 niezależnych ryzyk, <strong>dla</strong><br />
których wartość oczekiwana roszczeń jest równa 10 ale odchylenie standardowe jest równe<br />
15. Dla nowych ryzyk składka powinna być tej samej wysokości H. Niech S 1 oznacza<br />
sumaryczną wartość roszczeń w portfelu nowych ryzyk. Wyznacz n 1 aby<br />
P (S + S 1 > (n + n 1 )H) 0, 0<strong>1.</strong><br />
<strong>Zadanie</strong> 3. (egzaminy aktuarialne) Ubezpieczyciel ma portfel liczący 9644 terminowych<br />
polis na życie z terminem jednego roku. Prawdopodobieństwo zgonu każdego z ubezpieczonych<br />
wynosi 0,01, a świadczenie wynosi b. Ubezpieczyciel pobiera składkę w wysokości<br />
125% składki netto. Reasekurator w zamian za zobowiązanie pokrycia ab w razie śmierci<br />
ubezpieczonego żąda 150% swojego udziału w składce netto. Ubezpieczyciel chce utrzymać<br />
prawdopodobieństwo straty na udziale własnym w tym portfelu na poziomie 0,05.<br />
Nie ma kosztów, stopa procentowa jest zerowa. Wyznacz wskaźnik a ∈ [0, 1]. Zastosuj<br />
aproksymację rozkładem normalnym.<br />
<strong>Zadanie</strong> 4. Rozważmy następujący portfel ubezpieczeń życiowych.<br />
k nr grupy n k - liczba ryzyk b k - świadczenie<br />
1 8000 1<br />
2 3500 2<br />
3 2500 3<br />
4 1500 5<br />
5 500 10<br />
Prawdopodobieństwo zgonu we wszystkich grupach jest jednakowe i wynosi 0,02. Towarzystwo<br />
ubezpieczeniowe zastanawia się nad reasekuracją z poziomem retencji r przy koszcie<br />
jednostki pokrycia c.<br />
a) Dysponując kapitałem ze składek w wysokości 825 oszacuj prawdopodobieństwo, że<br />
łączna wartość wypłat i kosztów reasekuracji przekroczy tę kwotę, przy założeniu, że<br />
r = 2 i c = 0, 025.<br />
b) Dobierz r ∈ [3, 5), tak aby prawdopodobieństwo zdarzenia z punktu a było najmniejsze.
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 3<br />
<strong>Zadanie</strong> 5. Portfel składa się z 2 niezależnych subportfeli. Wyznaczono charakterystyki<br />
łącznej wartości szkód <strong>dla</strong> tych subportfeli. Przedstawia je tabela.<br />
Wartość oczekiwana wariancja skośność γ<br />
subportfel I 5 9 2<br />
subpotrfel II 15 16 0,25<br />
Rozkład łącznej wartości szkód z całego portfela aproksymujemy przesuniętym rozkładem<br />
gamma, zakładając, że trzy pierwsze momenty obu rozkładów są równe. Wyznacz<br />
parametry rozkładu gamma.<br />
<strong>Zadanie</strong> 6. Rozważmy trzy grupy ryzyka<br />
k n k - liczba q k - p-stwo<br />
polis w k-tej grupie <strong>szkody</strong><br />
1 100 0.1<br />
2 150 0.2<br />
3 200 0.08<br />
Wartość <strong>szkody</strong> jest równa 2. Wyznacz składkę łączną H w każdej grupie osobno i łącząc<br />
grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem<br />
normalnym i rozkładem gamma.<br />
<strong>Zadanie</strong> 7. <strong>Wygeneruj</strong> 1000 polis wg modelu indywidualnego z prawdopodobieństwem<br />
<strong>szkody</strong> q = 0, 2 i wartością <strong>szkody</strong> a) Y ∼ Ex(0, 01) b) Y ∼ P areto(5, 400). Na podstawie<br />
otrzymanych danych oszacuj odpowiednie parametry rozkładu liczby i wartości szkód, a<br />
następnie korzystając z tych estymatorów oszacuj składkę łączną H, <strong>dla</strong> portfela złożonego<br />
z 1000 polis tego samego typu, tak, by P (S > H) = 0, 05, gdzie S suma szkód. Zastosuj<br />
aproksymację rozkładem normalnym i gamma. Wylicz też H wykorzystując rzeczywiste<br />
parametry rozkładu, a nie wartości estymatorów otrzymanych na podstawie próby losowej.<br />
Przeprowadź 100000 symulacji portfela złożonego z 1000 polis o parametrech ryzyka jak<br />
na początku treści zadania, <strong>dla</strong> każdej symulacji oblicz sumę szkód i traktując otrzymane<br />
wyniki jako próbke rozkładu zmiennej S wyznacz oszacowanie składki jako odpowidni<br />
kwantyl próbkowy. Porównaj wyniki z wcześniej otrzmanymi oszacowaniami.<br />
<strong>Zadanie</strong> 8. Dla pewnego portfela ryzyk liczba szkód ma rozkład Poissona z wartością<br />
oczekiwaną 10, wysokość pojedynczej <strong>szkody</strong> jest zmienną o rozkładzie Ex(1/200). Ubezpieczyciel<br />
pokrywa nadwyżkę <strong>szkody</strong> ponad 100. Podaj wartość oczekiwaną, wariancję i<br />
współczynnik asymetrii γ sumy wypłaconych odszkodowań.<br />
<strong>Zadanie</strong> 9. Liczba szkód N z ryzyka ma rozkład geometryczny<br />
P (N = k) = p(1 − p) k <strong>dla</strong> k = 0, 1, 2, . . .
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna . . . 4<br />
Wartość pojedynczej <strong>szkody</strong> X i ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1/θ.<br />
Wyznacz dystrybuantę, gęstość i funkcję tworzącą momenty rozkładu zmiennej<br />
S N =<br />
{ ∑Ni=1<br />
X i gdy N > 0<br />
0 w p.p.<br />
<strong>Zadanie</strong> 10. Rozważmy trzy grupy ryzyka, liczba szkód <strong>dla</strong> każdego ryzyka jest zmienną<br />
o rozkładzie Poissona (parametry podaje tabela).<br />
k n k - liczba λ k - oczekiwana<br />
polis w k-tej grupie liczba szkód<br />
1 100 0.1<br />
2 150 0.2<br />
3 200 0.08<br />
Wartość <strong>szkody</strong> jest równa 2. Wyznacz składkę łączną H w każdej grupie osobno i łącząc<br />
grupy po dwie według zasady P (S > H) = 0, 02 stosując aproksymację rozkładem<br />
normalnym i rozkładem gamma. Porównaj wyniki z wynikami zadania 6.<br />
<strong>Zadanie</strong> 1<strong>1.</strong> Rozważamy portfel ryzyk<br />
k n k - liczba q k - p-stwo b k<br />
polis w k-tej grupie roszczenia - wartość<br />
1 1000 0.004 10000<br />
2 1500 0.0035 20000<br />
3 2500 0.003 100000<br />
TU chce zawrzeć kontrakt reasekuracyjny o współczynniku retencji M w przedziale<br />
(20000, 100000) za składkę równą 130% oczekiwanego kosztu pokrytych szkód przez reasekuratora.<br />
Niech S(M) oznacza odszkodowania pokryte przez ubezpieczyciela przy limicie<br />
reasekuracji M. Podaj parametry złożonego rozkładu Poissona jako aproksymacji <strong>dla</strong><br />
zmiennej S(M). Stosując aproksymację złożonym rozkładem Poissona wyznacz ES(M)<br />
i V arS(M). Wyznacz M, przy którym prawdopodobieństwo zdarzenia, że S(M) plus<br />
opłata za reasekurację przekroczą poziom 1135000 jest najmniejsze (zastosuj do złożonego<br />
rozkładu Poissona aproksymację rozkładem normalnym).