Predavanja za izvanredne 1 - Vup.hr

MATEMATIKA
nositelj kolegija: pred. Bojan Radišić, prof.
e-mail: bradisic@vup.hr
web staranica: http://www.vup.hr/~bradisic/

O KOLEGIJU
ECTS bodovi: 6 (VVV); 7 (PT)
Konzultacije:
Ponedjeljak 9:00 – 11:00 sati

KRITERIJ OCJENJIVANJA
od 50 % do 64 % dovoljan (2)
od 65 % do 80% dobar (3)
od 81% do 90 % vrlo dobar (4)
od 91% do 100 % izvrstan (5)

KOLOKVIJI, PISMENI I USMENI DIO ISPITA
2 kolokvija (5.12. 2009. u 9:00 sati; 12.12. u 8:00 ili 13:00 sati)
ponavljanje kolokvija
pismeni ispit
6+1, 6+1
usmeni ispit

KONTAKT
Studenti mogu kontaktirati s nastavnikom tijekom termina
konzultacija (dva sata tjedno), dok se za kratka pitanja i
objašnjenja mogu obratiti bilo koji dan tijekom radnog vremena,
dolaskom osobno.
Moguće je postaviti pitanja i e-mailom na koji će biti odgovoreno
najkasnije za 48 sati (osim u vrijeme vikenda, godišnjeg odmora ili
eventualnih tehničkih problema).

OKVIRNI SADRŽAJ KOLEGIJA
Brojevi
Prirodni brojevi , Cijeli brojevi , Brojevni sustavi , Racionalni brojevi , Iracionalni brojevi , Realni
brojevi, Intervali , Supremum i infimum , Apsolutna vrijednost realnog broja.
Vektori
Vektori i računske operacije s njima , Baza vektorskog prostora , Koordinatni sustavi , Skalarni
produkt , Vektorski produkt , Točka u prostoru , Ravnina u prostoru , Kut između dvije ravnine ,
Udaljenost točke od ravnine , Pravac u prostoru , Kut između dva pravca , Međusobni položaj
pravca i ravnine , Probodište pravca s ravninom , Sjecište dva pravca.
Matrice
Determinante , Matrice , Inverzna matrica , Gauss-ova metoda rješavanja sustava linearnih
jednadžbi , Računske operacije s matricom.
Funkcije
Funkcije , Konveksnost funkcije , Parnost funkcije , Područje definicije funkcije , Kompozicija
funkcije , Elementarne funkcije , Potencije , Eksponencijalna funkcija , Trigonometrijske
funkcije , Ciklometrijske funkcije , Logaritamske i arkus funkcije , Racionalne funkcije , Nizovi ,
Konvergentni nizovi , Granična vrijednost funkcije , Neprekidnost funkcije , Derivacije .
Financijska matematika
Omjeri i razmjeri , Račun smjese , Postotni račun , Jednostavni kamatni račun , Složeni kamatni
račun.

LITERATURA:
Bradarić, T., Pečarić, J. i dr.: Matematika za tehnološke
fakultete, Element, Zagreb, 2004.
Apsen, B., Riješeni zadaci elementarne matematike,
Tehnička knjiga, Zagreb
B. P. Demidovič i suradnici: Zadaci i riješeni primjeri iz
matematičke analize za fakultete , Croatiaknjiga d.d.
Zagreb, 2003.
udžbenici i zbirke zadataka za srednje škole

PRIRODNI BROJEVI
• skup N = {1, 2, 3, ...} (lat. naturalis)
• Peanovi aksiomi:
I. 1 ∈ N
II. ako je n ∈ N , onda je i n + 1 ∈ N
III. ako je n +1 = m + 1, onda je m = n
IV. nema prirodnog broja da je 1 = n + 1
V. ako je M ⊆ N i ako vrijedi:
i. 1 ⊆ M
ii. ako je n ∈ M, onda je n + 1 ∈ M. Tada je M = N .
Skup N je beskonačan.
Prosti (prim) brojevi su brojevi koji maju samo dva djelitelja, broj 1 i sebe
samoga (2, 3, 5,7, …).

Aksiom indukcije (V. Peanov aksiom):
Neka je je M ⊆ N i ako vrijedi:
1. 1 ⊆ M
2. ako je n ∈ M, onda je n + 1 ∈ M.
Tada je M = N .

Tri koraka indukcije:
1. baza indukcije – dokaz vrijedi za n = 1
2. pretpostavka indukcije – pretpostavlja se
da tvrdnja vrijedi za n = k
3. korak indukcije – dokaz da tvrdnja vrijedi
za n = k + 1

Dokažite matematičkom indukcijom:
a)
1
1
2 + 7 + 15 + ... + n
n +
2
2
( 3n
+ 1) = n( 1) 2
b) 1 ⋅
2
+
2
⋅
3
+
3
⋅
4
+
...
+
n ( n
+
1 ) =
n ( n
+
1 )( n
+
2 )
1
3

POJAM VEKTORA
Skalrne veličine opisuju se jednim (realnim) brojem ili skalarom
(težina, duljina, visina...)
Vektorske veličine se ne mogu opisati samo jednim (realnim)
brojem već je za njihovo određivanje potrebno zadati i smjer
(sila,brzina,...).
Vektor – usmjerena dužina (Točno se zna koja točka je početna, a
koja završna).
Oznaka: F , AB , c...

OPERACIJE S VEKTORIMA
zbrajanje
množenje vektora skalarom
skalarni produkt
vektorski produkt
linerna kombinacija vektora

ZBRAJANJE VEKTORA
a b ( ) a,b
Neka su i neki vektori. Zbrajanje vektora je funkcija koja paru
pridružuje vektor a + b
Vektore zbrajamo po pravilu:
trokuta
paralelograma

Svojstva zbrajanja:
komutativnost:
asocijativnost:
a + b = b+
a
( ) ( )
a + b + c = a+
b+
c
neutralni element (nul vektor):
a + 0 = 0+
a = a
suprotni element:
( ) −
a
= −
a
+
=
0
a
+ a
Oduzimanje vektora svodi se na zbrajanje odgovarajućeg
suprotnog vektora: a−b
= a + −b
( )

MNOŽENJE VEKTORA SKALAROM
a+
a = 2a
a1 + 4a
4+
2a
+ 4...
4+
3a
= na
n
Produkt broja λ i vektora a , simbolički λa
, zove se vektor čija je
duljina λ ⋅ a , a smjer se podudara sa smjerom vektora a ukoliko je
λ>0, odnosno suprotnog je smjera ako je λ

SKALARNI PRODUKT
projekcija vektora na vektor
Definicija:
a
b
Skalarni produkt vektora i vektora jednak je produktu apsolutnih vrijednosti
vektora i kosinusa kuta između njih. Simbolički:
a
⋅ b
=
a
⋅
b
cos
φ
φ
gdje je kut između vektora.

Neka su zadani vektori a = ax i + ay
j + az
k i b = bx
i + by
j + bz
k. Skalarni
produkt vektora iznosi:
a ⋅b
= a b + a b + a
x
x
y
y
z
b
z

VEKTORSKI PRODUKT
Ako su a i b dva vektora u prostoru, tada je njihov vektorski
produkt a × b novi vektor sa svojstvima:
a) a × b = a ⋅ b sin φ , 0 ≤ φ ≤ π gdje je φ kut između vektora.
Geometrijski gledano, a × b je površina paralelograma razapetog vektorima
a
i
b
a × b
a b
b) vektor je okomit na vektore i
Neka su zadani vektori a=
a i+
a j+
a k i b=
b i+
b j b k. Vektorski
produkt vektora iznosi:
a×
b=
x y z x y
+
( a b −a b ) i−( a b −a b ) j + ( a b −a b )k
y
z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
z
x

LINEARNA KOMBINACIJA VEKTORA
Izraz oblika λ a + µb + ... + πv gdje su a , b,...,
v vektori, a λ , µ ,..., π
skalari zove se linearna kombinacija vektora.
Za zadani skup od n vektora kaže se da su međusobno linearno
zavini ako se neki od njih može prikazati kao linearna kombinacija
ostalih vektora. U protivnom, zadani vektori su međusobno
linearno nezavisni.

Izračunajte :
a)
k
j
i
b
k
j
i
a
9
6
3
6
4
2
−
+
−
=
−
+
=
b
a
b
a
b
a
b
a 2
,
,2
3
2
2
1
,
2
3 ×
⋅
+
−
Izračunajte :
a)
k
j
i
b
k
j
i
a
4
2
4
6
3
3
−
+
=
+
−
=
b
a
b
a
b
a
b
a ×
⋅
−
+ 2
,
2
,
2
3
3
2
,
3
2

Pokažite vektor kao linearnu kombinaciju vektora :
a) b)
c
b
a ,
,
d
k
j
i
c
k
j
b
k
j
i
a
2
3
2
9
3
2
+
+
−
=
−
−
=
−
+
=
k
j
i
c
k
i
b
k
j
i
a
+
+
=
−
=
+
−
=
4
3
2
5
2
k
j
i
d
k
j
i
c
4
5
2
3
2
+
+
−
=
+
+
−
=
k
j
i
d
k
j
i
c
+
−
=
+
+
=
3
2
4
3

PRAVAC U PROSTORU
Pravac u prostoru određen je jednom točkom T i jednim vektorom s.
Kanonski oblik jednadžbe pravca:
x−x0 y−
y0
z−z0
= =
a b c
Parametarski oblik:
x = x
y = y
z =
z
0
0
0
+ at
+ bt
+ ct

KUT IZMEĐU DVA PRAVCA
Kut između dva pravca: cosφ =
a
2
1
a a
1
+ b
2
1
2
+ bb
+ c
1
2
1
2
+ c c
a
2
2
1
2
+ b
2
2
+ c
2
2
Uvjet paralelnosti:
a
a
1
2
=
b
b
1
2
=
c
c
1
2
Uvjet okomitosti:
a a
1 2
+ b1
b2
+ c1c
2
=
0

Odredite veličinu kuta α u trokutu ABC s koordinatama A(2, -4, 0),
B (3, 1, -4) i C(0, 1, 3).
Odredite veličinu kuta β u trokutu ABC s koordinatama A(2, -4, 0),
B (3, 1, -4) i C(0, 1, 3).

POJAM MATRICE
Pravokutna tablica brojeva
⎡a11
a12
L a1
n ⎤
⎢
a a a
⎥
n
A ⎢
21 22
L
2
= ⎥,
m,
n ∈ N
⎢ M M O M ⎥
⎢
⎥
⎣am1
am2
L amn
⎦
naziva se matrica tipa m × n.
Brojevi a ij (i = 1,…,m, j = 1,…,n) zovu se elementi (komponente)
matrice A. Za matricu A kažemo da ima m redaka i n stupaca.
a ij
[ ]
A = a ij

Zadatak:
Riješite sustav:
x
−
3
y
=
6
2
x
+
5
y
=
1
Determinante je prvi otkrio i proučavao G. W. Leibniz 1693. godine
ispitujući rješenja sistema linearnih jednadžbi.
Otkrivača determinanti smatra se G. Cramer koji je 1750. godine dao
pravila rješavanja jednadžbi pomoću determinanata.
Naziv determinante uveo je u matematiku K. F. Gauss.
Determinanta kvadratne matrice drugog reda:
det
⎡a
A = det⎢
⎣a
11
21
a
a
12
22
⎤
⎥
⎦
=
a
a
11
21
a
a
12
22
=
a
11
a
22
−
a
21
a
12

Sustav od tri linearne jednadžbe:
a
a
a
11
21
31
x+
a
x+
a
x+
a
12
22
32
Cramerovo pravilo:
y + a
y + a
y + a
13
23
33
z = b
1
z = b
2
z = b
3
D x
=
b
b
b
1
a
12
a
13
2
3
a
a
a
22
32
a
a
a
23
33
D y
=
a
a 11
b
1
a
13
a
11
a
12
b
1
a
a
21
31
b
b
b
2
3
a
a
a
23
33
D z
=
a
a
21
31
a
a
22
32
b
b
2
3
x
=
Dx
D
y
=
D
y
D
z
=
Dz
D

Riješite sustav:
a)
8
2
3
9
5
7
3
2
−
=
+
−
=
+
−
=
−
+
z
y
y
x
z
y
x
2
=
+
−
z
y
x
b)
8
3
1
2
2
=
+
+
−
=
−
+
=
+
−
z
y
x
z
y
x
z
y
x