Predavanje za izvanredne 2

LIMES FUNKCIJE
Definicja
Broj L je limes (granična vrijednost) funkcije f kada x teži prema x 0 ,
odnosno
( x) = L
lim f
( x) L
x→x
0
f → x → x0
ili kada
Za limese oblika:
0 ∞
0 ∞ 0
, ,0 ⋅ ∞,
∞ − ∞,0
,1 , ∞
0 ∞
kažemo da imaju neodređeni oblik (neodređeni limesi).

0
Ukoliko je neodređeni limes oblika
0
, kada x → x 0 , tada dijelimo
polinom u brojniku i nazivniku sa (x – x 0 ), i računamo limes tako
dobivene funkcije. Ponekada se postupak ponavlja nekoliko puta.
Limes racionalne funkcije kada x → ∞ traži se tako da se brojnik i
nazivnik podijeli najvećom potencijom od x.

Odredite limese:
1.
3 2
x + 3x
+
lim
→−
x 2
− 2x
2x
8
x 2 − 3
−
1
2
⎛ n 2n
2. ⎟ ⎞
lim
⎜ −
n→∞
2
⎝ 3 + n 4 + n ⎠
−1

DERIVACIJA
Definicija
Za y = f ( x)
, derivaciju od f u točki x, označenu s f’(x),
definiramo kao limes
f
'
( x)
= lim
h → 0
( x + h) − f ( x)
ako taj limes postoji. Ako f’(x) postoji za svaki x o otvorenom
intervalu a, b , kaže se da je funkcija f diferencijabilna na tom
intervalu
Oznake:
Primjer: Odredite derivaciju:
( x)
df
f '( x)
, Df ( x),
,
dx
a
b
f
dy
dx
) f ( x)
) f ( x)
=
=
x
1
x
2
h

PRAVILA DERIVIRANJA
Neka su f i g derivabilne na istom intervalu. Tada vrijede slijedeća
svojstva:
1. Derivacija zbroja i razlike:
'
( f ± g) = f ' ± g'
2. Derivacija umnoška:
3. Derivacija kvocijenta:
( fg ) '
=
f
'
g
+
f
g
'
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
g
f
g
'
⎞
⎟
⎠
'
⎞
⎟
⎠
= −
=
f
g'
2
g
,
' g −
g
2
f
g'

Odredite derivacije funkcija:
1. f ( x) = sin x cos x
2.
y
=
x
2
+ 3x
+
x + 1
2

Derivacija složene funkcije f računamo formulom:
f
( g ( x )) ' = f '( g ( x)
) ⋅ g '( x )
Primjer: Odredite derivaciju funkcije
x
2
+x−2
Druga derivacija funkcije f derivacija je prve derivacije. Označavamo
je s f’’. Derivaciju trećeg reda označavamo f’’’. Općenito derivaciju n-
tog reda označavamo s f (n) .
( n )
( )
( n −1
x = f )
( x)
Primjer: Odredite 5. derivaciju funkcije
f
( ) '
f
( x) = x
4 + 2x
3 − x + 1

Odredite derivacije funkcija:
f
x
= 2x
+ 7x
+ 4x
− 3
1. ( )
3 3 2
( ) 2. y = sin x
3 + 2x
⋅cos
2x

Tijek funkcije
istražiti domenu
parnost funkcije
nul-točke
asimptote (racionalna funkcija):
lim
vertikalne (domena)
x→a
f ( x)
= ±∞
kose
y
=
kx
+ l
=
⎧
⎪ lim
x→±∞
⎨
⎪ lim
⎩x→±∞
f ( x)
x
= k
( f ( x)
− kx)
=
l
horizontalne
lim
x→±∞
f
( x)
=
l

Tijek funkcije
ekstremi
odredimo f’(x) te riješimo jednadžbu f’(x) = 0
odredimo f’’(x) te ispitujemo (polinom):
a) f’’(x) > 0, u točki je minimum
b) f’’(x) < 0, u točki je makimum
c) f’’(x) = 0, točka infleksije
intervali monotonosti
a) f’(x) < 0, interval pada
b) f’(x) > 0, interval rasta
c) f’’(x) > 0, interval konveksnosti
d) f’’(x) < 0, interval konkavnosti
graf funkcije

Nacrtajte graf funkcije:
f
x
= 2 x x − 1
1. ( ) ( ) 2
( )
2. f x
2
x
= x −
4