Chí-kvadrát test, korelační a regresní analýzy

III. CVIENÍ ZE STATISTIKY
Vážení studenti,
úkolem dnešního cviení je nauit se analyzovat data pomocí chí-kvadrát testu, korelaní a
regresní analýzy. K tomuto budeme používat program Excel 2007 MS Office, v jehož prostedí
jste již pracovali a který je pro Vás snadno dostupný.
Co potebujete umt Pedpokládám, že umíte pracovat se základními nástroji
programu Excel 2007 a že jste se v prvním cviení ze statistiky nauili vytváet
kontingenní tabulky.
Peji Vám mnoho úspch se studiem této kapitoly.
Cíl dnešního cviení je nauit se analyzovat data pomocí chí-kvadrát testu, korelaní a
regresní analýzy. K tomuto budeme používat program Excel 2007 MS Office, v jehož prostedí
jste již pracovali a který je pro Vás snadno dostupný.
1. Co je chí-kvadrát test a k emu jej mžete použít
V úvodu si jen strun pipomeneme základní fakta z teorie testování hypotéz.
Chí-kvadrát test
chí-kvadrát test je statistická neparametrická metoda, která se používá k zjištní, zda mezi
dvma znaky existuje prokazatelný výrazný vztah.
Znaky mohou být:
• kvalitativní (kategoriální)
• diskrétní kvantitativní
• spojité kvantitativní, ale s hodnotami slouenými do skupin.
Data uspoádáme do kontingenní tabulky. Kategorie jednoho znaku urují ádky a kategorie
druhého znaku sloupce. Jednotlivá pozorování jsou zaazena do píslušné buky kontingenní
tabulky podle hodnot daných dvou znak. Pokud jeden ze znak má r kategorií a druhý znak
má s kategorií, dostáváme kontingenní tabulku typu r x s .
Nejmenší tabulku typu 2 x 2, kterou získáme v pípad, že každý znak má pouze dv
kategorie, nazýváme typolní tabulka.
Kontingenní tabulky umožují testování rzných hypotéz. Ti obvykle testované hypotézy
jsou:
1
• Test homogenity
• Test nezávislosti
• Test dobré shody
Test homogenity – slouží pro porovnání rozložení (distribuce) kvalitativní veliiny ve dvou
nebo více populacích.

Test nezávislosti – používá se k posouzení závislosti dvou kvalitativních veliin mených na
prvcích téhož výbru.
Test dobré shody - zjišuje, zda sledovaná veliina má rozdlení pravdpodobnosti uritého
typu.
Základní myšlenka chí-kvadrát testu spoívá v porovnání pozorovaných a oekávaných
etností. Pozorované etnosti zjistíme z kontingenní tabulky. Oekávané etnosti je nutné
vypoítat. Pi výpotu vycházíme z pedpokladu, že platí nulová hypotéza. Tedy provádíme-li
test homogenity, pedpokládáme, že rozložení hodnot sledované kategoriální veliiny je ve
všech populacích shodné. Pokud provádíme test nezávislosti, nulová hypotéza pedpokládá,
že mezi dvma kvalitativními veliinami není žádná závislost. V pípad testu dobré shody
pedpokládáme, že sledovaná veliina má rozložení daného typu.
Velikost rozdíl mezi pozorovanými a oekávanými etnostmi posuzujeme pomocí testové
statistiky χ 2 , její pesný tvar naleznete ve výukových textech. Na základ
pravdpodobnostního rozložení chí-kvadrát se vypoítá pravdpodobnost výskytu takovéto
nebo ješt extrémnjší hodnoty. Tato pravdpodobnost se nazývá dosažená hladina
významnosti statistického testu (p-hodnota). Pokud je menší než 0,05, nulovou hypotézu
zamítáme. Znamená to, že pravdpodobnost, že by pozorované rozdíly i závislosti vznikly
pouze náhodou, je menší než 5 %.
2. Jak provést chí-kvadrát test v programu Excel 2007
V této kapitole si ukážeme postup, který nám umožní testování hypotéz pomocí chí-kvadrát
testu.
Abychom mohli k analyzování dat použít výpoetní techniku, je teba mít data uložená
v databázi. Nejbžnjší je uložení dat v souboru programu Excel. Data pro naše cviení jsou
uložena na diskové jednotce F: ve složce SOFTWARE. Celá cesta je
F:/SOFTWARE/biostatistika/data/analýza dat.xls
Excelovský sešit má 6 list. První list má název „chí-kvadrát test“. Najdete v nm data, která
byla zjištna pi preventivní prohlídce 584 zamstnanc nemocnice. V prvním sloupci (A)
íslo zamstnance je uvedena identifikace zamstnance. Druhý sloupec (B) Pohlaví udává
pohlaví zamstnance (M – muž, Ž – žena), tetí sloupec (C) Kouení obsahuje informaci o
tom, zda zamstnanec aktuáln kouí i ne, ve sloupci (D) ischemie je zadáno, zda sledovaný
jedinec trpí ischemickou chorobou srdení, ve sloupci (E) hypertenze zda trpí zvýšeným
krevním tlakem ili hypertenzí, sloupec (F) BMI udává hodnocení zamstnance z hlediska
body mass indexu – rozlišujeme zde ti kategorie – norma, nadváha, obezita.
Zadání úkolu
Vaším úkolem bude provit závislost mezi pohlavím zamstnanc a kouením, výskytem
hypertenze resp. výskytem nadváhy i obezity. Jinými slovy se ptáme, zda podíl kuák je
stejný i muž i u žen, zda podíl osob s hypertenzí je stejný u obou pohlaví i zda muži i ženy
trpí nadváhou a obezitou ve stejné míe.
2

Stanovíme nulové a alternativní hypotézy:
1. Nulová hypotéza: Podíl kuák je stejný u muž i žen.
Alternativní hypotéza: Podíl kuák u muž a u žen se liší.
2. Nulová hypotéza: Výskyt hypertenze nezávisí na pohlaví.
Alternativní hypotéza: Výskyt hypertenze závisí na pohlaví.
3. Nulová hypotéza: Rozdlení zamstnanc podle BMI je stejné u muž i žen.
Alternativní hypotéza: Rozdlení zamstnanc podle BMI není stejné u muž i žen.
Postup ovení první hypotézy:
Je zejmé, že oba znaky (tj. Kouení, Pohlaví) jsou kvalitativní povahy. Vhodnou metodou
pro ovení hypotézy je tedy chí-kvadrát test.
1. Vytvote kontingenní tabulku. Umístte ji na nový list. Do ádk tabulky vložte znak
Pohlaví, do sloupc znak Kouení. Použijte postup, který jste se nauili na 1. cviení ze
statistiky.
Z tabulky je možno vyíst, že v souboru je 396 muž, z toho 119 kuák, což je
30,1 %. Žen je v souboru pouze 188 a z nich je 66 kuaek, což je 35,1 %.
Vidíme, že podíl kuák je o nco vyšší u žen. Zda je tento rozdíl statisticky významný je
teba ovit chí-kvadrát testem.
Jinak eeno, budeme zkoumat, zda tento rozdíl je pouze vcí náhody, i zda zde existuje
skutený rozdíl.
3

2. Pozorované absolutní etnosti opište pod kontingenní tabulku:
3. Vypoítejte oekávané etnosti. Pro výpoet použijte pravidlo:
oekávaná etnost = souet v sloupci / celkový poet * souet v ádku
Tedy oekávané etnosti jsou:
= 399/584*396=270,55 = 185/584*396=125,45
= 399/584*188=128,45 = 185/584*188=59,55
Tyto výpoty provete pod tabulku Pozorované etností:
Šipka naznauje, že do bunk mžete vkládat pímo výpoty. Buky s píslušnými daty
vyberte kliknutím myši.
4

4. K výpotu dosažené hladiny statistické významnosti, neboli signifikance (tzv. p-hodnoty),
použijeme funkci CHITEST.
Kliknte do buky, kam chcete umístit hodnotu signifikance (nap. do buky E21).
Z ádkového menu zvolte Vzorce a kliknte na ikonu Vložit funkci.
Otevete dialogové okno Vložit funkci. V poli Vybrat kategorii vyberte Statistické, ze
seznamu vyberte funkci CHITEST.
Otevete dialogové okno Argumenty funkce. Do pole Aktuální zadejte adresu oblasti
bunk s pozorovanými etnostmi C13:D14 (pouze tyi hodnoty!).
5

Do pole Oekávané zadejte adresu oblasti bunk s vypoítanými oekávanými etnostmi
C18:D19 (také tyi hodnoty).
Kliknte na OK.
Tabulky s výslednou hodnotou signifikance:
Ped vypoítanou hodnotu (nap. do buky A21) napište text „Signifikance chí-kvadrát
testu:“ Hodnotu signifikance zaokrouhlete na 3 desetinná místa.
Funkce chí-kvadrát test v Excelu nezobrazuje hodnotu testového kritéria χ 2 , zobrazí pouze
p-hodnotu.
6

5. Výsledek, tedy dosaženou hladinu statistické významnosti, porovnáme s hodnotou 0,05.
Je-li dosažená hladina statistické významnosti menší než 0,05, nulovou hypotézu
zamítáme, v opaném pípad nulovou hypotézu zamítnout nemžeme. V tomto píkladu
p = 0,220, nulovou hypotézu tedy zamítnout nemžeme.
Závr testování zní: Podíl kuák je stejný v populaci muž i žen.
Postup ovení druhé hypotézy:
Nulová hypotéza: Výskyt hypertenze nezávisí na pohlaví.
Alternativní hypotéza: Výskyt hypertenze závisí na pohlaví.
Postup bude obdobný jako v prvním píkladu:
1. Vytvote kontingenní tabulku. Do ádk tabulky vložte znak Pohlaví, do sloupc znak
Hypertenze. Tabulku umístte na nový list.
Kontingenní tabulka:
Z tabulky je možno vyíst, že v souboru je zahrnuto 394 muž, z nichž 33 (t.j. 8,4 %) trpí
hypertenzí, žen je v souboru 188, hypertenzí trpí 13 (t.j.6,9 %) žen. Vidíme, že rozdíl ve
výskytu hypertenze u muž a u žen je malý.
2. Pozorované absolutní etnosti opište pod kontingenní tabulku a spoítejte oekávané
etnosti:
7

K výpotu dosažené hladiny statistické významnosti opt použijte funkci CHITEST
(Použijte píkaz Vzorce a zvolte Vložit funkci.)
3. Pokud jste postupovali správn, dostanete tento výsledek:
4. Dosažená hladina signifikance p = 0,541, nulovou hypotézu tedy zamítnout nemžeme.
Závr testování zní: Výskyt hypertenze nezávisí na pohlaví.
Postup ovení tetí hypotézy:
Nulová hypotéza: Rozdlení zamstnanc podle BMI je stejné u muž i žen.
Alternativní hypotéza: Rozdlení zamstnanc podle BMI není stejné u muž i žen.
Postup:
1. Vytvote kontingenní tabulku. Do ádk tabulky vložte znak Pohlaví, do sloupc znak
BMI hodnocení. Tabulku umístte na nový list.
Kontingenní tabulka:
8

Dostanete tabulku, která má 2 ádky a 3 sloupce. Kategorie uvedené ve sloupcích jsou
uspoádány abecedn: nadváha, norma, obezita. Vzhledem k tomu, že BMI hodnocení je
ordinální znak, mly by kategorie být logicky správn uspoádány: tedy norma, nadváha,
obezita. Uspoádání mžete zmnit, vyberte položku “nadváha“ a kliknte pravým
tlaítkem myši, v místní nabídce vyberte píkaz Pesunout a Pesunout položku
nadváha vpravo.
2. Pozorované absolutní etnosti opište pod kontingenní tabulku a spoítejte oekávané
etnosti:
3. K výpotu dosažené hladiny statistické významnosti opt použijte funkci CHITEST
(Použijte píkaz Vzorce a zvolte ikonu Vložit funkci.)
9

4. Pokud jste postupovali správn, dostanete tento výsledek:
Dosažená hladina signifikance p = 3,1*10 -8 je podstatn menší než 0,05, nulovou hypotézu
mžeme zamítnout a pijmout její alternativu.
Závr testování zní: Rozdlení zamstnanc podle BMI není stejné u muž i žen. 41,7 %
muži trpí nadváhou, ženy trpí nadváhou mén asto – pouze v 17,6 % pípad. Obezitou trpí
muži a ženy stejn.
Úkol k samostatnému ešení:
Otevete list „onkologická léba“. Zde jsou data pacient, kteí podstoupili onkologickou
lébu. V sloupci B je uvedena diagnóza pacient, rozlišujeme dv diagnózy: rakovinu jazyka
a rakovinu spodiny ústní. Ve sloupcích C a D jsou informace o tom, zda pacienti mají
polykací potíže pi pození tuhé stravy i zda trpí pocitem pálení v dutin ústní.
1. Ovte následující hypotézu:
Nulová hypotéza: Výskyt polykacích potíží nezávisí na sledovaných diagnózách.
Alternativní hypotéza: Výskyt polykacích potíží závisí na sledovaných diagnózách.
Návod:
10

Vytvote kontingenní tabulku, do ádk vložte znak Diagnóza, do sloupc znak Polykací
potíže pi pození tuhé stravy. Spoítejte oekávané etnosti a použijte funkci CHITEST.
2. Ovte následující hypotézu:
Nulová hypotéza: Výskyt pálení v dutin ústní nezávisí na sledovaných diagnózách.
Alternativní hypotéza: Výskyt pálení v dutin ústní závisí na sledovaných diagnózách.
Návod:
Vytvote kontingenní tabulku, do ádk vložte znak Diagnóza, do sloupc znak Pocit pálení
v dutin ústní pi jídle. Spoítejte oekávané etnosti a k výpotu signifikance použijte
funkci CHITEST.
3. Jak mžeme analyzovat závislost mezi kvantitativními znaky
V kapitole 3 si ukážeme, jakým zpsobem analyzujeme závislost mezi daty kvantitativní
povahy. Krátce si pipomeme základní fakta ze statistické teorie.
1. Korelaní analýza
Posuzuje vzájemné vztahy pomocí rzných mr závislosti, vtšinou pomocí rzných
korelaních koeficient. Nejpoužívanjší mírou tsnosti vztahu dvou spojitých znak je
Pearsonv korelaní koeficient. Je mírou linearity vztahu (jak tsn se body pimykají
k pímce). Pearsonv korelaní koeficient se znaí r a vzorec pro pesný výpoet najdete ve
výukových textech. Pro hodnoty r platí: -1 r 1. Hodnoty ± 1 nabývá tehdy, když veliiny
jsou absolutn závislé, tzn. pokud sestrojíme bodový graf dvojice zkoumaných veliin,
všechny body leží na pímce. Pokud r = 0 (nebo nabývá hodnoty blízké nule), veliiny jsou
nezávislé. Kladné hodnoty korelaního koeficientu znamenají pozitivní závislost, ob veliiny
zárove rostou nebo klesají. Záporné hodnoty korelaního koeficientu znamenají negativní
závislost, jedna veliina roste, zatímco druhá klesá. Míru závislosti podle absolutní hodnoty
Pearsonova korelaního koeficientu obvykle interpretujeme:
0,1 – 0,3 korelace slabá
0,4 – 0,6 korelace stední
0,7 – 0,8 korelace silná
nad 0,9 korelace velmi silná.
Data, se kterými budete pracovat, naleznete opt v souboru F://SOFTWARE/biostatistika/data
/analýza dat.xls.
Otevete list „Korelace“.
11

Na listu „Korelace“ jsou data 600 zamstnanc nemocnice. Ve sloupci A íslo zamstnance
je uvedena identifikace. Druhý sloupec (B) Vk poskytuje informaci o vku zamstnance
v letech, sloupce C až F obsahují výsledky test lipidového profilu v mmol/l (celkový
cholesterol, LDL, HDL, Triglyceridy).
Úkol:
U každého sledovaného znaku urete jeho typ.
Návod: Rozlišujte znaky kvalitativní a kvantitativní.
Zadání úkolu
Vaším úkolem bude analyzovat míru závislosti namených parametr.
Postup
K výpotu Pearsonova korelaního koeficientu použijeme analytický nástroj Korelace. Tento
nástroj je obsažen v položce Analýza dat. (Analýzu dat nastavte stejným zpsobem jako pi
použití nástroje Popisná statistika – kliknte na ikonu , otevete Možnosti aplikace
Excel, vyberte položku Doplky, nastavte Analytické nástroje jako Aktivní doplnk
k dispozici a kliknte na tlaítko Pejít. Zaškrtnte Analytické nástroje a potvrte OK.
Vyberte položku Data a v hlavním menu se Vám objeví nová položka Analýza dat:
1. Kliknte na Analýza dat ze seznamu analytických nástroj vyberte položku Korelace.
12

Vyplte dialogové okno Korelace.
2. Do pole Vstupní oblast zadejte adresu celých sloupc B až F, které obsahují data týkající
se lipidového profilu a vku zamstnanc. Data jsou sdružena ve sloupcích, zatrhnte
položku Popisky v prvním ádku.
3. Do pole Výstupní oblast zadejte adresu buky H1. Potvrte tlaítkem OK.
Dostanete korelaní matici:
13
V ádcích i ve sloupcích jsou uvedeny všechny zkoumané znaky, ísla uvnit matice jsou
hodnoty Pearsonova korelaního koeficientu pro danou dvojici znak.
Je zejmé, že nejsilnjší pozitivní závislost je mezi celkovým cholesterolem a LDL
cholesterolem r = 0,915, naopak tém nulová korelace, tedy nezávislost byla zjištna
mezi celkovým cholesterolem a HDL cholesterolem r = 0,035. Slabá negativní korelace
byla zjištna mezi triglyceridy a HDL, r = -0,342.

2. Regresní analýza
Metoda regresní analýzy hledá matematické vyjádení vztahu mezi znaky (lineární,
kvadratický, exponenciální …) a dává odpov na otázku, zda lze znak Y odhadnout na
základ jiného nebo jiných znak a s jakou chybou.
Postup regresní analýzy lze shrnout do tchto bod:
1. Sestrojení bodového grafu a jeho posouzení.
2. Volba typu regresní kivky a výpoet jejich koeficient.
3. Hodnocení kvality nalezeného ešení.
Poznámka: V ad pípad lze vztah popsat pímkou. Nalezením koeficient této pímky se
zabývá tzv. lineární regresní analýza.
Zadání úkolu
Korelaní analýzou bylo zjištno, že nejsilnjší závislost mezi veliinami zkoumanými na
listu „Korelace“ je mezi celkovým cholesterolem a LDL. Provete regresní analýzu tchto
veliin.
Postup
1. Sestrojte bodový graf zkoumaných veliin.
Pomocí myši vyberte všechny hodnoty sloupc C (cholesterol) a D (LDL).
2. Kliknte na píkaz Vložení a vyberte položku Bodový ze skupiny Grafy, vyberte první
typ z nabízených typ bodových graf.
14

Graf upravte do následující podoby:
Volba typu závislosti a výpoet koeficient regresní kivky
3. Kliknte pravým tlaítkem myši na graf mezi modré znaky a vyvolejte místní nabídku:
4. Kliknte na položku Pidat spojnici trendu, oteve se Vám dialogové okno Formát
spojnice trendu.
5. Vyberte Lineární trend a zatrhnte možnosti Zobrazit rovnici regrese a Zobrazit
hodnotu spolehlivosti.
15

Pokud máte správn vyplnno, zavete dialogové okno.
Do grafu se vloží regresní rovnice – v našem pípad se jedná o rovnici pímky:
LDL = 0,8*Celkový cholesterol – 1,1
Zobrazí se také hodnota spolehlivosti R 2 =0, 837.
16

6. Hodnocení kvality nalezeného ešení.
Hodnota spolehlivosti, tj. koeficient determinace R 2 , udává procento, jakým je rozptyl
hodnot závisle promnné veliiny Y (LDL) vysvtlen zmnami hodnot nezávisle
promnné veliiny X (Celkový cholesterol). Koeficient nabývá hodnot od 0 do 1. ím je
vyšší, tím je nalezený model kvalitnjší. V pípad lineární regrese je koeficient
determinace roven druhé mocnin Pearsonova korelaního koeficientu.
(Ovte: 0,915 2 = 0,837225)
V našem pípad je hodnota R 2 = 0,837 pomrn vysoká, lineární model byl vhodn
zvolen.
Zadání úkolu k samostatnému ešení
Na listu „Regresní analýza“ naleznete data týkající se teploty a dynamické viskozity vody.
Metodou regresní analýzy analyzujte závislost viskozity vody na teplot.
Návod:
1. Sestrojte bodový graf, osa X pedstavuje teplotu, osa Y dynamickou viskozitu.
2. Zvolte nejvhodnjší typ regresní kivky a najdte její rovnici.
3. Pomocí koeficientu determinace zhodnote kvalitu nalezeného ešení.
17