Zadania dla chętnych

Kilka zadań dla zainteresowanych - semestr I
1. Czy ciąg (x n ) o wyrazach x n = ( n−1 n ln n
n+1)
jest zbieżny Jeśli tak, znajdź jego granicę.
(
2. Niech a 1 , b > 0 oraz niech a n+1 = 1 a
2 n + b
a n
). Udowodnij, że ciąg (a n ) jest zbieżny i znajdź jego
granicę.
3. Niech a 1 = 0, a 2 = 1 oraz a n = √ 2 −1 (a n−1 + 2a n−1 ) dla n = 3, 4 . . .. Udowodnij, że ciąg ten jest
zbieżny i znajdź jego granicę.
( √ √ n
)
n
4. Oblicz lim a+ b n,
n→∞ 2 gdzie a, b > 0.
∑
5. Niech |q| < 1. Oblicz ∞ nq n ,
n=1
∞∑
n 2 q n .
n=1
∑
6. W zależności od parametru zbadaj zbieżność szeregu ∞ ( n√ n − 1) α .
7. Zbadaj zbieżność szeregów:
a)
b)
c)
∞∑
( n√ n − 1) n
n=1
∞∑
n=1
∞∑
n=1
(
cos
1
n − 1)
sin πn
3 sin π 3n
8. Oblicz granice lub wykaż że nie istnieją:
a) lim
x→0
x [ 1
x]
;
b) lim
x→∞
(e x − 1) 1 x ;
c) lim
x→∞
x 1/3 ( (x + 1) 2/3 − (x − 1) 2/3)
2x ln(1+x)+x
√
3
x→0 1−e −x4
d) lim
9. Zbadaj ciągłość:
a) funkcji Dirichleta f : R → R,f(x) =
b) funkcji Riemanna { f : R → R,
0 dla x ∈ {0} ∪ R \ Q
f(x) =
1
q
{
1 dla x ∈ Q
n=1
0 dla x ∈ R \ Q
dla x = p , gdzie p, q ∈ Z oraz p, q są względnie pierwsze
q
10. Udowodnij, że funkcja f : [a, b] → R mająca własnośc Darboux i róznowartościowa jest ciągła.
11. Niech f : (0, ∞) → R będzie wypukła oraz lim x→0 + f(x) = 0. Wykaż, że funkcja x ↦→ f(x)
x
rosnąca.
jest

12. Wykaż, że jeśli funkcja f : R → R jest różniczkowalna w punkcie p, to
f(p + h) − f(p − h)
lim
h→0 2h
= f ′ (p)
13. Niech f : R → R będzie funkcją różniczkowalną spełniającą lim x→0 (f(x) + f ′ (x)) = 0. Wykaż, że
f ma granice (skończone lub nie) w −∞ i +∞.
14. Dana jest funkcja f : C → C postaci f(x) = ∑ ∞
n=1 nzn .
a) Znajdź wzór funkcji f;
b) Zbadaj jaki jest obraz dysku jednostkowego otwartego przy przekształceniu f - przedstaw f w
postaci złożeń prostszych funkcji.
15. Wykazać, że dla x ∈ [− 3π, 3 x2
π] zachodzi cos x e− 2 .
2 2
16. Dana jest funkcja
f(x) = c 1 x α 1
+ c 2 x α 2
+ . . . + c n x αn
gdzie n ∈ N \ {0}, α 1 < α 2 < . . . < α n i c i ≠ 0, i = 1, 2, . . . , n. Wykazać, że liczba dodatnich
miejsc zerowych tej funkcjinie przekracza liczby zmian znaku w ciągu (c 1 , c 2 , . . . , c n ).