Rozprawa doktorska - WydziaÅ‚ Fizyki, Astronomii i Informatyki ...

Uniwersytet Mikołaja Kopernika 

Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej 

Rozprawa doktorska 

Potencjały efektywne dla 

rozpraszania elektronów na atomach 

Krzysztof Żebrowski 

Promotor: Dr hab. Grażyna Staszewska, prof. UMK 

Toruń, 2013

Pamięci mojego Dziadka, którego nie dane było mi poznać oraz wspomnieniu mojej 

Babci, która pomogła w początkach mojej drogi życiowej pracę niniejszą dedykuję.

Dziękuję Prof. Grażynie Staszewskiej za pomoc i opiekę 

naukową. Podziękowania pragnę skierować do całego Zakładu Mechaniki Kwantowej za 

okazaną życzliwość i wsparcie.

Spis treści 

Spis treści 

i 

Wstęp 1 

1 Rozpraszanie elektronu na atomie 5 

1.1 Sprzężone równania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.2 Potencjał optyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.3 Potencjał optyczny drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.4 Relacja dyspersyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.5 Uśredniony potencjał optyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

1.6 Rozpraszanie elastyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2 Potencjał absorpcyjny oparty na modelu prawie swobodnych elektronów 

15 

2.1 Model kwaziswobodnego rozpraszania z blokowaniem Pauliego . . . . . . . 15 

2.2 Blokowanie Pauliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.3 Założenia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.4 Przybliżenie bocznego rozpraszania (sideways approximation) . . . . . . . 19 

3 Modyfikacje potencjału absorpcyjnego opartego na modelu prawie 

swobodnych elektronów 20 

3.1 Ogólna postać modelu frywolnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

3.2 Oryginalny model frywolny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.3 Frywolny model potencjału wersja 2 i 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.3.1 Wersja 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.3.2 Wersja 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.4 Model frywolny potencjału z przybliżeniem bocznego rozpraszania . . . . 23 

3.5 Przeskalowany model frywolny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.6 Model frywolny z poprawkami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.6.1 Potencjał V A 

fc1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

i

SPIS TREŚCI 

ii 


fc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 


fc3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

4 Test nieempirycznych modeli potencjałów efektywnych, elastyczne 

rozpraszanie elektronów na atomach neonu 27 

4.1 Potencjały polaryzacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

4.1.1 Potencjał typu Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

4.1.2 Adiabatyczny potencjał polaryzacyjny Hartree-Fock’a . . . . . . . 28 

4.1.3 Przybliżona relacja dyspersyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

4.2 Potencjały absorpcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

4.2.1 Wersje modelu frywolnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 


g Green’a, Rio i Uedy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

4.2.3 Pominięcie potencjału absorpcyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

4.3 Funkcja błędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

4.4 Wyniki i dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

5 Poprawki empiryczne do potencjału absorpcyjnego opartego na modelu 

kwazi-swobodnego rozpraszania 45 

5.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

5.2 Teoria i obliczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

5.3 Zbiory danych, funkcja błędu i optymalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

5.4 Wyniki i dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

6 Lokalne zależne od energii potencjały otrzymane ze znajomości przekrojów 

czynnych 59 

6.1 Potencjały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 

6.2 Parametry potencjałów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

6.3 Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

6.4 Podsumowanie i wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

Podsumowanie 72 

A Wyprowadzenie wzoru na potencjał absorpcyjny dla modelu QFSM 74 

B Dane doświadczalne 87 

C Algorytm genetyczny 94 

D Wyniki obliczeń dla rozpraszania elektronów na atomach helu 96 

E Wyniki obliczeń dla rozpraszania elektronów na atomach neonu 100

SPIS TREŚCI 

iii 

F Wyniki obliczeń dla rozpraszania elektronów na atomach argonu 105 

Spis rysunków 111 

Spis tabel 115 

Bibliografia 117

Wstęp 

Rozpraszanie elektronów (pozytonów) na atomach i drobinach jest jednym z podstawowych 

zagadnień, którymi zajmuje się mechanika kwantowa od momentu powstania. 

W zakresie nierelatywistycznych energii zderzeniowych oraz przy zaniedbaniu magnetycznych 

i spinowych oddziaływań, proces rozpraszania elektronów na atomach lub drobinach 

opisywany jest nierelatywistycznym równaniem Schrödingera z zadanymi warunkami 

brzegowymi. Hamiltonian układu jest sumą operatorów energii kinetycznej cząstek 

oraz kulombowskich oddziaływań między naładowanymi cząstkami układu. Nawet w takiej 

uproszczonej postaci zagadnienie to jest złożonym kwantowo-mechanicznym problemem 

wielu ciał i jego opis musi być przybliżony. Powstało wiele przybliżonych metod, 

których stosowalność i efektywność zależy od wielu czynników np. od energii cząstek 

padających, od rodzaju tarczy, na której rozpraszane są elektrony lub od rodzaju informacji, 

którą chcemy uzyskać [1, 2, 3]. 

Równanie Schrödingera opisujące rozpraszanie cząstek na złożonej tarczy może być 

formalnie przekształcone do postaci nieskończonego układu równań sprzężonych. Macierzą 

sprzęgającą jest macierz lokalnego potencjału statycznego i dla elektronów nielokalnego 

potencjału wymiennego. Układ ten może zostać przekształcony do równoważnego 

skończonego układu równań sprzężonych za cenę pojawienia się dodatkowego wyrazu będącego 

skomplikowanym, nielokalnym i zależnym od energii operatorem. Operator ten 

pełni rolę podobną do roli potencjału i nosi nazwę potencjału optycznego [4, 5]. Dla energii, 

dla których w potencjale optycznym znajdują się kanały otwarte operator ten jest 

niehermitowski. Część hermitowska potencjału nosi nazwę potencjału polaryzacyjnego. 

Część niehermitowska, która jest operatorem ujemnie określonym nazywa się potencjałem 

absorpcyjnym. Część hermitowska i niehermitowska potencjału optycznego powiązane są 

relacją dyspersyjną [4, 6, 7]. W ramach tego formalizmu rozpraszanie elastyczne jest 

opisane przy pomocy jednego równania mającego postać podobną do równania dla rozpraszania 

cząstki bez struktury na potencjale (w którym zawarta jest cała informacja o 

tarczy). Formalnie równanie jest ścisłe i nie może być rozwiązane bez przybliżeń. Najczęściej 

używane przybliżenia to rozwinięcie potencjału optycznego w szereg i obcięcie 

tego szeregu lub znalezienie lokalnego potencjału efektywnego opisującego najważniejsze 

1

SPIS TREŚCI 2 

dla danej energii efekty polaryzacyjne i absorpcyjne. W zależności od energii kinetycznej 

cząstki padającej mogą zachodzić w układzie różne fizyczne procesy [8, 9]. Oznaczmy odpowiednio 

przez T , ∆ oraz I energię kinetyczną cząstki padającej, różnicę energii między 

stanem podstawowym a pierwszym stanem wzbudzonym oraz energię jonizacji tarczy. 

Dla energii bardzo niskich, T < ∆, możliwe jest tylko rozpraszanie elastyczne, istotną 

rolę odgrywa rozpraszanie fali s i efektywne są metody wariacyjne. 

Dla energii niskich, ∆ < T 

na wzbudzeniu tarczy. Metody wariacyjne wymagają uwzględnienia wszystkich kanałów 

otwartych a ich efektywność zależy od ich ilości. 

Energie pośrednie nie mają już dokładnie określonych granic, przyjmuje się, że obejmują 

zakres I < T < 15I. Górna granica jest w przybliżeniu określona energią dla 

której można stosować przybliżenie Borna lub inne metody iteracyjne właściwe dla energii 

wysokich. W zakresie energii pośrednich możliwe są wszystkie procesy: rozpraszanie 

elastyczne, wzbudzenie i jonizacja. Wszystkie kanały są otwarte. Metody wariacyjne przestają 

być efektywne a metody iteracyjne nie są jeszcze zbieżne. Metodą opisu najczęściej 

stosowaną w zakresie energii pośrednich jest metoda lokalnych potencjałów efektywnych. 

Lokalne przybliżenia do potencjału optycznego wypracowane do opisu elastycznego 

rozpraszania elektronów na atomach są również szeroko stosowane do opisu elastycznego 

rozpraszania elektronów na drobinach, między innymi na drobinach organicznych występujących 

w kwasach rybonukleinowym (RNA) i deoksyrybonukleinowym (DNA) takich 

jak cytozyna, adenina, guanina, tymina czy uracyl [10, 11, 12, 13]. 

Potencjał optyczny jest funkcją energii, więc potencjały efektywne też powinny być 

funkcją energii. Zależność ta może być jednak bardziej skomplikowana ponieważ lokalizacja 

wprowadza dodatkową zależność od energii [2]. Powstaje również pytanie czy relacja 

dyspersyjna obowiązująca dla potencjałów nielokalnych może być pomocna przy modelowaniu 

potencjałów lokalnych. 

Część urojona potencjału optycznego jest trudniejsza do modelowania. Nieempiryczny, 

zależny od energii potencjał absorpcyjny oparty na modelu prawie swobodnych elektronów 

jest jednym z częściej używanych potencjałów [14]. Jego wadą jest zaniżanie 

wartości różniczkowych przekrojów czynnych dla dużych kątów rozpraszania. Ostatnio 

ukazało się kilka prac, w których proponuje się zarówno nieempiryczne jak i empiryczne 

poprawki do tego modelu [15, 16, 17, 18, 19, 20]. Jak wyjaśnimy w rozdziale drugim potencjał 

absorpcyjny oparty na modelu prawie swobodnych elektronów jest znany również 

pod nazwą modelu frywolnego. 

Poprawność modeli przybliżonych może być sprawdzona przede wszystkim poprzez 

porównanie wyników z danymi doświadczalnymi. 

Celem niniejszej rozprawy jest zbadanie następujących problemów:


1. Ocena efektywności pewnych zaproponowanych w literaturze, nieempirycznych, zależnych 

od energii potencjałów absorpcyjnych opartych na modelu prawie swobodnych 

elektronów [15, 16, 17, 18, 19, 20]. 

2. Zbadanie możliwości otrzymania potencjałów polaryzacyjnych przy pomocy relacji 

dyspersyjnej na podstawie powyższych potencjałów absorpcyjnych. 

3. Zbadanie możliwości uzyskania informacji o potencjałach efektywnych poprzez wygenerowanie 

ich ze znajomości przekrojów czynnych (odwrotny proces zderzeniowy). 

Badania przeprowadzono dla przypadku rozpraszania elektronu na lekkich atomach 

gazów szlachetnych takich jak He, Ne i Ar, dla których istnieje największa liczba danych 

doświadczalnych. Zbiór tych danych doświadczalnych został umieszczony w dodatku B. 

Ocena efektywności poszczególnych potencjałów nie jest zadaniem łatwym, ponieważ 

postać funkcyjna obu potencjałów polaryzacyjnego i absorpcyjnego ma wpływ zarówno 

na całkowite jak i różniczkowe przekroje czynne. 

Układ rozprawy jest następujący: 

W rozdziale pierwszym wyprowadzono wyrażenie na potencjał optyczny wychodząc ze 

stacjonarnego równania Schrödingera oraz przedyskutowano własności wyprowadzonego 

potencjału. 

Rozdział drugi został poświęcony wyprowadzeniu potencjału absorpcyjnego opartego 

na modelu prawie swobodnych elektronów. Szczegółowe, bardzo żmudne obliczenia 

prowadzące do ostatecznej postaci potencjału umieszczono w dodatku A. 

W rozdziale trzecim omówiono zaproponowane w literaturze modyfikacje powyższego 

potencjału absorpcyjnego. 

W następnym rozdziale wprowadzono funkcję błędu służącą do oceny modeli oraz 

dla przypadku rozpraszania elektronu na atomach neonu przebadano różne kombinacje 

potencjałów polaryzacyjnych i absorpcyjnych. Wprowadzona funkcja błędu może służyć 

do optymalizacji parametrów empirycznych zawartych w modelowanych potencjałach z 

warunku żądania minimum. Z reguły parametry nieliniowe są dużo bardziej efektywne 

ale trudniejsze do znalezienia. Z tego powodu do optymalizacji parametrów zarówno liniowych 

jak i nieliniowych występujących w potencjałach użyto algorytmu genetycznego. 

W rozdziale piątym przedyskutowano propozycję modyfikacji potencjału absorpcyjnego 

polegającą na przemnożeniu oryginalnego potencjału absorpcyjnego pochodzącego z 

modelu prawie swobodnych elektronów przez czynnik skalujący zawierający dwa parametry 

[20]. Autorzy chcieli aby wartość parametrów była niezależna od tarczy oraz energii 

cząstki padającej i wybrali je na postawie badania rozpraszania na wielu tarczach ato-


mowych i molekularnych. Algorytm genetyczny posłużył nam do reoptymalizacji tych 

parametrów dla trzech tarcz He, Ne oraz Ar. 

Rozdział szósty poświęcony jest bardzo ważnemu zagadnieniu to jest możliwości 

otrzymania informacji o potencjałach ze znajomości przekrojów czynnych. Dla trzech 

rozważanych poprzednio tarcz zapostulowano postaci funkcyjne potencjału absorpcyjnego 

zawierającego wiele parametrów empirycznych. Zapostulowany potencjał absorpcyjny 

jest taką funkcją energii, która pozwala poprzez relację dyspersyjną uzyskać potencjał 

polaryzacyjny w postaci analitycznej. Parametry zostały otrzymane przez minimalizację 

funkcji błędu przy pomocy algorytmu genetycznego w bardzo szerokim zakresie energii. 

Otrzymane wyniki wskazują, że można otrzymać takie lokalne potencjały efektywne, 

które dają właściwe wartości wszystkich przekrojów czynnych zarówno całkowitych jak 

i różniczkowych w szerokim zakresie energii. 

Dysertację kończy podsumowanie, w którym zawarto perspektywiczne możliwości 

rozszerzenia przedstawionych badań.

Rozdział 1 

Rozpraszanie elektronu na atomie 

Rozpatrujemy problem zderzenia elektronu z obojętnym elektrycznie atomem (tarczą) 

posiadającym N elektronów. Zakładamy, że jądro atomu ma nieskończoną masę i jest 

umieszczone w początku układu odniesienia wprowadzonego do opisu procesu rozproszeniowego. 

Ponieważ rozważane w pracy energie elektronu padającego nie mają wysokich 

wartości, penetracja jądra atomu nie jest możliwa. Rozpatrujemy zatem energie nierelatywistyczne 

a także zaniedbujemy wszelkie oddziaływania magnetyczne i spinowe pomiędzy 

elektronami oraz jądrem atomu. 

Oznaczmy przez: 

• ⃗r i 

• σ i 

współrzędne przestrzenne i-tego elektronu w atomie (i=1,. . . ,N), 

jego współrzędną spinową oraz 

• ⃗s i = (⃗r i , σ i ) 

współrzędne przestrzenno-spinowe i-tego elektronu. 

Zastosujmy identyczną konwencję oznaczeń dla elektronu padającego tj. oznaczmy odpowiednie 

współrzędne padającego elektronu jako ⃗r, σ oraz ⃗s. 

Używamy jednostek atomowych. 

Hamiltonian rozpatrywanego układu (atom plus padający elektron) możemy zapisać 

w postaci: 

Ĥ = ˆT + ĤA + ˆV , (1.1) 

gdzie 

ˆT = − 1 2 △ ⃗r (1.2) 

jest operatorem energii kinetycznej padającego elektronu (operator ten działa jedynie na 

funkcje zależne od współrzędnej przestrzennej elektronu tj. ⃗r), 

Ĥ A = 

N∑ 

i=1 

(− 1 2 △ i − N r i 

) 

+ 

N∑ 

i

ROZDZIAŁ 1. ROZPRASZANIE ELEKTRONU NA ATOMIE 6 

jest hamiltonianem atomu (indeks i przy operatorze nabla oznacza, że działa on tylko na 

funkcje zależne od współrzędnych i-tego elektronu atomowego tj. ⃗r i ) oraz operator 

ˆV = − N r + N ∑ 

i=1 

1 

|⃗r − ⃗r i | 

(1.4) 

opisuje oddziaływanie między padającym elektronem i atomem. 

1.1 Sprzężone równania 

Zakładamy, że znamy układ zupełny stanów własnych atomu tj. znamy rozwiązanie problemu 

własnego postaci: 

Ĥ A Φ q = ε q Φ q , (1.5) 

lub inaczej: 

〈Φ q |ĤA|Φ q ′〉 = ε q δ qq ′, (1.6) 

gdzie q oznacza zbiór liczb kwantowych wyczerpujących opis stanu atomu. Przyjmujemy 

również, że funkcje własne Φ q są funkcjami antysymetrycznymi względem przestawienia 

współrzędnych elektronowych. 

Funkcja falowa Ψ, opisująca cały układ spełnia stacjonarne równanie Schrödingera: 

ĤΨ = EΨ, (1.7) 

gdzie E jest energią całkowitą układu, na którą składa się energia stanu początkowego 

atomu, ε i , oraz energia kinetyczna elektronu padającego, 1 2 p2 i : 

E = ε i + 1 2 p2 i . (1.8) 

W trakcie zderzenia stan wewnętrzny tarczy może ulec zmianie. Oznaczmy energie stanu 

atomu i elektronu po zderzeniu przez ε f i 1 2 p2 f 

energii mamy: 

odpowiednio. Na mocy zasady zachowania 

1 

2 p2 f = 1 2 p2 i + ε i − ε f . (1.9) 

Możliwe stany końcowe układu nazywamy kanałami rozpraszania. Kanał rozpraszania 

nazywamy otwartym gdy po rozproszeniu zachodzi: 

1 

2 p2 f 0, (1.10) 

w przeciwnym wypadku mamy do czynienia z kanałem zamkniętym. Informacja o rozpraszaniu 

zawarta jest w asymptotycznej postaci wieloelektronowej funkcji falowej Ψ. 

Składa się ona z sumy fali padającej i rozchodzącej się fali rozproszonej: 

lim 

r→∞ Ψ(+) i = e i⃗p i·⃗r χ(σ i )Φ i (⃗s 1 , . . . , ⃗s n ) + ∑ f 

′ 

Afi (⃗p i , ⃗p f ) ei⃗p f ·⃗r 

χ(σ f )Φ f (⃗s 1 , . . . , ⃗s n ). (1.11) 

r


Znak prim przy znaku sumacyjnym oznacza, że sumowanie przebiega tylko po kanałach 

otwartych. Fala padająca (pierwszy składnik w wyrażeniu (1.11)) jest iloczynem fali płaskiej 

reprezentującej padający elektron, funkcji spinowej padającego elektronu, χ(σ i ), 

oraz funkcji stanu początkowego atomu. Fala rozproszona (drugi składnik) jest superpozycją 

iloczynów rozchodzących się fal kulistych, opisujących elektrony rozproszone, 

funkcji spinowej, funkcji energetycznie dozwolonych stanów atomowych oraz amplitud 

rozpraszania, A fi , ze stanu początkowego, i, do końcowego, f. 

Równanie Schrödingera (1.7) można zamienić na nieskończony układ sprzężonych 

równań różniczkowo-całkowych poprzez rozwinięcie funkcji Ψ w bazie stanów własnych 

atomu: 

Ψ = Â ∑ q 

Φ q (⃗s 1 , ⃗s 2 , . . . , ⃗s N )χ(σ)F q (⃗r), (1.12) 

gdzie F oznacza funkcję przestrzenną padającego elektronu a 

Â reprezentuje operator 

antysymetryzacji. Operator antysymetryzacji ma następującą postać: 

Â = 1 − 

N∑ 

i=1 

ˆP i , (1.13) 

gdzie ˆP i jest operatorem permutującym współrzędną ⃗s i z ⃗s. Operator 

Â czyni zadość 

wymaganiu aby funkcja Ψ była antysymetryczna. Po wstawieniu rozwinięcia (1.12) do 

równania (1.7) i przemnożeniu obustronnym przez Φ ∗ αχ ∗ otrzymamy po scałkowaniu 

względem d⃗s 1 d⃗s 2 . . . d⃗s N (wszystkich współrzędnych elektronów atomowych) nieskończony 

układ równań sprzężonych: 

( ˆT + ɛ α − E)F α = − ∑ γ 

V SE 

αγ F γ . (1.14) 

Wprowadzony powyżej operator V SE 

αγ 

V S αγ i nielokalnego potencjału wymiennego, V E αγ: 

składa się z sumy lokalnego potencjału statycznego, 

V SE 

αγ = V S αγ + V E αγ, (1.15) 

które są związane z wielkościami wprowadzonymi wcześniej w następujący sposób: 

∫ 

Vαγ(⃗r) S = d⃗s 1 d⃗s 2 . . . d⃗s N Φ ∗ α(⃗s 1 . . . ⃗s N ) ˆV Φ γ (⃗s 1 . . . ⃗s N ) (1.16) 

oraz 

∫ 

VαγF E γ (⃗r) = 

d⃗s 1 . . . d⃗s N dσΦ ∗ α(⃗s 1 . . . ⃗s N )χ ∗ (σ)(Ĥ − E) N ∑ 

i=1 

ˆP i Φ γ (⃗s 1 . . . ⃗s N )χ(σ)F γ (⃗r). 

(1.17) 

1.2 Potencjał optyczny 

W celu rozwiązania układu (1.14) dla skończonej ilości n p kanałów, podzielmy przestrzeń, 

rozpiętą na wszystkich kanałach, na przestrzenie P i Q. Przestrzeń P zawiera n p kanałów


a przestrzeń Q pozostałą ich ilość. Zdefiniujmy dwie macierze jednokolumnowe, których 

elementami są składowe funkcji w kanałach α: 

(F P ) α = F α , α n p ; (1.18) 

oraz pięć macierzy, których elementami są operatory: 

(F Q ) α = F α , α > n p (1.19) 

(H P ) αβ = (T 0 + ε α )δ αβ + V SE 

αβ , α, β n p ; (1.20) 

(H Q ) αβ = (T 0 + ε α )δ αβ + V SE 

αβ , α, β > n p ; (1.21) 

(V SE 

P P ) αβ = V SE 

αβ , α, β n p ; (1.22) 

(V SE 

QQ) αβ = V SE 

αβ , α, β > n p ; (1.23) 

(V SE 

P Q) αβ = V SE 

αβ , α n p , β > n p . (1.24) 

Zapiszmy za pomocą powyższych macierzy układ równań (1.14). Otrzymamy: 

(H P − E)F P = −V SE 

P QF Q ; (1.25) 

(H Q − E)F Q = −(V SE 

QP ) † F P . (1.26) 

Potraktujmy powyższy układ jak zwykły układ równań i wyznaczając wektor F Q z równania 

(1.26) podstawmy go do równania (1.25) co daje w wyniku: 

[H P + V SE 

P Q(E (+) − H Q ) −1 (V SE 

QP ) † − E]F P = 0. (1.27) 

W celu przekształcenia równania (1.27) zdefiniujmy macierz diagonalną: 

( ) 

(h) αβ = 

T − p2 α 

2 

gdzie zgodnie ze wzorem (1.8) p 2 α = 2(E − ε α ). 

δ αβ , (1.28) 

Po wykorzystaniu dwóch powyższych zależności równanie (1.27) przyjmuje postać: 

(h + V OP T )F P = 0. (1.29) 

Operator V OP T jest operatorem potencjału optycznego, który wyraża się wzorem: 

V OP T = V SE 

P P + V SE 

P Q(E (+) − H Q ) −1 (V SE 

QP ) † . (1.30) 

Przepiszmy równanie (1.29) w postaci, która ułatwi nam dyskusję nad jego fizyczną 

interpretacją: 

(T − p2 α 

2 )F α = − 

n p ∑ 

γ=1 

(V SE 

αγ + V C αγ)F γ , α = 1, . . . , n p , (1.31) 

gdzie 

V C αγ = 

∞∑ 

m=n p+1 

V SE 

αm 

∞∑ 

n=n p+1 

(E (+) − H Q ) −1 

mnV SE 

nγ . (1.32)


Przejście od nieskończonego układu równań (1.14) do układu (1.31) odbyło się bez żadnych 

przybliżeń. W przypadku, gdy n p =1 mamy do czynienia z rozpraszaniem elastycznym, 

gdy n p ≠1 z rozpraszaniem nieelastycznym. Zaniedbanie wyrazu Vαγ, C określonego 

przez (1.32), nosi nazwę przybliżenia silnego sprzężenia (close-coulping approximation). 

Polega ono na uwzględnieniu w rozwinięciu (1.12) jedynie n p wyrazów. Omawiane 

przybliżenie jest efektywne dla niskich energii pod warunkiem, że przestrzeń P zawiera 

wszystkie kanały otwarte. Pominięcie potencjału wymiennego prowadzi do przybliżenia 

statycznego. Błąd popełniany w przybliżeniu statycznym jest tym większy im niższa jest 

energia padającego elektronu. 

Dużą trudność przy rozwiązywaniu układu równań sprzężonych sprawia nielokalność dokładnego 

potencjału wymiennego. Z tej przyczyny poszukuje się możliwości opisania 

efektów wymiennych przy pomocy przybliżonych lokalnych potencjałów wymiennych. 

Potencjał Vαγ C opisuje wpływ jaki mają na proces rozpraszania w przestrzeni P wszystkie 

stany wzbudzone i widmo ciągłe zawarte w przestrzeni Q. Jeśli w przestrzeni Q znajdują 

się kanały otwarte, to ten potencjał jest zespolony. Część rzeczywista (tzw. potencjał polaryzacyjny) 

odpowiada za wirtualne przejścia do kanałów przestrzeni Q, a część urojona 

(potencjał absorpcyjny) odpowiada za rzeczywiste przejścia do tych kanałów. Potencjał 

Vαγ, C ze względu na swoją postać, może być uwzględniony jedynie w przybliżeniu. Najczęściej 

używane przybliżenia to rozwinięcie potencjału Vαγ 

C w szereg i uwzględnienie 

skończonej liczby wyrazów lub zastąpienie go lokalnym potencjałem efektywnym opisującym 

najważniejsze dla danej energii efekty polaryzacyjne i absorpcyjne. 

1.3 Potencjał optyczny drugiego rzędu 

Zastosujmy jedno z przybliżeń. Rozwińmy mianowicie potencjał V C αγ w szereg względem 

potęg V SE 

αγ . Weźmy pod uwagę fakt, że macierzowe operatory Greena zdefiniowane jako: 

G = (E (+) − H Q ) −1 (1.33) 

oraz 

G 0 = [E (+) − (H Q − V SE 

QQ)] −1 (1.34) 

spełniają równanie Lippmanna-Schwingera: 

G = G 0 + G 0 V SE 

QQG. (1.35) 

Powyższa zależność jest przykładem zastosowania równości operatorowej: 

Â −1 = ˆB −1 + ˆB −1 ( ˆB − Â)Â−1 . 

Jak wynika z (1.21) macierz G 0 jest macierzą diagonalną, której elementami są całkowe 

operatory Greena dla ruchu swobodnego cząstki: 

(G 0 ) mn = G 0 (p 2 n)δ mn , (1.36)


gdzie 

G 0 (p 2 n)f(⃗r) = − 1 ∫ 

4π 

Rozwiązanie równania (1.35) można otrzymać metodą iteracji: 

d⃗r ′ eipn|⃗r−⃗r ′ | 

|⃗r − ⃗r ′ | f(⃗r ′ ). (1.37) 

G = G 0 + G 0 V SE 

QQG 0 + G 0 V SE 

QQG 0 V SE 

QQG 0 + . . . (1.38) 

Ostatecznie równania (1.36)-(1.38) umożliwiają nam przedstawienie potencjału (1.32) w 

postaci szeregu: 

V C αγ = 

∞∑ 

m=n p+1 

V SE 

αm G 0 (p 2 m)V SE 

∞∑ ∞∑ 

mγ + 

m=n p+1 n=n p+1 

V SE 

αn G 0 (p 2 n)V SE 

nm G 0 (p 2 m)V SE 

mγ +. . . (1.39) 

Pierwszy wyraz rozwinięcia (1.39) jest drugiego rzędu ze względu na elementy macierzowe 

oddziaływania statyczno-wymiennego Vαβ SE . Potencjał obcięty do tego wyrazu nazywany 

jest potencjałem optycznym drugiego rzędu Vαγ C(2) , 

V C(2) 

αγ = 

∞∑ 

m=n p+1 

V SE 

αm G 0 (p 2 m)V SE 

mγ . 

Jest on operatorem nielokalnym. Nielokalność pochodzi zarówno od nielokalnego operatora 

całkowego G 0 , jak również od nielokalnych potencjałów wymiennych. Wyraz ten 

jest zespolony o ile zawiera kanały otwarte. Wtedy p 2 n jest rzeczywiste, a operator G 0 

zespolony. Potencjał optyczny 2-go rzędu pozwala więc opisać ucieczkę strumienia do kanałów 

przestrzeni Q. Można także pokazać, że w przybliżeniu abiadatycznym potencjał 

ten zmierza do nieskończoności jak −α/2r 4 , gdzie α jest polaryzowalnością atomu [1]. 

Opisuje on długozasięgowe oddziaływanie indukowanego dipola z ładunkiem. W przybliżeniu 

close-coulping nie można otrzymać poprawnego oddziaływania długozasięgowego 

nawet wtedy, gdyby było możliwe uzwględnienie wszytskich stanów tarczy (których jest 

nieskończona ilość). Jest to spowodowane tym, że część polaryzowalności atomu pochodzi 

od widma ciągłego (np. dla atomu wodoru tylko 81,4 procent polaryzowalności pochodzi 

od widma dyskretnego [21]). Uwzględnienie wyrazu V C(2) 

αγ 

powoduje, że najważniejsze 

efekty, takie jak polaryzacja i absorpcja są wzięte pod uwagę. Chociaż jest to najniższe 

przybliżenie dla potencjału optycznego wyraz V C(2) 

αγ 

jest bardzo trudny do oszacowania. 

Trudność polega na, poza nielokalnością, wykonaniu sumy po nieskończonej ilości stanów 

tarczy wraz z widmem ciągłym. Sposobem na pokonanie trudności w obliczeniu tej 

sumy jest zastosowanie dodatkowych przybliżeń. Najczęściej stosuje się przybliżenie zamknięcia 

(tzw. closure), w którym energię wzbudzenia zastępuje się przez średnią energię 

wzbudzenia [22, 23, 24]. 

Inne przybliżenie polega na wprowadzeniu w miejsce nieskończonej ilości stanów pewnej 

ilości pseudostanów, które dobiera się w taki sposób aby imitowały wkład od wszystkich 

stanów [22, 24, 25].


1.4 Relacja dyspersyjna 

Przedstawimy teraz dalsze własności potencjału optycznego (1.32) [26]. Widmo operatora 

H Q składa się z części dyskretnej i ciągłej. Widmo ciągłe należy do odcinka [ε np+1, ∞), 

a widmo dyskretne leży na zewnątrz tego odcinka i zawiera tylko izolowane wartości 

własne. Oznaczmy funkcje własne widma dyskretnego i ciągłego odpowiednio przez ϕ Qn 

oraz ϕ Q (λ). Rozkład spektralny operatora (1.33): 

oraz relacja: 

(E (+) − H Q ) −1 = ∑ n 

|ϕ Qn 〉〈ϕ Qn | 

E (+) − λ n 

+ 

∫ ∞ 

dλ |ϕ Q(λ)〉〈ϕ Q (λ)| 

ε np+1 E (+) − λ 

(1.40) 

( ) 

(E (+) − E 0 ) −1 1 

= P 

− iπδ(E − E 0 ), (1.41) 

E − E 0 

gdzie symbol P oznacza wartość główną Cauchy’ego są wykorzystywane do wyrażenia 

części rzeczywistej i urojonej potencjału optycznego V OP T w postaci: 

A n 

E − λ n 

+ P 

∫ ∞ 

Re V OP T (E) = V SE 

P P + ∑ n 

Im V OP T (E) = −πB(λ), E > ε np+1; (1.43) 

ε np+1 

dλ B(λ) 

E − λ ; (1.42) 

Im V OP T (E) = 0, E ε np+1. (1.44) 

Rzeczywiste, określone dodatnio, operatory A n i B(λ) dane są przez: 

A n = V SE 

P Q|ϕ Qn 〉〈ϕ Qn |(V SE 

QP ) † (1.45) 

B(λ) = V SE 

P Q|ϕ Q (λ)〉〈ϕ Q (λ)|(V SE 

QP ) † . (1.46) 

Jak pokazuje zależność (1.44), potencjał optyczny jest rzeczywisty dla E ε np+1 i zespolony 

dla E > ε np+1 o czym świadczy równanie (1.43). Urojona część potencjału 

optycznego jest operatorem ujemnie określonym, a więc opisuje absorpcję strumienia. 

Część rzeczywista posiada bieguny dla E = λ n oraz cięcie dla E > ε p+1 . Po podstawieniu 

(1.43) i (1.44) do (1.42) otrzymamy relację dyspersyjną między rzeczywistą i urojoną 

częścią potencjału optycznego: 


P P + ∑ n 

1.5 Uśredniony potencjał optyczny 

A n 

− 1 ∫ ∞ 

E − λ n π P dλ Im VOP T (λ) 

ε np+1 

E − λ 

. (1.47) 

Potencjał optyczny jest zależny od energii. Zależność ta może być wyjątkowo złożona dla 

niskich energii ze względu na możliwość występowania stanów rezonansowych. Potencjał 

zmieniający się gładko z energią można otrzymać poprzez uśrednienie potencjału po 

odcinku energii, I, większym od typowej szerokości stanów rezonansowych. Tego typu 

uśrednienie może być wygodnie przeprowadzone przez wymnożenie uśrednionej funkcji 

przez rozkład Lorentza: 

W (E, E ′ ) = I π 

1 

(E − E ′ ) 2 + I 2 (1.48)


i wycałkowanie po E ′ . Korzystając ze związku 

∫ 

W (E, E ′ )F (E ′ )dE ′ = F (E + iI) (1.49) 

otrzymujemy 

V OP T (E) = V OP T (E + iI). (1.50) 

Jak widać operacja uśrednienia jest równoważna zastąpieniu E przez E + iI co prowadzi 

do przesunięcia biegunów z osi rzeczywistej do dolnej półpłaszczyzny o wielkość iI. W 

wyniku tego przesunięcia uśredniony potencjał optyczny spełnia relację dyspersyjną, w 

której nie występuje suma z biegunami, otrzymujemy: 


P P − 1 π P ∫ ∞ 

ε np+1 −I 

dλ Im VOP T (λ) 

. (1.51) 

E − λ 

Błąd spowodowany przybliżeniem potencjału optycznego przez uśredniony potencjał 

optyczny zależy od energii elektronu padającego. Jest niewielki dla energii leżących powyżej 

stanów rezonansowych, gdzie przekroje czynne nie zmieniają się gwałtownie z energią 

i wraz ze wzrostem energii maleje. Z tego też powodu zastąpienie dolnej granicy w całce 

(1.51) przez ε np+1 niewiele wpływa na wynik całki. 

1.6 Rozpraszanie elastyczne 

W przypadku gdy w przestrzeni P znajduje się tylko jeden kanał, n p = 1, układ równań 

(1.31) redukuje się do jednego równania opisującego rozpraszanie elastyczne (w obecności 

procesów nieelastycznych). Wskaźniki macierzowe można opuścić ponieważ przyjmują 

tylko jedną wartość α = γ = 1. Otrzymujemy równanie: 

( ) 

ˆT − p2 

[ 

] 

F (⃗r) = − V SE (⃗r) + V C (⃗r) F (⃗r). (1.52) 

2 

Równanie to ma postać równania opisującego rozpraszanie cząstki na potencjale, który 

reprezentuje oddziaływania statyczne, wymienne, polaryzację oraz absorpcję i w którym 

zawarta jest cała informacja o złożoności układu. Jak wspominaliśmy potencjał ten 

w ogólności jest bardzo skomplikowanym, nielokalnym, niehermitowskim, zależnym od 

energii operatorem. Nie może być stosowany bez przybliżeń. Jednym z szeroko stosowanych 

podejść jest przybliżenie nielokalnych operatorów przez lokalne potencjały efektywne 

(zależne lub niezależne od energii) mające za zadanie opisanie efektów wymiennych, 

polaryzacyjnych i absorpcyjnych. Lokalność potencjału jest szczególnie użyteczna przy 

całkowaniu równania opisującego rozpraszanie. Zastępując w równaniu (1.52) oddziaływania 

nielokalne potencjałami efektywnymi,V OP T (⃗r) ≈ V (⃗r), zapisujemy równanie dla 

zderzeń elastycznych w postaci 

( 

) 

ˆT − p2 

2 + V (⃗r) F (⃗r) = 0, (1.53) 

V (⃗r) = V S (⃗r) + V E (⃗r) + V P (⃗r) + iV A (⃗r), (1.54)


gdzie dla poszczególnych potencjałów przyjęto powszechnie stosowane oznaczenia, mianowicie 

potencjał statyczny, V S , wymienny, V E , polaryzacyjny, V P 

V A . 

oraz absorpcyjny, 

Zastępując w relacji dyspersyjnej potencjały nielokalne lokalnymi potencjałami efektywnymi, 

otrzymujemy przybliżoną relację 

V P (⃗r, E) = − 1 π P ∫ ∞ 

wiążącą potencjał polaryzacyjny z absorpcyjnym. 

ε 1 

dE ′ V A (⃗r, E ′ ) 

E − E ′ (1.55) 

Równanie różniczkowe na część radialną rozproszeniowej funkcji falowej otrzymuje się 

przez rozwinięcie jej na funkcje własne całkowitego momentu pędu układu (uogólniona 

analiza parcjalna). W przypadku oddziaływań o symetrii sferycznej wygodnie jest przyjąć 

układ współrzędnych sferycznych (r, θ, ϕ), w którym oś z jest wyznaczona przez kierunek 

pędu cząstki padającej ⃗p. 

Wówczas rozwinięcie to sprowadza się do postaci: 

F (⃗r) = 1 pr 

∞∑ 

(2l + 1)i l Ψ l (r)P l (cos θ), (1.56) 

l=0 

gdzie funkcje P l (cos θ) oznaczają wielomiany Legendre’a. Wstawiając (1.56) do (1.53) 

otrzymujemy równanie: 

[ 

1 d 2 

] 

2 dr 2 + p2 l(l + 1) 

− 

2 2r 2 − V (r) Ψ l (r) = 0, (1.57) 

którego rozwiązanie musi spełniać warunek brzegowy [1]: 

lim Ψ l(r) = i [ 

e −i(pr− 1 2 lπ) − S l e i(pr− 1 lπ)] 2 , (1.58) 

r→∞ 2 

gdzie S l = e 2iδ l 

jest elementem macierzy rozpraszania wyrażonym przez przesunięcia 

fazowe δ l . Dla potencjałów rzeczywistych opisujących tylko elastyczne rozpraszanie δ l 

jest rzeczywiste i |S l | = 1. W przypadku potencjałów zespolonych opisujących ucieczkę 

strumienia z kanału elastycznego mamy [1]: 

|S l | 1 (1.59) 

a przesunięcia fazowe są zespolone 

δ l = Re δ l + i Im δ l . (1.60) 

Wprowadzając wielkość η l nazywaną czynnikiem absorpcji: 

η l = e 2 Im δ l 

(1.61) 

możemy napisać, że 

S l = η l e 2i Re δ l 

(1.62)


oraz 

0 η l 1 (1.63) 

Im δ l 0. (1.64) 

Przekroje czynne wyrażają sie w następujący sposób poprzez zespolone przesunięcia fazowe 

[1]: 

• Różniczkowy przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne: 

dσ 

dΩ = 1 

∣ ∣∣∣∣ ∞ ∑ 

4p 2 (2l + 1)(1 − η l e 2iRe δ l )P l (cos θ) 

∣ 

• Całkowity przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne: 

l=0 

σ el = π p 2 

∞ ∑ 

l=0 

• Całkowity przekrój czynny na absorpcję: 

σ abs = π p 2 

2 

, (1.65) 

∣ 

(2l + 1) ∣η l e 2iRe δ l − 1∣ 2 , (1.66) 

∞ ∑ 

l=0 

(2l + 1)(1 − η 2 l ) (1.67) 

• Całkowity przekrój czynny zawierający zarówno procesy elastyczne jak i nieelastyczne: 

σ tot = σ el + σ abs (1.68) 

lub 

σ tot = 2π 

p 2 

∞ ∑ 

l=0 

(2l + 1) [1 − η l cos(2Re δ l )] . (1.69) 

Zdefiniowane powyżej wielkości są w następnych rozdziałach wyznaczane dla przypadku 

rozpraszania elektronów na lekkich atomach gazów szlachetnych.

Rozdział 2 

Potencjał absorpcyjny oparty na 

modelu prawie swobodnych 

elektronów 

2.1 Model kwaziswobodnego rozpraszania z blokowaniem Pauliego 

Przybliżone wyrażenie na część urojoną lokalnego potencjału zespolonego (potencjał absorpcyjny) 

może zostać wyprowadzone przy pomocy pojęcia średniej drogi swobodnej 

cząstki padającej przechodzącej przez ośrodek absorpcyjny. W obecnym rozdziale zostanie 

umieszczone wspomniane wyprowadzenie. 

Jeżeli energia padającej cząstki jest wystarczająco duża, oddziaływanie nie ma praktycznie 

wpływu na tor cząstki. Dla potencjałów zespolonych, V = V R + iV I , gdy energia 

kinetyczna cząstki padającej E jest dużo większa niż część rzeczywista potencjału V R i 

część urojona V I warunek energetyczny może zostać zapisany w następującej postaci: 

V I ≪ E − V R (2.1) 

Rozwiązanie równania Schrödingera: 

[ 

1 

2 ∆ ⃗r + p2 

2 − V (⃗r) ] 

F (⃗r) = 0 (2.2) 

w granicy klasycznej jest dane przez funkcję: 

gdzie 

F (⃗r) = exp[i 

∫ ⃗r 

dsκ( ⃗ r ′ )], (2.3) 

κ(⃗r) = [2(E − V R (⃗r) − iV I (⃗r))] 1 2 (2.4) 

a droga całkowania w (2.3) jest wzięta od punktu ⃗ r ′ wzdłuż linii prostej równoległej do 

wektora ⃗p i przechodzącej przez punkt ⃗r. Przybliżona funkcja falowa dana przez (2.3) 

15

ROZDZIAŁ 2. POTENCJAŁ ABSORPCYJNY OPARTY NA MODELU PRAWIE 

SWOBODNYCH ELEKTRONÓW 16 

nie ma prawidłowej postaci asymptotycznej lecz może reprezentować funkcję falową w 

obszarze, w którym potencjał V jest istotny. 

W dalszych rozważaniach przydatnym będzie rozdzielenie zespolonej funkcji podcałkowej 

w całce po drodze (2.3) na część rzeczywistą i urojoną: 

κ(⃗r) = κ R (⃗r) + iκ I (⃗r). (2.5) 

Po porównaniu części rzeczywistych i urojonych w (2.4) otrzymujemy układ równań: 

κ 2 R − κ 2 I = 2(E − V R ) 

κ R κ I = −V I . (2.6) 

Rozwiązanie tego układu daje: 

⎡ 

κ I = − ⎣−(E − V R ) + (E − V R ) 

√ 

1 + 

1 

2 

⎤ 

VI 

2 

⎦ 

(E − V R ) 2 

(2.7) 

Biorąc pod uwagę warunek (2.1) można dokonać przybliżenia: 

√ 

V 2 

I 

Powyższe upraszcza wzór (2.7) do postaci: 

gdzie 

jest lokalną energią kinetyczną cząstki padającej. 

Gęstość prawdopodobieństwa 

V 2 

I 

1 + 

(E − V R ) 2 ≃ 1 + 1 2 (E − V R ) 2 . (2.8) 

κ I (⃗r) = − 

V I(⃗r) 

, (2.9) 

[2T loc (⃗r)] 1 2 

T loc (⃗r) = E − V R (⃗r) (2.10) 

P (⃗r) = (F (⃗r)) ∗ F (⃗r), (2.11) 

znalezienia cząstki w ośrodku absorpcyjnym (np. atomie) wynosi na podstawie (2.3): 

P (⃗r) = exp[−2 

∫ ⃗r 

dsκI ( ⃗ r ′ )]. (2.12) 

Z powyższego równania wynika, że P (⃗r) eksponencjalnie zanika wraz z przechodzeniem 

cząstek padających przez ośrodek rozpraszający (tarczę). Przedstawione rozważania sugerują, 

że urojoną część potencjału można otrzymać ze wzoru (2.9) tj: 

V I (⃗r) = −κ I (⃗r)[2T loc (⃗r)] 1 2 . (2.13) 

Model umożliwiający uzyskanie κ I zakłada, że atom może być potraktowany jako zbiór 

elektronów lokalnie formujących nieoddziałujący gaz Fermiego z gęstością cząstek daną 

przez ϱ(⃗r) (jak na przykład w modelu Thomasa-Fermiego dla dużych atomów).



Stan podstawowy atomu jest tworzony z elektronów, znajdujących się w każdym punkcie 

⃗r, posiadających lokalny pęd o wartościach o zera do maksymalnej wartości k F zwanej 

pędem Fermiego. 

W związku z założeniem, że wszystkie stany aż do k F są obsadzone, wartość k F można 

otrzymać z relacji: 

k F = [3π 2 ϱ(⃗r)] 1 3 . (2.14) 

Miara tego jak daleko padające cząstki przechodzą przez atom może być wyrażona przez 

efektywną średnią drogę swobodną λ. Dla jednolitego ośrodka, λ jest zdefiniowane jako 

długość drogi po której gęstość prawdopodobieństwa P (⃗r) cząstek poruszających się w 

ośrodku absorpcyjnym jest zmniejszona o czynnik e −1 . Z równania (2.12) wynika: 

κ I (⃗r) = 1 

2λ(⃗r) . (2.15) 

Średnia droga swobodna w nieoddziałującym gazie Fermiego jest dana przez: 

λ(⃗r) = 

1 

ϱ(⃗r)σ b (⃗r) , (2.16) 

gdzie σ b (⃗r) jest średnim (binarnym) przekrojem czynnym na rozproszenie cząstki padającej 

na pojedynczej cząstce w ośrodku rozpraszającym. Podstawienie (2.15) i (2.16) do 

(2.13) daje w wyniku: 

V I (⃗r) = − 1 √ 

2 

ϱ(⃗r)σ b (⃗r)[T loc (⃗r)] 1 2 . (2.17) 

Ostatnie wyrażenie jest szeroko stosowane w fizyce jądrowej [27, 28]. Zaprezentowane 

powyżej rozważania sugerowały, że część urojona potencjału optycznego może być otrzymana 

ze wzoru (2.17). Goldberger [27] zaprezentował metodę, opartą na fizycznym modelu 

zasugerowanym przez Serbera [28], obliczenia średniego dwucząstkowego przekroju 

czynnego poprzez potraktowanie tarczy jako zdegenerowany gaz Fermiego. Model zaprezentowany 

przez Goldbergera jest często nazywany modelem frywolnym aby podkreślić 

prostotę modelu wynikającą z zaniedbania efektów wielociałowych. 

2.2 Blokowanie Pauliego 

Ważnym elementem w tym modelu jest rola zasady Pauliego ograniczająca dostępną 

przestrzeń pędów dla produktów zderzeń dwucząstkowych. Model ten wprowadzony do 

fizyki jądrowej został zaadoptowany i zastosowany w fizyce atomowej [14]. Został nazwany 

modelem kwaziswobodnego rozpraszania z blokowaniem Pauliego aby podkreślić, że 

różniczkowy przekrój czynny na zderzenia binarne jest liczony tak jakby tarcza (atom) 

składała się ze swobodnych cząstek a zasada Pauliego była spełniona. W literaturze 

do określenia modelu często używany jest skrót QFSM (quasifree scattering model). W



dalszych częściach pracy model kwaziswobodnego rozpraszania będzie czasami skrótowo 

nazywany modelem kwaziswobodnym lub frywolnym. Zgodnie z modelem, absorpcja 

strumienia z kanału elastycznego ma miejsce wtedy gdy elektron tarczy a także elektron 

padający znajdują się na zewnątrz morza Fermiego po zderzeniu binarnym. 

2.3 Założenia modelu 

Oznaczmy przez ⃗p i ⃗ k odpowiednio pęd padającego elektronu i elektronu tarczy przed 

zderzeniem binarnym a przez ⃗p ′ i ⃗ k ′ pędy po zderzeniu. Warunki wynikające z blokowania 

Pauliego przed zderzeniem mogą zostać zapisane jako: 

| ⃗ k| k F (2.18) 

(elektron tarczy jest wewnątrz morza Fermiego) a po zderzeniu: 

⃗p ′2 k 2 F (2.19) 

⃗ k 

′2 

k 2 F + 2∆, (2.20) 

gdzie ∆ jest przerwą energetyczną pomiędzy stanem podstawowym tarczy a najniższym 

wzbudzonym stanem elektronowym (oba zderzające się elektrony są na zewnątrz morza 

Fermiego). Z nierówności (2.20) wynika dodatkowy warunek, że końcowa energia pierwotnie 

związanego elektronu musi przekroczyć energię najwyższego obsadzonego stanu 

elektronowego przynajmniej o przerwę energetyczną ∆. 

Aby otrzymać średni całkowity przekrój czynny na zderzenia binarne trzeba uśrednić 

różniczkowy przekrój czynny dla dwóch zderzających się cząstek po dozwolonych obszarach 

pędu cząstki, która jest aktualnie związana i wycałkować po kącie bryłowym wokół 

pędu końcowego cząstki padającej określonego w układzie środka masy zderzających się 

cząstek. Dla wygody prezentacji wyników w układzie labolatoryjnym jest wskazane zamienić 

element kąta bryłowego na trójwymiarowy element objętości w przestrzeni pędów 

[27]. Prowadzi to do formuły: 

σ b (k F , p) = 1 p 

∫ 

∫ 

d ⃗ kN( ⃗ k, k F )|⃗p − ⃗ k| 

d⃗g dσ b(p 0 , ̂p 0 · ̂p f ) 

dΩ 

1 

δ(p 0 − p f )Θ(p ′ , k ′ , k F ), (2.21) 

p 2 0 

gdzie N( ⃗ k, k F ) jest gęstością elektronów tarczy w przestrzeni pędów, ⃗p 0 i ⃗p f oznaczają 

odpowiednio początkowy i końcowy pęd padającego elektronu w układzie środka masy 

podukładu elektron-elektron, ⃗g jest przekazem pędu: 

⃗g = ⃗p − ⃗p ′ = ⃗p f − ⃗p 0 , (2.22) 

dσ b 

dΩ 

jest różniczkowym przekrojem czynnym na binarne zderzenie a Θ jest funkcją, która 

jest jedynką dla dozwolonych ze względu na zasadę Pauliego końcowych stanów zderzeń



binarnych a zerem dla stanów zabronionych. 

Dla kwazizdegenerowanego gazu Fermiego mamy: 

⎧ 

⎪⎨ 

N( ⃗ N k (k F ), k k F 

k, k F ) = 

⎪⎩ 0, k > k F , 

(2.23) 

gdzie 

N k (k F ) = 3 

4πkF 

3 (2.24) 

co jest w zgodności z (2.18). Funkcja Θ gwarantuje spełnienie warunków określonych 

przez (2.19) oraz (2.20) a jest dana przez: 

gdzie H(x) jest funkcją Heaviside’a. 

Θ(p ′ , k ′ , k F ) = H(k ′2 − k 2 F − 2∆)H(p ′ − k F ), (2.25) 

Różniczkowy przekrój czynny na kulombowskie rozpraszanie dwóch naładowanych cząstek 

dany jest wzorem Rutherforda [1], który w układzie laboratoryjnym przyjmuje postać 

[29] 

Wstawiając to wyrażenie do wzoru (2.21) otrzymujemy 

σ b (k F , p) = 2 p 

∫ 

∫ 

d ⃗ kN( ⃗ k, k F )|⃗p − ⃗ k| 

dσ b 

dΩ = 2 g 4 . (2.26) 

d⃗g 1 1 

g 4 p 2 δ(p 0 − p f )Θ(p ′ , k ′ , k F ). (2.27) 

0 

Zadanie na tym etapie sprowadza się do policzenia całek występujących w powyższym 

wyrażeniu. Jak wspomniano we wstępie szczegółowe i żmudne obliczenia prowadzące do 

ostatecznej postaci potencjału absorpcyjnego znajdują się w dodatku A. 

Model potencjału absorpcyjnego opartego na wzorze (2.27) nazywanym modelem 

oryginalnym. 

2.4 Przybliżenie bocznego rozpraszania (sideways approximation) 

Wzór Rutherforda użyty w powyższym modelu opisuje rozpraszanie kulombowskie cząstek 

rozróżnialnych. Dla rozpraszania elektronów powinniśmy użyć formuły Motta [1], 

lecz prowadzi to do skomplikowanej poprawki zależnej od energii i kątów. Z powodu 

zasady Pauliego rozpraszanie do przodu nie jest możliwe a dla małych kątów mało prawdopodobne, 

więc szukamy dobrego przybliżenia dla rozpraszania pod większymi kątami. 

Efekt kwantowy dla θ = π 2 

redukuje różniczkowy przekrój czynny o czynnik 2 dla wszystkich 

energii [1]. Przybliżenie bocznego rozpraszania (sideways approximation) polega na 

podzieleniu wzoru Rutherforda przez 2. Model oryginalny wprowadzony w pracy [14] 

został omyłkowo nazwany modelem bocznego rozpraszania mimo, że przybliżenie to nie 

zostało w tej pracy zastosowane [17].

Rozdział 3 

Modyfikacje potencjału 

absorpcyjnego opartego na modelu 

prawie swobodnych elektronów 

W bieżącym rozdziale zostaną przedstawione niektóre znane z literatury nieempiryczne 

modyfikacje potencjału absorpcyjnego opartego na modelu prawie swobodnych elektronów 

[15, 16, 17, 18, 19]. 

3.1 Ogólna postać modelu frywolnego 

W rozdziale pierwszym pokazano, że redukcja problemu rozpraszania cząstki na złożonym 

ośrodku (w naszym przypadku jest to obojętny elektrycznie atom) prowadzi do wprowadzenia 

pojęcia potencjału optycznego. W przypadku rozpraszania elastycznego potencjał 

optyczny jest nielokalnym, zależnym od energii operatorem. Operator ten jest niehermitowski 

dla energii powyżej progu wzbudzenia. Nielokalny operator chcemy przybliżyć 

lokalnym potencjałem efektywnym, przy pomocy którego można otrzymać w przybliżeniu 

tę samą macierz rozpraszania. W rozdziale drugim przedstawiono lokalny potencjał 

absorpcyjny oparty na modelu prawie swobodnych elektronów [14]. Potencjał ten dobrze 

opisuje absorpcję strumienia z kanału elastycznego, lecz zaniża wartości różniczkowych 

przekrojów czynnych dla dużych kątów rozpraszania. Z tego też względu potencjał ten 

doczekał się kilku ulepszeń i modyfikacji. 

Na początek przypomnijmy założenia oryginalnego modelu wyprowadzonego w poprzednim 

rozdziale. Wyprowadzając kwaziswobodny model potencjału absorpcyjnego 

potraktowaliśmy stan podstawowy atomu jako kwaziswobodny zdegenerowany gaz Fermiego. 

Założyliśmy również, że wszystkie stany gazu Fermiego są zajęte aż do energii 

20

ROZDZIAŁ 3. MODYFIKACJE POTENCJAŁU ABSORPCYJNEGO OPARTEGO NA 

MODELU PRAWIE SWOBODNYCH ELEKTRONÓW 21 

Fermiego danej przez: 

E F = k2 F 

2 , gdzie k F = (3π 2 ϱ) 1 3 . 

Elektron padający o początkowym pędzie ⃗p przechodząc przez gaz zderza się z elektronem 

tarczy o pędzie ⃗ k. Poprzednie założenie o zajętości stanów gazu jest spełnione gdy: 

k 2 k 2 F . 

Zakładamy także, że nieelastyczne procesy w zderzeniu elektron-atom są opisywane przez 

zderzenia binarne elektron-elektron, które powodują, że elektron padający i tarczy znajdą 

się po zderzeniu poza kulą Fermiego (poza stanem podstawowym), tylko takie procesy 

mają wkład do potencjału absorpcyjnego. Założenia powyższe można zapisać jako [15]: 

k ′ 2 α , α > k 2 F , (3.1) 

p ′ 2 β , β k 2 F , (3.2) 

gdzie ⃗ k ′ and ⃗p ′ są końcowymi pędami odpowiednio elektronu tarczy i rozproszonego. 

Warto w tym miejscu zauważyć, że α musi być większe od energii Fermiego o pewną 

wartość (dla rozpraszania na potencjale Coulomba wybór α = β = k 2 F 

prowadzi do nieskończonych 

przekrojów czynnych [14]). W [14] ta wartość została określona jako przerwa 

energetyczna, ∆, pomiędzy najwyżej obsadzonym orbitalem w stanie podstawowym tarczy 

a najniższym nieobsadzonym orbitalem. 

Wszystkie ostatnio dyskutowane w literaturze wersje kwaziswobodnego modelu potencjału 

absorpcyjnego (modelu frywolnego) mogą być zapisane w postaci: 

V A 

f (⃗r, E) = − 1 2 C(E)˜ϱ(⃗r) u(⃗r, E) ¯σ b(k F (ϱ(⃗r)), ˜p) , (3.3) 

gdzie C(E) jest zależnym od energii czynnikiem skalującym, a u jest lokalną prędkością 

elektronu padającego: 

u(⃗r, E) = [2(E − V SE )] 1/2 . (3.4) 

W zależności od modelu ˜ϱ jest gęstością elektronową tarczy lub efektywną gęstością elektronową 

tarczy na jednostkę objętości, ˜p równa się początkowemu lub lokalnemu pędowi 

elektronu rozproszonego, ¯σ b jest średnim przekojem czynnym na zderzenia, których nie 

wyklucza zasada Pauliego. Wielkości : C(E), ˜ϱ, ˜p, ¯σ b , α, and β zostaną określone dla 

każdego modelu. Jak pokazano w dodatku A uśrednienie przekroju czynnego Rutherforda 

przy uwzględnieniu warunków (3.1), (3.2) prowadzi do [15]: 

gdzie 

¯σ b = ¯σ R = 

[ 

4π 5k 

3 

5kF 3 H(γ) F 

˜p2 α − kF 

2 

− k3 F [5(˜p2 − β) + 2k 2 F ] 

(˜p 2 − β) 2 

+ H(α + β − ˜p 2 ) 2(α + β − ˜p2 ) 5/2 ] 

(˜p 2 − β) 2 , (3.5) 

γ = ˜p 2 + k 2 F − α − β (3.6)



a H jest jednostkową funkcją schodkową Heaviside’a. Z powyższej zależności wynika, że 

γ zależy od warunków (3.1) oraz (3.2). Potencjał jest ciągły kiedy γ=0 (dla ˜p 2 = α + β- 

k 2 F 

wyrażenie w nawiasach kwadratowych we wzorze (3.5) jest równe zeru). Ponadto, 

aby potencjał absorpcyjny był równy zeru poniżej energii wzbudzenia ∆ i różny od zera 

powyżej tej energii, musi zachodzić: 

[ 

] 

min α(⃗r, E) + β(⃗r, E) − kF 2 (⃗r) = 2∆ 

[⃗r] 

lub 

[ 

] 

min ˜p 2 (⃗r, E) − γ(⃗r, E) = 2∆. 

[⃗r] 

3.2 Oryginalny model frywolny 

Oryginalny model potencjału absorpcyjnego przedstawiony w rozdziale drugim będzie 

oznaczony jako Vfo A . Można go uzyskać przez podstawienie w równaniu (3.3) następujących 

funkcji: 

C(E) = 1, 

˜ϱ(⃗r) = ϱ(⃗r), 

˜p = p, (3.7) 

α = kF 2 + 2∆ 

β = kF 2 . 

3.3 Frywolny model potencjału wersja 2 i 3 

Badania przeprowadzone nad wpływem kształtu potencjału absorpcyjnego na różniczkowe 

przekroje czynne pokazały, że oryginalny frywolny potencjał jest za głęboki dla 

małych wartości r i nie wystarczająco głęboki dla dużych r [15]. Biorąc to pod uwagę 

autorzy pracy [15] zaproponowali dwie modyfikacje oryginalnego potencjału polegające 

na zmianie funkcji α oraz β. 

3.3.1 Wersja 2 

Na model oznaczony tutaj jako, Vfv2 A , składają się następujące funkcje: 

α = k 2 F + ∆ − 2V SE , 

β = α . (3.8)



3.3.2 Wersja 3 

Model, który oznaczmy jako Vfv3 A , charakteryzuje się następującymi funkcjami: 

α = k 2 F + 2[∆ − (I − ∆)] − V SE , 

β = k 2 F + 2(I − ∆) − V SE , (3.9) 

gdzie I jest potencjałem jonizacyjnym. 

3.4 Model frywolny potencjału z przybliżeniem bocznego rozpraszania 

Jak wspomniano w paragrafie 2.4 dla nierozróżnialnych cząstek rozpraszanie do przodu 

i duża część rozpraszania pod małymi kątami jest wykluczona przez zasadę Pauliego. 

Dla kąta rozpraszania θ = π/2 efekt kwantowy redukuje różniczkowe przekroje czynne 

o czynnik 2 dla wszystkich energii [1]. Przybliżenie bocznego rozpraszania (sideways approximation) 

polegające na podzieleniu wzoru Rutherforda przez 2 dla wszystkich kątów 

i energii zostało zaproponowane w pracy [14]. Potencjał absorpcyjny w tym przybliżeniu 

jest dany jako: 

V A 

fs 

= 1 2 V A 

fo . (3.10) 

3.5 Przeskalowany model frywolny 

W pracy [16], Raj i Kumar zauważyli, że wybór czynnika C(E) = 2/ √ E prowadzi do 

poprawy różniczkowych przekrojów czynnych dla dużych kątów. Potencjał absorpcyjny 

tych autorów ma postać: 

V A 

fr = 2 √ 

E 

V A 

fo . (3.11) 

3.6 Model frywolny z poprawkami 

Blanco i Garcia zaproponowali kilka poprawek modelu frywolnego. Rozważymy trzy z 

nich. Oznaczmy je jako Vfc1 A [17], V fc2 A [18], and V 

A 

fc3 [19]. 


fc1 

W pracy [17], wzór Rutherforda dla rozpraszania binarnego elektron-elektron został uzupełniony 

przez główny wkład do wyrazu opisującego kwantową interferencję w formule 

Motta pochodzący od kąta rozpraszania θ = π 2 

. Doprowadziło to do: 

¯σ b = ¯σ R + ¯σ c , (3.12)



gdzie 

a f δ jest przybliżona [17] przez 

¯σ c = − 4 

π ˜p˜ϱ H(γ)[ f δ (k F /˜p) − f δ (H(δ)δ 1/2 ) ] (3.13) 

gdzie 

oraz 

f δ (x) = 1 (1 − δ)x(1 − x)−1 

4 

+ 1 

16 (11 − x + (x − 3) δ) ln (1 − x) + (a 1 − δb 1 )x + (a 2 − δb 2 )x 2 , (3.14) 

δ = (α + β − ˜p 2 )/˜p 2 (3.15) 

a 1 = 0.4353 , a 2 = 0.01233 , 

b 1 = −0.1084 , b 2 = 0.05691 . 

Po podstawieniu (3.12) i (A.80) do (3.3) dostajemy potencjał, w którym do oryginalnego 

modelu frywolnego została dodana poprawka: 

Zmodyfikowany potencjał ma postać 

V A 

c = − 1 2 ϱ(⃗r)u(⃗r, E)¯σ c. 

V A 

fc1 = V A 

fo + V A 

c (3.16) 

a pozostałe wielkości charakteryzujące model dane są poprzez (3.7). 


fc2 

W pracy [18], autorzy dokonali dalszych modyfikacji podejścia przedstawionego w pracy 

[17] poprzez wzięcie pod uwagę faktu ekranowania wewnętrznych elektronów poprzez 

zewnętrzne. Zmodyfikowano także założenia poprzez zastąpienie oryginalnych warunków 

blokowania Pauliego dla rozpraszania elektronów przez warunki symetryczne. Powyższe 

prowadzi do następujących wyrażeń na potencjał absorpcyjny: 

gdzie czynnik ekranujący: 

jest wyrażony przez ”głębokość optyczną” 

V A 

fc2(r) = V A (r)C scr (r), (3.17) 

C scr (r) = e λ 0(r) , (3.18) 

gdzie 

∫∞ 

λ 0 (r) = 2 

r 

V A (t)/u(t) dt, (3.19) 

V A (r) = V A 

fc1(r) (3.20)



przy czym 

α = β = kF 2 + ∆ . (3.21) 

W praktyce, w pierwszym kroku wyznacza się potencjał V A (r) ze wzoru (3.20) z warunkami 

blokowania Pauliego w postaci (3.21). W następnym kroku otrzymuje się czynnik 

ekranujący C scr (r) przez numeryczne wykonanie całki występującej we wzorze (3.19). 

Końcowe wyrażenie na potencjał absorpcyjny dostaje się ze wzoru (3.17). 

Należy tu pokreślić, że potencjał V A (r) mógłby być przybliżony przy pomocy innego 

modelu niż ten dany wzorem (3.20). 


fc3 

W pracy [19] zostało wprowadzonych kilka dalszych modyfikacji. ”Głębokość optyczna” 

została ustalona bardziej realistycznie. Jako ˜p położono lokalny pęd u. Powoduje to, że 

powolny padający elektron pod wpływem potencjału atomowego, V (r), doznaje przyśpieszenia 

i spełniając ograniczenia Pauliego jest w stanie usunąć z kanału elastycznego 

nawet bardzo ciasno związany elektron wewnętrzny. Aby tego uniknąć autorzy proponują 

aby oryginalny warunek blokowania Pauliego zastąpić nowym: rozpraszanie nieelastyczne 

jest wykluczone jeżeli energia kinetyczna padającego elektronu jest niższa niż energia 

wiązania elektronu w atomie. Energia wiązania została w tym modelu przybliżona przez 

potencjał wiązania, który zdefiniowano jako średni potencjał V b (r) działający na każdy 

elektron atomowy wytwarzany przez jądro o ładunku Z oraz pozostałe elektrony 

V b (r) = Z − 1 

Z V (r) − 1 r . 

Gęstość elektronowa ϱ(r) została zastąpiona przez efektywną gęstość elektronową ϱ eff (r) 

daną wzorem: 

gdzie ϱ sat = 1 λ 3 

oznacza maksymalną gęstość elektronową tarczy, z którą padający elektron 

o lokalnej długości fali 2π u 

może oddziaływać. Założenia te doprowadziły do następujących 

formuł: 

ϱ eff (r) = ϱ sat (1 − e −ϱ/ϱ sat 

), (3.22) 

V A 

fc3(r) = V A 

fc2(r) (3.23) 

czyli postać potencjału w tym modelu jest też dana wzorem (3.17) ale 

λ 0 = 

∫∞ 

r 

2V A (t) t 

u(t) (t 2 − r 2 dt, (3.24) 

) 1/2 

˜p = u, (3.25) 

γ = E + V b − ∆, (3.26) 

˜ϱ = ϱ eff (3.27)



We wspomnianej publikacji [19] podano także uproszczoną wersję V A 

fc3s potencjału 

Vfc3 A . Uproszczona wersja opiera się na fakcie, że niektóre wyrazy występujące w V 

A 

fc3 są 

zaniedbywalne.

Rozdział 4 

Test nieempirycznych modeli 

potencjałów efektywnych, elastyczne 

rozpraszanie elektronów na atomach 

neonu 

W poprzednim rozdziale zostały przedstawione modyfikacje nieempirycznego potencjału 

absorpcyjnego opartego na modelu kwazi-swobodnego rozpraszania. Obecnie, przedstawione 

potencjały zostaną poddane ocenie poprzez porównanie obliczonych przekrojów 

czynnych z wynikami doświadczalnymi. Potencjały zostały przetestowane przez obliczenie 

średniego błędu bezwzględnego przekrojów czynnych na zbiorze 282 danych eksperymentalnych 

dla elastycznego rozpraszania elektronów na obojętnym elektrycznie atomie 

neonu w zakresie energii 20-3000 eV. 

Jak przedstawiono w paragrafie 1.6 aby otrzymać przekroje czynne należy obliczyć 

zespolone parcjalne przesunięcia fazowe, δ l dla liczb kwantowych, l, orbitalnego momentu 

pędu elektronu padającego, z równania: 

[ 1 d 2 l(l + 1) 

+ E − 

2 dr2 2r 2 − V (r, E) 

]Ψ l (r) = 0, E = p2 

2 , (4.1) 

gdzie V (r, E) oznacza przybliżony, lokalny, zależny od energii zespolony potencjał optyczny, 

E jest energią elektronu padającego a p jego pędem. Przypominamy, że potencjał 

V (r, E) można zapisać w następującej postaci: 

V (r, E) = V S (r) + V E (r, E) + V P (r, E) + iV A (r, E) , (4.2) 

gdzie część rzeczywista (4.2) składa się z potencjału statycznego V S , wymiennego V E 

i polaryzacyjnego V P a część urojona jest potencjałem absorpcyjnym V A . We wszystkich 

przeprowadzonych testach użyto tych samych potencjałów statycznego i wymiennego 

[30, 31]. Potencjał statyczny został otrzymany z dopasowania do wyników obliczeń 

27

ROZDZIAŁ 4. TEST NIEEMPIRYCZNYCH MODELI POTENCJAŁÓW EFEKTYWNYCH, 

ELASTYCZNE ROZPRASZANIE ELEKTRONÓW NA ATOMACH NEONU 28 

Hartee-Focka. Nielokalny potencjał wymienny przybliżono lokalnym potencjałem przy 

pomocy półklasycznego wyrażenia będącego funkcją gęstości Hartree-Focka oraz statycznego 

potencjału Hartree-Focka 

V E (r, E) = 1 [ E − V S (r) ] − 1 {[ E − V S (r) ] 2 + η 2 (r) } 1/2 , (4.3) 

2 

2 

gdzie η(r) = 4πϱ(r), a ϱ(r) jest gęstością elektronową atomu tarczy. Lokalne półklasyczne 

przybliżenie do potencjału wymiennego dane wzorem (4.3) było wielokrotnie testowane 

przez porównanie z dokładnym, nielokalnym potencjałem wymiennym Hartree-Focka. 

Pokazano, że dla energii powyżej progu wzbudzenia wyrażenie (4.3) daje bardzo dobrą 

zgodność z dokładnym podejściem do potencjału wymiennego [32, 33, 34, 35]. Dla 

rozpraszania e-Ne wielkości V S i ϱ zostały wzięte z pracy [31]. 

4.1 Potencjały polaryzacyjne 

Wprowadźmy teraz trzy modele potencjału polaryzacyjnego stosowane do obliczeń. 

4.1.1 Potencjał typu Buckingham 

Blanco and García zastosowali potencjał polaryzacyjny typu Buckingham [36]: 

V P 

b = 

α d 

2(r 2 + r 2 co) 2 , (4.4) 

gdzie α d jest atomową polaryzowalnością dipolową a r co jest parametrem obcięcia potencjału 

(ang. cut-off parameter). Użycie tego typu potencjału w obliczeniach oznaczono 

indeksem b. 

4.1.2 Adiabatyczny potencjał polaryzacyjny Hartree-Fock’a 

Następnym użytym w obliczeniach modelem potencjału polaryzacyjnego jest adiabatyczny 

potencjał Hartree-Fock’a dany wzorem: 

V P 

a = 〈Ψ|(H A + V )|Ψ〉 − 〈Φ 0 |(H A + V )|Φ 0 〉, (4.5) 

gdzie H A jest Hamiltonianem atomu a V jest operatorem oddziaływania elektron-atom. 

Poprzez Φ 0 i Ψ oznaczono funkcje falowe Hartree-Fock’a stanu podstawowego atomu i 

całego układu (tj. elektron plus atom), odpowiednio. Całkowanie w powyższym wzorze 

obejmuje współrzędne elektronów atomu ∗ . Użycie tego typu potencjału w obliczeniach 

zaznaczono indeksem a. 

∗ Zachowano tutaj konsekwentnie oznaczenia z pierwszego rozdziału.



4.1.3 Przybliżona relacja dyspersyjna 

W obliczeniach użyto także potencjału polaryzacyjnego otrzymanego z potencjału absorpcyjnego 

poprzez zastosowanie przybliżonej postaci relacji dyspersyjnej: 

V P 

d 

= 1 ∫∞ 

π P 

V A (r, E ′ ) 

E ′ − E dE′ , (4.6) 

ε 1 

gdzie P oznacza wartość główną całki a ε 1 jest energią najniższego wzbudzonego stanu 

elektronowego. Użycie relacji dyspersyjnej do uzyskania potencjału polaryzacyjnego 

odnotowano jako indeks d (symbol użytego potencjału absorpcyjnego). 

W dalszej części rozdziału zostaną także zaprezentowane wyniki obliczeń, w których 

potencjał polaryzacyjny położono równy zeru. Fakt ten jest odnotowany jako ”−” w 

miejscu symbolu potencjału polaryzacyjnego. 

4.2 Potencjały absorpcyjne 

Do obecnie opisywanych obliczeń zastosowano następujące potencjały absorpcyjne: 

4.2.1 Wersje modelu frywolnego 

Omówione w poprzednim rozdziale wersje potencjału absorpcyjnego opartego na modelu 

prawie swobodnych elektronów: 

• Oryginalny model frywolny potencjału absorpcyjnego, V A 

fo , 

• Model frywolny potencjału wersja 2, V A 

fv2 , 

• Model frywolny potencjału wersja 3, V A 

fv3 , 

• Model frywolny potencjału z przybliżeniem bocznego rozpraszania, V A 

fs , 

• Przeskalowany model frywolny, V A 

fr , 

• Modele frywolne z poprawkami, V A 

fc1 , V A 

fc2 , V A 

fc3 oraz V A 

fc3s . 


g 

Green’a, Rio i Uedy 

Dla porównania wykonano też obliczenia z empirycznym zależnym od energii potencjałem 

absorpcyjnym zaproponowanym przez Greena wraz z współpracownikami w pracy [37]. 

Autorzy przedstawili zależny od energii potencjał absorpcyjny w postaci: 

gdzie 

V A 

g (r, E) = −W (E) [Y 1 (r) − Y 2 (r)] , (4.7) 

W (E) = s 3 E −1 ln [s 4 (E/ε 1 − 1) s 5 

+ 1] , (4.8) 

Y i (r) = r −1 exp (−r/s i ) (4.9)



a s 1 , . . . , s 5 są parametrami dopasowanymi do doświadczalnych wartości absorpcyjnych 

przekrojów czynnych dla zderzenia e-Ne. 

4.2.3 Pominięcie potencjału absorpcyjnego 

Podobnie jak dla to miało miejsce dla potencjału polaryzacyjnego zbadano również jak 

na wynik wpłynie zaniedbanie potencjału absorpcyjnego. 

4.3 Funkcja błędu 

Wszystkie rozważane modele potencjałów zostały ocenione przez obliczenie średniego 

błędu bezwzględnego (SBB), ∆ cs (cs od cross section), na zbiorze doświadczalnych wartości 

przekrojów czynnych dla rozpraszania elektronu na atomie neonu. Dla odróżnienia 

od teoretycznych oznaczmy przy pomocy tyldy doświadczalne wartości przekrojów czynnych. 

Zbiór składa się z elastycznych, ˜σ el , absorpcyjnych, ˜σ abs i różniczkowych, d˜σ 

dΩ , przekrojów 

czynnych zmierzonych dla wielu energii. Przekroje czynne ze wskaźnikami j, np. 

˜σ j el , oznaczają dane dla j-tej energii. Należy wziąć pod uwagę to, że dla pewnych energii 

nie wszystkie typy przekrojów czynnych są zmierzone. Ze względu na relację (1.68) 

˜σ tot 

j 

= ˜σ el 

j 

+ ˜σ abs 

j 

jeden z tych trzech przekrojów czynnych może być wyznaczony na podstawie znajomości 

pozostałych dwóch, o ile są dostępne dla danej energii. 

Do opisu zbioru danych doświadczalnych wprowadzamy następujące oznaczenia: 

• N e - liczba energii dla których były dostępne wyniki pomiarów, 

• N j - liczba przekrojów czynnych wszystkich typów dla j-tej energii elektronu padającego, 

• N diff 

j 

• N abs 

e 

- liczba różniczkowych przekrojów czynnych dla j-tej energii, 

- liczba energii dla których dane są przekroje czynne na absorpcję, 

• N el 

e 

- liczba energii dla których dane są przekroje czynne na rozpraszanie elastyczne, 

• N diff 

e 

- liczba energii dla których dane są różniczkowe przekroje czynne, 

• ˜σ α j 

- przekrój czynny ˜σel j lub ˜σ j 

abs (α=el lub abs).



Dla j-tej energii liczba N j może przyjmować następujące wartości: 

⎧ 

1, jeśli jedno z ˜σ α j 

jest dostępne, 

2, jeśli dwa z ˜σ j α są dostępne, 

⎪⎨ 

N j = Nj diff , jeżeli tylko d˜σ(j) 

dΩ 

są dostępne, 

(4.10) 

Nj diff + 1, jeśli d˜σ(j) 

dΩ oraz jeden z ˜σα j są dostępne, 

⎪⎩ Nj diff + 2, jeżeli d˜σ(j) 

dΩ oraz dwa z ˜σα j są dostępne. 

Wspomniany średni błąd bezwzględny, ∆ cs , dany jest jako: 

gdzie 

∆ cs = 1 [ ∑ Ne 1 ( dσ ∆ 

N e N 

j=1 j dΩ (j) + ∆σ(j))] , (4.11) 

∆ dσ 

N diff 

j∑ 

dΩ (j) = dσ(j) 

∣ dΩ (θ i)− d˜σ(j) 

dΩ (θ i) 

∣ , (4.12) 

i=1 

oznacza sumę błędów bezwzględnych różniczkowych przekrojów czynnych dla j-tej energii, 

⎧ 

0, jeśli tylko d˜σ(j) 

dΩ 

są dostępne, 

⎪⎨ 

∆σ(j)= ∆σj 

el + ∆σabs j , jeśli ˜σ j 

el i ˜σ j 

abs są dostępne, 

(4.13) 

⎪⎩ ∆σj α , α= abs lub el jeżeli tylko jedno z ˜σα j jest dostępne 

oznacza sumę błędów bezwzględnych całkowitych przekrojów czynnych dla j-tej energii 

a ∆σj α = |σα j − ˜σα j | jest błędem bezwzględnym pojedynczego przekroju czynnego. Zostały 

również obliczone średnie błędy bezwzględne dla każdego rodzaju przekrojów czynnych: 

∆ diff = 

∆ α = 1 

N α e 

N 

1 

e∑ 

diff 

Ne 

diff 

j=1 

N 

∑e 

α 

j=1 

1 

N diff 

j 

∆ dσ (j) , (4.14) 

dΩ 

|σ α j − ˜σ α j |, (4.15) 

gdzie α = el, abs. Zbiór danych doświadczalnych składa się z 282 wartości przekrojów 

czynnych dla N e = 20 energii elektronu padającego zawartych w przedziale od 20 do 

3000 eV. Liczba ta zawiera N abs 

e = 18, absorpcyjnych przekrojów czynnych, N el 

e = 

17, elastycznych przekrojów czynnych oraz 247 różniczkowych przekrojów czynnych dla 

N diff 

e = 15 w zakresie kątów od 3 do 150 stopni. Dane te zostały zebrane w Dodatku B. 

Obliczono także średnie błędy bezwzględne ∆ cs i ∆ diff dla mniejszych zakresów energii 

i kątów rozpraszania. 

Przyjęto oznaczenia: 

• ∆ cs 

1 

dla niskich energii 20-100 eV,



• ∆ cs 

2 

dla energii pośrednich 150-500 eV, 

• ∆ cs 

3 

dla energii wysokich 700-3000 eV, 

oraz dla kątów (w całym zakresie energii): 

• ∆ diff 

1 dla małych kątów 0 ◦ -30 ◦ , 

• ∆ diff 

2 dla kątów 31 ◦ -60 ◦ , 

• ∆ diff 

3 dla kątów 61 ◦ -180 ◦ . 

4.4 Wyniki i dyskusja 

Wyniki obliczeń zostały zaprezentowane w tabelach 4.1, 4.2 oraz na rysunkach 4.1-4.13. 

Tabele prezentują średnie błędy bezwzględne (SBB) obliczone dla różnych kombinacji potencjałów 

polaryzacyjnych (P) i absorpcyjnych (A). Do porównania modeli należy użyć 

wartości zebrane w danej kolumnie tabeli. Pierwszy wiersz tabel zawiera doświadczalne 

średnie błędy bezwględne. Przy określaniu tych wartości założono, że błąd doświadczalny 

pomiaru całkowitych przekrojów czynnych wynosi 5 procent wartości mierzonej a dla 

różniczkowych przekrojów czynnych przyjęto błąd 10 procentowy. Wspomniane ekspertymentalne 

SBB są wartościami referencyjnymi, z którymi należy porównywać wartości 

SBB dla poszczególnych modeli. Ostatni wiersz tabel 4.1 i 4.2 podaje SBB dla przybliżenia 

statyczno-wymiennego. Warto w tym miejscu zauważyć, że zastosowanie tego 

najprostszego przybliżenia dało wartość ∆ diff 

3 niewiele różniącą się od wartości eksperymentalnej. 

W celu umożliwienia szczegółowej dyskusji przedstawiono, w tabeli 4.2 , błędy 

dla niskich ∆ cs 

1 , średnich ∆cs 2 oraz wysokich energii ∆cs 3 obok błędu dla całego przedziału 

energii ∆ cs . Podobnie, w tabeli 4.2 obok błędów dla różniczkowych przekrojów czynnych 

obliczonych dla wszystkich kątów i energii znalazły się błędy obliczone dla małych ∆ diff 

1 , 

średnich ∆ diff 

2 oraz dużych kątów rozpraszania ∆ diff 

3 . W tabeli 4.2 zgromadzono ponadto 

SBB dla elastycznych przekrojów czynnych ∆ el , przekrojów czynnych na absorpcję ∆ abs 

i całkowitych przekrojów czynnych ∆ tot obliczonych dla wszystkich danych energii. 

Jeżeli weźmiemy po uwagę zestawienie potencjałów polaryzacyjnego (P) oraz absorpcyjnego 

(A), (P=b, a), (A=fo, fv2, fv3, fs, fr, fc1, fc2, fc3, g), to widać, że zastosowanie 

oryginalnego potencjału absorpcyjnego fo daje najmniejszy błąd ∆ cs (bf0 - 0.251, afo - 

0.274). Spośród modeli nieemiprycznych, oryginalny potencjał absorpcyjny przynosi najmniejszy 

błąd dla przekroju czynnego na absorpcję. Wprawdzie jeszcze mniejszy błąd 

niesie za sobą zastosowanie potencjału g, jednakże parametry występujące w potencjale 

Greena zostały tak dobrane aby jak najlepiej odtworzyć doświadczalne wartości absorpcyjnych 

przekrojów czynnych.



Skierujmy uwagę na modele zawierające potencjał polaryzacyjny typu Buckinghama, 

oznaczony jako b. Kombinacja tego potencjału z oryginalnym modelem frywolnym 

potencjału absorpcyjnego tj. bfo poprawnie odtwarza doświadczalną zależność od energii 

absorpcyjnego przekroju czynnego. Jednakże jak można się przekonać na stosownym 

rysunku 4.12 wartości przekroju czynnego na absorpcję są mniejsze od wartości doświadczalnych. 

Oznacza to, że zastosowany potencjał ma za mały zasięg [15]. Biorąc pod uwagę 

wykresy na rysunkach 4.1-4.3 obrazujące różniczkowe przekroje czynne można zauważyć, 

że bfo bardzo dobrze reprodukuje dane doświadczalne w szerokim zakresie kątów rozpraszania 

dla energii poniżej 100 eV. Dla wyższych energii różniczkowe przekroje czynne 

są za małe, w szczególności dla dużych kątów rozpraszania. Oznacza to, że zależny od 

energii potencjał fo staje się za silny dla małych odległości r [15]. 

Zastosowanie potencjałów oznaczonych jako fv2 i fv3 daje błąd ∆ cs zbliżony wartością 

do błędu, które daje zastosowanie potencjału fo. 

Najprostsza modyfikacja oryginalnego modelu frywolnego potencjału absorpcyjnego 

tj. fs, osłabiająca potencjał fo dla wszystkich wartości r, polepsza różniczkowe przekroje 

czynne dla dużych kątów rozpraszania. Jednakże zastosowanie potencjału fs zwiększa 

pięciokrotnie wartość błędu przekroju czynnego na absorpcję. 

Poprawka V A 

c 

wprowadzona w modelu fc1 poprawia nieco kształt potencjału. V A 

c 

osłabia potencjał dla małych r przyjmując dodatnie wartości a dla dużych r przyjmuje 

wartości ujemne przyczyniając się do wzmocnienia potencjału. Zmiany te są jednakże 

zbyt małe i ogólny błąd jest taki sam jak dla modelu fo. Zmniejszeniu ulega błąd różniczkowych 

przekrojów czynnych. Przybliżenie użyte w wyrazie korekcyjnym sprawia, że 

potencjał absorpcyjny staje się, przy pewnych energiach, dodatni i nieciągły przy γ = 0. 

Problem ten pojawiał się dla niewielkiego przedziału małych r. Potencjał o wartościach 

dodatnich nie może opisywać procesu absorpcji. W obliczeniach położono zera jako wartość 

potencjału tam gdzie przyjmował on wartości dodatnie uzyskując w ten sposób 

ciągłość potencjału. 

Model fc2 przynosi największe błędy. Ekranowanie nieznacznie osłabia potencjał, 

jednakże osłabienie to nie jest wystarczające. 

Zmiana potencjału polaryzacyjnego b na inny powoduje większe zmiany w elastycznych 

i różniczkowych przekrojach czynnych niż w przekrojach czynnych na absorpcję nie 

wpływa więc znacząco na wnioski dotyczące modeli potencjałów absorpcyjnych. 

Modele afo oraz afv2 dają najmniejszy średni błąd bezwzględny. Następny w kolejności 

jest model afv2. Warto odnotować fakt, że dla niskich energii rozpraszania afv2 

daje najlepszą zgodność z wynikami doświadczalnymi. Dla niskich energii adiabatyczny 

potencjał polaryzacyjny (a) prowadzi do najmniejszego błędu dla większości użytych 

modeli potencjału absorpcyjnego (poza jednym).



20 eV 

30 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2.8 

1.85 

0.42 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

3 

0.24 

0.15 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

40 eV 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

50 eV 

5 

5 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.06 

0.03 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.025 

0.0005 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

7e-005 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 4.1: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 20, 30, 40, 50 eV, 

obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, p0a0, bfc3, bfc3s; dane 

doświadczalne (+). 

Zastosowanie modelu fc2 dało niestety największe błędy. Potencjał ten jest za głęboki 

dla małych r (najgłębszy pośród rozważanych modeli). Pogłębienie wynika z modyfikacji 

wartości α i β, im mniejsze α tym potencjał głębszy. Ekranowanie osłabia nieco potencjał, 

lecz osłabienie nie przynosi oczekiwanych rezultatów. 

Model fc3 wprowadzono jako modyfikację modelu fc2. W celu osłabienia potencjału 

fc2 wprowadzono silniejsze ekranowanie wraz z nowymi poprawkami, które wykraczają 

poza założenia modelu kwaziswobodnego. Potencjał fc3 w wyniku tych zabiegów stał się 

słabszy dla dla małych r. Zwiększył się także zasięg ulepszonego potencjału. 

Modyfikacja potencjału absorpcyjnego zaproponowana w modelu fr prowadzi do niepoprawnej 

zależności od energii. Jak widać z rysunku 4.14 absorpcyjne przekroje czynne 

są zbyt duże dla małych energii i zbyt małe dla dużych energii. Oznacza to, że potencjał 

fr jest za silny dla małych energii i za słaby dla energii wysokich. Dzięki osłabieniu 

potencjału dla energii wysokich otrzymuje się lepsze wartości różniczkowych przekrojów 

czynnych dla dużych kątów rozpraszania ale efekt ten nie jest wynikiem prawidłowo 

zmodyfikowanego potencjału. 

Modele potencjałów absorpcyjnych bazujące na QFSM, opisane powyżej, przynoszą 

poprawę wyników różniczkowych przekrojów czynnych dla niektórych zakresów energii 

i kątów rozpraszania. Jednakże nie odnotowano systematycznej poprawy dla szerokiego 

zakresu energii i katów rozpraszania. Empiryczny potencjał Greena z parametrami dopa-



100 eV 

150 eV 

8.3 

8.2 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

1.5 

0.07 

0.023 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.78 

0.08 

0.05 

0.025 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

200 eV 

300 eV 

9 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.42 

0.055 

0.025 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.16 

0.095 

0.035 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 




sowanymi do doświadczalnie wyznaczonych wartości przekrojów czynnych na absorpcję 

w szerokim zakresie energii został z powodzeniem użyty do wyznaczenia potencjału polaryzacyjnego 

z relacji dyspersyjnej [38]. 

Jednym z celów tej pracy było zbadanie czy zależność od energii modeli potencjałów 

absorpcyjnych modyfikujących QFSM jest wystarczająco dobra aby można było 

otrzymać z nich potencjał polaryzacyjny. Analizując wykresy różniczkowych przekrojów 

czynnych (rysunki 4.9-4.12) można zobaczyć, że użycie relacji dyspersyjnej do uzyskania 

z oryginalnego modelu QFSM (na rysunku d(fo)) potencjału polaryzacyjnego nie przynosi 

zadowalających rezultatów. Co gorsza, dla niskich energii, otrzymujemy minima, 

które nie znajdują potwierdzenia w doświadczeniu. Model d(fr) jest jednym z najlepiej 

odzwierciedlających przebieg danych doświadczalnych. Jednakże, użycie tego modelu ma 

mankament polegający na dużej rozbieżności z wynikami doświadczalnymi przekrojów 

czynnych na absorpcję, co pokazuje rysunek 4.15. Podsumowując na tym etapie badania 

nad użyciem relacji dyspersyjnej do uzyskania potencjałów polaryzacyjnych należy powstrzymać 

się od ostatecznych wniosków do czasu zbadania innych tarcz atomowych. Z 

tego między innymi powodu w następnych rozdziałach zostaną opisane dalsze badania 

obejmujące także inne tarcze atomowe.



400 eV 

500 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.07 

0.023 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.04 

0.017 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

750 eV 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

800 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.015 

0.007 

0.003 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.013 

0.0055 

0.0025 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 




1000 eV 

2000 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.008 

0.0031 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.0016 

0.0006 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

3000 eV 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.0006 

0.0002 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 4.4: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 1000, 2000, 3000 eV, 


doświadczalne (+).



5 

20 eV 

5 

30 eV 

3 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2.05 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.24 

0.13 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

40 eV 

50 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

4.1 

2.6 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

5 

2 

0.05 

0.012 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 


obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bg, bfr, bfs , dane 


100 eV 

150 eV 

8 

8 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

1.2 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.63 

0.025 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.05 

0.025 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

200 eV 

300 eV 

9 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.33 

0.055 

0.025 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.11 

0.036 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 4.6: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 100, 150, 200, 300 

eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bg, bfr, bfs , dane 

doświadczalne (+).



400 eV 

500 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.053 

0.023 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.031 

0.016 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

750 eV 

800 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.012 

0.0065 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.01 

0.0055 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 


eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bg, bfr, bfs , dane 


1000 eV 

2000 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.0033 

0.0006 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

3000 eV 

10 

dσ/dΩ [a 0 

2 /sr] 

0.0005 

0.0002 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 4.8: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 1000, 2000, 3000 eV, 

obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bg, bfr, bfs , dane 

doświadczalne (+).



dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

10 

1.21 

0.19 

0.06 

0.0015 

20 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

10 

5.25 

2.3 

1.25 

0.13 

30 eV 

0.0002 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.023 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

10 

6.75 

2.52 

1 

40 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

10 

5.25 

2.5 

0.9 

0.1 

50 eV 

0.035 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.017 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 4.9: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 20, 30, 40, 50 eV, obliczone 

dla potencjału polaryzacyjnego otrzymanego z różnych potencjałów absorpcyjnych poprzez 

relację dyspersyjną d(fo), d(g), d(fr), d(fc3), d(fs), dane doświadczalne (+). 

100 eV 

150 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.05 

0.013 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.85 

0.055 

0.0012 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.02 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

200 eV 

300 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.45 

0.066 

0.032 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.15 

0.055 

0.03 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 4.10: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 100, 150, 200, 

300 eV, obliczone dla potencjału polaryzacyjnego otrzymanego z różnych potencjałów 

absorpcyjnych poprzez relację dyspersyjną d(fo), d(g), d(fr), d(fc3), d(fs), dane doświadczalne 

(+).



400 eV 

500 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.08 

0.032 

0.019 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.048 

0.031 

0.015 

0 40 80 120 160 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

θ [ deg ] 

750 eV 

800 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.03 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.03 

0.009 

0.0075 

0 40 80 120 160 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

θ [ deg ] 

Rys. 4.11: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 400, 500, 750, 



(+). 

1000 eV 

2000 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.015 

0.005 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.0045 

0.0013 

0 40 80 120 160 

0.0013 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

θ [ deg ] 

3000 eV 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.002 

0.0005 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 4.12: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 1000, 2000, 



(+).



15 

5 

σ el [ a 0 

2 ] 

10 

5 

σ abs [ a 0 

2 ] 

3 

1 

1 

50 100 500 1000 3000 

energia [ eV ] 

50 100 500 1000 3000 


σ tot [ a 0 

2 ] 

5 

3 

1 

50 100 500 1000 3000 


Rys. 4.13: Elastyczne, absorpcyjne oraz całkowite przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne 

dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego: bfo, bfc1, bfc2, bfc3, bfc3s, 

dane doświadczalne (+). 

13 

3 

σ el [ a 0 

2 ] 

10 

5 

σ abs [ a 0 

2 ] 

1 

1 

50 100 500 1000 3000 


50 100 500 1000 3000 


13 

σ tot [ a 0 

2 ] 

10 

7 

5 

1 

50 100 500 1000 3000 


Rys. 4.14: Elastyczne, absorpcyjne oraz całkowite przekroje czynne dla rozpraszania e- 

Ne dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego: bfo, bg, bfr, bfs, dane 

doświadczalne (+).



4 

10 

3 

σ el [ a 0 

2 ] 

5 

σ abs [ a 0 

2 ] 

2 

1 

1 

15 

50 100 500 1000 3000 


50 100 500 1000 3000 


σ tot [ a 0 

2 ] 

10 

5 

50 100 500 1000 3000 


Rys. 4.15: Elastyczne, absorpcyjne oraz całkowite przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, 

obliczone dla potencjału polaryzacyjnego otrzymanego z różnych potencjałów absorpcyjnych 

poprzez relację dyspersyjną: d(fo), d(g), d(fr), d(fc3), d(fs), dane doświadczalne 

(+).



Tabela 4.1: Średnie błędy bezwzględne (SBB) przekrojów czynnych dla różnych kombinacji 

polaryzacyjnych (P) i absorpcyjnych (A) potencjałów w zależności od zakresu 

energii elektronu padającego dla rozpraszania e-Ne. 

SBB [a 2 0 ] 

∆cs 

energia [eV] 20 ÷ 100 150 ÷ 500 700 ÷ 3000 20 ÷ 3000 

1 ∆ cs 

2 ∆ cs 

3 ∆ cs 

Błąd doświadczalny 0.195 0.099 0.115 0.147 

P A 

d(fo) fo 0.399 0.158 0.117 0.254 

d(fv2) fv2 0.267 0.163 0.229 0.229 

d(fv3) fv3 0.327 0.188 0.223 0.261 

d(fs) fs 0.694 0.173 0.175 0.408 

d(fr) fr 0.265 0.176 0.230 0.232 

d(fc1) fc1 0.468 0.147 0.104 0.278 

d(fc2) fc2 1.804 0.353 0.277 0.983 

d(fc3) fc3 0.696 0.325 0.386 0.510 

d(fc3s) fc3s 0.873 0.323 0.370 0.584 

d(g) g 0.334 0.140 0.159 0.233 

b fo 0.384 0.137 0.145 0.251 

b fv2 0.330 0.118 0.288 0.265 

b fv3 0.342 0.117 0.268 0.263 

b fs 0.550 0.152 0.201 0.346 

b fr 0.395 0.144 0.233 0.284 

b fc1 0.395 0.134 0.139 0.253 

b fc2 1.001 0.220 0.272 0.587 

b fc3 0.491 0.113 0.215 0.314 

b fc3s 0.747 0.118 0.198 0.425 

b g 0.512 0.150 0.185 0.323 

a fo 0.240 0.170 0.413 0.274 

a fv2 0.163 0.320 0.706 0.365 

a fv3 0.187 0.301 0.676 0.362 

a fs 0.470 0.234 0.562 0.439 

a fr 0.281 0.250 0.671 0.390 

a fc1 0.266 0.163 0.411 0.284 

a fc2 0.928 0.297 0.498 0.641 

a fc3 0.381 0.228 0.521 0.384 

a fc3s 0.677 0.240 0.540 0.527 

a g 0.334 0.180 0.529 0.354 

b – 0.741 0.234 0.372 0.504 

a – 0.880 0.406 0.803 0.793 

– fo 0.517 0.197 0.154 0.328 

– fv2 0.469 0.155 0.177 0.303 

– fv3 0.478 0.162 0.172 0.307 

– fs 0.686 0.221 0.194 0.422 

– fr 0.564 0.219 0.230 0.378 

– fc1 0.529 0.197 0.145 0.330 

– fc2 1.104 0.240 0.214 0.621 

– fc3 0.612 0.153 0.140 0.355 

– fc3s 0.853 0.148 0.115 0.455 

– g 0.655 0.204 0.098 0.375 

– – 0.868 0.272 0.300 0.548



Tabela 4.2: Średnie błędy bezwzględne (SBB) przekrojów czynnych dla różnych kombinacji 

polaryzacyjnych (P) i absorpcyjnych (A) potencjałów w zależności od zakresu kąta 

ropraszania dla zderzenia e-Ne. 

SBB [a 2 0 ] ∆diff 1 ∆ diff 

2 ∆ diff 

3 ∆ diff ∆ el ∆ abs 

kąt [deg] 3 ÷ 30 31 ÷ 60 61 ÷ 150 3 ÷ 150 

Błąd doś. 0.250 0.064 0.026 0.101 0.316 0.100 

P A 

d(fo) fo 0.405 0.369 0.143 0.229 0.658 0.216 

d(fv2) fv2 0.400 0.059 0.034 0.131 0.622 0.596 

d(fv3) fv3 0.421 0.071 0.032 0.142 0.674 0.505 

d(fs) fs 0.456 0.212 0.071 0.169 0.643 1.027 

d(fr) fr 0.333 0.144 0.038 0.135 0.329 0.615 

d(fc1) fc1 0.430 0.363 0.139 0.226 0.719 0.281 

d(fc2) fc2 1.715 0.320 0.210 0.499 2,230 1.255 

d(fc3) fc3 0.842 0.353 0.149 0.400 0.837 0.426 

d(fc3s) fc3s 0.980 0.289 0.094 0.382 0.853 0.676 

d(g) g 0.457 0.256 0.076 0.204 0.421 0.081 

b fo 0.257 0.087 0.038 0.104 0.759 0.222 

b fv2 0.345 0.072 0.024 0.135 0.521 0.598 

b fv3 0.329 0.070 0.025 0.131 0.548 0.505 

b fs 0.269 0.052 0.024 0.098 0.532 1.039 

b fr 0.304 0.067 0.032 0.112 0.688 0.610 

b fc1 0.250 0.077 0.036 0.102 0.717 0.301 

b fc2 0.325 0.131 0.060 0.150 1.030 1.367 

b fc3 0.330 0.095 0.034 0.141 0.688 0.399 

b fc3s 0.378 0.104 0.043 0.159 0.772 0.609 

b g 0.349 0.084 0.046 0.148 0.934 0.106 

a fo 0.645 0.192 0.050 0.290 0.222 0.197 

a fv2 0.902 0.181 0.041 0.387 0.434 0.594 

a fv3 0.880 0.176 0.040 0.377 0.413 0.507 

a fs 0.715 0.160 0.038 0.307 0.321 1.026 

a fr 0.765 0.168 0.037 0.334 0.362 0.813 

a fc1 0.648 0.185 0.048 0.288 0.196 0.279 

a fc2 0.704 0.242 0.070 0.332 0.562 1.421 

a fc3 0.800 0.202 0.045 0.350 0.313 0.427 

a fc3s 0.844 0.207 0.051 0.373 0.516 0.655 

a g 0.764 0.183 0.056 0.346 0.438 0.088 

b – 0.333 0.049 0.027 0.131 0.482 2.002 

a – 0.861 0.180 0.051 0.380 0.795 2.002 

– fo 0.381 0.113 0.040 0.134 1.012 0.231 

– fv2 0.373 0.098 0.028 0.120 0.716 0.598 

– fv3 0.365 0.097 0.027 0.119 0.772 0.507 

– fs 0.391 0.082 0.025 0.123 0.776 1.044 

– fr 0.416 0.080 0.026 0.130 0.813 0.832 

– fc1 0.375 0.106 0.036 0.131 0.952 0.310 

– fc2 0.345 0.155 0.063 0.140 1.245 1.345 

– fc3 0.360 0.121 0.036 0.128 0.940 0.388 

– fc3s 0.389 0.130 0.046 0.139 1.003 0.592 

– g 0.383 0.110 0.049 0.135 1.195 0.112 

– – 0.430 0.075 0.027 0.139 0.527 2.002

Rozdział 5 

Poprawki empiryczne do potencjału 

absorpcyjnego opartego na modelu 

kwazi-swobodnego rozpraszania 

5.1 Wprowadzenie 

W poprzednim rozdziale przedstawiono wyniki uzyskane dla elastycznego rozpraszania 

elektronów na atomie neonu przy pomocy różnych kombinacji nieempirycznych modeli 

potencjałów polaryzacyjnych i opartych na modelu kwazi-swobodnego rozpraszania 

potencjałów absorpcyjnych V A 

f [39, 40, 38]. 

Najmniejszy błąd, ∆ cs , policzony na całym zbiorze danych przewyższył założony 

doświadczalny SBB o 70%. Wspomniany błąd otrzymano poprzez połączenie polaryzacyjnego 

potencjału V P 

b 

typu Buckinghama [17] i oryginalnego potencjału absorpcyjnego 

Vfo A opartego na modelu kwazi-swobodnego rozpraszania [41]. Wersje V 

A 

fv2 oraz V fv3 A [15] 

tego potencjału dają nieco większe błędy. Nieempiryczne modyfikacje potencjału V A 

fo , 

dyskutowane w poprzednim rozdziale oraz w [41] , poprawiają oryginalny model dla 

pewnych zakresów energii i kątów rozpraszania. Nie dają jednak poprawy dla całego 

zbioru danych. 

Potencjał Vfo A jest za silny w obszarach wysokiej i za słaby w rejonie niskiej gęstości 

elektronowej [20, 15]. Potencjały zależne od parametrów empirycznych dopasowanych 

do danych doświadczalnych mogą być pomocne w określeniu formy funkcjonalnej potencjału 

a także mogą wskazać kierunek przyszłych modyfikacji. Ostatnio Lee i in. [41] 

zaproponowali empiryczną poprawkę do potencjału Vfv3 A [15, 41]. W niniejszym rozdziale 

zostanie zaprezentowane rozszerzenie uprzednio opisanych badań na model empiryczny. 

Model bazuje na przemnożeniu potencjału absorpcyjnego V A 

fv3 

przez czynnik skalujący 

45

ROZDZIAŁ 5. POPRAWKI EMPIRYCZNE DO POTENCJAŁU ABSORPCYJNEGO 

OPARTEGO NA MODELU KWAZI-SWOBODNEGO ROZPRASZANIA 46 

SF (scaling factor) zawierający dwa parametry empiryczne M oraz N: 

SF = 1.0 + Mpr s − N pr s 

, (5.1) 

gdzie, jak poprzednio, p = √ 2E jest pędem elektronu padającego, r s = [ 

3 

4πϱ(⃗r) ]1/3 oznacza 

promień Seitza a ϱ(⃗r) jest gęstością elektronową tarczy. Czynnik skalujący jest bezwymiarowy, 

użycie gęstości elektronowej, zamiast r, jako zmiennej niezależnej ma na celu 

spowodować jego niezależność od rozmiarów tarczy. Wprowadzone parametry mają być, 

z założenia, niezależne od rodzaju tarczy i energii elektronu padającego. Wspomniani 

autorzy wybrali tak parametry aby odtworzyć przekrój czynny na absorpcję dla rozpraszania 

elektronów na cząsteczce N 2 przy energii 500 eV. Otrzymali wartości M=0.12 i 

N=2.2. Z tym wartościami parametrów dla różnych atomów i molekuł uzyskali lepszą 

zgodność wyników z danymi doświadczalnymi. 

Do oceny powyższego modelu wykorzystaliśmy zdefiniowaną w poprzednim rozdziale 

funkcję błędu. Parametry występujące w SF zostały zoptymalizowane poprzez minimalizację 

SBB na zbiorze danych zawierającym doświadczalne przekroje czynne dla szerokiego 

zakresu energii elektronu padającego i kątów rozpraszania. Obliczenia przeprowadzono 

dla trzech tarcz: He (316 danych), Ne (282 danych) oraz Ar (302 danych). Poszukiwanie 

minimalnych wartości SBB przeprowadzono przy pomocy algorytmu genetycznego 

[42, 43]. 

Przedziały, w których dokonujemy optymalizacji parametrów M i N powinny być 

starannie dobrane. Z powodu znaku minus, występującego we wzorze (5.1), potencjał absorpcyjny 

może stać się dodatni dla niektórych wartości r. Potencjał zachowa się wówczas 

jak źródło a nie absorbent. Potencjały absorpcyjne, dla tarcz atomowych omawianych w 

tym rozdziale, z parametrami rekomendowanymi w [20] stają się dodatnie dla niektórych 

energii i odległości. Funkcja błędu, dla He i Ar, osiąga minimum dla małych wartości N, 

rzędu 10 −4 . Położenie N = 0 praktycznie nie zmieniło błędu. Dla Ne utrzymanie N ≠ 0 

wraz z warunkiem V A (r) < 0 ∀r, nie doprowadziło do poprawy SBB. Z tych przyczyn 

położono N = 0 i i zaproponowano czynniki skalujące w następujących postaciach: 

gdzie a 1 , c 0 , c 1 są dodatnimi parametrami empirycznymi. 

SF 1 = 1.0 + a 1 pr s , (5.2) 

SF 2 = c 0 + c 1 pr s , (5.3) 

Oba czynniki znacząco doprowadziły do poprawy SBB dla He i Ar. Optymalne wartości 

parametrów dla tych atomów nie różnią się wiele od siebie. Dla Ne spadek wartości 

SBB nie jest wielki a wartości dopasowanych parametrów występujących w czynnikach 

skalujących różnią się znacząco od tych dla He i Ar. 

Potencjały absorpcyjne oparte na modelu kwasi-swobodnego rozpraszania zależą od 

rzeczywistej części potencjału, V R . W oryginalnym modelu, Vfo A , zależność ta objawia



się we wzorze na lokalną prędkość elektronu padającego. W modelu V A 

fv3 

zależność pojawia 

się także w warunkach wynikających z zakazu Pauliego. W modelu Vfo A cześć rzeczywista 

potencjału jest przybliżona przez sumę potencjału statycznego i wymiennego: 

V R = V SE . Stosowane jest również podejście, w którym do potencjału absorpcyjnego 

wstawia się V R = V SEP , gdzie potencjał polaryzacyjny, V P , jest dodawany do V SE 

[44, 20]. Jednakże użycie potencjału V R = V SEP w potencjale absorpcyjnym powoduje, 

że problem uzyskania potencjału V P z relacji dyspersyjnej (wiążącej V P z V A ) ulega 

skomplikowaniu. Ważną kwestią zatem staje się zbadanie czy włączenie V P do V A jest 

istotne. Mając to na uwadze zaprezentowane zostaną wyniki obliczeń dwóch podejść. 

Wyniki te pokażą, że w przypadku rozważanych tutaj tarcz atomowych obecność V P w 

V A nie jest znacząca. 

W dalszej części bieżącego rozdziału zostaną porównane wyniki obliczeń dla sześciu 

wersji potencjału absorpcyjnego dla rozpraszania e-He, e-Ne i e-Ar w szerokim zakresie 

energii i kątów rozpraszania. 

5.2 Teoria i obliczenia 

Szczegółowy opis obliczeń dotyczący rozwiązywania równania opisującego rozpraszanie 

jak i postaci potencjałów statycznego i wymiennego oraz polaryzacyjnego potencjału 

typu Buckinghama został umieszczony w poprzednim rozdziale. 

Warto w tym miejscu przypomnieć postać potencjału absorpcyjnego opartego na modelu 

kwaziswobodnego rozpraszania: 

gdzie 

Vf A 2πϱ(⃗r)u(⃗r, E) 

(⃗r, E) = − 

5kF 3 H(p 2 + k 2 

p2 F − α − β) 

×[ 

5k 

3 

F 

α − k 2 F 

− k3 F [5(p2 − β) + 2k 2 F ] 

(p 2 − β) 2 

+H(α + β − p 2 ) 2(α + β − p2 ) 5/2 ] 

(p 2 − β) 2 , (5.4) 

u(⃗r, E) = [2(E − V R )] 1/2 , (5.5) 

k F = (3πϱ) 1/3 a H jest funkcją skokową Heaviside’a. Wartości α and β [15] są uwarunkowane 

zakazem Pauliego i w zależności od modelu są różnymi funkcjami energii progowej 

atomu ∆, potencjału jonizacyjnego I, pędu Fermiego k F 

oraz części rzeczywistej potencjału 

efektywnego V R . Wszystkie modele V A 

f 

obecnie rozpatrywane otrzymuje się z 

równania (5.4) poprzez określenie wartości V R , α oraz β. Idąc dalej niektóre z modeli są 

mnożone przez czynnik skalujący, który zależy od dopasowywalnych parametrów.



Mamy zatem: 

Vfo A (SE)— oryginalny frywolny model potencjału 

V R = V SE , α = k 2 F + 2∆, β = k 2 F ; (5.6) 

Vfv3 A (SE) — frywolny model potencjału, wersja 3 z V 

SE 

V R = V SE , 

α = k 2 F + 2[∆ − (I − ∆)] − V R 

β = k 2 F + 2(I − ∆) − V R ; (5.7) 

Vfv3 A (SEP ) — frywolny model potencjału, wersja 3 z V 

SEP 

V R = V SEP , α = k 2 F + 2[∆ − (I − ∆)] − V R , 

β = k 2 F + 2(I − ∆) − V R . (5.8) 

Vfv3sf1 A (SE) — potencjał (5.7) przemnożony przez czynnik skalujący (5.2): 

V A 

fv3sf1(SE) = SF 1 V A 

fv3V (SE) (5.9) 

Vfv3sf1 A (SEP ) — potencjał (5.8) przemnożony przez czynnik skalujący (5.2): 

V A 

fv3sf1(SEP ) = SF1 V A 

fv3(SEP ) (5.10) 

Vfv3sf2 A (SE) — potencjał (5.7) przemnożony przez czynnik skalujący (5.3): 

V A 

fv3sf2(SE) = SF2 V A 

fv3(SE) (5.11) 

Optymalizacji poddane zostały także wersje, w których potencjał Vfo A został przemnożony 

przez czynniki skalujące SF1 oraz SF2. Jednakże uzyskane wyniki nie były lepsze 

niż przy wykorzystaniu powyżej opisanych modeli. 

5.3 Zbiory danych, funkcja błędu i optymalizacja 

Obecnie rozważane modele oceniane są w sposób analogiczny do tych opisanych w poprzednim 

rozdziale. Średnie błędy bezwzględne (SBB) modeli teoretycznych są liczone 

jako odstępstwo od danych doświadczalnych. Innymi słowy, staramy się uzyskać jak najmniejsze 

błędy przy użyciu danych doświadczalnych wziętych jako wzorzec. Dla każdej 

tarczy atomowej zbiór danych doświadczalnych składa się z elastycznych, absorpcyjnych 

oraz różniczkowych przekrojów czynnych. Na całkowitą liczbę N danych dla konkretnego 

atomu składa się suma Ne el , Ne 

abs oraz N diff . Liczba energii dla których są dostępne elastyczne 

i absorpcyjne przekroje czynne a także liczba dostępnych różniczkowych przekrojów 

czynnych jest uwidoczniona w tabeli (5.1). Dla przypomnienia N e jest liczbą energii 

elektronu padającego, dla której są dostępne doświadczalne przekroje czynne a N diff 

e 

jest



Tabela 5.1: Liczba danych doświadczalnych. 

N el 

e 

N ab 

e 

N el 

e N N e N diff 

e-He 20 20 276 316 21 15 

e-Ne 17 18 247 282 20 15 

e-Ar 17 19 266 302 21 13 

liczbą energii dla której są dane różniczkowe przekroje czynne. Zbiory danych doświadczalnych 

(szczegółowo opisane w dodatku B) pochodzą z prac [45, 46, 47, 48, 49, 50] dla 

atomu helu, [51, 52, 53, 50, 54] dla neonu oraz [51, 50, 54, 47, 55] dla argonu. 

Średni błąd bezwzględny, liczony dla danego celu atomowego na całym zbiorze danych 

doświadczalnych ma podobnie jak wcześniej postać: 

∆ cs = 1 ∑N e 

( 

1 

∆ dσ 

) 

N e N j dΩ (j) + ∆σ(j) , (5.12) 

j=1 

gdzie N j oznacza liczbę danych dla danej energii. ∆ dσ 

dΩ 

(j) jest błędem bezwzględnym 

różniczkowych przekrojów czynnych a ∆σ(j) jest sumą błędów elastycznych i absorpcyjnych 

przekrojów czynnych dla j-tej energii. Dla ułatwienia bardziej szczegółowej dyskusji 

nad modelami policzono także SBB dla elastycznych, ∆ el , absorpcyjnych, ∆ abs i różniczkowych 

przekrojów czynnych ∆ diff . Obliczenia przeprowadzono dla szerokiego zakresu 

energii tj. od 20 do 3000 eV. Mając to na uwadze policzono także SBB dla małych ∆ cs 

1 

(20-100 eV), średnich ∆ cs 

2 

(150-500 eV) oraz wysokich ∆cs 3 

(600-3000 eV) energii. Podobnie 

podzielono zakres kątów rozpraszania: ∆ diff 

1 dla kątów (3 ◦ -30 ◦ ), ∆ diff 

2 dla kątów 

(31 ◦ -60 ◦ ) oraz ∆ diff 

3 dla kątów (61 ◦ -180 ◦ ). 

W celu optymalizacji parametrów, występujących w czynnikach skalujących, użyto 

algorytmu mikrogenetycznego [42]. Optymalizacji dokonano poprzez minimalizację ∆ cs 

osobno dla każdego atomu. Użyto fortranowskiej wersji 1.7a kodu Carroll’a, gdzie ∆ cs 

została wzięta jako funkcja dopasowania. Zoptymalizowane parametry zostały zebrane 

w tabeli 5.2. 

5.4 Wyniki i dyskusja 

Obliczone średnie błędy bezwzględne dla rozważanych modeli prezentują tabele 5.3 i 5.4. 

Do porównywania modeli powinny być użyte liczby w poszczególnych wierszach. Podobnie 

jak to miało miejsce poprzednio założono, że błąd doświadczalny dla całkowitych 

przekrojów czynnych wynosi 5% a dla różniczkowych przekrojów czynnych 10%. 

Porównanie wyników dla Vfo A(SE) 

i V fv3 A (SE) pokazuje, że użycie potencjału V 

A 

fo (SE) 

prowadzi do mniejszego błędu ∆ cs dla wszystkich rozważanych atomów. Jednak różnice



Tabela 5.2: Zoptymalizowane parametry w czynnikach skalujących. 

Vfv3sf1 A (SE) 0.1408 

(SEP ) 0.1508 

V A 

fv3sf1 

V A 

fv3sf2 

a 1 c 0 c 1 

e-He 

(SE) 1.0198 0.1380 

Vfv3sf1 A (SE) 0.01249 

(SEP ) 0.02311 

V A 

fv3sf1 

V A 

fv3sf2 

e-Ne 

(SE) 0.09949 0.1668 

Vfv3sf1 A (SE) 0.1281 

(SEP ) 0.1389 

V A 

fv3sf1 

V A 

fv3sf2 

e-Ar 

(SE) 1.1161 0.1158 

w błędach przy obu podejściach są raczej małe. Błędy ∆ cs 

1 , ∆cs 2 i ∆diff 3 są mniejsze dla 

wersji Vfv3 A (SE). Oznacza to, że użycie tej wersji potencjału dla rozważanych atomów 

prowadzi do lepszych wyników dla niskich energii i dużych kątów rozpraszania. 

Spójrzmy jak uwzględnienie potencjału polaryzacyjnego w potencjale absorpcyjnym 

wpływa na wyniki obliczeń. 

W tym celu porównajmy wersję Vfv3 A (SE) z V fv3 A (SEP ). Różnice w błędach obu wersji 

są małe. Wartym odnotowania jest fakt, że wersja Vfv3 A (SE) ma nieco mniejszy błąd ∆cs 

dla wszystkich trzech atomów. 

Wprowadzenie czynnika skalującego SF1 (z jednym dopasowywalnym parametrem) 

do modelu Vfv3 A (SE) (porównanie trzeciej i czwartej kolumny) obniża w znaczny sposób 

∆ cs dla atomów helu i argonu. Warto zauważyć znaczny wpływ czynnika SF1 na przekroje 

czynne na absorpcję. Błędy maleją niemalże dziesięciokrotnie. Czynnik SF1 obniża 

także błąd przekrojów czynnych dla wysokich energii ∆ cs 

3 . Z drugiej zaś strony, poprawa 

wyników dla atomu neonu jest nieznaczna. 

Różnice pomiędzy modelami Vfv3sf1 A (SE) oraz V 

A 

fv3sf1 (SEP ) są zaniedbywalne (tabela 

5.4). 

Czynnik skalujący SF2 daje najmniejsze wartości ∆ cs dla wszystkich trzech atomów. 

Jak już wspomniano wcześniej, optymalne wartości parametrów składających się na 

czynniki skalujące SF1 i SF2 są, dla helu i argonu, zbliżone. Wartości parametrów dla 

neonu są znacząco różne od tych dla helu i argonu. Znaczy to tyle, że parametry czynników 

skalujących nie mogą być rozważane niezależnie od tarczy na której rozpraszają się 

elektrony.



Tabela 5.3: SBB przekrojów czynnych dla różnych potencjałów dla rozpraszania e-He, 

e-Ne oraz e-Ar. 

SBB [a 2 0 ] Dośw. Model 

Vfo A V fv3 A (SE) 

e-He 

V A 

fv3sf1 (SE) 

∆ cs 0.055 0.182 0.184 0.072 0.072 

∆ abs 0.060 0.645 0.663 0.054 0.054 

∆ el 0.124 0.110 0.110 0.121 0.121 

∆ diff 0.041 0.059 0.060 0.063 0.063 

∆ cs 1 0.100 0.294 0.286 0.125 0.125 

∆ cs 2 0.027 0.053 0.062 0.043 0.043 

∆ cs 3 0.017 0.129 0.139 0.025 0.024 

∆ diff 1 0.112 0.196 0.199 0.198 0.198 

∆ diff 2 0.032 0.026 0.025 0.027 0.027 

∆ diff 3 0.019 0.019 0.017 0.017 0.017 

e-Ne 

∆ cs 0.147 0.251 0.264 0.254 0.227 

∆ abs 0.100 0.222 0.505 0.430 0.236 

∆ el 0.316 0.759 0.548 0.556 0.489 

∆ diff 0.101 0.105 0.132 0.135 0.155 

∆ cs 1 0.195 0.384 0.341 0.329 0.288 

∆ cs 2 0.099 0.137 0.118 0.113 0.101 

∆ cs 3 0.115 0.146 0.269 0.260 0.240 

∆ diff 1 0.250 0.258 0.330 0.337 0.391 

∆ diff 2 0.064 0.087 0.070 0.073 0.070 

∆ diff 3 0.026 0.038 0.025 0.025 0.022 

e-Ar 

∆ cs 0.615 1.320 1.532 0.790 0.783 

∆ abs 0.369 2.869 3.617 0.355 0.301 

∆ el 0.975 1.361 0.871 0.949 0.992 

∆ diff 0.531 0.649 0.808 0.979 0.981 

∆ cs 1 0.968 2.108 1.897 0.893 0.891 

∆ cs 2 0.579 0.867 1.033 1.073 1.076 

∆ cs 3 0.284 0.815 1.479 0.511 0.492 

∆ diff 1 1.361 1.647 2.073 2.433 2.438 

∆ diff 2 0.115 0.173 0.079 0.126 0.131 

∆ diff 3 0.047 0.109 0.062 0.057 0.059 

V A 

fv3sf2 (SE) 

Na rysunkach 5.1-5.10 porównano z danymi doświadczalnymi różniczkowe przekroje 

czynne w zakresie energii 20-3000 eV otrzymane dla rozpraszania e-He, e-Ne i e-Ar przy 

pomocy modeli bfo, bfv3SE oraz bfv3sf1SEP. 

Jak widać czynnik skalujący, w modelu bfv3sf1SEP, znacząco poprawia kształt potencjału 

absorpcyjnego, ponieważ otrzymane różniczkowe przekroje czynne znacznie lepiej 

przybliżają wartości doświadczalne dla szerokiego zakresu energii i w dużym zakresie 

kątów rozpraszania. 

Analogiczne rezultaty otrzymano przy pomocy modeli bfv3sf1SE oraz bfv3sf2SE.



20 eV 

30 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.69 

0.4 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

40 eV 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

50 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.24 

0.15 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 5.1: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He, dla energii 20, 30, 40, 50 

eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bfv3SE, 

bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+). 

70 eV 

100 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.066 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

150 eV 

0.026 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

200 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.008 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.0035 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 5.2: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He, dla energii 70, 100, 150, 200 


bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+).



300 eV 

400 eV 

2 

1 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.0035 

0.0013 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

500 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.0008 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

700 eV 

2 

1 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.00055 

0.0004 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 5.3: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He, dla energii 300, 400, 

500, 700 eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, 

bfv3SE, bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+). 

20 eV 

30 eV 

2 

2 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.24 

0.14 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

40 eV 

50 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.062 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.02 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 






100 eV 

150 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.022 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.05 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

200 eV 

300 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.055 

0.035 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 




400 eV 

500 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.023 

0.016 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

750 eV 

800 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.0065 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.0057 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 



bfv3SE, bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+).



1000 eV 

2000 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.0033 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.00065 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

3000 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

1 

0.00022 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 5.7: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 1000, 2000, 3000 


bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+). 

20 eV 

50 eV 

55 

55 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

8.7 

2.3 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2.3 

0.07 

0.03 

0.18 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.004 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

100 eV 

150 eV 

55 

55 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2.4 

0.18 

0.015 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2 

0.65 

0.18 

0.007 

0.0005 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 5.8: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ar, dla energii 20, 50, 100, 150 





200 eV 

300 eV 

55 

57 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1.18 

0.45 

0.03 

0.007 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.45 

0.22 

0.046 

0.018 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

400 eV 

500 eV 

57 

57 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.25 

0.049 

0.021 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.16 

0.049 

0.019 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 5.9: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ar, dla energii 200, 300, 



800 eV 

1000 eV 

65 

65 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.036 

0.011 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

2000 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.033 

0.008 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

3000 eV 

75 

75 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.0058 

0.0012 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.0023 

0.0007 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 5.10: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ar, dla energii 800, 1000, 


bfv3SE, bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+).



e-He 

e-Ne 

e-Ar 

σ tot [ a 0 

2 ] 

10 

5 

0 

30 300 3000 

σ tot [ a 0 

2 ] 

12 

8 

4 

0 

30 300 3000 

σ tot [ a 0 

2 ] 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

30 300 3000 




σ abs [ a 0 

2 ] 

2 

1.5 

1 

0.5 

σ abs [ a 0 

2 ] 

3 

2 

1 

σ abs [ a 0 

2 ] 

12 

8 

4 

0 

30 300 3000 

0 

30 300 3000 

0 

30 300 3000 




12 

75 

σ el [ a 0 

2 ] 

8 

4 

σ el [ a 0 

2 ] 

12 

8 

4 

σ el [ a 0 

2 ] 

60 

45 

30 

15 

0 

30 300 3000 

0 

30 300 3000 

0 

30 300 3000 




Rys. 5.11: Elastyczne, absorpcyjne oraz całkowite przekroje czynne dla rozpraszania e- 

He, e-Ne, e-Ar obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, 

bfv3SE, bfv3sf1SEP, bfv3SEP, dane doświadczalne (+).



Tabela 5.4: SBB przekrojów czynnych dla różnych potencjałów dla rozpraszania e-He, 

e-Ne oraz e-Ar. 

SBB [a 2 0 ] Dośw. Model 

Vfv3 A V fv3 A (SEP ) 

e-He 

V A 

fv3sf1 (SE) 

∆ cs 0.055 0.184 0.187 0.072 0.073 

∆ abs 0.060 0.663 0.684 0.054 0.056 

∆ el 0.124 0.110 0.109 0.121 0.120 

∆ diff 0.041 0.060 0.060 0.063 0.063 

∆ cs 1 0.100 0.286 0.293 0.125 0.125 

∆ cs 2 0.027 0.062 0.063 0.043 0.043 

∆ cs 3 0.017 0.139 0.140 0.025 0.027 

∆ diff 1 0.112 0.199 0.200 0.198 0.198 

∆ diff 2 0.032 0.025 0.025 0.027 0.027 

∆ diff 3 0.019 0.017 0.018 0.017 0.017 

e-Ne 

∆ cs 0.147 0.264 0.271 0.254 0.249 

∆ abs 0.100 0.505 0.546 0.430 0.398 

∆ el 0.316 0.548 0.531 0.556 0.547 

∆ diff 0.101 0.132 0.130 0.135 0.136 

∆ cs 1 0.195 0.341 0.355 0.329 0.322 

∆ cs 2 0.099 0.118 0.119 0.113 0.111 

∆ cs 3 0.115 0.269 0.271 0.260 0.256 

∆ diff 1 0.250 0.330 0.327 0.337 0.340 

∆ diff 2 0.064 0.070 0.068 0.073 0.074 

∆ diff 3 0.026 0.025 0.024 0.025 0.025 

e-Ar 

∆ cs 0.615 1.532 1.619 0.790 0.797 

∆ abs 0.369 3.617 3.873 0.355 0.451 

∆ el 0.975 0.871 0.926 0.949 0.878 

∆ diff 0.531 0.808 0.804 0.979 0.964 

∆ cs 1 0.968 1.897 2.087 0.893 0.921 

∆ cs 2 0.579 1.033 1.039 1.073 1.060 

∆ cs 3 0.284 1.479 1.514 0.511 0.509 

∆ diff 1 1.361 2.073 2.061 2.433 2.400 

∆ diff 2 0.115 0.079 0.077 0.126 0.118 

∆ diff 3 0.047 0.062 0.067 0.057 0.056 

V A 

fv3sf1 (SEP )

Rozdział 6 

Lokalne zależne od energii 

potencjały otrzymane ze znajomości 

przekrojów czynnych 

W poprzednich rozdziałach przeanalizowano kilka modeli potencjałów efektywnych dla 

rozpraszania elektronów na atomach helu, neonu oraz argonu. Główny nacisk położono 

na przetestowanie różnych modyfikacji potencjału absorpcyjnego opartego na modelu 

kwazi-swobodnego rozpraszania. 

Rozważane nieempiryczne modele potencjałów absorpcyjnych bazujące na QFSM 

prowadziły do poprawy opisu procesu rozpraszania w pewnych zakresach energii lub 

dla niektórych zakresów kątów rozpraszania. Żaden z modeli nie doprowadził do poprawy 

wyników w szerokim zakresie energii i kątów rozpraszania. Wprowadzenie czynnika 

skalującego zawierającego parametry empiryczne znacznie poprawiło jakość potencjału. 

Zasadnicze pytanie brzmi, czy można znaleźć takie lokalne potencjały, które w zadowalający 

sposób przybliżałyby nielokalne oddziaływania w szerokim zakresie energii i 

kątów rozpraszania. Odpowiedzi na to pytanie będziemy poszukiwać w ramach podejścia 

tzw. odwrotnego procesu zderzeniowego (inverse scattering problem (isp)) czyli w 

bieżącym rozdziale uwaga zostanie skupiona na zbadaniu możliwości otrzymania lokalnych 

efektywnych zależnych od energii potencjałów polaryzacyjnych i absorpcyjnych ze 

znajomości przekrojów czynnych. 

Potencjały te zostaną oznaczone jako Visp P , V isp A , dla podkreślenia, że zostały wygenerowane 

ze znajomości danych doświadczalnych. Potencjały absorpcyjny i polaryzacyjny 

spełniają w przybliżeniu relację dyspersyjną. Do badań wybrano taką postać funkcyjną 

dla potencjału absorpcyjnego aby było możliwe analityczne wykonanie całki występującej 

w relacji dyspersyjnej i otrzymanie analitycznego wyrażenia na potencjał polaryzacyjny. 

Zapostulowana funkcja zawiera wiele parametrów, których wartości dopasowane są 

59

ROZDZIAŁ 6. LOKALNE ZALEŻNE OD ENERGII POTENCJAŁY OTRZYMANE ZE 

ZNAJOMOŚCI PRZEKROJÓW CZYNNYCH 60 

przy pomocy algorytmu genetycznego do dużego zbioru danych doświadczalnych. Dla 

przypomnienia, na zbiór ten składa się 316 danych dla helu, 282 dla neonu oraz 302 dla 

argonu, tabela 5.1. Energia elektronu padającego zawiera się w przedziale 20-3000 eV a 

kąt rozpraszania 3-150 stopni. 

6.1 Potencjały 

Zapostulujmy efektywny potencjał polaryzacyjny, w założeniu zależny od energii, jako 

sumę dwóch części. Pierwsza to część krótkozasięgowa otrzymana z potencjału absorpcyjnego 

poprzez przybliżoną relację dyspersyjną [38, 56, 57]. Na drugą, znaną długozasięgową 

część składają się wyrazy do rzędu r −6 włącznie [58, 59]: 

V P (r, E) = − 1 ∫ ∞ 

π P V A (r, E ′ ) dE ′ 

E ′ − E 

ε 

− α ( 

d 

r 4 1 − β + γE ) 

r 2 f c (r) . (6.1) 

W powyższym ε jest energią wzbudzenia ze stanu podstawowego do pierwszego stanu 

wzbudzonego, f c jest funkcją obcięcia (cutoff): 

f c (r) = 

( 

1 − e δr 

2 e −δr) 3 

, (6.2) 

e δr 

2 = 1 + δr + 1 2 (δr)2 . (6.3) 

Potraktujmy α d , β, γ oraz δ jako parametry do dopasowania. 

Potencjał absorpcyjny jest wzięty w postaci iloczynu [37] dwóch funkcji, jednej zależnej 

od energii i drugiej zależnej od odległości: 

V A (r, E) = f 1 (E)f 2 (r) . (6.4) 

Przyjmijmy taką postać części zależnej od energii aby można było wyliczyć całkę występującą 

w (6.1) analitycznie: 

⎧ 

)( 

) 

⎪⎨ −a 

(1 − e −α(E−ε) e −β1E + be −β 2E 

dla E ε , 

f 1 (E) = 

⎪⎩ 0 dla E < ε. 

(6.5) 

Funkcja f 2 (r) jest wzięta w postaci zasugerowanej w [37] 

f 2 (r) = 1 r 

(e −r/d − e −r/s ) 

. (6.6) 

W równaniach (6.5, 6.6) a, α, b, β 1 , β 2 , d oraz s są również parametrami podlegającymi 

optymalizacji. Podsumowując, mamy zatem siedem parametrów w potencjale absorpcyjnym 

V A oraz jedenaście w polaryzacyjnym V P 

potencjałów). 

Policzmy wartość główną całki z równania (6.1) tj. 

P 

∫ ∞ 

ɛ 

V A (r, E ′ ) 

E ′ − E dE′ . 

(siedem z nich jest wspólnych dla obu



Po podstawieniu wyrażeń zdefiniowanych powyżej i wyciągnięciu przed całkę wyrazów 

niezależnych od zmiennej całkowania dostaniemy co następuje: 

P 

∫ ∞ 

ɛ 

V A (r, E ′ ( ∫ 

) 

∞ 

E ′ − E dE′ = −af 2 (r) P 

− 

e αɛ P 

ɛ 

∫ ∞ 

e −(α+β 1)E ′ 

ɛ 

E ′ − E 

e −β 1E ′ ∫ ∞ 

E ′ − E dE′ + bP 

dE′ − be αɛ P 

ɛ 

∫ ∞ 

ɛ 

e −β 2E ′ 

E ′ − E dE′ 

e −(α+β 2)E ′ 

E ′ − E dE′ ) 

.(6.7) 

Po wykorzystaniu następującej zależności: 

⎧ 

e 

∫ ∞ 

e 

⎪⎨ 

−ηE Ei(ηE − ηɛ), dla E > ɛ 

−ηE′ 

P 

ɛ E ′ − E dE′ = 

⎪⎩ e −ηE E 1 (ηɛ − ηE), dla E < ɛ. 

(6.8) 

oraz wprowadzeniu oznaczenia: 

otrzymujemy co następuje: 

P 

∫ ∞ 

ɛ 

P 

∫ ∞ 

ɛ 

e −ηE′ 

E ′ − E dE′ = E c (E, η, ɛ) (6.9) 

V A (r, E ′ ( 

) 

E ′ − E dE′ = − af 2 (r) E c (E, β 1 , ɛ) + bE c (E, β 2 , ɛ) 

) 

− e αɛ E c (E, α + β 1 , ɛ) − be αɛ E c (E, α + β 2 , ɛ) . (6.10) 

Podsumowując, dostajemy następujące analityczne wyrażenie na potencjał polaryzacyjny: 

V P (r, E) = af [ 

2(r) 

E c (E, β 1 , ε) + bE c (E, β 2 , ε) 

π 

] 

−e αε E c (E, α + β 1 , ε) − be αε E c (E, α + β 2 , ε) 

− α ( 

d 

r 4 1 − β + γE ) 

r 2 f c (r) , (6.11) 

gdzie 

∫ ∞ 

e −ηE′ 

E c (E, η, ε) = P 

ε E ′ − E dE′ 

⎧ 

⎪⎨ e −ηE Ei(ηE − ηε) , E < ε , 

= − 

⎪⎩ e −ηE E 1 (ηε − ηE) , E ε . 

(6.12) 

W powyższym Ei(x) oraz E 1 (x) są eksponencjalnymi funkcjami całkowymi. 

6.2 Parametry potencjałów 

Tak jak miało to miejsce poprzednio, przekroje czynne na rozpraszanie elektronów na 

atomach uzyskano poprzez rozwiązywanie równań opisujących rozproszenie (1.57)-(1.58). 

Zmianie nie uległy także postaci użytych potencjałów statycznych i wymiennych. Dla każdego 

z atomów wszystkie jedenaście parametrów zostało zoptymalizowanych a po tym



procesie ważność każdego z parametrów została sprawdzona. W tabeli 6.1 zebrano optymalne 

wartości parametrów. Obok wartości parametru w nawiasie umieszczono maksymalny 

procentowy przyrost ∆ cs spowodowany zmianą parametru o 5% wokół optymalnej 

wartości. Dla przykładu, zmiana optymalnej wartości parametru nieliniowego α z 0.2129 

na 0.2353 dla atomu helu powoduje wzrost ∆ cs nie przekraczający 15.5% optymalnej 

wartości. 

Tabela 6.1: Zoptymalizowane parametry dla efektywnych potencjałów absorpcyjnych i 

polaryzacyjnych. Liczby w nawiasach odpowiadają największemu przyrostowi procentowemu 

∆ cs przy zmianie wartości parametru o ∓5% wokół optymalnej wartości. 

Parametr [j.a.] He Ne Ar 

a 0.0998 (28.6) 1.9712 (15.0) 0.6553 (22.0) 

α 0.2241 (15.5) 0.1830 (7.5) 0.4990 (5.3) 

β 1 0.2541 (5.7) 0.0033 (0.8) 0.0041 (1.6) 

d 1.9625 (57.4) 0.9793 (199.9) 1.7548 (88.7) 

s 0.0020 (0.0) 0.8619 (146.5) 1.0108 (23.9) 

b 0.7156 (20.6) 0.8287 (2.6) 0.3922 (2.2) 

β 2 0.0068 (1.7) 0.0492 (0.9) 0.0738 (1.2) 

α d 1.9003 (0.0) 1.5753 (0.4) 0.3884 (1.0) 

β 1.2648 (0.0) 1.8058 (0.0) 55.796 (1.2) 

γ 0.2722 (0.0) 0.7413 (0.4) 0.0583 (0.0) 

δ 0.1591 (0.1) 1.0119 (2.9) 1.3841 (11.3) 

Zatem im większa liczba w nawiasie tym istotniejszy jest stojący przy nawiasie parametr. 

Parametr γ wydaje się nie mieć większego znaczenia dla He oraz Ar. Dla tych 

atomów położenie γ = 0 zmienia wszystkie SBB o mniej niż 1%. Dla atomu neonu wyzerowanie 

parametru γ powoduje zmiany sięgające niemalże 25% a największe zmiany 

zachodzą dla małych kątów rozpraszania i dużych energii. Dla przypomnienia parametr 

γ wprowadza zależność od energii części asymptotycznej potencjału polaryzacyjnego. 

Warto w tym miejscu odnotować jak ważne są parametry d oraz s, szczególnie dla rozpraszania 

na atomie neonu i w mniejszym stopniu dla argonu. Pokazuje to jakie znaczenie 

ma część zależna od odległości potencjału absorpcyjnego. 

6.3 Wyniki 

Średnie błędy bezwzględne wszelkiego rodzaju zostały zebrane w tabeli 6.2. Podobnie 

jak miało to miejsce wcześniej podano także błędy doświadczalne przy założeniu 5 procentowego 

błędu pomiaru całkowitych przekrojów czynnych i 10% dla różniczkowych 

przekrojów czynnych. Dla porównania w tabeli 6.2 umieszczono także wyniki dla modeli 

Vfo A (SE) oraz V 

A 

fv3sf2 (SE). Potencjał polaryzacyjny typu Buckinghama został użyty w 

obu wymienionych modelach. Tym co odróżnia te dwa modele od siebie to użycie innego



Tabela 6.2: Średnie błędy bezwzględne SBB dla różnych potencjałów absorpcyjnych dla 

rozpraszania e-He, e-Ne oraz e-Ar. 

Model 

SBB [a 2 0 ] Doświadczenie,1 Omawiany model empiryczny Visp 

A 

e-He 

V A 

fo (SE) 2 

V A 

fv3sf2 (SE) 3 

∆ cs 0.055 0.044 0.182 0.072 

∆ abs 0.060 0.013 0.645 0.054 

∆ el 0.124 0.094 0.110 0.121 

∆ diff 0.041 0.027 0.059 0.063 

∆ cs 1 0.100 0.091 0.294 0.125 

∆ cs 2 0.027 0.006 0.053 0.043 

∆ cs 3 0.017 0.011 0.129 0.024 

∆ diff 1 0.112 0.069 0.196 0.198 

∆ diff 2 0.032 0.030 0.026 0.027 

∆ diff 3 0.019 0.011 0.019 0.017 

e-Ne 

∆ cs 0.147 0.100 0.251 0.227 

∆ abs 0.100 0.098 0.222 0.236 

∆ el 0.316 0.352 0.759 0.489 

∆ diff 0.101 0.079 0.105 0.155 

∆ cs 1 0.195 0.152 0.384 0.288 

∆ cs 2 0.099 0.052 0.137 0.101 

∆ cs 3 0.115 0.062 0.146 0.240 

∆ diff 1 0.250 0.246 0.258 0.391 

∆ diff 2 0.064 0.066 0.087 0.070 

∆ diff 3 0.026 0.017 0.038 0.022 

e-Ar 

∆ cs 0.615 0.342 1.320 0.783 

∆ abs 0.369 0.278 2.869 0.301 

∆ el 0.975 1.073 1.361 0.992 

∆ diff 0.531 0.241 0.649 0.981 

∆ cs 1 0.968 0.703 2.108 0.891 

∆ cs 2 0.579 0.202 0.867 1.076 

∆ cs 3 0.284 0.068 0.815 0.492 

∆ diff 1 1.361 0.655 1.647 2.438 

∆ diff 2 0.115 0.082 0.173 0.131 

∆ diff 3 0.047 0.029 0.109 0.059 

1 Założono, że doświadczalne SBB wynoszą 5% dla całkowitych przekrojów czynnych oraz 10% 

dla różniczkowych przekrojów czynnych. 

2 [41, 60]. 

3 [60]. 

potencjału absorpcyjnego. Dla przypomnienia w modelu oznaczonym jako Vfo A (SE) (5.6) 

użyto oryginalnego frywolnego potencjału absorpcyjnego. Oznaczenie Vfv3sf2 A (SE) (5.11) 

wskazuje na użycie trzeciej wersji kwaziswobodnego modelu rozproszeniowego jako potencjału 

absorpcyjnego przemnożonego przez czynnik skalujący SF2 (5.3). W obu modelach 

potencjał absorpcyjny zależy od potencjału statyczno-wymiennego, stąd oznaczenie SE. 

Wymienione potencjały dały najmniejszy globalny błąd spośród rozpatrywanych potencjałów 

opisanych szczegółowo w poprzednich rozdziałach. 

Identycznie jak miało to miejsce wcześniej w celu porównania modeli należy użyć liczb 

w wierszach w tabeli 6.2. Jednym z pierwszych wniosków nasuwających się po przestudiowaniu 

wyników zgromadzonych w tabeli 6.2 jest znacząca a niekiedy bardzo znacząca 

poprawa wyników otrzymanych przy pomocy omawianego modelu empirycznego w porównaniu 

do wyników otrzymanych przy pomocy potencjałów Vfo A (SE) oraz V 

A 

fv3sf2 (SE)



(odpowiednio przedostania i ostatnia kolumna tabeli). Różniczkowe przekroje czynne dla 

różnych energii i kątów rozpraszania są pokazane na rysunkach 6.1-6.11. 

20 eV 

30 eV 

2.5 

3 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.85 

0.68 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.41 

0.5 

0 40 80 120 160 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

θ [ deg ] 

40 eV 

50 eV 

3 

3 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.24 

0.15 

0 40 80 120 160 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

θ [ deg ] 

Rys. 6.1: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He dla energii 20, 30, 40 i 50 

eV, dane doświadczalne (+). 

Zarówno rysunki 6.1-6.11 i tabela 6.2 pokazują, że prezentowany model empiryczny 

poprawnie (w granicach błędu doświadczalnego) opisuje proces rozproszeniowy w dużym 

zakresie energii i kątów rozpraszania. Jak wiadomo, minimalizacja globalnego błędu (∆ cs ) 

nie oznacza, że otrzymamy idealną zgodność wszystkich przekrojów czynnych z reprodukowanymi 

danymi doświadczalnymi. W omawianym przypadku nieliczne obserwowane 

odstępstwa są następujące: 

• dla rozpraszania e-Ne, mniej dokładnie są reprodukowane różniczkowe przekroje 

czynne dla niskich energii, 

• dla rozpraszania e-Ne, obliczenia różniczkowych przekrojów czynnych dały niewielkie 

lokalne minimum w okolicach 30 stopni kąta rozpraszania, którego nie wykazują 

dane doświadczalne, poza tym niezbyt dokładnie uległy reprodukcji całkowite przekroje 

czynne, 

• dla rozpraszania e-Ar obserwujemy niedokładności w różniczkowych przekrojach 

czynnych dla 20 eV w okolicach 70 stopni kąta rozpraszania oraz dla 100 eV w 

okolicach 120 stopnia kąta rozpraszania.



70 eV 

100 eV 

3 

3 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.07 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.03 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

3 

150 eV 

3 

200 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.011 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.006 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.2: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He dla energii 70, 100, 150 i 

200 eV, dane doświadczalne (+). 

3 

300 eV 

3 

400 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.0023 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.0013 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

3 

500 eV 

3 

700 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.017 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.009 

0.0008 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.0004 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.3: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He dla energii 300, 400, 500 i 


Powyższe odstępstwa są niewielkie ale mogą sugerować, że postulowana dla wygody 

obliczeń postać potencjału jest zbyt uproszczona. W szczególności założenie, że potencjał



1 

1000 eV 

1 

2000 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.0043 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.0011 

0.00018 

4.5e-005 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

1 

3000 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.00049 

2e-005 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.4: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He dla energii 1000, 2000 i 


20 eV 

30 eV 

3 

5 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.24 

0.135 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

40 eV 

50 eV 

5 

5 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.054 

0.015 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.5: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 20, 30, 40 i 50 


jest iloczynem funkcji zależnej od odległości i funkcji zależnej od energii może być zbyt 

dużym przybliżeniem.



100 eV 

150 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.03 

0.07 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

200 eV 

300 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.08 

0.07 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.6: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 100, 150, 200 i 


400 eV 

500 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.055 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.035 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

750 eV 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

800 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.014 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.012 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.7: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 400, 500, 750 i 

800 eV, dane doświadczalne (+).



1000 eV 

2000 eV 

10 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.007 

0.0015 

0 40 80 120 160 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

θ [ deg ] 

10 

3000 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1 

0.0006 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.8: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 1000, 2000 i 


20 eV 

50 eV 

53 

55 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

7.3 

2.1 

0.92 

0.48 

0.15 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1.42 

0.072 

0.025 

0 40 80 120 160 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

θ [ deg ] 

100 eV 

150 eV 

64 

62 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

2.38 

0.52 

0.22 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1.65 

0.33 

0.009 

0.0075 

0 40 80 120 160 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

θ [ deg ] 

Rys. 6.9: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ar dla energii 20, 50, 100 i 150 


6.4 Podsumowanie i wnioski 

W bieżącym rozdziale parametry w potencjałach zostały dopasowane do danych doświadczalnych 

w zakresie energii od 20 do 3000 eV. Jak zaprezentowano powyżej dla



200 eV 

300 eV 

62 

62 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

1.05 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.51 

0.028 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.049 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

400 eV 

500 eV 

62 

62 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.28 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

0.17 

0.054 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.054 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.10: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 200, 300, 400 

i 500 eV, dane doświadczalne (+). 

800 eV 

1000 eV 

62 

61 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

10 

0.04 

0.029 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

2000 eV 

3000 eV 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

58 

10 

dσ/dΩ [ a 0 

2 /sr ] 

37 

10 

0.006 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

0.0023 

0 40 80 120 160 

θ [ deg ] 

Rys. 6.11: Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 800, 1000, 2000 

i 3000 eV, dane doświadczalne (+). 

wymienionego zakresu energii potencjały bardzo dobrze odtworzyły przekroje czynne. 

Z formalnego punktu widzenia równania (6.5) oraz (6.12) mogą być użyte dla energii



e-He 

e-Ne 

e-Ar 

σ tot [ a 0 

2 ] 

12 

8 

4 

0 

30 300 3000 

σ tot [ a 0 

2 ] 

12 

8 

4 

0 

30 300 3000 

σ tot [ a 0 

2 ] 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

30 300 3000 




σ abs [ a 0 

2 ] 

2 

1 

σ abs [ a 0 

2 ] 

3 

2 

1 

σ abs [ a 0 

2 ] 

12 

8 

4 

0 

30 300 3000 

0 

30 300 3000 

0 

30 300 3000 




σ el [ a 0 

2 ] 

12 

8 

4 

0 

30 300 3000 

σ el [ a 0 

2 ] 

12 

8 

4 

0 

30 300 3000 

σ el [ a 0 

2 ] 

75 

60 

45 

30 

15 

0 

30 300 3000 




Rys. 6.12: Elastyczne, absorpcyjne oraz całkowite przekroje czynne dla rozpraszania e-He, 

e-Ne i e-Ar, dane doświadczalne (+). 

elektronu padającego poniżej energii progowej (E < ε) lecz parametry z tabeli dają dla 

niskich energii większe błędy. W celu poszerzenia zakresu stosowania omawianych potencjałów 

o zakres niskich energii należałoby dopasować parametry potencjałów na zbiorze 

danych zawierającym doświadczalne przekroje czynne dla energii elektronu padającego 

zawierających się w przedziale (0, ε). W szczególności, patrząc na wykresy całkowitych 

przekrojów czynnych dla rozpraszania elektronów na neonie (rysunek 6.12) można dojść 

do wniosku, że dla niskich energii rozpraszania nie udało się uzyskać wyników bardzo 

zbliżonych do danych doświadczalnych. 

Zoptymalizowano różne warianty funkcjonalnych postaci potencjałów, które dawały 

w rezultacie podobne wartości przekrojów czynnych. Wzięto pod uwagę różne postaci potencjału 

polaryzacyjnego zarówno wraz jak i bez daleko-zasięgowej części. Nie przyniosło 

to lepszych wyników niż zaprezentowany powyżej model. 

Pomimo prostoty założonej zależności od energii rozważanego modelu otrzymane potencjały 

mogą być pomocne przy poszukiwaniu nowych doskonalszych modeli. Uproszczeniem 

jest postać iloczynu: 

V A (r, E) = f 1 (E)f 2 (r) . 

W przyszłych badaniach należałoby zastosować bardziej ogólną postać funkcyjną V A (r, E) 

lub kombinację liniową wyrazów będących iloczynem. Odwrotny problem zderzeniowy 

czyli znajdowanie potencjałów na podstawie przekrojów czynnych jest zagadnieniem bar-



dzo ważnym, ponieważ wygenerowane potencjały mogą stanowić bazę dla modelowania 

bardziej adekwatnych zależności od energii i odległości potencjałów efektywnych.

Podsumowanie 

Jednym z celów niniejszej rozprawy była ocena efektywności niektórych zaproponowanych 

w literaturze, nieempirycznych, zależnych od energii potencjałów absorpcyjnych 

opartych na modelu prawie swobodnych elektronów, QFSM. Przeprowadzono obliczenia 

dla różnych kombinacji potencjałów absorpcyjnych i polaryzacyjnych dla elastycznego 

rozpraszania elektronów na atomach neonu. Uzyskane wyniki zostały ocenione przez obliczenie 

średniego błędu bezwzględnego na zbiorze doświadczalnych wartości przekrojów 

czynnych. Stwierdzono, że rozważane nieempiryczne modyfikacje oryginalnego modelu 

QFSM prowadzą do poprawy opisu rozpraszania dla pewnych zakresów energii padającego 

elektronu oraz pewnych zakresów kąta rozpraszania. Żaden z rozważanych modeli 

nie doprowadził do systematycznej poprawy wyników dla całego zakresu rozważanych 

energii i kątów. 

Następnie badano możliwość uzyskania efektywnych potencjałów polaryzacyjnych ze 

znajomości potencjałów absorpcyjnych poprzez relację dyspersyjną. Okazało się, że w 

żadnym z rozważanych modeli potencjału absorpcyjnego zależność od energii nie została 

skorygowana na tyle wystarczająco aby móc wygenerować z nich poprawny potencjał 

polaryzacyjny; obserwuje się znaczne odstępstwa od wartości doświadczalnych szczególnie 

dla niskich energii. 

W celu uzyskania odpowiedzi na pytanie czy można wymodelować taki lokalny, zależny 

od energii potencjał efektywny, który byłby dobrym przybliżeniem nielokalnego 

potencjału optycznego w szerokim zakresie energii, przebadano również modele empiryczne 

bazujące na modelu QFSM. Do wyznaczenia optymalnych wartości parametrów 

empirycznych wykorzystano algorytm genetyczny, który służył do minimalizacji globalnego 

średniego błędu bezwzględnego, użytego poprzednio do oceny modeli. Obliczenia 

przeprowadzono dla trzech tarcz, helu, neonu i argonu. We wszystkich przypadkach otrzymano 

znaczne (nawet kilkukrotne) zmniejszenie błędu i rozszerzenie zakresu stosowalności 

rozpatrywanych modeli. Stwierdzono, że parametry czynników skalujących nie mogą 

być rozważane niezależnie od tarczy, na której rozpraszają się elektrony. 

Ostatnim celem pracy było zbadanie możliwości uzyskania informacji o potencjałach 

efektywnych poprzez wygenerowanie ich ze znajomości przekrojów czynnych. Modelo- 

72



wany potencjał absorpcyjny przedstawiono w postaci iloczynu funkcji energii i funkcji 

współrzędnej, obie funkcje zawierały parametry empiryczne. Potencjał polaryzacyjny 

modelowano jednocześnie korzystając z relacji dyspersyjnej. Mimo prostoty modelu uzyskano 

bardzo dobrą reprodukcję danych doświadczalnych dla trzech tarcz, dla szerokiego 

przedziału energii i w całym zakresie kątów. Nieco mniejszą dokładność uzyskano dla 

energii niskich. 

Badania te jednak pokazują, że można znaleźć takie lokalne przybliżenie nielokalnego 

potencjału, które prowadzi do tych samych wartości przekrojów czynnych. 

Studia nad poszukiwaniem informacji o potencjałach poprzez odwrotny problem zderzeniowy 

powinny być kontynuowane. Jedną z możliwości rozszerzenia badań jest próba 

dopasowania parametrów potencjałów poprzez skonstruowanie funkcji błędu jednocześnie 

dla kilku tarcz atomowych (np. gazów szlachetnych). 

W przyszłych badaniach powinno się zastosować bardziej ogólną postać funkcyjną 

potencjałów. Można także spróbować skonstruować potencjał będący kombinacją liniową 

kilku np. N p funkcji: 

F (r, E) = 

∑ 

N p 

a i f i (r, E), 

i=1 

gdzie parametry a i podlegałyby również optymalizacji za pomocą algorytmu genetycznego. 

Badanie problemu znajdowania potencjałów na podstawie przekrojów czynnych może 

stanowić bazę dla modelowania bardziej adekwatnych zależności od energii i odległości 

potencjałów efektywnych. 

W pracy, w dodatku A, umieszczono pełne wyprowadzenie wzoru na potencjał absorpcyjny, 

oparty na modelu prawie swobodnych elektronów, QFSM.

Dodatek A 

Wyprowadzenie wzoru na potencjał 

absorpcyjny dla modelu QFSM 

Obecnie zajmiemy się policzeniem następującego wyrażenia: 

σ b = N k 

p 

∫ 

⊂S 

∫ 

d ⃗ k|⃗p − ⃗ k| d⃗g dσ b 

⊃S dΩ 

1 

δ(p 0 − p f ). 

p 2 0 

(A.1) 

Na początek przywołajmy jak wielkości występujące w powyższym wyrażeniu są związane 

z wielkościami fizycznym: 

• N k jest stałą gęstością elektronów tarczy w przestrzeni pędów, 

• ⃗p, ⃗ k są pędami elektronu padającego i tarczy przed zderzeniem odpowiednio, 

• S jest oznaczeniem sfery Fermiego, 

• ⃗p ′ , ⃗ k ′ są pędami elektronu padającego i tarczy po zderzeniu odpowiednio, 

• ⃗p 0 , ⃗p f są pędami elektronu rozproszonego, odpowiednio, przed zderzeniem i po zderzeniu 

w układzie środka masy podukładu elektron-elektron. 

• ⃗g jest przekazem pędu, równym ⃗p ′ − ⃗p lub ⃗p f − ⃗p 0 , 

• ⃗q, ⃗q ′ jest pędem przed i po zderzeniu odpowiednio, 

• dσ b 

dΩ 

jest różniczkowym przekrojem czynnym na binarne zderzenia. 

Granice całkowania w wyrażeniu A.1 są, na razie, określone symbolicznie jako ⊂ S (wewnątrz 

sfery Fermiego) oraz ⊃ S (na zewnątrz sfery Fermiego). Całkowanie wewnątrz kuli 

Fermiego ⊂ S oznacza, że początkowo elektron tarczy jest zlokalizowany w obsadzonym 

morzu Fermiego. Można to wyrazić poprzez pierwsze założenie: 

k 2 k 2 F . 

(A.2) 

74

DODATEK A. WYPROWADZENIE WZORU NA POTENCJAŁ ABSORPCYJNY DLA 

MODELU QFSM 75 

Następne założenia: 

k ′2 α, (A.3) 

p ′2 β, (A.4) 

oznaczają tyle, że oba elektrony, padający i tarczy, muszą po zderzeniu znaleźć się poza 

sferą Fermiego. Parametry α oraz β wprowadzone powyżej mają wymiar energii i są 

wprowadzone dla uogólnienia modelu. Innymi słowy parametry te należy określić przy 

rachunkach dla sprecyzowanych modeli. Warto nadmienić w tym miejscu, że oryginalny 

model otrzymamy dla: 

α = k 2 F + 2∆ 

β = k 2 F . (A.5) 

Z warunku (A.3) i pierwszego z warunków (A.5) mamy: 

k ′2 k 2 + ω ≡ k 2 + 2∆. 

(A.6) 

Powyższy warunek mówi tyle, że energia elektronu tarczy po zderzeniu, k ′2 , musi przewyższyć 

energię elektronu tarczy przed zderzeniem k 2 o co najmniej wartość ∆. Energia 

∆ jest wartością energii konieczną do wzbudzenia atomu ze stanu podstawowego do 

pierwszego stanu wzbudzonego. Po podstawieniu do (A.1) wzoru Rutherforda: 

otrzymujemy co następuje: 

σ b = N k 

p 

∫ 

⊂S 

dσ b 

dΩ = 1 

|⃗p ′ − ⃗p| 4 = 1 g 4 

∫ 

d ⃗ k|⃗p − ⃗ k| d⃗g 1 1 

⊃S g 4 p 2 δ(p 0 − p f ). 

0 

(A.7) 

(A.8) 

Dla dogodności dalszych obliczeń dobrze jest dokonać zamiany kolejności całkowania: 

σ b = N k 

p 

∫ 

⊃S 

∫ 

d⃗g d ⃗ k|⃗p − ⃗ k| 1 1 

⊂S g 4 p 2 δ(p 0 − p f ). 

0 

(A.9) 

Wziąwszy pod uwagę tożsamości ⃗p 0 = ⃗q oraz ⃗p f = ⃗q ′ otrzymujemy: 

σ b = N k 

p 

∫ 

⊃S 

∫ 

d⃗g d ⃗ k|⃗p − ⃗ k| 1 1 

⊂S g 4 q 2 δ(q − q′ ). 

(A.10) 

Mając na uwadze własność funkcji δ: 

δ(q − q ′ ) = 2qδ(q 2 − q ′2 ) 

(A.11) 

a także: 

dostajemy: 

σ b = 4N k 

p 

∫ 

⊃S 

q = 1 2 |⃗p − ⃗ k| 

d⃗g 1 g 4 ∫ 

⊂S 

d ⃗ kδ(q 2 − q ′2 ). 

(A.12) 

(A.13)



Zajmijmy się teraz policzeniem całki: 

∫ 

⊂S 

d ⃗ kδ(q 2 − q ′2 ). 

(A.14) 

Na tym etapie jest dogodne wprowadzenie walcowego układu współrzędnych, którego oś 

pionowa (oś z) leży wzdłuż kierunku przekazu pędu ⃗g lecz jest przeciwnie skierowane. 

Nazwijmy te współrzędne (R, ϕ, z) wtedy mamy: 

∫ 

∫ 

d ⃗ kδ(q 2 − q ′2 ) = RdRdϕdzδ(q 2 − q ′2 ). 

⊃S 

⊃S 

(A.15) 

Argument funkcji δ w (A.15) może zostać zapisany za pomocą zmiennych przy użyciu 

twierdzenia: 

δ(f(z) − 0) = | ∂f 

∂z |−1 z=z 0 

δ(z − z 0 ), 

(A.16) 

gdzie z 0 jest rozwiązaniem równania f(z)=0. Po skorzystaniu z tożsamości: 

⃗q = 1 2 (⃗p − ⃗ k), 

⃗q ′ = 1 2 (⃗p ′ − ⃗ k ′ ), 

⃗ k 

′ 

= ⃗ k − ⃗g, 

⃗p ′ = ⃗g + ⃗p 

otrzymujemy: 

⃗q ′ = ⃗g + ⃗q, 

q 2 = 1 4 p2 + 1 4 k2 − 1 ⃗p · ⃗k 

2 

q ′2 = g 2 + q 2 + 2⃗g · ⃗q 

q 2 − q ′2 = q 2 − g 2 − q 2 − 2⃗q · ⃗g = −g 2 − 2⃗q · ⃗g = −g 2 − ⃗g · (⃗p − ⃗ k) = 

= −g 2 − ⃗g · ⃗p + ⃗g · ⃗k 

⃗g · ⃗k = gkcos(π − θ) = −gkcos θ, 

gdzie θ jest kątem pokazanym na rysunku A.1. Biorąc pod uwagę, że: 

z = kcos θ 

(A.17) 

dostajemy: 

q 2 − q ′2 = −g 2 − ⃗g · ⃗p − gz. 

(A.18) 

Zatem wynika z powyższego, że: 

f(z) = −g 2 − ⃗g · ⃗p − gz. 

(A.19) 

Obliczamy odwrotność bezwzględnej wartości pochodnej funkcji f: 

| ∂f 

∂z |−1 = 1 g . 

(A.20)



Rys. A.1: Układ współrzędnych używany do obliczenia całki po ⃗ k. Promień kuli jest równy 

wartości pędu Fermiego k F . 

Rozwiązaniem równania f(z 0) = 0 jest 

Policzmy teraz iloczyn skalarny w powyższym wyrażeniu: 

a ponieważ 

⃗g · ⃗p 

z 0 = −g − 

g . (A.21) 

⃗g · ⃗p = (⃗p ′ − ⃗p) · ⃗p = ⃗p · ⃗p ′ − p 2 

g 2 = p ′2 + p 2 − 2⃗p · ⃗p ′ 

to 

⃗p · ⃗p ′ = 1 2 (p ′2 + p 2 − g 2 ) 

Ostatecznie poszukiwany argument wynosi: 

i 

⃗g · ⃗p = 1 2 (p ′2 − p 2 − g 2 ). 

z 0 = 1 

2g (p2 − p ′2 − g 2 ). 

(A.22) 

Reasumując powyższe wyprowadzenie możemy: 

δ(f(z) − 0) = | ∂f 

∂z |−1 δ(z − z0), 

z=z0 

zapisać jako: 

δ(q 2 − q ′2 ) = 1 δ(z − z0), 

g (A.23)



gdzie z 0 jest dane przez (A.22). 

Na tym etapie zadanie sprowadza się do policzenia całki: 

∫ 

1 

RdRdϕdzδ(z − z 0 ). 

g ⊂S 

(A.24) 

Funkcja podcałkowa nie zależy od ϕ możemy zatem od razu wykonać całkowanie po tej 

zmiennej, które daje w wyniku: 

∫ 

π R 2 ∫ 

2 

g R1 

2 

d(R 2 )dzδ(z − z 0 ). 

(A.25) 

Granice całkowania R 2 1 oraz R2 2 

można otrzymać przez żądanie spełnienia warunków: 

k 2 k 2 F 

|⃗p ′ | β. 

Z pierwszego z warunków otrzymujemy: 

k 2 = R 2 + z 2 k 2 F ⇒ 

R 2 k 2 F − z 2 . 

Spełnienie drugiego warunku (A.3) daje: 

k ′2 = R 2 + (z + g) 2 α ⇒ 

R 2 α − (z + g) 2 . 

Biorąc pod uwagę powyższe dostajemy: 

α − (z + g) 2 R 2 k 2 F − z 2 . 

Górna granica całki (A.25) to: 

R 2 2 = k 2 F − z 2 , 

a dolna granica jest dana poprzez: 

⎧ 

⎪⎨ 

R1 2 α − (z + g) 2 , jeśli α (z + g) 2 

= 

⎪⎩ 0, gdy α (z + g) 2 . 

Po wycałkowaniu względem zmiennej z dostajemy: 

⎧ 

∫ 

⎪⎨ kF 2 − z2 0 − α + (z 0 + g) 2 dla α (z 0 + g) 2 

d ⃗ kδ(q 2 − q ′2 ) = π 

⊂S g (R2 2 − R1) 2 = π g ⎪⎩ kF 2 − z2 0 dla α (z 0 + g) 2 

Po podstawieniu z 0 danego przez (A.22) dostajemy: 

∫ 

⎧ 

⎪⎨ 

d ⃗ kδ(q 2 − q ′2 ) = π 

⊂S g ⎪⎩ 

k 2 F − α + p2 − p ′2 , dla α (z 0 + g) 2 

k 2 F − 1 

4g 2 (p 2 − p ′2 − g 2 ) 2 , dla α (z 0 + g) 2 .



Na tym etapie możemy (A.13) zapisać w postaci: 

σ b = 8N kπ 

p 

∫ d⃗g 

g 5 ⎧ 

⎪⎨ 

⎪ ⎩ 

k 2 F − α + p2 − p ′2 , dla α (z 0 + g) 2 

k 2 F − 1 

4g 2 (p 2 − p ′2 − g 2 ) 2 , dla α (z 0 + g) 2 . 

Dla uproszczenia dalszych rozważań wprowadźmy notację: 

F 1 = 1 g 5 (k2 F − α + p 2 − p ′2 ) (A.26) 

F 2 = 1 g 5 [k2 F − 1 

4g 2 (p2 − p ′2 − g 2 ) 2 ] 

(A.27) 

oraz zamiast całkowania po ⃗g będziemy całkować po ⃗p ′ . 

Z faktu, że: 

⃗g = ⃗p ′ − ⃗p 

mamy: 

d⃗g = d⃗p ′ 

oraz 

g 2 = p ′2 + p 2 − 2pp ′ y 

y = cos η, 

gdzie η jest kątem pomiędzy ⃗p i ⃗p ′ . 

Ostatecznie element objętości we współrzędnych sferycznych (p ′ , Ψ, η) wyraża się przez: 

d⃗p ′ = p ′2 dp ′ dΨdη. 

Tak jak miało to miejsce wcześniej można od razu łatwo wycałkować po Ψ. Otrzymujemy 

wtedy: 

σ R = 16N kπ 2 

p 

∫ 

⎧ 

⎪⎨ 

p ′2 dp ′ F 1, dla α (z 0 + g) 2 

dη 

⎪⎩ F 2, dla α (z 0 + g) 2 . 

(A.28) 

Granice całkowania po zmiennej η dostaniemy z warunków: 

α (z 0 + g) 2 (A.29) 

α (z 0 + g) 2 (A.30) 

Z równania (A.22) mamy: 

z 0 + g = 1 

2g (g2 + p 2 − p ′2 ). 

Wtedy warunek α (z 0 + g) 2 przyjmie postać: 

α 1 

4g 2 (g2 + p 2 − p ′2 ) 2 .



Przekształcajmy dalej powyższą nierówność przyjmując, dla prostoty, oznaczenie g 2 ≡ G: 

4Gα G 2 + p 4 + p ′4 + 2g 2 p 2 − 2g 2 p ′2 − 2p 2 p ′2 

0 G 2 + G(2p 2 − 2p ′2 − 4α) + p 4 + p ′4 − 2p 2 p ′2 

0 G 2 + 2G(p 2 − p ′2 − 2α) + (p 2 − p ′2 ) 2 

(G + p 2 − p ′2 − 2α) 2 (p 2 − p ′2 − 2α) 2 − (p 2 − p ′2 ) 2 

(G + p 2 − p ′2 − 2α) 2 4α 2 − 4α(p 2 − p ′2 ). 

Rozwiązanie istnieje tylko wtedy, gdy prawa strona równania jest dodatnia: 

4α(α − (p 2 − p ′2 )) 0 ⇒ α p 2 − p ′2 ⇒ p ′2 p 2 − α. 

stąd mamy 

√ 

√ 

−p 2 + p ′2 + 2α − 2 α 2 − α(p 2 − p ′2 ) G 2 α 2 − α(p 2 + p ′2 ) − p 2 − p ′2 + 2α 

więc 

[ 

] 

α − (α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 [ 

] 

2 g 2 α + (α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

2 

Podstawiamy za g 2 : 

g 2 = p 2 + p ′2 − 2pp ′ η 

[ 

] 

α − α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 [ 

] 

2 p 2 + p ′2 − 2pp ′ η α + α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

2 

( 

1 

[ 

] ) 

2pp ′ p 2 + p ′2 − α + (α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

2 η 1 ( 

[ 

] ) 

2pp ′ p 2 + p ′2 − α − (α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

2 

Ostatecznie otrzymujemy 

α 1 η β 1 , 

α 1 = 

β 1 = 

{ 

1 

[ 

] } 

2pp ′ p 2 + p ′2 − α + (α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

2 

= 1 

pp ′ [ 

p 2 − α 2 − α(α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

{ 

1 

2pp ′ p 2 + p ′2 − 

] 

, 

[ 

] } 

α − (α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

2 

= 1 

pp ′ [ 

p 2 − α 2 + α(α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

] 

. 

Warunek: 

α 2 1 

4g 2 (g2 + p 2 − p ′2 ) 2 

po analogicznym postępowaniu jak powyżej prowadzi do: 

(G + p 2 − p ′2 − 2α 2 ) 2 4α 2 [α 2 (p 2 − p ′2 )].



Jeśli prawa strona powyższej nierówności jest ujemna to wtedy rozwiązanie istnieje dla 

każdego G i mamy: 

Jednakże jeżeli prawa strona jest dodatnia: 

p ′2 p 2 − α 2 . 

p ′2 p 2 − α 2 

G + p 2 − p ′2 − 2α 2 2α(α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

G 2α(α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 − p 2 + p ′2 + 2α 2 

g 2 

[ 

] 

α + (α 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 

2 ⇒ 

⇒ η α 1 

lub G + p 2 − p ′2 − 2α 2 −p 2 + p ′2 ) 1 2 ⇒ 

⇒ η β 1 

Stąd otrzymujemy 

k 2 F − 1 

4g 2 (p2 − p ′2 − g 2 ) 2 0 ⇒ 

G 2 + 2G(p ′2 − p 2 − 2k 2 F ) + (p 2 − p ′2 ) 2 0 

(G + p ′2 − p 2 − 2k 2 F ) 2 4k 2 F (k 2 F − p ′2 + p 2 ). (A.31) 

Rozwiązanie ostatniej nierówności istnieje tylko wtedy gdy prawa strona tej nierówności 

jest dodatnia: 

p ′2 p 2 + k 2 F . 

Warunek ten jest zawsze spełniony, gdyż gwarantuje to zasada zachowania energii. 

Po rozwiązaniu nierówności α (z 0 + g) 2 otrzymujemy: 

α 2 y β 2 , 

gdzie: 

α 2 = 1 [ 

( 

pp ′ p ′2 − kF 2 − k F kF 2 − p ′2 + p 2) ] 

1 

2 

, 

Reasumując, otrzymaliśmy co następuje: 

β 2 = 1 

pp ′ [ 

p ′2 − k 2 F + k F 

( 

k 2 F − p ′2 + p 2) 1 2 

1. Warunek α (z 0 + g) 2 jest spełniony tylko dla: 

] 

. 

p ′2 p 2 − α 

(A.32) 

oraz w tym przypadku gdy: 

α 1 η β 1 , gdzie: (A.33) 

α 1 = 1 [ 

] 

pp ′ p 2 − α − (α 2 − α(p 2 + p ′2 )) 1 2 , (A.34) 

β 1 = 1 

pp ′ [ 

p 2 − α + (α 2 − α(p 2 + p ′2 )) 1 2 

] 

. (A.35)



Wkład do całki, pochodzący od funkcji F1, ma miejsce tylko dla p ′2 p 2 − α 

a całkowanie po zmiennej η powinno zostać przeprowadzone w granicach danych 

przez (A.33). 

2. Z warunku α (z 0 + g) 2 otrzymujemy, że: 

a) dla p ′2 p 2 − α warunek α (z 0 + g) 2 jest zawsze spełniony tj. wszystkie 

wartości η są dozwolone. Dodatkowe ograniczenia w tym przypadku wynikają 

z warunku kF 2 − z2 0 0. 

b) dla p ′2 p 2 − α warunek α (z 0 + g) 2 jest spełniony tylko dla: 

y α 1 lub y β 1 , 

(A.36) 

gdzie α 1 i β 1 są dane odpowiednio przez (32) i (33). Dodatkowe ograniczenia 

w tym przypadku wynikają z warunku kF 2 − z2 0 0. 

3. Warunek kF 2 −z2 0 0 jest spełniony dla wszystkich wartości p ′2 , które są dozwolone 

przez zasadę zachowania energii, nakłada to ograniczenie na granice całkowania po 

zmiennej y: 

α 2 y β 2 , gdzie : (A.37) 

α 2 = 1 [ 

] 

pp ′ p ′2 − kF 2 − k F (kF 2 − p 2 + p ′2 ) 1 2 , (A.38) 

β 2 = 1 

pp ′ [ 

p ′2 − k 2 F + k F (k 2 F − p 2 + p ′2 ) 1 2 

4. Można pokazać, że poniższa nierówność jest zawsze spełniona: 

] 

. (A.39) 

−1 < α 2 α 2 < β 1 β 2 < 1. 

Możemy teraz zapisać (A.28) jako: 

σ R = 32N kπ 2 

p 

∫ 

⎧ 

⎪⎨ ∫ β2 

p ′2 dp ′ α 2 

dηF 2, 

gdy p ′2 p 2 − α 

⎪ ∫ ⎩ α1 

α 2 

dηF 2 + ∫ β 1 

α 1 

dηF 1 + ∫ β 2 

β 1 

dηF 2, gdy p ′2 p 2 − α. 

(A.40) 

Obecnie zajmiemy się policzeniem dwóch całek: 

∫ 

1) 

∫ 

2) 

dηF 1, 

dηF 2. 

(A.41) 

(A.42) 

Musimy policzyć powyższe całki w różnych granicach, lecz najpierw policzymy całki 

nieoznaczone. 

Dla całki oznaczonej 1) mamy: 

F 1 = 1 g 5 (k2 f − α + p 2 − p ′2 ), gdzie 

(A.43)



Wprowadźmy oznaczenia: 

g = (p 2 + p ′2 − 2pp ′ η) 1 2 . 

(A.44) 

a = p 2 + p ′2 , (A.45) 

b = −2pp ′ (A.46) 

zatem 

g = (a + bη) 1 2 (A.47) 

Stąd otrzymujemy 

∫ 

dηF 1 = 

∫ k 

2 

f − α + p 2 − p ′2 

dη = − 2 kf 2 − α + p2 − p ′2 

(a + bη) 5 2 

3b (a + bη) 3 2 

(A.48) 

Przypadek całki 2): 

Zapiszmy powyższą funkcję w postaci: 

F 2 = 1 g 5 [ 

k 2 F − 1 

4g 2 (p2 − p ′2 − g 2 ) 2 ] 

. (A.49) 

F 2 = 

gdzie: 

1 

(α ′ + β ′ η + γ ′ η 2 ), (A.50) 

(a + bη) 7 2 

α ′ = (p ′2 + p 2 )k 2 F − p ′4 , (A.51) 

β ′ = 2pp ′ (p ′2 − k 2 F ), (A.52) 

γ ′ = −p 2 p ′2 (A.53) 

Otrzymujemy: 

∫ 

dηF 2 = 

gdzie: 

∫ α ′ + β ′ η + γ ′ η 2 

(a + bη) 7 2 

dη = Aη2 + Bη + C 

, (A.54) 

15b 3 (a + bη) 5 2 

A = −30γ ′ b 2 (A.55) 

B = −10β ′ b 2 − 40γ ′ ab (A.56) 

C = −6b 2 α ′ − 4abηβ ′ − 16a 2 γ ′ . (A.57) 

Granice pierwszej całki z F1 to (α 1 , β 1 ). Drugą całkę z F2 należy policzyć w granicach 

(α 2 , β 2 ), (α 2 , α 1 ) i (β 1 , β 2 ). 

Gdy podstawimy te granice do (A.48) i (A.54) otrzymamy wtedy bardzo skomplikowane 

wyrażenie gdyż wzory na α 1 , α 2 , β 1 , β 2 są skomplikowane. Można to uprościć wprowadzając 

oznaczenia: 

ξ = p2 − p ′2 

k 2 F 

ξ 1 = p2 − p ′2 

. (A.58) 

α



Otrzymamy wtedy: 

(a + bα 1 ) n 2 = α 

n 

2 [1 + (1 − ξ1 ) 1 2 ] 

n 

(a + bα 2 ) n 2 = k 

n 

F [1 + (1 + ξ) 1 2 ] 

n 

(a + bβ 1 ) n 2 = α 

n 

2 [1 − (1 − ξ1 ) 1 2 ] 

n 

(a + bβ 2 ) n 2 = k 

n 

F [(1 + ξ) 1 2 − 1] 

n 

Aα 2 1 + Bα 1 + C = η 1 [7ξ 2 1 − 30ξ 1 + 20 + 20(1 − ξ 1 )(1 − ξ 1 ) 1 2 ] 

Aβ 2 1 + Bβ 1 + C = η 1 [7ξ 2 1 − 30ξ 1 + 20 − 20(1 − ξ 1 )(1 − ξ 1 ) 1 2 ] 

Aα 2 2 + Bα 2 + C = η[2ξ 2 − 20ξ + 20 + 10(2 − ξ)(1 − ξ) 1 2 ] 

Aβ 2 2 + Bβ 2 + C = η[2ξ 2 + 20ξ + 20 − 10(2 − ξ)(1 − ξ) 1 2 ], 

(A.59) 

(A.60) 

(A.61) 

(A.62) 

(A.63) 

(A.64) 

(A.65) 

(A.66) 

Po podstawieniu powyższego do (A.40) otrzymamy: 

⎧ 

σ b = 8N kπ 2 ∫ ⎪⎨ 

15p 2 d(p ′2 ) 

⎪⎩ 

gdzie η = 8p 2 p ′2 k 4 F η 1 = 8p 2 p ′2 α 2 . 

4(5ξ+4) 

k F ξ 3 , gdy p ′2 p 2 − α 

4(5ξ+4) 

k F ξ 

+ (1−ξ 1) 1 2 

(4ξ 2 3 α 2 1 ξ1 

3 1 + ξ 1(22 − 10k2 F 

α ) − 56 + 40 k2 F 

α 

), gdy p ′2 p 2 − α. 

(A.67) 

Granice ostatniej całki po zmiennej p ′2 są dane z warunków: 

1) p ′2 β 

2) k ′2 − k 2 ω p 2 − p ′2 γ p ′2 p 2 − γ. 

Warunek 2) razem z zasadą zachowania energii p 2 + k 2 = p ′2 + k ′2 daje nierówność 

p ′2 p 2 − ω, ponieważ p 2 − p ′2 = k ′2 − k 2 ω zatem: 

β p ′2 p 2 − ω. 

(A.68) 

Z powyższego wynika, że wkład do całki jest możliwy tylko dla takiej energii cząstki 

padającej, dla której zachodzi: 

β p 2 − ω ⇒ p 2 β + ω. (A.69) 

Wyrażenie (A.67) można zapisać w innej formie: 

⎧ 

∫ ⎪⎨ 

σ b = A d(p ′2 G1, gdy p ′2 p 2 − α 

) 

⎪⎩ G2, gdy p ′2 p 2 − α, 

(A.70) 

gdzie: 

A = 16π2 N k 

15p 2 , 

G1 = 

G2 = 

4(5ξ + 4) 

k F ξ 3 , 

4(5ξ + 4) 

k F ξ 3 + (1 − ξ 1) 1 2 

(4ξ 2 

α 1 2 ξ1 

3 1 + ξ 1 (22 − 10k2 F 

α 

) − 56 + 40k2 F 

α ).



Musimy teraz rozważyć kilka przypadków: 

1. 

α ω 

(A.71) 

a) z (A.67) mamy: 

β p ′2 p 2 − α ⇒ 

β p 2 − α ⇒ p 2 α + β 

a mając na uwadze także (A.69) dostajemy 

p 2 max(β + ω, α + β). 

(A.72) 

Całka (A.67) powinna być liczona tylko dla energii cząstki padającej spełniającej 

nierówność (A.72). 

Przypadek (A.71) i (A.72) nazwijmy I. 

Dla I mamy: 

σ R = A 

[ ∫ p 2 −α 

β 

∫ ] 

p 2 

d(p ′2 −ω 

)G1 + d(p ′2 )G2 . (A.73) 

p 2 −α 

b) 

β + ω p 2 α + β. 

(A.74) 

Przypadek (A.71) i (A.74) oznaczmy II. 

2. 

Dla II mamy: 

∫ p 2 

σ R −ω 

= A d(p ′2 )G2. 

β 

α ω. 

(A.75) 

(A.76) 

a) Przypadek (A.76) oraz (A.72) nazwijmy III. Z (A.73) wynika, że drugi człon 

nie daje wkładu w proces zderzenia a ponieważ: 

zatem mamy dla III: 

p 2 − ω p 2 − α 

∫ p 2 

σ R −ω 

= A d(p ′2 )G1. 

β 

(A.77) 

b) Z (A.75) można wywnioskować, że w tym przypadku nie mamy wkładu w 

proces zderzenia pochodzącego od funkcji G2. 

Posumowując, otrzymaliśmy co następuje: 

⎧ 

∫ p 2 −α 

⎪⎨ β 

d(p ′2 )G1 + ∫ p 2 −ω 

p 2 −α d(p ′2 )G2, gdy p 2 max(β + ω, α + β) i α ω 

σ R ∫ 

= A p 2 −ω 

β 

d(p ′2 )G2, gdy β + ω p 2 α + β i α ω 

⎪⎩ 

∫ p 2 −ω 

β 

d(p ′2 )G1, gdy p 2 max(β + ω, α + β) i α ω. 

(A.78)



Po wycałkowaniu otrzymujemy: 

σ R = 64π2 N k 

15p 2 

⎧⎪ ⎨ 

⎪ ⎩ 

5k 3 F 

5k 3 F 

5k 3 F 

( ) ( 

) 

1 

ω − 1 + 2k 5 1 1 

p 2 −kF 

2 F ω 

− − 2 

2 (p 2 −kF 2 )2 ω 

(k 2 2 F − ω) 5 2 + 2(2k2 F −p2 ) 5 2 

, 

(p 2 −kF 2 )2 

( 

1 

ω − 1 

p 2 −k 2 F 

gdy p 2 max(kF 2 ) ( 

+ ω, 2k2 F ) i k2 F ω 

+ 2kF 

5 

) 

1 1 

ω 

− 2 (p 2 −kF 2 )2 

gdy kF 2 + ω p2 2kF 2 ( ) ( 

i ) 

k2 F ω 

1 

ω − 1 + 2k 5 1 1 

p 2 −kF 

2 F ω 

− , 

2 (p 2 −kF 2 )2 

Powyższy wynik można zapisać w ogólnej postaci: 

− 2 

ω 2 (k 2 F − ω) 5 2 , 

gdy p 2 max(k 2 F + ω, 2k2 F ) i k2 F ω. 

(A.79) 

[ 

σ R 4π 

5k 

= 

5kF 3 p2 H(p2 + kF 2 3 

− α − β) F 

α − kF 

2 − k3 F [5(p2 − β) + 2kF 2 ] 

(p 2 − β) 2 

+ H(α + β − p 2 ) 2(α + β − p2 ) 5/2 ] 

(p 2 − β) 2 , (A.80) 

gdzie H jest jednostkową funkcją schodkową Heaviside’a.

Dodatek B 

Dane doświadczalne 

87

DODATEK B. DANE DOŚWIADCZALNE 88 

Tabela B.1: Dane doświadczalne dla rozpraszania e-He część I. 

energia [eV] 20 30 40 50 60 70 80 90 100 150 200 

˜σ el [a 2 0 ] 10.52 7.987 5.998 4.946 4.578 3.154 2.841 2.346 2.18 1.369 0.99775 

˜σ abs [a 2 0 ] 0.8151 1.271 1.527 1.73 1.791 1.849 1.879 1.889 1.78 1.648 

θ [deg] 

d˜σ/dΩ [a 2 0 

3 2.64 3.07 3.44 /sr] 

2.73 

5 2.95 3.18 3.16 2.79 2.38 2.01 1.68 

8 2.42 2.72 2.81 1.97 

10 1.76 1.36 1.08 

15 2.3354 0.944 0.739 

20 2.0640 1.8998 1.01 0.682 0.528 

24 1.4712 

25 1.7783 1.6141 0.792 0.503 0.385 

30 1.5248 1.3391 1.2784 1.1070 0.588 0.375 0.281 

35 1.3070 1.1177 1.0284 0.465 0.283 0.205 

36 1.4391 0.8249 

40 1.1355 0.9249 0.8356 0.350 0.215 0.151 

45 0.9606 0.7534 0.6642 0.293 0.168 0.114 

48 1.0856 0.4856 0.1535 

50 0.8463 0.6356 0.5535 0.231 0.135 0.0885 

53.8 0.0742 

54 0.113 

55 0.7463 0.5499 0.4678 

60 0.8499 0.6427 0.4642 0.3928 0.3071 0.161 0.0857 0.05713 

65 0.5820 0.3963 0.3256 

70 0.5178 0.3517 0.2874 0.120 

72 0.6999 0.2106 0.04999 0.03356 

75 0.4785 0.3153 0.2531 

80 0.4228 0.2849 0.2289 0.0899 

84 0.6320 0.1571 0.03749 0.02249 

85 0.4213 0.2642 0.2106 

90 0.4035 0.2517 0.1935 0.0680 

95 0.3963 0.2406 0.1853 

96 0.6106 0.1249 0.02606 0.01571 

100 0.3892 0.2346 0.1781 0.0573 

105 0.3963 0.2296 0.1721 

108 0.6249 0.1071 0.02035 0.01178 

110 0.3999 0.2289 0.1681 0.0486 

115 0.4071 0.2274 0.1667 

120 0.6785 0.4142 0.2285 0.1635 0.0999 0.0410 0.01678 0.00999 

125 0.4249 0.2278 0.1596 

128 0.2285 0.1599 

130 0.0364 

132 0.7213 0.4356 0.1749 0.0964 0.01571 0.008927 

140 0.0320 

144 0.7677 0.4606 0.1892 0.0999 0.01464 0.008570 

156 0.8142 0.4963 0.1999 0.1035 0.01464 0.008213 

168 0.8749 0.5499 0.2178 0.1071 0.01428 0.007856


Tabela B.2: Dane doświadczalne dla rozpraszania e-He część II. 

energia [eV] 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 

˜σ el [a 2 0 ] 0.6029 0.4433 0.3467 0.3141 0.2357 0.2335 0.2149 0.1487 0.1125 

˜σ abs [a 2 0 ] 1.374 1.163 1.011 0.8893 0.8019 0.7271 0.6671 0.6139 0.3482 0.249 

θ [deg] d˜σ/dΩ [a 2 0 /sr] 

3 

5 1.28 1.06 0.906 0.706 0.585 0.435 0.367 

6 1.1427 0.9820 

10 0.787 0.644 0.55 0.436 0.338 0.195 0.127 

15 0.538 0.430 0.355 0.26 0.138 0.0816 0.0451 

20 0.365 0.289 0.229 0.154 0.0977 0.0354 0.0183 

25 0.247 0.192 0.146 0.0906 0.054 0.0173 0.00839 

30 0.169 0.128 0.0933 0.0556 0.0312 0.00938 0.00433 

35 0.121 0.0864 0.0612 0.0352 0.019 0.00539 0.00244 

36 0.07499 

40 0.0885 0.0597 0.0412 0.0230 0.0119 0.00333 0.00146 

45 0.0601 0.0422 0.0285 0.0159 0.00787 0.00216 0.000904 

48 0.0535 0.03285 

50 0.0450 0.0306 0.0203 0.0111 0.00559 0.00140 0.000584 

53.8 0.00889 0.00431 0.0011 0.000506 

54.2 0.0384 0.024 0.0165 

60 0.0282 0.0167 

72 0.0178 0.0085 

84 0.0117 0.0053 

96 0.00857 0.0035 

108 0.00642 0.00249 

120 0.00571 0.00196 

132 0.00499 0.00192 

144 0.004285 0.00167 

156 0.003928 0.00167 

168 0.003571 0.001642


Tabela B.3: Dane doświadczalne dla rozpraszania e-Ne I. 

energia [eV] 20 30 40 50 60 70 80 90 100 150 

˜σ el [a 2 0 ] 11.32 10.71 10.82 10.40 9.987 9.57 9.154 8.737 6.196 

˜σ abs [a 2 0 ] 0.7539 1.348 1.853 2.242 2.528 2.712 2.850 2.923 3.052 

θ [deg] 10 /sr] 

7.11 

15 4.75 

20 1.83 1.90 2.35 2.67 4.70 3.32 

25 3.35 2.22 

30 1.87 1.87 1.98 2.13 2.49 1.54 

35 1.58 1.07 

40 1.91 1.77 1.55 1.72 1.20 0.771 

45 0.525 

50 1.88 1.65 1.47 1.35 0.672 0.382 

60 1.74 1.43 1.16 1.06 0.408 0.183 

70 1.49 1.12 0.853 0.778 0.236 0.094 

80 1.13 0.796 0.539 0.419 0.119 0.076 

90 0.753 0.458 0.282 0.156 0.0480 0.075 

92 0.0375 

94 0.0346 

96 0.0325 

98 0.0327 

100 0.472 0.226 0.101 0.0291 0.0378 0.089 

102 0.0205 0.471 

104 0.0682 0.0182 

106 0.162 0.0645 0.0161 

108 0.149 0.0148 

110 0.268 0.143 0.0768 0.0217 0.103 0.133 

112 0.148 0.0413 

114 0.157 0.0824 

116 0.174 

118 0.191 

120 0.236 0.236 0.251 0.229 0.279 0.201 

130 0.390 0.539 0.633 0.636 0.454 0.278 

140 0.662 0.930 1.02 1.18 0.726 0.370 

150 0.861 1.45 1.49 1.87 0.992 0.412


Tabela B.4: Dane doświadczalne dla rozpraszania e-Ne II. 

energia [eV] 200 300 400 500 700 750 800 1000 2000 3000 

˜σ el [a 2 0 ] 4.994 4.00 3.215 2.721 2.211 1.627 1.02 0.748 

˜σ abs [a 2 0 ] 2.985 2.621 2.298 2.050 1.673 1.535 1.314 0.7579 0.5489 

3 7.55 

4 6.72 

5 7.51 6.75 6.30 5.44 5.08 

6 5.34 

8 4.24 

10 5.65 5.39 4.55 3.96 3.40 3.48 2.41 1.84 

12 2.65 

15 4.31 3.40 3.11 2.39 2.17 1.78 0.992 0.662 

20 2.89 2.08 1.96 1.53 1.19 1.00 0.908 0.442 0.277 

25 1.92 1.26 1.15 0.903 0.670 0.547 0.498 0.223 0.135 

30 1.26 0.865 0.729 0.580 0.401 0.332 0.293 0.127 0.0727 

35 0.863 0.559 0.479 0.379 0.256 0.217 0.188 0.0784 0.0433 

40 0.580 0.386 0.340 0.262 0.174 0.153 0.128 0.0513 0.0276 

45 0.304 0.243 0.180 0.128 0.0906 0.0354 0.0184 

50 0.297 0.229 0.169 0.127 0.0978 0.0847 0.0683 0.0253 0.132 

60 0.177 0.138 0.103 0.079 0.0546 

70 0.118 0.102 0.082 0.059 0.0375 

80 0.0974 0.084 0.067 0.048 0.0282 

90 0.102 0.071 0.057 0.042 0.0226 

100 0.113 0.070 0.051 0.038 0.0189 

110 0.138 0.071 0.050 0.033 0.0164 

120 0.176 0.078 0.048 0.031 0.0146 

130 0.235 0.087 0.047 0.030 0.0135 

140 0.274 0.111 0.047 0.029 0.0132 

150 0.317 0.153 0.046 0.029 0.0129


Tabela B.5: Dane doświadczalne dla rozpraszania e-Ar I. 

energia [eV] 20 30 40 50 60 70 80 100 150 200 

[a 2 0 

/sr] 

˜σ el [a 2 0 ] 74.150 49.8 33.96 27.65 24.28 21.95 19.6 17.36 13.55 11.43 

˜σ abs [a 2 0 ] 4.115 9.224 11.61 12.17 21.71 12.55 12.2 11.21 9.932 

θ [deg] d˜σ/dΩ 5 45.3 /sr] 

48.9 47.1 44.0 

8 35.3 35.9 28.6 

10 30.1 27.8 23.8 20.9 

12 38.5 25.5 21.4 15.6 

14 37.2 22.4 16.9 11.5 

15 20.4 15.0 12.5 10.1 

20 33.2 14.3 8.73 6.65 4.94 

25 28.3 9.84 4.89 3.49 2.58 

30 23.4 6.91 2.72 1.89 1.32 

35 18.7 4.78 1.50 1.07 0.789 

40 14.3 3.05 0.857 0.666 0.555 

45 10.2 1.87 0.490 0.462 0.439 

50 6.62 1.04 0.298 0.369 0.376 

54.5 0.331 

55 4.18 0.484 0.210 0.336 

60 2.27 0.143 0.191 0.310 

65 1.06 0.0321 0.224 0.284 

70 0.577 0.0949 0.281 0.264 

75 0.483 0.268 0.351 0.239 

80 0.701 0.525 0.202 

85 1.06 0.793 0.462 0.168 

90 1.53 1.03 0.481 0.128 

95 1.82 1.17 0.449 0.0951 

100 2.04 1.25 0.398 0.0633 

105 2.05 1.22 0.313 0.0391 

110 1.88 1.08 0.212 0.0295 

115 1.61 0.866 0.116 0.0371 

120 1.40 0.649 0.0463 0.0664 

125 1.22 0.421 0.0313 0.119 

130 1.23 0.238 0.0826 0.197 

135 1.46 0.129 0.216 0.286 

140 1.95 0.105 0.437 0.404 

145 2.62 0.188 0.747 0.542 

150 3.60 0.356 1.08 0.649


Tabela B.6: Dane doświadczalne dla rozpraszania e-Ar II. 

energia [eV] 300 400 500 600 700 750 800 900 1000 2000 3000 

˜σ el [a 2 0 ] 8.809 7.555 6.734 5.33 4.55 2.87 2.05 

˜σ abs [a 2 0 ] 7.996 6.716 5.775 4.946 4.426 4.022 3.705 3.41 1.95 1.415 

θ [deg] 5 37.2 34.3 35.5 d˜σ/dΩ 30.5 /sr] 

29.0 29.4 24.6 19.8 

8 22.8 17.6 

10 18.3 16.5 16.4 12.8 12.9 11.0 6.31 3.98 

12 11.1 7.55 

14 7.63 5.25 

15 8.81 7.42 6.5 4.87 4.39 3.88 1.86 1.17 

20 4.18 3.40 2.83 2.07 1.82 1.64 0.781 0.484 

25 2.08 1.72 1.45 1.09 0.906 0.865 0.407 0.245 

30 1.17 1.01 0.905 0.668 0.577 0.518 0.226 0.139 

35 0.766 0.688 0.642 0.442 0.387 0.331 0.136 0.0857 

40 0.572 0.515 0.44 0.301 0.267 0.221 0.0930 0.0574 

45 0.454 0.321 0.209 0.19 0.155 0.0630 0.0409 

50 0.365 0.305 0.244 0.156 0.138 0.116 0.0416 0.0301 

53.8 0.0924 0.0403 

53.9 0.0230 

54 0.253 0.124 

54.1 0.289 

55 0.188 0.106 

60 0.144 0.082 

65 0.118 0.0666 

70 0.0958 0.0569 

75 0.0791 0.0494 

80 0.0692 0.0445 

85 0.0619 0.0416 

90 0.0567 0.039 

95 0.0532 0.0379 

100 0.0522 0.0373 

105 0.0552 0.0374 

110 0.0594 0.0383 

115 0.0649 0.0391 

120 0.0396 

125 0.0816 0.0410 

130 0.0933 

135 0.105 0.0451 

140 0.117 0.0468 

145 0.0495 

150 0.141 0.0516

Dodatek C 

Algorytm genetyczny 

W niniejszym dodatku zostanie umieszczony lakoniczny opis algorytmu genetycznego 

pochodzący z książki Davida E. Goldberg’a [61]. Lakoniczność wynika z faktu, że algorytm 

genetyczny został wykorzystany tylko jako narzędzie do uzyskania wyników obliczeń, 

które zostały opisane w poprzednich rozdziałach. Z wyżej wymienionej książki 

pochodzi definicja algorytmu genetycznego jako algorytmu poszukiwania opartym na 

mechanizmach doboru naturalnego oraz dziedziczności. Zajmijmy się teraz opisem poszczególnych 

etapów algorytmu wraz z interpretacją fizyczną wyników uzyskiwanych w 

kolejnych krokach. W pierwszej kolejności algorytm losuje pewną populację początkową. 

W naszym przypadku określamy dolną i górną granicę parametrów określających postać 

potencjału efektywnego. Kolejny krok to selekcja (ocena) populacji. Z określonego 

przez nas przedziału jest losowana wartość parametru z której tworzony jest potencjał 

efektywny. Następnie program liczy wartość wielkości rozproszeniowych (np. całkowitego 

przekroju czynnego) dla rozpraszania elektronu na lokalnym potencjale efektywnym. 

Ocena populacji w tym przypadku polega na minimalizacji tzw. funkcji dopasowania 

(ang. fitness function): 

∆ cs = 1 [ ∑ Ne 1 ( dσ ∆ 

N e N 

j=1 j dΩ (j) + ∆σ(j))] , 

(C.1) 

gdzie 

∆ dσ 

Nj∑ 

diff 

dΩ (j) = dσ(j) 

∣ dΩ (θ i)− d˜σ(j) 

dΩ (θ i) 

∣ , 

i=1 

(C.2) 

⎧ 

0, jeśli tylko d˜σ(j)/dΩ są dostępne, 

⎪⎨ 

∆σ(j)= ∆σ el j + ∆σabs j , jeśli ˜σ el j i ˜σ abs j są dostępne, 

(C.3) 

⎪⎩ 

∆σj α , α= abs lub el jeżeli ˜σα j jest tylko dostępne 

94

DODATEK C. ALGORYTM GENETYCZNY 95 

i ∆σ α j 

= |σα j − ˜σα j |. N j stanowi liczbę przekrojów czynnych w zbiorze danych odpowiadających 

j-tej energii elektronu padającego: 

⎧ 

gdzie N diff 

j 

padającego. 

1, jeśli jedno z ˜σ α j 

jest dostępne, 

2, jeśli dwa z ˜σ j ⎪⎨ 

α są dostępne, 

N j = N diff j , jeżeli tylko d˜σ(j)/dΩ są dostępne, 

(C.4) 

N diff j + 1, jeśli d˜σ(j)/dΩ oraz jeden z ˜σ j są dostępne, 

⎪⎩ N diff j + 2, jeżeli d˜σ(j)/dΩ i dwa z ˜σ j α są dostępne, 

oznacza liczbę różniczkowych przekrojów czynnych dla j-tej energii elektronu 

Algorytm genetyczny wybiera te wartości parametrów, które dla danej populacji dają 

najmniejszą wartość funkcji dopasowania. Wybrane wartości parametrów stają się ”rodzicami” 

kolejnego pokolenia parametrów. Następne pokolenie przechodzi także mutację, 

która w praktyce polega na wprowadzeniu drobnych losowych zmian. Wszystkie te zabiegi 

mają na celu stworzenie nowego, lepszego zestawu parametrów, który w kolejnym 

etapie jest poddawany selekcji. Algorytm powtarza procedurę tyle razy aż zostanie wyczerpana 

liczba pokoleń ustalona na początku obliczeń. Program może także skończyć 

swoją pracę w wypadku uzyskania zadowalających wyników np. w przypadku osiągnięcia 

założonego stopnia dokładności obliczeń.

Dodatek D 

Wyniki obliczeń dla rozpraszania 

elektronów na atomach helu 

96

DODATEK D. WYNIKI OBLICZEŃ DLA ROZPRASZANIA ELEKTRONÓW NA 

ATOMACH HELU 97 

Tabela D.1: e-He 50eV. 

Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 4.946 4.798 4.571 4.577 4.571 4.654 4.643 4.651 

σ abs [a 2 0 ] 1.527 1.522 1.458 1.442 1.458 0.647 0.747 0.706 

σ tot[a 2 0 ] 6.473 6.321 6.029 6.020 6.029 5.301 5.390 5.357 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 3.160 2.958 2.505 2.508 2.504 2.376 2.397 2.395 

25 1.614 1.223 1.307 1.306 1.307 1.294 1.262 1.260 

30 1.278 1.019 1.101 1.100 1.102 1.071 1.076 1.074 

35 1.028 0.859 0.924 0.923 0.924 0.913 0.915 0.913 

40 0.836 0.729 0.774 0.772 0.774 0.778 0.776 0.775 

45 0.664 0.623 0.647 0.646 0.647 0.663 0.659 0.658 

50 0.553 0.535 0.543 0.542 0.543 0.566 0.560 0.560 

55 0.468 0.463 0.458 0.457 0.458 0.485 0.478 0.479 

60 0.393 0.403 0.390 0.389 0.390 0.418 0.411 0.412 

65 0.326 0.355 0.336 0.335 0.336 0.364 0.357 0.358 

70 0.287 0.316 0.293 0.293 0.293 0.320 0.313 0.314 

75 0.253 0.284 0.259 0.260 0.260 0.284 0.278 0.280 

80 0.229 0.258 0.233 0.234 0.233 0.256 0.251 0.252 

85 0.211 0.237 0.213 0.214 0.213 0.233 0.229 0.230 

90 0.193 0.220 0.197 0.198 0.197 0.215 0.212 0.213 

95 0.185 0.206 0.186 0.187 0.185 0.200 0.198 0.120 

100 0.178 0.195 0.176 0.178 0.176 0.189 0.188 0.189 

105 0.172 0.187 0.170 0.171 0.169 0.180 0.179 0.181 

110 0.168 0.179 0.164 0.166 0.164 0.173 0.173 0.174 

115 0.167 0.174 0.160 0.162 0.160 0.167 0.168 0.169 

120 0.163 0.169 0.157 0.159 0.157 0.162 0.164 0.165 

125 0.160 0.165 0.155 0.156 0.155 0.159 0.160 0.161 

128 0.160 0.163 0.154 0.155 0.154 0.157 0.159 0.160 

132 0.175 0.161 0.153 0.154 0.153 0.155 0.157 0.158 

144 0.189 0.156 0.150 0.151 0.150 0.150 0.153 0.154 

156 0.120 0.153 0.149 0.150 0.149 0.148 0.151 0.152 

168 0.218 0.152 0.148 0.149 0.148 0.146 0.150 0.151 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 2.180 2.229 2.132 2.135 2.132 2.144 2.164 2.168 

σ abs [a 2 0 ] 1.889 1.889 1.881 1.884 1.881 1.010 0.985 0.947 

σ tot[a 2 0 ] 4.069 4.118 4.014 4.019 4.013 3.154 3.150 3.116 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

3 2.730 2.743 2.483 2.490 2.482 2.268 2.311 2.311 

5 2.380 2.466 2.246 2.253 2.244 2.034 2.073 2.072 

8 1.970 1.999 1.950 1.956 1.950 1.753 1.787 1.786 

10 1.760 1.728 1.780 1.785 1.779 1.597 1.628 1.626 

20 1.010 0.946 1.109 1.109 1.109 1.022 1.036 1.034 

25 0.792 0.739 0.863 0.862 0.863 0.818 0.825 0.823 

30 0.588 0.587 0.666 0.664 0.666 0.652 0.654 0.652 

35 0.465 0.468 0.511 0.509 0.511 0.518 0.516 0.515 

40 0.350 0.376 0.392 0.390 0.392 0.411 0.406 0.405 

45 0.293 0.303 0.302 0.301 0.302 0.326 0.320 0.320 

50 0.231 0.247 0.234 0.233 0.234 0.260 0.253 0.254 

60 0.161 0.168 0.146 0.146 0.146 0.168 0.163 0.164 

70 0.120 0.119 0.097 0.097 0.097 0.114 0.111 0.111 

80 0.090 0.089 0.070 0.070 0.070 0.081 0.080 0.081 

90 0.068 0.070 0.055 0.055 0.055 0.061 0.062 0.063 

100 0.057 0.057 0.046 0.046 0.046 0.049 0.051 0.052 

110 0.049 0.048 0.040 0.041 0.040 0.041 0.044 0.045 

120 0.041 0.042 0.037 0.038 0.037 0.035 0.040 0.040 

130 0.036 0.038 0.035 0.035 0.035 0.032 0.037 0.037 

140 0.032 0.035 0.033 0.034 0.033 0.030 0.035 0.035




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 0.998 0.992 0.999 1.000 0.999 0.938 1.001 1.003 

σ abs [a 2 0 ] 1.648 1.621 1.577 1.593 1.574 0.893 0.763 0.740 

σ tot[a 2 0 ] 2.646 2.613 2.576 2.593 2.573 1.831 1.764 1.742 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 1.680 1.679 1.904 1.913 1.902 1.623 1.706 1.706 

10 1.080 1.059 1.358 1.363 1.357 1.145 1.206 1.205 

15 0.739 0.737 0.961 0.963 0.960 0.828 0.871 0.870 

20 0.528 0.536 0.670 0.670 0.670 0.601 0.631 0.630 

25 0.385 0.394 0.463 0.462 0.463 0.435 0.454 0.454 

30 0.281 0.290 0.319 0.318 0.319 0.313 0.326 0.326 

35 0.205 0.215 0.222 0.221 0.222 0.226 0.234 0.234 

40 0.151 0.160 0.156 0.155 0.156 0.164 0.169 0.169 

45 0.114 0.121 0.111 0.111 0.111 0.120 0.124 0.124 

50 0.088 0.093 0.081 0.081 0.081 0.089 0.092 0.092 

60 0.057 0.057 0.046 0.046 0.046 0.051 0.054 0.054 

72 0.033 0.034 0.027 0.027 0.027 0.028 0.031 0.031 

84 0.022 0.023 0.018 0.018 0.018 0.017 0.020 0.020 

96 0.016 0.016 0.013 0.013 0.013 0.011 0.014 0.015 

108 0.012 0.012 0.010 0.010 0.010 0.008 0.011 0.011 

120 0.010 0.001 0.008 0.008 0.008 0.006 0.009 0.009 

132 0.009 0.008 0.007 0.007 0.007 0.005 0.008 0.008 

144 0.008 0.007 0.007 0.007 0.007 0.004 0.007 0.007 

156 0.008 0.006 0.006 0.006 0.006 0.004 0.007 0.007 

168 0.008 0.006 0.006 0.006 0.006 0.003 0.006 0.006 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 0.443 0.446 0.478 0.478 0.478 0.440 0.474 0.475 

σ abs [a 2 0 ] 1.163 1.138 1.107 1.126 1.102 0.547 0.457 0.444 

σ tot[a 2 0 ] 1.606 1.584 1.585 1.604 1.580 0.987 6 0.931 0.919 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 1.060 1.064 1.574 1.583 1.572 1.326 1.392 1.391 

6 0.982 0.948 1.425 1.433 1.423 1.195 1.256 1.255 

10 0.644 0.653 0.957 0.960 0.956 0.808 0.851 0.850 

15 0.430 0.433 0.576 0.576 0.576 0.509 0.538 0.537 

20 0.289 0.286 0.343 0.342 0.343 0.321 0.338 0.338 

25 0.192 0.188 0.206 0.206 0.207 0.202 0.214 0.214 

30 0.128 0.125 0.127 0.127 0.127 0.129 0.136 0.136 

35 0.086 0.084 0.081 0.080 0.081 0.083 0.089 0.089 

36 0.075 0.078 0.074 0.074 0.074 0.077 0.082 0.082 

40 0.060 0.058 0.053 0.053 0.053 0.055 0.060 0.060 

45 0.042 0.041 0.036 0.036 0.036 0.038 0.041 0.041 

48 0.033 0.034 0.029 0.029 0.029 0.030 0.033 0.034 

50 0.030 0.030 0.026 0.026 0.026 0.026 0.029 0.029 

60 0.017 0.017 0.014 0.014 0.014 0.014 0.016 0.016 

72 0.008 0.009 0.008 0.008 0.008 0.007 0.009 0.009 

84 0.005 0.006 0.005 0.005 0.005 0.004 0.006 0.006 

96 0.003 0.004 0.003 0.003 0.003 0.003 0.004 0.004 

108 0.002 0.003 0.002 0.002 0.002 0.002 0.003 0.003 

120 0.002 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001 0.002 0.002 

132 0.002 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.002 0.002 

144 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 

156 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 

168 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001 0.001




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 0.347 0.347 0.379 0.379 0.379 0.354 0.375 0.376 

σ abs [a 2 0 ] 1.011 0.997 0.972 0.990 0.967 0.445 0.376 0.365 

σ tot[a 2 0 ] 1.358 1.343 1.351 1.370 1.346 0.799 0.751 0.741 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 0.906 0.921 1.473 1.481 1.471 1.112 1.302 1.301 

10 0.550 0.565 0.839 0.842 0.839 0.722 0.753 0.752 

15 0.355 0.361 0.474 0.474 0.474 0.431 0.450 0.449 

20 0.229 0.228 0.268 0.267 0.268 0.258 0.269 0.269 

25 0.146 0.144 0.154 0.154 0.154 0.155 0.162 0.162 

30 0.093 0.092 0.092 0.092 0.092 0.095 0.099 0.091 

35 0.061 0.060 0.057 0.057 0.057 0.060 0.063 0.063 

40 0.041 0.040 0.037 0.037 0.037 0.039 0.041 0.028 

45 0.028 0.028 0.025 0.025 0.025 0.026 0.028 0.028 

50 0.020 0.020 0.018 0.018 0.018 0.018 0.020 0.020 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 0.236 0.238 0.268 0.269 0.268 0.254 0.265 0.265 

σ abs [a 2 0 ] 0.802 0.804 0.794 0.811 0.789 0.324 0.276 0.268 

σ tot[a 2 0 ] 1.038 1.042 1.062 1.080 1.057 0.578 0.541 0.534 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 0.706 0.752 1.320 1.328 1.318 1.137 1.168 1.167 

10 0.436 0.454 0.676 0.678 0.675 0.600 0.617 0.617 

15 0.260 0.270 0.344 0.344 0.344 0.326 0.336 0.335 

20 0.154 0.157 0.178 0.178 0.178 0.179 0.184 0.184 

25 0.090 0.092 0.096 0.096 0.096 0.100 0.103 0.103 

30 0.056 0.055 0.055 0.055 0.055 0.058 0.060 0.060 

35 0.035 0.035 0.033 0.033 0.033 0.035 0.037 0.037 

40 0.023 0.023 0.021 0.021 0.021 0.022 0.024 0.024 

45 0.016 0.015 0.014 0.014 0.014 0.015 0.016 0.016 

50 0.011 0.010 0.009 0.009 0.009 0.010 0.011 0.011 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 0.149 0.160 0.186 0.187 0.186 0.179 0.184 0.184 

σ abs [a 2 0 ] 0.614 0.625 0.639 0.655 0.634 0.229 0.197 0.191 

σ tot[a 2 0 ] 0.762 0.785 0.826 0.842 0.820 0.407 0.381 0.375 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 0.585 0.620 1.158 1.164 1.155 1.009 1.028 1.027 

10 0.338 0.3562 0.519 0.520 0.519 0.477 0.486 0.486 

15 0.183 0.1905 0.235 0.235 0.235 0.232 0.236 0.236 

20 0.098 0.100 0.112 0.111 0.112 0.115 0.117 0.117 

25 0.054 0.054 0.057 0.057 0.057 0.060 0.061 0.061 

30 0.031 0.031 0.031 0.031 0.031 0.033 0.034 0.034 

35 0.019 0.019 0.018 0.018 0.018 0.019 0.020 0.020 

40 0.012 0.012 0.011 0.011 0.011 0.012 0.013 0.013 

45 0.008 0.008 0.007 0.007 0.007 0.008 0.008 0.008 

50 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.005 0.006 0.006

Dodatek E 


elektronów na atomach neonu 

100

DODATEK E. WYNIKI OBLICZEŃ DLA ROZPRASZANIA ELEKTRONÓW NA 

ATOMACH NEONU 101 

Tabela E.1: e-Ne 50eV. 

Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 10.820 11.487 10.711 10.736 10.838 10.783 10.738 10.788 

σ abs [a 2 0 ] 1.853 2.071 2.117 2.106 2.160 1.651 1.977 1.857 

σ tot[a 2 0 ] 12.673 13.558 12.829 12.842 12.998 12.435 12.715 12.646 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

20 2.670 3.487 3.279 3.279 3.280 3.165 3.248 3.225 

30 2.130 2.147 2.327 2.321 2.282 2.295 2.317 2.306 

40 1.720 1.489 1.627 1.621 1.589 1.647 1.630 1.629 

50 1.350 1.129 1.165 1.163 1.156 1.202 1.172 1.179 

60 1.060 0.875 0.852 0.854 0.866 0.885 0.859 0.869 

70 0.778 0.634 0.597 0.601 0.620 0.617 0.602 0.612 

80 0.419 0.386 0.361 0.365 0.380 0.36 0.364 0.371 

90 0.156 0.164 0.158 0.160 0.169 0.158 0.159 0.163 

100 0.029 0.030 0.035 0.036 0.039 0.033 0.035 0.036 

102 0.020 0.019 0.025 0.026 0.028 0.023 0.025 0.026 

104 0.018 0.014 0.020 0.021 0.022 0.019 0.020 0.021 

106 0.016 0.016 0.021 0.022 0.023 0.020 0.021 0.022 

108 0.015 0.025 0.028 0.029 0.029 0.042 0.029 0.029 

110 0.022 0.040 0.042 0.042 0.043 0.042 0.042 0.042 

112 0.041 0.063 0.062 0.062 0.063 0.063 0.063 0.063 

114 0.082 0.093 0.088 0.089 0.090 0.091 0.089 0.089 

120 0.229 0.225 0.207 0.207 0.211 0.212 0.209 0.210 

130 0.636 0.577 0.523 0.526 0.536 0.535 0.528 0.532 

140 1.180 1.047 0.949 0.954 0.976 0.968 0.528 0.966 

150 1.870 1.555 1.414 1.423 1.457 1.440 1.427 1.440 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 8.737 8.226 7.405 7.428 7.591 7.199 7.430 7.478 

σ abs [a 2 0 ] 2.923 2.877 2.631 2.648 2.675 2.594 2.465 2.349 

σ tot[a 2 0 ] 11.660 11.103 10.037 10.076 10.266 9.794 9.895 9.827 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

20 4.700 3.672 3.800 3.804 3.764 3.707 3.767 3.750 

25 3.350 2.592 2.843 2.839 2.765 2.824 2.057 2.821 

30 2.490 1.857 2.055 2.048 1.978 2.085 3.695 2.054 

35 1.580 1.346 1.447 1.440 1.393 1.498 1.456 1.458 

40 1.200 0.989 1.005 0.999 0.981 1.056 1.015 1.022 

50 0.672 0.562 0.497 0.497 0.518 0.521 0.506 0.515 

60 0.408 0.336 0.279 0.281 0.309 0.273 0.284 0.292 

70 0.236 0.196 0.169 0.171 0.190 0.150 0.172 0.177 

80 0.119 0.099 0.091 0.093 0.100 0.075 0.093 0.095 

90 0.048 0.042 0.037 0.037 0.039 0.031 0.037 0.038 

92 0.037 0.037 0.022 0.030 0.032 0.026 0.030 0.031 

94 0.034 0.034 0.022 0.025 0.027 0.024 0.026 0.026 

96 0.032 0.033 0.022 0.022 0.024 0.023 0.023 0.023 

98 0.033 0.035 0.021 0.021 0.023 0.024 0.022 0.022 

100 0.038 0.039 0.023 0.023 0.025 0.027 0.024 0.024 

102 0.047 0.046 0.027 0.027 0.030 0.033 .028 0.029 

110 0.103 0.102 0.071 0.071 0.078 0.078 0.073 0.074 

120 0.279 0.233 0.189 0.190 0.205 0.189 0.192 0.195 

130 0.454 0.420 0.370 0.373 0.397 0.352 0.375 0.381 

140 0.726 0.641 0.591 0.596 0.630 0.547 0.598 0.607 

150 0.992 0.864 0.821 0.828 0.871 0.748 0.830 0.843




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 4.994 5.236 4.909 4.916 5.015 4.410 4.926 4.950 

σ abs [a 2 0 ] 2.985 3.019 2.220 2.266 2.491 2.686 2.063 1.984 

σ tot[a 2 0 ] 7.979 8.255 7.128 7.182 7.506 7.096 6.989 6.934 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

15 4.310 4.226 4.658 4.673 4.693 4.370 4.611 4.592 

20 2.890 2.722 3.222 3.220 3.133 3.102 3.208 3.199 

25 1.920 1.776 2.105 2.097 2.000 2.087 2.110 2.109 

30 1.260 1.165 1.314 1.306 1.244 1.339 1.32 1.330 

35 0.863 0.772 0.797 0.792 0.771 0.827 0.810 0.817 

40 0.580 0.522 0.483 0.481 0.489 0.498 0.494 0.501 

50 0.297 0.264 0.208 0.208 0.234 0.183 0.213 0.219 

60 0.177 0.157 0.128 0.129 0.147 0.086 0.131 0.134 

70 0.118 0.109 0.099 0.100 0.108 0.060 0.101 0.103 

80 0.097 0.087 0.082 0.082 0.086 0.054 0.083 0.084 

90 0.102 0.083 0.073 0.073 0.078 0.055 0.074 0.075 

100 0.113 0.093 0.077 0.077 0.085 0.063 0.078 0.080 

110 0.138 0.116 0.096 0.097 0.107 0.079 0.098 0.100 

120 0.176 0.148 0.131 0.131 0.143 0.104 0.133 0.135 

130 0.235 0.186 0.176 0.177 0.188 0.135 0.178 0.181 

140 0.274 0.227 0.227 0.228 0.238 0.169 0.230 0.232 

150 0.317 0.264 0.277 0.278 0.286 0.203 0.280 0.283 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 3.215 3.262 3.230 3.229 3.273 2.533 3.243 3.252 

σ abs [a 2 0 ] 2.298 2.416 1.518 1.576 2.009 2.182 1.385 1.338 

σ tot[a 2 0 ] 5.513 5.678 4.748 4.806 5.282 4.715 4.629 4.590 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

10 5.390 5.081 5.863 5.896 6.166 5.085 5.794 5.774 

15 3.110 3.059 3.752 3.753 3.718 3.322 3.736 3.727 

20 1.960 1.840 2.228 2.219 2.114 2.021 2.238 2.237 

25 1.150 1.106 1.262 1.254 1.181 1.169 1.278 1.282 

30 0.729 0.678 0.708 0.704 0.674 0.659 0.722 0.727 

35 0.479 0.433 0.413 0.411 0.410 0.373 0.422 0.427 

40 0.340 0.294 0.261 0.260 0.273 0.218 0.267 0.541 

45 0.243 0.212 0.183 0.183 0.198 0.134 0.188 0.271 

50 0.169 0.162 0.142 0.142 0.155 0.088 0.145 0.147 

60 0.103 0.109 0.101 0.101 0.108 0.048 0.103 0.104 

70 0.082 0.083 0.081 0.080 0.084 0.033 0.082 0.082 

80 0.067 0.069 0.068 0.068 0.070 0.026 0.069 0.069 

90 0.057 0.062 0.060 0.060 0.062 0.024 0.061 0.062 

100 0.051 0.058 0.057 0.057 0.059 0.023 0.057 0.058 

110 0.050 0.056 0.056 0.056 0.057 0.024 0.056 0.057 

120 0.048 0.056 0.056 0.056 0.057 0.024 0.057 0.057 

130 0.047 0.057 0.057 0.057 0.058 0.025 0.058 0.059 

140 0.047 0.057 0.059 0.059 0.060 0.027 0.060 0.060 

150 0.046 0.058 0.061 0.061 0.061 0.028 0.061 0.062




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 2.721 2.804 2.824 2.822 2.851 2.213 2.835 2.842 

σ abs [a 2 0 ] 2.050 2.122 1.298 1.357 1.838 1.884 1.175 1.135 

σ tot[a 2 0 ] 4.771 4.926 4.122 4.179 4.689 4.097 4.010 3.977 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 7.510 7.951 8.595 8.668 9.476 7.418 8.472 8.449 

10 4.550 4.666 5.632 5.658 5.900 4.905 5.575 5.558 

15 2.390 2.768 3.412 3.410 3.350 3.024 3.407 3.401 

20 1.530 1.614 1.922 1.913 1.810 1.732 1.936 1.938 

25 0.903 0.943 1.047 1.040 0.978 0.950 1.062 1.067 

30 0.580 0.570 0.580 0.577 0.556 0.517 0.592 0.597 

35 0.379 0.364 0.345 0.343 0.345 0.289 0.352 0.356 

40 0.262 0.249 0.226 0.226 0.236 0.171 0.231 0.234 

45 0.180 0.182 0.165 0.164 0.175 0.109 0.168 0.170 

50 0.127 0.140 0.129 0.129 0.137 0.075 0.131 0.133 

60 0.079 0.094 0.090 0.090 0.094 0.042 0.092 0.093 

70 0.059 0.070 0.069 0.069 0.071 0.029 0.070 0.071 

80 0.048 0.057 0.056 0.056 0.057 0.022 0.057 0.058 

90 0.042 0.048 0.048 0.048 0.049 0.019 0.049 0.049 

100 0.038 0.043 0.043 0.049 0.044 0.017 0.044 0.044 

110 0.033 0.040 0.040 0.043 0.041 0.016 0.041 0.041 

120 0.031 0.038 0.038 0.038 0.039 0.016 0.039 0.039 

130 0.030 0.036 0.037 0.037 0.037 0.016 0.037 0.038 

140 0.029 0.036 0.037 0.036 0.036 0.016 0.037 0.037 

150 0.029 0.035 0.036 0.036 0.036 0.016 0.036 0.037 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 2.121 2.198 2.195 2.204 1.763 2.206 2.210 

σ abs [a 2 0 ] 1.586 0.947 1.004 1.539 1.387 0.841 0.813 

σ tot[a 2 0 ] 3.707 3.145 3.199 3.743 3.150 3.047 3.023 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 6.750 6.748 8.609 8.677 9.523 7.563 8.499 8.478 

10 3.960 4.084 5.132 5.146 5.293 4.540 5.099 5.088 

15 2.170 2.290 2.777 2.769 2.670 2.482 2.787 2.785 

20 1.190 1.238 1.419 1.410 1.321 1.268 1.435 1.438 

25 0.670 0.688 0.733 0.728 0.688 0.639 0.745 0.750 

30 0.401 0.408 0.408 0.406 0.396 0.335 0.416 0.419 

35 0.256 0.261 0.253 0.252 0.254 0.189 0.257 0.260 

40 0.174 0.180 0.174 0.173 0.177 0.117 0.176 0.178 

45 0.128 0.131 0.128 0.128 0.131 0.078 0.130 0.131 

50 0.098 0.101 0.099 0.099 0.101 0.056 0.101 0.101




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 1.627 1.726 1.821 1.819 1.819 1.488 1.828 1.830 

σ abs [a 2 0 ] 1.314 1.257 0.745 0.799 1.347 1.099 0.651 0.629 

σ tot[a 2 0 ] 2.941 2.983 2.567 2.618 3.166 2.586 2.479 2.459 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 6.300 6.137 8.528 8.589 9.408 7.574 8.431 8.413 

10 3.480 3.737 4.690 4.695 4.758 4.186 4.674 4.666 

15 1.780 1.946 2.321 2.311 2.200 2.077 2.335 2.336 

20 0.908 0.990 1.110 1.103 1.031 0.977 1.125 1.128 

25 0.498 0.532 0.560 0.557 0.530 0.469 0.569 0.573 

30 0.293 0.311 0.315 0.314 0.308 0.244 0.320 0.322 

35 0.188 0.198 0.199 0.198 0.198 0.140 0.202 0.203 

40 0.128 0.135 0.137 0.136 0.137 0.089 0.138 0.139 

45 0.090 0.098 0.099 0.099 0.099 0.061 0.100 0.101 

50 0.068 0.074 0.075 0.075 0.075 0.045 0.076 0.076

Dodatek F 


elektronów na atomach argonu 

105

DODATEK F. WYNIKI OBLICZEŃ DLA ROZPRASZANIA ELEKTRONÓW NA 

ATOMACH ARGONU 106 

Tabela F.1: e-Ar 50eV. 

Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 27.650 28.169 27.372 27.604 27.246 28.995 28.799 29.084 

σ abs [a 2 0 ] 12.170 11.911 12.310 11.921 12.519 6.627 7.437 6.864 

σ tot[a 2 0 ] 39.820 40.080 39.683 39.525 39.766 35.623 36.236 35.949 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 45.300 48.669 43.278 43.227 43.323 37.430 38.712 38.498 

8 35.300 40.127 38.357 38.264 38.423 33.146 34.224 33.995 

10 30.100 34.469 35.082 34.969 35.158 30.486 31.402 31.174 

12 25.500 29.380 31.894 31.769 31.976 28.019 28.761 28.545 

14 22.400 25.007 28.747 28.617 28.830 25.648 26.210 26.014 

15 20.400 23.092 27.190 19.780 27.272 24.483 24.956 24.772 

20 14.300 15.779 19.886 19.780 19.949 19.008 19.073 18.962 

25 9.840 11.047 13.699 13.639 13.728 14.128 13.906 13.872 

30 6.910 7.757 8.907 8.899 8.902 9.996 9.642 9.670 

35 4.780 5.338 5.477 5.508 5.449 6.691 6.339 6.405 

40 3.050 3.519 3.177 3.229 3.139 4.191 3.925 4.004 

45 1.870 2.158 1.714 1.768 1.678 2.403 2.249 2.323 

50 1.040 1.177 0.826 0.871 0.800 1.204 1.146 1.203 

55 0.484 0.521 0.324 0.352 0.309 0.475 0.475 0.509 

60 0.143 0.151 0.081 0.093 0.076 0.111 0.128 0.142 

65 0.032 0.025 0.024 0.023 0.025 0.025 0.026 0.027 

70 0.095 0.097 0.104 0.097 0.106 0.141 0.111 0.106 

75 0.2680 0.312 0.282 0.277 0.282 0.388 0.328 0.325 

80 0.525 0.606 0.519 0.522 0.514 0.699 0.621 0.628 

85 0.793 0.918 0.774 0.789 0.763 1.012 0.935 0.954 

90 1.030 1.187 1.004 1.032 0.987 1.274 1.214 1.247 

95 1.170 1.367 1.171 1.210 1.148 1.441 1.412 1.457 

100 1.250 1.431 1.246 1.294 1.222 1.491 1.497 1.549 

105 1.220 1.371 1.218 1.269 1.194 1.418 1.473 1.510 

110 1.080 1.199 1.091 1.140 1.070 1.236 1.296 1.348 

115 0.866 0.948 0.888 0.930 0.870 0.977 1.047 1.091 

120 0.649 0.662 0.643 0.675 0.630 0.686 0.752 0.784 

125 0.421 0.391 0.399 0.420 0.391 0.409 0.461 0.482 

130 0.238 0.184 0.200 0.211 0.197 0.195 0.227 0.237 

135 0.129 0.079 0.085 0.089 0.084 0.082 0.093 0.097 

140 0.105 0.099 0.078 0.080 0.077 0.093 0.089 0.091 

145 0.188 0.249 0.189 0.194 0.186 0.234 0.225 0.231 

150 0.356 0.514 0.410 0.423 0.403 0.491 0.490 0.505




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 17.360 16.751 16.344 16.486 16.259 14.368 17.199 17.392 

σ abs [a 2 0 ] 12.200 12.332 11.719 11.493 11.857 8.769 6.945 6.510 

σ tot[a 2 0 ] 29.560 29.083 28.063 27.980 28.116 23.137 24.144 23.901 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 48.900 49.505 47.089 47.180 47.044 35.596 40.980 40.857 

8 35.900 35.646 38.683 38.697 38.696 29.261 33.592 33.443 

10 27.800 28.032 33.416 33.392 33.459 25.642 29.296 29.152 

12 21.400 22.041 28.366 28.316 28.429 22.289 25.290 25.161 

14 16.900 17.438 23.672 23.609 23.744 19.209 21.606 21.500 

15 15.000 15.557 21.471 21.405 21.543 17.754 19.868 19.776 

20 8.730 8.996 12.318 12.271 12.366 11.441 12.417 12.395 

25 4.890 5.264 6.313 6.305 6.321 6.765 7.076 7.106 

30 2.720 3.036 2.921 2.942 2.903 3.651 3.694 3.748 

35 1.500 1.712 1.258 1.288 1.232 1.790 1.803 1.857 

40 0.857 0.948 0.552 0.579 0.531 0.797 0.867 0.909 

45 0.490 0.528 0.295 0.315 0.282 0.333 0.455 0.483 

50 0.298 0.316 0.215 0.228 0.208 0.333 0.295 0.312 

55 0.210 0.231 0.193 0.200 0.190 0.333 0.244 0.254 

60 0.191 0.226 0.191 0.196 0.189 0.179 0.241 0.249 

65 0.224 0.270 0.204 0.209 0.200 0.241 0.267 0.275 

70 0.281 0.340 0.232 0.239 0.226 0.300 0.313 0.324 

75 0.351 0.414 0.273 0.283 0.265 0.344 0.371 0.385 

85 0.462 0.504 0.358 0.373 0.347 0.358 0.470 0.490 

90 0.481 0.497 0.376 0.392 0.365 0.327 0.484 0.505 

95 0.449 0.449 0.366 0.381 0.356 0.275 0.462 0.481 

100 0.398 0.369 0.325 0.381 0.317 0.210 0.402 0.418 

105 0.313 0.266 0.257 0.267 0.252 0.141 .312 0.324 

110 0.212 0.159 0.175 0.181 0.171 0.078 0.207 0.214 

115 0.116 0.069 0.093 0.097 0.092 0.034 0.089 0.110 

120 0.046 0.016 0.033 0.034 0.033 0.016 0.035 0.036 

125 0.031 0.017 0.014 0.014 0.014 0.031 0.015 0.014 

130 0.082 0.086 0.052 0.052 0.051 0.084 0.065 0.066 

135 0.216 0.228 0.158 0.161 0.154 0.174 0.196 0.202 

140 0.437 0.440 0.334 0.344 0.327 0.299 0.412 0.425 

145 0.747 0.713 0.576 0.593 0.564 0.451 0.705 0.727 

150 1.080 1.0285 0.869 0.895 0.852 0.621 1.057 1.089




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 11.430 10.912 11.233 11.282 9.255 9.017 11.804 11.888 

σ abs [a 2 0 ] 9.932 9.799 9.024 8.937 9.053 6.760 4.793 4.532 

σ tot[a 2 0 ] 21.362 20.711 20.257 20.220 20.242 15.777 16.597 16.420 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 44.000 41.859 50.212 50.253 50.046 36.664 42.946 42.777 

8 28.600 26.925 37.517 37.475 37.470 27.694 32.488 32.328 

10 20.900 20.181 29.981 29.908 29.994 22.795 26.667 26.536 

12 15.600 15.332 23.252 23.169 23.300 18.443 21.462 21.367 

14 11.500 11.757 17.559 17.484 17.619 14.679 16.955 16.899 

15 10.100 10.313 15.099 15.032 15.159 12.996 14.943 14.905 

20 4.940 5.330 6.510 6.499 6.535 6.607 7.391 7.418 

25 2.580 2.711 2.526 2.548 2.519 3.044 3.315 3.364 

30 1.320 1.420 1.013 1.039 0.996 1.352 1.487 1.530 

35 0.789 0.830 0.538 0.557 0.523 0.650 0.792 0.821 

40 0.555 0.570 0.406 0.418 0.396 0.384 0.554 0.573 

45 0.439 0.450 0.354 0.362 0.347 0.280 0.460 0.472 

50 0.376 0.387 0.314 0.320 0.309 0.230 0.403 0.413 

55 0.336 0.347 0.277 0.283 0.272 0.198 0.358 0.367 

60 0.310 0.317 0.247 0.253 0.243 0.173 0.320 0.054 

65 0.284 0.292 0.225 0.231 0.221 0.153 0.291 0.329 

70 0.264 0.265 0.207 0.212 0.202 0.134 0.265 0.272 

75 0.239 0.235 0.188 0.192 0.184 0.115 0.238 0.244 

80 0.202 0.200 0.166 0.169 0.162 0.095 0.208 0.213 

85 0.168 0.161 0.139 0.142 0.136 0.074 0.173 0.177 

90 0.128 0.122 0.109 0.111 0.107 0.052 0.135 0.138 

96 0.095 0.078 0.073 0.075 0.072 0.030 0.090 0.092 

100 0.063 0.053 0.052 0.053 0.051 0.018 0.064 0.066 

105 0.0391 0.033 0.033 0.033 0.032 0.009 0.040 0.066 

110 0.029 0.028 0.024 0.025 0.024 0.008 0.030 0.031 

115 0.037 0.041 0.031 0.031 0.030 0.015 0.038 0.039 

120 0.066 0.074 0.055 0.056 0.054 0.031 0.068 0.070 

125 0.119 0.127 0.098 0.010 0.097 0.056 0.120 0.123 

130 0.197 0.198 0.160 0.163 0.158 0.089 0.195 0.199 

135 0.286 0.286 0.240 0.243 0.236 0.129 0.290 0.199 

140 0.404 0.387 0.334 0.338 0.329 0.173 0.525 0.409 

145 0.542 0.495 0.438 0.444 0.432 0.220 0.525 0.534 

150 0.649 0.606 0.546 0.554 0.540 0.267 0.654 0.665 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 7.555 7.581 8.124 6.234 8.106 6.575 8.519 8.553 

σ abs [a 2 0 ] 6.716 6.489 6.255 8.138 6.199 4.303 2.784 2.635 

σ tot[a 2 0 ] 14.271 14.070 14.379 14.372 14.305 10.879 11.303 11.188 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 34.300 34.236 52.405 52.412 52.126 39.537 45.222 45.054 

10 16.500 15.794 24.380 24.291 24.400 20.163 23.163 23.092 

15 7.420 7.373 9.176 9.154 9.220 8.894 10.192 10.213 

20 3.400 3.335 3.188 3.211 3.194 3.523 4.075 4.121 

25 1.720 1.634 1.325 1.348 1.315 1.468 1.788 1.823 

30 1.010 0.958 0.790 0.802 0.780 0.763 1.018 1.038 

35 0.688 0.658 0.577 0.582 0.571 0.486 0.710 0.072 

40 0.515 0.489 0.440 0.443 0.436 0.335 0.534 0.541 

50 0.305 0.293 0.262 0.264 0.259 0.158 0.316 0.320 

54 0.253 0.242 0.217 0.219 0.216 0.119 0.261 0.264




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 6.734 6.744 7.299 7.307 7.287 5.881 7.638 7.664 

σ abs [a 2 0 ] 5.775 5.585 5.501 5.493 5.428 3.685 2.292 2.169 

σ tot[a 2 0 ] 12.509 12.329 12.800 12.801 12.714 9.567 9.930 9.833 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 35.500 32.480 52.582 52.583 52.285 40.054 45.755 45.601 

8 22.800 20.149 32.371 32.287 32.322 25.942 29.842 29.747 

10 16.400 14.789 22.173 22.091 22.205 18.801 21.689 21.642 

12 11.100 10.752 14.693 14.641 14.749 13.264 15.346 15.340 

14 7.630 7.720 9.504 14.640 9.553 9.119 10.596 10.619 

15 6.500 6.519 7.597 7.592 7.637 7.496 8.737 8.770 

20 2.830 2.833 2.602 2.627 2.604 2.785 3.359 3.402 

25 1.450 1.410 1.198 1.215 1.190 1.198 1.549 1.576 

30 0.905 0.853 0.765 0.772 0.759 0.671 0.936 0.948 

35 0.642 0.586 0.546 0.548 0.542 0.436 0.650 0.656 

40 0.440 0.425 0.397 0.399 0.395 0.289 0.471 0.476 

45 0.321 0.316 0.294 0.295 0.292 0.187 0.348 0.351 

50 0.244 0.239 0.222 0.223 0.221 0.121 0.262 0.264 

55 0.188 0.184 0.173 0.174 0.173 0.082 0.203 0.205 

60 0.144 0.145 0.138 0.138 0.137 0.060 0.160 0.162 

65 0.118 0.116 0.111 0.111 0.111 0.049 0.129 0.130 

70 0.096 0.095 0.091 0.091 0.091 0.042 0.105 0.106 

75 0.079 0.079 0.076 0.076 0.075 0.037 0.088 0.089 

80 0.069 0.068 0.065 0.065 0.064 0.033 0.075 0.076 

85 0.062 0.060 0.057 0.057 0.057 0.029 0.066 0.066 

90 0.057 0.055 0.052 0.052 0.051 0.025 0.060 0.060 

95 0.053 0.053 0.049 0.049 0.049 0.022 0.057 0.057 

100 0.052 0.053 0.049 0.049 0.049 0.020 0.057 0.057 

105 0.055 0.056 0.051 0.051 0.051 0.019 0.059 0.059 

110 0.059 0.060 0.055 0.055 0.055 0.020 0.063 0.064 

115 0.065 0.067 0.060 0.061 0.060 0.022 0.070 0.070 

125 0.081 0.084 0.076 0.077 0.076 0.029 0.088 0.088 

130 0.093 0.094 0.086 0.086 0.085 0.034 0.099 0.099 

135 0.105 0.105 0.096 0.096 0.096 0.040 0.110 0.111 

140 0.117 0.116 0.107 0.107 0.106 0.047 0.122 0.123 

150 0.141 0.137 0.127 0.128 0.127 0.061 0.146 0.147 


Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 5.330 5.398 5.925 5.929 5.920 4.699 6.173 6.188 

σ abs [a 2 0 ] 4.214 4.337 4.345 4.243 2.767 1.590 1.504 

σ tot[a 2 0 ] 9.612 10.263 10.274 10.163 7.466 7.763 7.692 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 30.500 30.031 51.595 51.584 51.301 39.934 45.836 45.714 

10 12.800 12.832 17.854 17.797 17.908 15.647 18.462 18.455 

15 4.870 4.950 5.267 5.283 5.295 5.098 6.325 6.365 

20 2.070 2.052 1.909 1.928 1.908 1.771 2.383 2.412 

25 1.090 1.060 1.019 1.025 1.015 0.849 1.206 1.217 

30 0.668 0.650 0.647 0.648 0.646 0.512 0.742 0.747 

35 0.442 0.431 0.427 0.428 0.427 0.320 0.489 0.491 

40 0.301 0.297 0.292 0.292 0.291 0.193 0.334 0.336 

45 0.209 0.212 0.207 0.207 0.207 0.114 0.236 0.238 

50 0.156 0.156 0.152 0.152 0.152 0.068 0.173 0.174 

54 0.124 0.126 0.122 0.122 0.122 0.049 0.139 0.140




Dośw. 

V A 

isp 

V A 

fv3sf1 (SE) 

V A 

fv3sf1 (SEP ) 

V A 

fv3sf2 (SE) 

V A 

fo (SE) 

V A 

fv3 (SE) 

V A 

fv3 (SEP ) 

σ el [a 2 0 ] 4.550 4.562 5.047 5.049 5.045 3.939 5.240 5.250 

σ abs [a 2 0 ] 3.410 3.437 3.659 3.674 3.558 2.252 1.219 1.153 

σ tot[a 2 0 ] 7.960 7.999 8.707 8.723 8.603 6.191 6.459 6.403 

θ [deg] 

dσ/dΩ [a 2 0 /sr] 

5 29.400 28.641 49.658 49.635 49.395 38.812 44.935 44.837 

10 11.000 11.183 14.699 14.665 14.762 12.964 15.763 15.775 

15 3.880 3.897 4.035 4.055 4.055 3.654 4.876 4.911 

20 1.640 1.599 1.581 1.590 1.580 1.281 1.875 1.892 

25 0.865 0.838 0.866 0.867 0.865 0.667 0.977 0.982 

30 0.518 0.505 0.523 0.522 0.523 0.404 0.584 0.587 

35 0.331 0.325 0.329 0.329 0.329 0.242 0.370 0.371 

40 0.221 0.219 0.218 0.218 0.218 0.138 0.245 0.246 

45 0.155 0.155 0.152 0.152 0.152 0.078 0.171 0.172 

50 0.116 0.114 0.112 0.112 0.112 0.045 0.125 0.126

Spis rysunków 

4.1 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 20, 30, 40, 50 eV, 

obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, p0a0, bfc3, 

bfc3s; dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4.2 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 100, 150, 200, 300 

eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, p0a0, 

bfc3, bfc3s; dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 




4.4 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 1000, 2000, 3000 




obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bg, bfr, bfs 

, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 


eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bg, bfr, 

bfs , dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 


eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bg, bfr, 

bfs , dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.8 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 1000, 2000, 3000 eV, 

obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego bfo, bg, bfr, bfs 

, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 


obliczone dla potencjału polaryzacyjnego otrzymanego z różnych potencjałów absorpcyjnych 

poprzez relację dyspersyjną d(fo), d(g), d(fr), d(fc3), d(fs), dane doświadczalne 

(+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

111

SPIS RYSUNKÓW 112 

4.10 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 100, 150, 200, 


absorpcyjnych poprzez relację dyspersyjną d(fo), d(g), d(fr), d(fc3), 

d(fs), dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 





4.12 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 1000, 2000, 




4.13 Elastyczne, absorpcyjne oraz całkowite przekroje czynne dla rozpraszania e- 

Ne dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego: bfo, bfc1, bfc2, 

bfc3, bfc3s, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 


Ne dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego: bfo, bg, bfr, 

bfs, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 


Ne, obliczone dla potencjału polaryzacyjnego otrzymanego z różnych potencjałów 

absorpcyjnych poprzez relację dyspersyjną: d(fo), d(g), d(fr), d(fc3), 


5.1 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He, dla energii 20, 30, 40, 

50 eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego 

bfo, bfv3SE, bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . 52 












bfo, bfv3SE, bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . 54





5.7 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne, dla energii 1000, 2000, 



5.8 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ar, dla energii 20, 50, 100, 



5.9 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ar, dla energii 200, 300, 400, 



5.10 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ar, dla energii 800, 1000, 

2000, 3000 eV, obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego 

bfo, bfv3SE, bfv3sf1SEP, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . 56 


He, e-Ne, e-Ar obliczone dla kombinacji potencjału polaryzacyjnego i absorpcyjnego 

bfo, bfv3SE, bfv3sf1SEP, bfv3SEP, dane doświadczalne (+). . . . . . 57 

6.1 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He dla energii 20, 30, 40 i 

50 eV, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

6.2 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He dla energii 70, 100, 150 

i 200 eV, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 

6.3 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He dla energii 300, 400, 500 


6.4 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-He dla energii 1000, 2000 i 

3000 eV, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

6.5 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 20, 30, 40 i 

50 eV, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

6.6 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 100, 150, 200 




6.8 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 1000, 2000 i 

3000 eV, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

6.9 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ar dla energii 20, 50, 100 i 

150 eV, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68




6.11 Różniczkowe przekroje czynne dla rozpraszania e-Ne dla energii 800, 1000, 

2000 i 3000 eV, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 


He, e-Ne i e-Ar, dane doświadczalne (+). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

A.1 Układ współrzędnych używany do obliczenia całki po ⃗ k. Promień kuli jest 

równy wartości pędu Fermiego k F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Spis tabel 

4.1 Średnie błędy bezwzględne (SBB) przekrojów czynnych dla różnych kombinacji 

polaryzacyjnych (P) i absorpcyjnych (A) potencjałów w zależności od 

zakresu energii elektronu padającego dla rozpraszania e-Ne. . . . . . . . . . . 43 

4.2 Średnie błędy bezwzględne (SBB) przekrojów czynnych dla różnych kombinacji 

polaryzacyjnych (P) i absorpcyjnych (A) potencjałów w zależności od 

zakresu kąta ropraszania dla zderzenia e-Ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

5.1 Liczba danych doświadczalnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

5.2 Zoptymalizowane parametry w czynnikach skalujących. . . . . . . . . . . . . . 50 

5.3 SBB przekrojów czynnych dla różnych potencjałów dla rozpraszania e-He, 

e-Ne oraz e-Ar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

5.4 SBB przekrojów czynnych dla różnych potencjałów dla rozpraszania e-He, 

e-Ne oraz e-Ar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

6.1 Zoptymalizowane parametry dla efektywnych potencjałów absorpcyjnych i 

polaryzacyjnych. Liczby w nawiasach odpowiadają największemu przyrostowi 

procentowemu ∆ cs przy zmianie wartości parametru o ∓5% wokół optymalnej 

wartości. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 

6.2 Średnie błędy bezwzględne SBB dla różnych potencjałów absorpcyjnych dla 

rozpraszania e-He, e-Ne oraz e-Ar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

B.1 Dane doświadczalne dla rozpraszania e-He część I. . . . . . . . . . . . . . . . 88 

B.2 Dane doświadczalne dla rozpraszania e-He część II. . . . . . . . . . . . . . . . 89 

B.3 Dane doświadczalne dla rozpraszania e-Ne I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

B.4 Dane doświadczalne dla rozpraszania e-Ne II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 

B.5 Dane doświadczalne dla rozpraszania e-Ar I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

B.6 Dane doświadczalne dla rozpraszania e-Ar II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

D.1 e-He 50eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

D.2 e-He 100eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 

115

SPIS TABEL 116 

D.3 e-He 200eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

D.4 e-He 400eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

D.5 e-He 500eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

D.6 e-He 700eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

D.7 e-He 1000eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 

E.1 e-Ne 50eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

E.2 e-Ne 100eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 

E.3 e-Ne 200eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

E.4 e-Ne 400eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

E.5 e-Ne 500eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

E.6 e-Ne 750eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 

E.7 e-Ne 1000eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 

F.1 e-Ar 50eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 

F.2 e-Ar 100eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

F.3 e-Ar 200eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 

F.4 e-Ar 400eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 

F.5 e-Ar 500eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

F.6 e-Ar 750eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

F.7 e-Ar 1000eV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Bibliografia 

[1] Joachain C.J. Quantum Collision Theory. North-Holland, Amsterdam, 1975. 

[cytowanie na str. 1, 10, 13, 14, 19, 23] 

[2] N. F. Mott i S. W. Massey. Thoery of atomic collisions. Oxford, London, 1965. 

[cytowanie na str. 1, 2] 

[3] B. H. Brasden. Atomic Collision Theory. Benjamin, 1983. [cytowanie na str. 1] 

[4] Herman and Feshbach. Unified theory of nuclear reactions. Annals of Physics, 5(4):357 – 

390, 1958. [cytowanie na str. 1] 

[5] Herman and Feshbach. A unified theory of nuclear reactions. ii. Annals of Physics, 19(2):287 

– 313, 1962. [cytowanie na str. 1] 

[6] M. Bertero and G. Passatore. A mathematical approach to the derivation of the theoretical 

optical potential. Nuovo Cimento A Serie, 2:579–604, April 1971. [cytowanie na str. 1] 

[7] S. Boffi, Giulio. Passatore, and Istituto nazionale di fisica nucleare. Nuclear optical model 

potential : proceedings of the meeting held in Pavia, April 8 and 9, 1976 / edited by S. Boffi 

and G. Passatore. Springer-Verlag, Berlin ; New York :, 1976. [cytowanie na str. 1] 

[8] Grażyna Staszewska. Model optyczny dla rozpraszania elektronów na atomach i drobinach. 

UMK, Toruń, 1989. praca habilitacyjna. [cytowanie na str. 2] 

[9] D. G. Truhlar. Semiempirical Methods of Electronic Structure Calculations, Part B: Applications, 

chapter 7. Plenum Press, New York, 1977. [cytowanie na str. 2] 

[10] C. J. Colyer, S. M. Bellm, F. Blanco, G. Garc´, and B. Lohmann. Elastic electron scattering 

from the dna bases cytosine and thymine. Phys. Rev. A, 84:042707, Oct 2011. 

[cytowanie na str. 2] 

[11] F. Blanco and G. García. Calculated cross sections for electron elastic and inelastic scattering 

from {DNA} and {RNA} bases. Physics Letters A, 360(6):707 – 712, 2007. [cytowanie na str. 2] 

[12] Paweł Możejko and Léon Sanche. Cross sections for electron scattering from selected components 

of {DNA} and {RNA}. Radiation Physics and Chemistry, 73(2):77 – 84, 2005. 


117

BIBLIOGRAFIA 118 

[13] Paweł Możejko and Léon Sanche. Cross section calculations for electron scattering 

from dna and rna bases. Radiation and Environmental Biophysics, 42(3):201–211, 2003. 


[14] Grażyna Staszewska, David W. Schwenke, Devarajan Thirumalai, and Donald G. Truhlar. 

Quasifree-scattering model for the imaginary part of the optical potential for electron scattering. 

Phys. Rev. A, 28:2740–2751, Nov 1983. [cytowanie na str. 2, 17, 19, 20, 21, 23] 

[15] Grażyna Staszewska, David W. Schwenke, and Donald G. Truhlar. Investigation of the shape 

of the imaginary part of the optical-model potential for electron scattering by rare gases. 

Phys. Rev. A, 29:3078–3091, Jun 1984. [cytowanie na str. 2, 3, 20, 21, 22, 33, 45, 47] 

[16] Deo Raj and Ashok Kumar. Elastic scattering of electrons by molecular oxygen. Physics 

Letters A, 282(4-5):284 – 287, 2001. [cytowanie na str. 2, 3, 20, 23] 

[17] F. Blanco and G. García. Improved non-empirical absorption potential for electron scattering 

at intermediate and high energies: 30–10000 ev. Physics Letters A, 255(3):147 – 153, 1999. 

[cytowanie na str. 2, 3, 19, 20, 23, 24, 45] 

[18] F Blanco and G García. Improvements on the imaginary part of a non-empirical model 

potential for electron scattering (30 to 10000 ev energies). Physics Letters A, 295(4):178 – 

184, 2002. [cytowanie na str. 2, 3, 20, 23, 24] 

[19] F. Blanco and G. García. Improvements on the quasifree absorption model for electron 

scattering. Phys. Rev. A, 67:022701, Feb 2003. [cytowanie na str. 2, 3, 20, 23, 25, 26] 

[20] M.-T. Lee, I. Iga, L.E. Machado, L.M. Brescansin, E.A. y Castro, I.P. Sanches, and G.L.C. 

de Souza. Improvement on the complex optical potential for electron collisions with atoms 

and molecules. Journal of Electron Spectroscopy and Related Phenomena, 155(1-3):14 – 20, 

2007. [cytowanie na str. 2, 3, 45, 46, 47] 

[21] L. Castillejo, I. C. Percival, and M. J. Seaton. On the theory of elastic collisions between 

electrons and hydrogen atoms. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 

Mathematical and Physical Sciences, 254(1277):259–272, 1960. [cytowanie na str. 10] 

[22] H.R.J. and Walters. Perturbative methods in electron- and positron-atom scattering. Physics 

Reports, 116(1–2):1 – 102, 1984. [cytowanie na str. 10] 

[23] H. S. W. Massey and C. B. O. Mohr. The collisions of slow electrons with atoms. iv. Proceedings 

of the Royal Society of London. Series A, 146(859):880–900, 1934. [cytowanie na str. 10] 

[24] B H Bransden and D P Dewangan. Pseudo-state expansions and the second born approximation 

for excitation of atomic hydrogen by proton impact. Journal of Physics B: Atomic 

and Molecular Physics, 12(8):1377, 1979. [cytowanie na str. 10] 

[25] R Damburg and E Karule. A modification of the close-coupling approximation for e-h scattering 

allowing for the long-range interactions. Proceedings of the Physical Society, 90(3):637, 

1967. [cytowanie na str. 10]


[26] M. Bertero. On the spectrum of an operator introduced by feshbach in the formulation of the 

optical potential. Il Nuovo Cimento A (1971-1996), 2:605–614, 1971. 10.1007/BF02736737. 


[27] M. L. Goldberger. The interaction of high energy neutrons and heavy nuclei. Phys. Rev., 

74:1269–1277, Nov 1948. [cytowanie na str. 17, 18] 

[28] R. Serber. Nuclear reactions at high energies. Phys. Rev., 72:1114–1115, Dec 1947. 


[29] Fred A. Morse and Richard B. Bernstein. Velocity dependence of the differential cross 

sections for the scattering of atomic beams of k and cs by hg. The Journal of Chemical 

Physics, 37(9):2019–2027, 1962. [cytowanie na str. 19] 

[30] Merle E. Riley and Donald G. Truhlar. Effects of the pauli principle on electron scattering by 

open-shell targets. The Journal of Chemical Physics, 65(2):792–800, 1976. [cytowanie na str. 27] 

[31] T. G. Strand and R. A. Bonham. Analytical expressions for the hartree—fock potential of 

neutral atoms and for the corresponding scattering factors for x rays and electrons. The 

Journal of Chemical Physics, 40(6):1686–1691, 1964. [cytowanie na str. 27, 28] 

[32] R Curík and F A Gianturco. A computational analysis of low-energy electron scattering 

from gaseous cyclopropane. Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 

35(3):717, 2002. [cytowanie na str. 28] 

[33] P. Politzer, D.G. Truhlar, and American Chemical Society. Chemical applications of atomic 

and molecular electrostatic potentials: reactivity, structure, scattering, and energetics of 

organic, inorganic, and biological systems. Plenum Press, 1981. [cytowanie na str. 28] 

[34] G.A. Segal. Semiempirical methods of electronic structure calculation. Number t. 

2 in Semiempirical Methods of Electronic Structure Calculation. Plenum Press, 1977. 


[35] Francesc Salvat, Aleksander Jablonski, and Cedric J. Powell. elsepa—dirac partial-wave calculation 

of elastic scattering of electrons and positrons by atoms, positive ions and molecules. 

Computer Physics Communications, 165(2):157 – 190, 2005. [cytowanie na str. 28] 

[36] R. A. Buckingham. The quantum theory of atomic polarization. i. polarization by a uniform 

field. Proceedings of the Royal Society of London. Series A - Mathematical and Physical 

Sciences, 160(900):94–113, 1937. [cytowanie na str. 28] 

[37] A. E. S. Green, D. E. Rio, and T. Ueda. Analytic velocity-dependent potential for bound 

and scattering states of electrons and atoms. Phys. Rev. A, 24:3010–3018, Dec 1981. 

[cytowanie na str. 29, 60] 

[38] Grażyna Staszewska, David W. Schwenke, and Donald G. Truhlar. Dispersion-equation 

approach to obtaining polarization potentials for quantum-mechanical electron-scattering 

calculations. Phys. Rev. A, 28:169–175, Jul 1983. [cytowanie na str. 35, 45, 60]


[39] Grazyna Staszewska, David W. Schwenke, and Donald G. Truhlar. Optical model for electron 

scattering by ar at 30–3000 ev: Test of the adiabatic model for charge polarization and a 

quasi-free scattering model for inelastic effects. International Journal of Quantum Chemistry, 

24(S17):163–176, 1983. [cytowanie na str. 45] 

[40] G Staszewska, D W Schwenke, D Thirumalai, and D G Truhlar. Non-empirical model for 

the imaginary part of the optical potential for electron scattering. Journal of Physics B: 

Atomic and Molecular Physics, 16(9):L281, 1983. [cytowanie na str. 45] 

[41] Grażyna Staszewska, Przemysław Staszewski, and Krzysztof Żebrowski. Effective nonempirical 

absorption potentials based on quasifree-scattering model. Journal of Electron 

Spectroscopy and Related Phenomena, 162(2):56 – 66, 2008. [cytowanie na str. 45, 63] 

[42] L. Carroll D.˙ Developments in Theoretical and Applied Mechanics, volume XVIII, pages 

411–424. School of Engineering, University of Alabama, 1996. [cytowanie na str. 46, 49] 

[43] L. Carroll D.˙ Fortran genetic algorithm driver. http://cuaerospace.com/carroll/ga.html. 


[44] J B Furness and I E McCarthy. Semiphenomenological optical model for electron scattering 

on atoms. Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 6(11):2280, 1973. 


[45] M J Brunger, S J Buckman, L J Allen, I E McCarthy, and K Ratnavelu. Elastic electron 

scattering from helium: absolute experimental cross sections, theory and derived interaction 

potentials. Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 25(8):1823, 1992. 


[46] F J de Heer and R H J Jansen. Total cross sections for electron scattering by he. Journal 

of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 10(18):3741, 1977. [cytowanie na str. 49] 

[47] R W Wagenaar, A de Boer, T van Tubergen, J Los, and F J de Heer. Absolute differential 

cross sections for elastic scattering of electrons over small angles from noble-gas atoms. 

Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 19(19):3121, 1986. [cytowanie na str. 49] 

[48] T. W. Shyn. Angular distribution of electrons elastically scattered from gases: 2-400 ev on 

he. i. Phys. Rev. A, 22:916–922, Sep 1980. [cytowanie na str. 49] 

[49] H J Blaauw, F J de Heer, R W Wagenaar, and D H Barends. Total cross sections for 

electron scattering from n 2 and he. Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 

10(8):L299, 1977. [cytowanie na str. 49] 

[50] R H J Jansen, F J de Heer, H J Luyken, B van Wingerden, and H J Blaauw. Absolute 

differential cross sections for elastic scattering of electrons by helium, neon, argon and 

molecular nitrogen. Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 9(2):185, 1976. 


[51] F J de Heer, R H J Jansen, and W van der Kaay. Total cross sections for electron scattering 

by ne, ar, kr and xe. Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 12(6):979, 1979. 

[cytowanie na str. 49]


[52] J F Williams and A Crowe. The scattering of electrons from inert gases. ii. absolute differential 

elastic cross sections for neon, krypton and xenon atoms. Journal of Physics B: 

Atomic and Molecular Physics, 8(13):2233, 1975. [cytowanie na str. 49] 

[53] S C Gupta and J A Rees. Differential cross sections for the elastic scattering of electrons 

by neon. Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 8(3):417, 1975. 


[54] R D DuBois and M E Rudd. Differential cross sections for elastic scattering of electrons from 

argon, neon, nitrogen and carbon monoxide. Journal of Physics B: Atomic and Molecular 

Physics, 9(15):2657, 1976. [cytowanie na str. 49] 

[55] I Iga, Lee Mu-Tao, J C Nogueira, and R S Barbieri. Elastic differential cross section measurements 

for electron scattering from ar and o 2 in the intermediate-energy range. Journal 

of Physics B: Atomic and Molecular Physics, 20(5):1095, 1987. [cytowanie na str. 49] 

[56] Devarajan Thirumalai and Donald G. Truhlar. Energy-dependent polarization potential, 

dispersion-relation absorption potential, and matrix effective potential for electron-neon 

scattering at 10 ¯ 100 ev. Phys. Rev. A, 26:793–807, Aug 1982. [cytowanie na str. 60] 

[57] Steven M. Valone, Donald G. Truhlar, and Devarajan Thirumalai. Localized second-order 

optical potential for electron scattering in terms of imaginary-frequency susceptibilities. 

Phys. Rev. A, 25:3003–3014, Jun 1982. [cytowanie na str. 60] 

[58] M J Seaton and L Steenman-Clark. Effective potentials for electron-atom scattering below 

inelastic thresholds. i. asymptotic forms. Journal of Physics B: Atomic and Molecular 

Physics, 10(13):2639, 1977. [cytowanie na str. 60] 

[59] R J Drachman. Asymptotic effective potentials for electron-hydrogen scattering. Journal of 

Physics B: Atomic and Molecular Physics, 12(22):L699, 1979. [cytowanie na str. 60] 

[60] Grażyna Staszewska, Przemysław Staszewski, and Krzysztof Żebrowski. On an improved 

model of a complex optical potential for electron elastic scattering. Journal of Electron 

Spectroscopy and Related Phenomena, 168(1-3):40 – 43, 2008. [cytowanie na str. 63] 

[61] David E. Goldberg. Algorytmy genetyczne i ich zastosowania. WNT, 2003. 

[cytowanie na str. 94]

Rozprawa doktorska - WydziaÅ‚ Fizyki, Astronomii i Informatyki ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?