Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan ...

Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E 

e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl 

http://www.math.put.poznan.pl/∼grzesiak/ 

Konsultacje: piątek 9.45–11.15 pokój 724E 

Oprocentowanie i kapitalizacja

Treść wykładu 

Matematyka stosowana w ekonomii 

Wartość pieniądza jako funkcja czasu. 

Stopy procentowe. 

Oprocentowanie i kapitalizacja 

Dyskonto rzeczywiste i handlowe 


Przedmiot ekonomii 

Ekonomia to nauka społeczna zajmująca się badaniem sposobów 

gospodarowania społeczeństw. 





Termin ”ekonomia” pochodzi z greckiego oikonomikos i pierwszy 

raz został użyty przez Ksenofonta jako tytuł dzieła o kierowaniu 

gospodarstwem domowym. 





Termin ”ekonomia” pochodzi z greckiego oikonomikos i pierwszy 

raz został użyty przez Ksenofonta jako tytuł dzieła o kierowaniu 

gospodarstwem domowym. 

Ekonomia jako samodzielna nauka istnieje od czasów Adama 

Smitha (II połowa XVIII w.) i jego książki The Wealth of Nations. 


Tradycyjnie ekonomię dzieli się na mikroekonomię, która zajmuje 

się tym, w jaki sposób gospodarstwa domowe i przedsiębiorstwa 

podejmują decyzje i jak współdziałają na konkretnych rynkach, 

oraz na makroekonomię, która skupia swoją uwagę na badaniu 

całej gospodarki. 







Obecnie ekonomiści wyróżniają również dodatkowo, jako działy 

ekonomii, międzynarodowe stosunki gospodarcze – zajmujące się 

uwzględnieniem wpływu międzynarodowej wymiany handlowej na 

gospodarkę państwa oraz gospodarkę światową – dział ekonomii 

zajmujący się gospodarką całego świata jako jednego organizmu. 







Obecnie ekonomiści wyróżniają również dodatkowo, jako działy 

ekonomii, międzynarodowe stosunki gospodarcze – zajmujące się 

uwzględnieniem wpływu międzynarodowej wymiany handlowej na 

gospodarkę państwa oraz gospodarkę światową – dział ekonomii 

zajmujący się gospodarką całego świata jako jednego organizmu. 

Podstawowymi problemami współczesnej ekonomii są: problemy 

bezrobocia i inflacji, równowaga i wzrost gospodarczy, rola rządu w 

procesach gospodarowania (planowanie czy liberalizm). 



Część wiedzy ekonomicznej ma postać rozmaitych modeli, w 

których występują w miarę jasno sprecyzowane założenia, z których 

przy pomocy pojęć i metod matematycznych otrzymuje się wnioski. 






Wykorzystywane dziedziny matematyczne: 

arytmetyka 







arytmetyka 

statystyka matematyczna 







arytmetyka 


rachunek różniczkowy ( podstawa tzw. rachunku 

marginalnego) 







arytmetyka 



marginalnego) 

algebra liniowa; w szczególności: 







arytmetyka 



marginalnego) 

algebra liniowa; w szczególności: 

model Leontiewa posługujący się macierzami wejścia i wyjścia 

programowanie liniowe, będące teorią opisującą problem 

minimalizacji lub maksymalizacji funkcji liniowej na zbiorze 

określonym przez układ warunków liniowych 


Zakres matematyki finansowej 

Termin matematyka finansowa, który pojawił się w 1946 roku jako 

tytuł książki Richardsona Financial Mathematics, obejmuje 

arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem 

i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów); 

matematykę ubezpieczeń (obliczanie wielkości składki, 

wielkości rezerw na wypłaty w oparciu o probabilistyczne 

modele i statystyki umieralności, czy wypadkowości); 

wycenę papierów wartościowych (akcji, obligacji, 

instrumentów pochodnych). 


Aktuariusze 

Aktuariusz to osoba, która odpowiada za kalkulację składek i 

rezerw firmy ubezpieczeniowej. W krajach zachodnich jest to 

całkiem spora grupa zawodowa — np. w USA Society of Actuaries 

liczy ok. 23000 członków. W Polsce jest obecnie kilkuset 

aktuariuszy. Aby zostać aktuariuszem trzeba ukończyć studia 

wyższe — matematykę lub ekonomię, a następnie zdać egzamin 

państwowy, który Ministerstwo Finansów organizuje mniej więcej 

raz w roku. Egzamin jest czteroczęściowy i obejmuje: 

matematykę finansową; 

matematykę ubezpieczeń życiowych; 

matematykę ubezpieczeń majątkowych; 

prawdopodobieństwo i statystykę. 


Wartość pieniądza jako funkcja czasu 

Pieniądz zmienia swoją wartość wraz z upływem czasu. 

Przyczyny: 

Denominacja; 




Przyczyny: 

Denominacja; 

Inflacja; 




Przyczyny: 

Denominacja; 

Inflacja; 

Rozwój gospodarki: naturalna przyczyna zmiany realnej 

wartości pieniądza. Pieniądz jest ekwiwalentem towaru czy 

usługi — możemy wymieniać jedno na drugie. Jeśli towarów 

przybywa, to pieniądz zwiększa swoją wartość, bo staje się 

ekwiwalentem większej niż przedtem ilości produktów. 



Wyrazem zmiany wartości pieniądza w czasie są zmiany wartości 

konta bankowego. 

Jeżeli do banku wpłacamy kwotę K 0 nazywaną wartością 

początkową lub teraźniejszą (ang. present value, PV ), to po 

pewnym okresie (miesiąc, kwartał, rok) przyjmuje ona wartość K 1 

nazywaną wartością końcową lub przyszłą (ang. future value, 

FV ). 









FV ). 

Różnicę Z = K 1 − K 0 nazywamy odsetkami (ang. interest). 

Odsetki wyrażamy w jednostkach pieniężnych. 









FV ). 



Są one formą zapłaty banku za udzielenie przez właściciela 

kapitału prawa dysponowania daną kwotą. 









FV ). 



Są one formą zapłaty banku za udzielenie przez właściciela 

kapitału prawa dysponowania daną kwotą. 

Odsetki zależą: 

od okresu, na jaki została wpłacona dana kwota 

od wielkości tej kwoty. 


Stopa procentowa 

Obiektywnym wskaźnikiem umożliwiającym porównanie warunków 

oferowanych przez różne banki jest wskaźnikiem jest stopa 

procentowa (ang. interest rate) oznaczana literą r (często i). 






Określamy ją jako stosunek odsetek do wartości początkowej: 

r = Z K 0 

= K 1 − K 0 

K 0 

. 







r = Z K 0 

= K 1 − K 0 

K 0 

. 

Jest to więc liczba niemianowana, np. r = 0, 1. Można ją wyrażać 

w procentach, mnożąc przez 100%. Zapisy: r = 0, 1 i r = 10% są 

równoważne. Jednak we wszystkich wzorach należy traktować r 

jako liczbę niemianowaną. 







r = Z K 0 

= K 1 − K 0 

K 0 

. 

Jest to więc liczba niemianowana, np. r = 0, 1. Można ją wyrażać 

w procentach, mnożąc przez 100%. Zapisy: r = 0, 1 i r = 10% są 

równoważne. Jednak we wszystkich wzorach należy traktować r 

jako liczbę niemianowaną. 

Mamy więc zależności: 

Z = K 0 r, 

K 1 = K 0 (1 + r). 


Procent i punkt procentowy 

Procent oznacza setną część całości. 




pa 

p% liczby a wynosi 

100 . Oprocentowanie i kapitalizacja



pa 


100 . 

W ekonomii i matematyce finansowej procent oznacza również 

korzyści wynikające z użytkowania kapitału, np. mówi się o 

ulokowaniu pieniędzy na procent. Również odsetki określa się 

mianem procentu. 




pa 


100 . 

W ekonomii i matematyce finansowej procent oznacza również 

korzyści wynikające z użytkowania kapitału, np. mówi się o 

ulokowaniu pieniędzy na procent. Również odsetki określa się 

mianem procentu. 

Punkt procentowy (w skrócie p.p.) - różnica między dwiema 

wartościami jednej wielkości podanymi w procentach. Np: wzrost 

jakiejś wielkości z 20% do 30% jest równy 10 punktom 

procentowym. 


Punkt procentowy jest często mylony z rzeczywistą zmianą 

procentową liczoną od pewnej wartości bazowej. 




Przykład 1: W mediach czytamy informację: Bezrobocie spadło w 

tym miesiącu o 3%. Informacja jest mało precyzyjna, ale możemy 

podejrzewać, że chodzi tu prawdopodobnie o którąś ze stóp 

bezrobocia. 







bezrobocia. 

Jeśli np. stopa ta na początku miesiąca wynosiła 7%, to spadek o 

3% nie znaczy wcale, że wynosi obecnie 4%, lecz 7% - 3% · 7% = 

6,79%. Spadek z 7% do 4% byłby wprawdzie równy 3 punktom 

procentowym ale zarazem aż 57% wielkości bezrobocia na 

początku miesiąca. 







bezrobocia. 

Jeśli np. stopa ta na początku miesiąca wynosiła 7%, to spadek o 

3% nie znaczy wcale, że wynosi obecnie 4%, lecz 7% - 3% · 7% = 

6,79%. Spadek z 7% do 4% byłby wprawdzie równy 3 punktom 

procentowym ale zarazem aż 57% wielkości bezrobocia na 

początku miesiąca. 

Przykład 2: Od 2011 roku PTU czyli VAT jest naliczany wg 

podstawowej stawki 23%. Przedtem wynosiła ona 22%. Mamy 

więc wzrost o 1 p.p., ale oznacza to, że podatek wzrósł o 

1 

22 · 100% = 4,(54)%. Oprocentowanie i kapitalizacja

Punkt bazowy 

Fragment informacji z posiedzenia RPP: 

”Rada postanowiła od 7.02.2013 obniżyć stopy procentowe NBP o 

25 punktów bazowych do poziomu: 

stopa referencyjna 3,75% w skali rocznej; 

stopa lombardowa 5,25% w skali rocznej; 

stopa depozytowa 2,25% w skali rocznej; 

stopa redyskonta weksli 4,00% w skali rocznej.” 


Punkt bazowy 

Fragment informacji z posiedzenia RPP: 

”Rada postanowiła od 7.02.2013 obniżyć stopy procentowe NBP o 

25 punktów bazowych do poziomu: 

stopa referencyjna 3,75% w skali rocznej; 

stopa lombardowa 5,25% w skali rocznej; 

stopa depozytowa 2,25% w skali rocznej; 

stopa redyskonta weksli 4,00% w skali rocznej.” 

Punkt bazowy to jedna setna punktu procentowego. Np. wzrost 

wysokości stopy procentowej o 1 punkt bazowy z poziomu 10% 

oznacza wzrost stopy do 10,01%. 

Przy niskich stopach procentowych używanie punktów bazowych 

może być wygodniejsze. 


W określeniu r nie występuje czas. Uwzględniamy go mówiąc o 

stopie rocznej, kwartalnej, miesięcznej, czy jednodniowej. Przedział 

czasu, którego stopa dotyczy nazywamy okresem stopy 

procentowej. 


Oprocentowaniem nazywamy wyznaczanie odsetek. Odsetki mogą 

być wypłacone na końcu okresu wypożyczenia (oprocentowanie z 

dołu) lub na początku (oprocentowanie z góry). 

Przykład Jeżeli stopa roczna wynosi 13%, to osoba wpłacająca do 

banku 100 zł otrzyma 

— przy oprocentowaniu z dołu — za rok kwotę 113 zł; 

— przy oprocentowaniu z góry — od razu kwotę 13 zł, i za rok 

100 zł. 


Kapitalizacja jest to dopisywanie odsetek do kapitału. Czas, po 

którym dopisuje się odsetki nazywamy okresem kapitalizacji. 

Okres ten może być równy okresowi stopy procentowej (mówimy 

wtedy o kapitalizacji zgodnej) lub inny (kapitalizacja niezgodna). 






Po kapitalizacji wartość przyszła staje się wartością teraźniejszą. 

Jeśli kapitalizacji podlega tylko kapitał początkowy, to nazywamy 

ją prostą. W tym modelu odsetki nie podlegają oprocentowaniu. 






Po kapitalizacji wartość przyszła staje się wartością teraźniejszą. 

Jeśli kapitalizacji podlega tylko kapitał początkowy, to nazywamy 

ją prostą. W tym modelu odsetki nie podlegają oprocentowaniu. 

Zasada oprocentowania prostego 

polega na tym, że odsetki oblicza się od kapitału początkowego 

proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania. 


Jeśli oprocentowaniu podlega cała zgromadzona do tej pory kwota, 

to nazywamy ją złożoną. Oprocentowaniu podlega więc i kapitał 

początkowy, i nagromadzone odsetki. 


Jeśli oprocentowaniu podlega cała zgromadzona do tej pory kwota, 

to nazywamy ją złożoną. Oprocentowaniu podlega więc i kapitał 

początkowy, i nagromadzone odsetki. 

Reasumując, stopę procentową podaje się zawsze w związku z 

podstawowym okresem czasu, np. można mówić o stopie rocznej 

6%. Trzeba także podać okres kapitalizacji (konwersji) — jest to 

przedział czasowy na końcu którego dopisuje się odsetki. 


Efektywna stopa procentowa 

Stopa procentowa nazywa się efektywną jeśli jej okres pokrywa się 

z okresem konwersji — oznacza to, że odsetki dopisuje się na 

koniec okresu podstawowego. 



Stopa procentowa nazywa się efektywną jeśli jej okres pokrywa się 

z okresem konwersji — oznacza to, że odsetki dopisuje się na 

koniec okresu podstawowego. 

Niech r oznacza efektywną roczną stopę procentową. Rozważmy 

rachunek, na który wpłacono K 0 j.p. i na który na koniec okresu 

(roku) i wpłaca się dodatkowo kwotę p i . Jaki jest stan rachunku 

po n latach 



Niech K i będzie stanem na koniec roku i (łącznie z płatnością p i ). 

Odsetki za rok poprzedni wynoszą rK i−1 , więc 

K i = K i−1 + rK i−1 + p i . (1) 





K i = K i−1 + rK i−1 + p i . (1) 

czyli: 

K i − (1 + r)K i−1 = p i . 





czyli: 

K i = K i−1 + rK i−1 + p i . (1) 

K i − (1 + r)K i−1 = p i . 

Mnożymy równanie przez (1 + r) n−i : 

(1 + r) n−i K i − (1 + r) n−i+1 K i−1 = (1 + r) n−i p i . 





czyli: 

K i = K i−1 + rK i−1 + p i . (1) 

K i − (1 + r)K i−1 = p i . 

Mnożymy równanie przez (1 + r) n−i : 

i sumujemy po n: 

(1 + r) n−i K i − (1 + r) n−i+1 K i−1 = (1 + r) n−i p i . 


n∑ 

n∑ 

n∑ 

(1 + r) n−i K i − (1 + r) n−i+1 K i−1 = (1 + r) n−i p i , 

i=1 

i=1 

i=1 


n−1 ∑ 

n∑ 

n∑ 

n∑ 


i=1 

i=1 

i=1 

n−1 

(1+r) n−i K i +(1+r) 0 ∑ 

K n − (1+r) n−i K i −(1+r) n K 0 = 

i=1 

i=1 

i=1 

n∑ 

(1+r) n−i p i , 


n−1 ∑ 

n∑ 

n∑ 

n∑ 


i=1 

i=1 

i=1 

n−1 

(1+r) n−i K i +(1+r) 0 ∑ 

K n − (1+r) n−i K i −(1+r) n K 0 = 

i=1 

i=1 

i=1 

czyli 

n∑ 

K n = (1 + r) n K 0 + (1 + r) n−i p i . 

i=1 

n∑ 

(1+r) n−i p i , 


n−1 ∑ 

i=1 

czyli 

n∑ 

(1 + r) n−i K i − 

i=1 

n∑ 

(1 + r) n−i+1 K i−1 = 

i=1 

n−1 

n∑ 

(1 + r) n−i p i , 

i=1 

(1+r) n−i K i +(1+r) 0 ∑ 

K n − (1+r) n−i K i −(1+r) n K 0 = 

i=1 

K n = (1 + r) n K 0 + 

n∑ 

(1 + r) n−i p i . 

i=1 

n∑ 

(1+r) n−i p i , 

Potęgi (1 + r) nazywamy czynnikami pomnażającymi. Początkowy 

kapitał K po h latach wynosi (1 + r) h K. 

i=1 


Przykład Jaka wartość osiągnie kapitał 1000 zł przy 

oprocentowaniu złożonym rocznym przy stopie 6% po 3. latach 




Odp.: K 3 = (1 + 0, 06) 3 1000 = 1191, 02 




Odp.: K 3 = (1 + 0, 06) 3 1000 = 1191, 02 

Jeżeli wzór (1) napiszemy w postaci 

i zsumujemy po i, to otrzymamy 

K i − K i−1 = rK i−1 + p i 

K n − K 0 = 

n∑ 

rK i−1 + 

i=1 

n∑ 

p i . 

Zatem przyrost wartości jest sumą wszystkich odsetek i wszystkich 

wpłat. 

i=1 


Jeżeli okres konwersji nie pokrywa się z okresem podstawowym, to 

mówimy o kapitalizacji niezgodnej. Stopa procentowa nazywa się 

wtedy stopą nominalną. 





Np. stopa roczna 6% z kwartalnym okresem konwersji oznacza, że 

co trzy miesiące do rachunku dopisuje się 1, 5% kapitału. Oznacza 

to, że początkowy kapitał 1 wzrasta do (1, 015) 4 = 1, 06136 na 

koniec roku. 





Np. stopa roczna 6% z kwartalnym okresem konwersji oznacza, że 

co trzy miesiące do rachunku dopisuje się 1, 5% kapitału. Oznacza 

to, że początkowy kapitał 1 wzrasta do (1, 015) 4 = 1, 06136 na 

koniec roku. 

Inaczej, nominalna stopa 6% z okresem kapitalizacji 3 miesiące jest 

równoważna efektywnej stopie 6,136%. 


Niech r będzie daną roczną efektywną stopą procentową. 

Określamy r (m) jako stopę nominalną kapitalizowaną m razy w 

roku, równoważną stopie r. 





Czynniki pomnażające są równe: 

(1 + r (m) ) m 

= 1 + r, 

m 





Czynniki pomnażające są równe: 

skąd 

(1 + r (m) ) m 

= 1 + r, 

m 

r (m) = m[(1 + r) 1 m − 1]. 

W granicy, gdy m → ∞ otrzymujemy kapitalizację ciągłą. 


Niech 

δ = lim 

m→∞ r (m) . 

Liczbę δ nazywamy intensywnością (natężeniem) oprocentowania 

równoważną stopie r. Ponieważ 

więc 

r (m) = (1 + r) 1 m − (1 + r) 0 

1 

, 

m 


δ = lim 

m→∞ r (m) = 


δ = lim 

m→∞ r (m) = 

(1 + r) 1 m − (1 + r) 0 

lim 

m→∞ 

1 

m 

= 


δ = lim 

m→∞ r (m) = 

(1 + r) 1 m − (1 + r) 0 

lim 

m→∞ 

1 

m 

(1 + r) ∆x − (1 + r) 0 

= lim 

∆x→0 ∆x 

= 

= 


δ = lim 

m→∞ r (m) = 

(1 + r) 1 m − (1 + r) 0 

lim 

m→∞ 

1 

m 

(1 + r) ∆x − (1 + r) 0 

= lim 

∆x→0 ∆x 

= d 

dx ((1 + r)x ) x=0 = [(1 + r) x · ln(1 + r)] x=0 = ln(1 + r), 

= 

= 


δ = lim 

m→∞ r (m) = 

lub 

(1 + r) 1 m − (1 + r) 0 

lim 

m→∞ 

1 

m 

(1 + r) ∆x − (1 + r) 0 

= lim 

∆x→0 ∆x 

= d 


= 

e δ = 1 + r. 

= 


δ = lim 

m→∞ r (m) = 

lub 

(1 + r) 1 m − (1 + r) 0 

lim 

m→∞ 

1 

m 

(1 + r) ∆x − (1 + r) 0 

= lim 

∆x→0 ∆x 

= d 


= 

e δ = 1 + r. 

Zatem czynnik pomnażający dla okresu h lat wynosi (1 + r) h = e δh 

(h może być dowolną liczbą rzeczywistą). 

= 


(m) = (1+r) 1 m −(1+r) 0 

1 

m 

jest malejącą funkcją m. 


(m) = (1+r) m 1 −(1+r) 0 

1 jest malejącą funkcją m. 

m 

(Można to uzasadnić interpretując r (m) jako współczynnik 

kierunkowy siecznej do krzywej (1 + r) x , która jest wypukła). 


(m) = (1+r) m 1 −(1+r) 0 

1 jest malejącą funkcją m. 

m 

(Można to uzasadnić interpretując r (m) jako współczynnik 

kierunkowy siecznej do krzywej (1 + r) x , która jest wypukła). 

Przykład liczbowy dla r = 6%: 

m 

1 0,06000 

2 0,05913 

3 0,05884 

4 0,05870 

6 0,05855 

12 0,05841 

∞ 0,05827 

r (m) 


Stopa efektywna dla stopy nominalnej kapitalizowanej m razy w 

roku wynosi 

r ef = ( 1 + r m 

) m − 1, 

a w granicy, gdy m → ∞, 

r ef = e r − 1. 


Analiza wpłat ciągłych 

Rozważmy rachunek, na który dokonywane są wpłaty ciągłe w 

wysokości p(t). 





Wpłaty na rachunek dla małego przedziału czasu od t do t + dt 

wynoszą p(t) dt. 







Załóżmy, że odsetki są również dopisywane w sposób ciągły z 

intensywnością oprocentowania δ(t), zależną od czasu t. 









Jeżeli K(t) to stan rachunku w chwili t, to kwota odsetek w 

przedziale [t, t + dt] wynosi K(t)δ(t) dt. 









Jeżeli K(t) to stan rachunku w chwili t, to kwota odsetek w 

przedziale [t, t + dt] wynosi K(t)δ(t) dt. 

Całkowity przyrost kapitału w tym przedziale jest więc równy 

dK(t) = K(t)δ(t) dt + p(t) dt. 



Otrzymujemy równanie liniowe 

K ′ (t) = K(t)δ(t) + p(t). 




Przepiszmy je w postaci 

K ′ (t) = K(t)δ(t) + p(t). 

e − ∫ t 

0 δ(s) ds K ′ (t) − e − ∫ t 

0 δ(s) ds K(t)δ(t) = e − ∫ t 

0 δ(s) ds p(t). 





K ′ (t) = K(t)δ(t) + p(t). 

e − ∫ t 

0 δ(s) ds K ′ (t) − e − ∫ t 

0 δ(s) ds K(t)δ(t) = e − ∫ t 

0 δ(s) ds p(t). 

czyli 

d 

.t [e− ∫ t 

0 δ(s) ds K(t)] = e − ∫ t 

0 δ(s) ds p(t). 





K ′ (t) = K(t)δ(t) + p(t). 

e − ∫ t 

0 δ(s) ds K ′ (t) − e − ∫ t 

0 δ(s) ds K(t)δ(t) = e − ∫ t 

0 δ(s) ds p(t). 

czyli 

d 

∫ ∫ t 

.t [e− δ(s) ds 0 K(t)] = e − t 

δ(s) ds 0 p(t). 

Całkujemy od 0 do h: 

∫ ∫ 

e − h 

h ∫ δ(s) ds 0 K(h) − K(0) = e − t 

δ(s) ds 0 p(t).t. 

0 



Stąd 

∫ h 

∫ h ∫ 

K(h) − e 

δ(s) 0 . s h 

K(0) = e 

δ(s) 0 . ∫ s · e − t 

δ(s) 0 . s p(t).t, 

0 



Stąd 

∫ h 

∫ h ∫ 

K(h) − e 

δ(s) 0 . s h 

K(0) = e 

δ(s) 0 . ∫ s · e − t 

δ(s) 0 . s p(t).t, 

0 

więc 

∫ h 

∫ h 

K(h) = e 

δ(s) 0 . s K(0) + e 

0 

∫ h 

t 

δ(s). s p(t).t. 



Szczególne przypadki: 

1) Jeżeli w chwili t = 0 wpłacamy kwotę K(0), a potem nic więcej 

(tzn p(t) = 0), to 

∫ h 

K(h) = e 

δ(s) 0 . s K(0). 

Tyle wynosi zakumulowana wartość wpłaty K(0). 



Szczególne przypadki: 

1) Jeżeli w chwili t = 0 wpłacamy kwotę K(0), a potem nic więcej 

(tzn p(t) = 0), to 

∫ h 

K(h) = e 

δ(s) 0 . s K(0). 

Tyle wynosi zakumulowana wartość wpłaty K(0). 

2) Jeżeli δ(t) = δ (stała intensywność oprocentowania), to 

∫ h 

K(h) = e δh K(0) + e δh e −δt p(t).t. 

0 


Czas bankowy 

Ponieważ banki posługują się na ogół rocznymi stopami 

procentowymi, podstawowe znaczenie mają dwie operacje: 

— obliczenie ile jest dni między dwiema ustalonymi datami 

— zamiana liczby dni na liczbę lat. 


Czas bankowy 





Otóż w praktyce bankowej, a także w matematyce finansowej 

oprócz ”zwykłego” czasu kalendarzowego występuje czas 

bankowy. Jednostkami tego czasu są: rok bankowy o długości 360 

dni oraz miesiąc bankowy o długości 30 dni. 


Czas bankowy 





Otóż w praktyce bankowej, a także w matematyce finansowej 

oprócz ”zwykłego” czasu kalendarzowego występuje czas 

bankowy. Jednostkami tego czasu są: rok bankowy o długości 360 

dni oraz miesiąc bankowy o długości 30 dni. 

Przyjmujemy oznaczenia: 

t K – dokładna liczba dni (według czasu kalendarzowego), 

t B – bankowa liczba dni (według czasu bankowego), 

n K – liczba lat kalendarzowych, 

n B – liczba lat bankowych. 


Np. między 13 marca i 17 czerwca jest 96 (18+30+31+17) dni 

kalendarzowych, ale tylko 94 (17+30+30+17) dni bankowych. 




Przeliczając na lata otrzymujemy: n K = 96 

365 

= 0, 2630 i 

n B = 94 

360 = 0, 2611. Oprocentowanie i kapitalizacja




365 

= 0, 2630 i 

n B = 94 

360 

= 0, 2611. 

Możliwe są więc cztery warianty obliczania dni i lat: (n K , t K ), 

(n K , t B ), (n B , t K ), (n B , t B ). 





365 

= 0, 2630 i 

n B = 94 

360 

= 0, 2611. 

Możliwe są więc cztery warianty obliczania dni i lat: (n K , t K ), 

(n K , t B ), (n B , t K ), (n B , t B ). 

Banki najchętniej stosują wariant (n B , t K ), tzn. rachunek dni 

według czasu kalendarzowego i rachunek lat według czasu 

bankowego. Jest to bowiem wariant najkorzystniejszy dla 

wierzyciela (a głównie w takiej roli występują banki). Nie wszystko 

jednak od nich zależy. Ustawa o kredycie konsumenckim (dotycząca 

kredytów do wysokości 80000 zł, ale nie hipotecznych) narzuca 

bankom wzór obliczania stopy procentowej według reguły (n K , t K ). 


Oprocentowanie z góry 

Oprocentowanie z góry oznacza, że odsetki są wypłacane na 

początku okresu kapitalizacji. 

W n = przyszła wartość kapitału K 0 na początku n-tego okresu 

kapitalizacji. 

Obliczmy W 1 : wpłacana kwota K 0 podlega oprocentowaniu z góry 

dając odsetki K 0 r. Odsetki te, dołączane do kapitału można 

traktować jako następną wpłatę, która daje odsetki Kr 2 , itd. 



Oprocentowanie z góry oznacza, że odsetki są wypłacane na 

początku okresu kapitalizacji. 

W n = przyszła wartość kapitału K 0 na początku n-tego okresu 


Obliczmy W 1 : wpłacana kwota K 0 podlega oprocentowaniu z góry 

dając odsetki K 0 r. Odsetki te, dołączane do kapitału można 

traktować jako następną wpłatę, która daje odsetki Kr 2 , itd. 

(o ile |r| < 1). 

W 1 = K 0 + K 0 r + K 0 r 2 + · · · = K 0 

1 

1 − r , 



Analogicznie: 

Zatem 

W n+1 = W n 

1 

1 − r . 



Analogicznie: 

Zatem 

W n+1 = W n 

1 

1 − r . 

1 

W n = K 0 , n = 1, 2, . . . . 

(1 − r) n 



Analogicznie: 

Zatem 

W n+1 = W n 

1 

1 − r . 

1 

W n = K 0 , n = 1, 2, . . . . 

(1 − r) n 

1 

Liczbę 

1−r 

nazywamy czynnikiem wartości przyszłej lub 

współczynnikiem akumulacji. 



Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej 

stopie złożonej z góry z kapitału 600 j.p. uzyskano po jednym roku 

wartość 750 j.p. 

750 = 600 · 

1 

1 − r , 1 − r = 60 

75 , r = 15 = 0, 2. 

75 


stopie złożonej z góry odsetki za drugi rok od kwoty początkowej 

K 0 = 400 j.p. wynoszą 44 j.p. 






750 = 600 · 

1 

1 − r , 1 − r = 60 

75 , r = 15 = 0, 2. 

75 



K 0 = 400 j.p. wynoszą 44 j.p. 

stąd 

1 

Z 2 = W 2 − W 1 ⇒ 44 = 400 

(1 − r) 2 − 400 1 

1 − r , 






750 = 600 · 

1 

1 − r , 1 − r = 60 

75 , r = 15 = 0, 2. 

75 



K 0 = 400 j.p. wynoszą 44 j.p. 

1 

Z 2 = W 2 − W 1 ⇒ 44 = 400 

(1 − r) 2 − 400 1 

1 − r , 

stąd 

r = 1 ≈ 0, 09. 

11 


Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej 

Załóżmy, że przez n 1 okresów obowiązywała stopa r 1 , przez n 2 

okresów obowiązywała stopa r 2 , itd. Jaka jest przyszła wartość 

kapitału K 0 po n okresach, gdzie n = ∑ p 

i=1 n i Zakładamy, że 

okres stopy procentowej jest zawsze taki sam i równy okresowi 










Jeżeli obowiązuje model kapitalizacji prostej, to: 

Z = K 0 n 1 r 1 + K 0 n 2 r 2 + · · · + K 0 n p r p = K 0 

p∑ 

n i r i . 

i=1 









Jeżeli obowiązuje model kapitalizacji prostej, to: 

Z = K 0 n 1 r 1 + K 0 n 2 r 2 + · · · + K 0 n p r p = K 0 

Zatem wartość przyszła po czasie n: 

K n = K 0 + Z = K 0 (1 + 

p∑ 

n i r i ). 

i=1 

p∑ 

n i r i . 

i=1 


Dla modelu kapitalizacji złożonej wartość kapitału po danym 

okresie staje się wartością początkową dla okresu następnego. 

Zatem 

dla kapitalizacji złożonej z dołu: 

K n = K 0 (1 + r 1 ) n 1 

(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np 




Zatem 


K n = K 0 (1 + r 1 ) n 1 

(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np 

dla kapitalizacji złożonej z góry: 

W n = K 0 (1 − r 1 ) −n 1 

(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np 




Zatem 


K n = K 0 (1 + r 1 ) n 1 

(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np 

dla kapitalizacji złożonej z góry: 

W n = K 0 (1 − r 1 ) −n 1 

(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np 

dla kapitalizacji ciągłej: 

K(n) = K 0 e n 1r 1 

e n 2r2 

· · · e nprp = K 0 e∑ p 

i=1 n i r i 


Przeciętna stopa procentowa 

W przypadku występowania zmiennej stopy procentowej 

uzasadnione jest wprowadzenie pojęcia przeciętnej stopy 

procentowej. 

Definicja 

Przeciętną stopą procentową nazywamy taką stałą stopę r prz dla 

której przyszła wartość kapitału jest taka sama jak przyszła 

wartość tego kapitału przy zmieniającej się stopie procentowej. 



Stąd: 

dla modelu kapitalizacji prostej: 

p∑ 

K 0 (1 + nr prz ) = K 0 (1 + n i r i ), 

i=1 



Stąd: 


p∑ 

K 0 (1 + nr prz ) = K 0 (1 + n i r i ), 

i=1 

r prz = 1 p∑ 

n i r i ; 

n 

i=1 



Stąd: 


p∑ 

K 0 (1 + nr prz ) = K 0 (1 + n i r i ), 

i=1 

r prz = 1 p∑ 

n i r i ; 

n 

i=1 

dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu: 

(1 + r prz ) n = (1 + r 1 ) n 1 

(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np , 



Stąd: 


p∑ 

K 0 (1 + nr prz ) = K 0 (1 + n i r i ), 

i=1 

r prz = 1 p∑ 

n i r i ; 

n 

i=1 

dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu: 

(1 + r prz ) n = (1 + r 1 ) n 1 

(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np , 

r prz = n √(1 + r 1 ) n 1 (1 + r2 ) n 2 · · · (1 + rp ) np − 1; 



dla modelu kapitalizacji złożonej z góry: 

(1 − r prz ) −n = (1 − r 1 ) −n 1 

(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np , 




(1 − r prz ) −n = (1 − r 1 ) −n 1 

(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np , 

r prz = 1 − n √(1 − r 1 ) n 1 (1 − r2 ) n 2 · · · (1 − rp ) np ; 




(1 − r prz ) −n = (1 − r 1 ) −n 1 

(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np , 


dla modelu kapitalizacji ciągłej: 

K 0 e nrprz = K 0 e∑ p 

i=1 n i r i 

, 




(1 − r prz ) −n = (1 − r 1 ) −n 1 

(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np , 


dla modelu kapitalizacji ciągłej: 

K 0 e nrprz = K 0 e∑ p 

i=1 n i r i 

, 

r prz = 1 p∑ 

n i r i . 

n 

i=1 


Dyskonto 

Odsetki wypłacane na początku okresu (z góry) nazywamy 

dyskontem, a odpowiadająca stopa nazywa się stopą dyskontową. 


Dyskonto 



Niech d — roczna stopa dyskontowa. Osoba inwestująca kapitał K 

otrzymuje z góry odsetki równe.K, a kapitał K jest wypłacany na 

koniec okresu. Inwestując otrzymane odsetki,.K, na tych samych 

warunkach, otrzymuje się dodatkowe odsetki Kd · d = Kd 2 i 

dodatkowo zainwestowana kwota będzie zwrócona na koniec roku. 

Reinwestując otrzymane odsetki, Kd 2 otrzymuje się z góry Kd 3 , 

itd. 


Dyskonto 



Niech d — roczna stopa dyskontowa. Osoba inwestująca kapitał K 

otrzymuje z góry odsetki równe.K, a kapitał K jest wypłacany na 

koniec okresu. Inwestując otrzymane odsetki,.K, na tych samych 

warunkach, otrzymuje się dodatkowe odsetki Kd · d = Kd 2 i 

dodatkowo zainwestowana kwota będzie zwrócona na koniec roku. 

Reinwestując otrzymane odsetki, Kd 2 otrzymuje się z góry Kd 3 , 

itd. 

Zatem na koniec okresu inwestor wpłacający kwotę K otrzyma 

K + Kd + Kd 2 + · · · = 1 

1 − d K. 


Stopa dyskontowa a stopa procentowa 

Równoważną efektywną stopę procentową można obliczyć z 

równości 

1 

1 − d = 1 + r, 

skąd d = 

r 

1+r . Oprocentowanie i kapitalizacja



równości 

1 

1 − d = 1 + r, 

r 

1+r . 

skąd d = 

Ten wynik ma prostą interpretację: jeżeli inwestuje się kapitał w 

wysokości 1, to d (czyli odsetki płatne z góry) jest równe 

zdyskontowanej wartości odsetek r (płatnych z dołu). 




równości 

1 

1 − d = 1 + r, 

r 

1+r . 

skąd d = 




Równoważną równość: 

r = 

d 

1 − d 




równości 

1 

1 − d = 1 + r, 

r 

1+r . 

skąd d = 




Równoważną równość: 

r = 

d 

1 − d 

interpretujemy tak: odsetki płatne na koniec okresu są 

zakumulowaną wartością odsetek płatnych na początku okresu. 


Niech d (m) będzie równoważną nominalną stopą dyskontową 

naliczaną m razy w roku. Zatem inwestor otrzymuje d(m) 

m K na 

początku okresu, a kapitał K na koniec. Równość czynników 

pomnażających dla m-tej części roku wyraża się przez 




m K na 



1 

1 − d(m) 

m 

= 1 + r (m) 

m = (1 + r) 1 m , 




m K na 



co daje 

1 

1 − d(m) 

m 

= 1 + r (m) 

m = (1 + r) 1 m , 


( 

) 

d (m) 1 

= m 1 − 

, 

(1 + r) 1 m 

a także (przypomnijmy, że r (m) = m ( (1 + r) 1 m − 1 ) ): 

d (m) = 

r (m) 

1 + r (m) 

m 

. 


Stąd mamy prosty związek: 

1 

d (m) = 1 m + 1 

r (m) . 



Stąd 

1 

d (m) = 1 m + 1 

r (m) . 

lim d (m) = lim r (m) = δ, 

m→∞ m→∞ 



Stąd 

1 

d (m) = 1 m + 1 

r (m) . 

lim d (m) = lim r (m) = δ, 

m→∞ m→∞ 

co nie powinno dziwić: przy ciągłym naliczaniu odsetek różnica 

między odsetkami z góry i z dołu znika. 


Przykład . Dla r = 6: 

1 d (m) 

1 0,05660 

2 0,05743 

3 0,05771 

4 0,05785 

6 0,05799 

12 0,05813 

∞ 0,05827 


Dyskonto handlowe 

Dyskonto handlowe, D H , stosuje się w przypadku korzystania z 

weksli, czeków, obligacji sprzedawanych z dyskontem. Wartość 

nominalna papieru wartościowego jest znana i jest to wartość 

końcowa. Dyskonto handlowe powoduje obniżenie wartości 

nominalnej do tzw. wartości aktualnej. Dyskonto handlowe jest 

proporcjonalne do wartości nominalnej danego papieru 

wartościowego (i czasu, którego dotyczy). Współczynnik 

proporcjonalności d nazywa się stopą dyskontową. Zatem: 



Dyskonto handlowe, D H , stosuje się w przypadku korzystania z 

weksli, czeków, obligacji sprzedawanych z dyskontem. Wartość 

nominalna papieru wartościowego jest znana i jest to wartość 

końcowa. Dyskonto handlowe powoduje obniżenie wartości 

nominalnej do tzw. wartości aktualnej. Dyskonto handlowe jest 

proporcjonalne do wartości nominalnej danego papieru 

wartościowego (i czasu, którego dotyczy). Współczynnik 

proporcjonalności d nazywa się stopą dyskontową. Zatem: 

gdzie n jest liczbą okresów. 

D H = W nom dn 


Dyskonto handlowe i weksle 

Najczęściej dyskonto handlowe stosuje się w obrocie wekslami. 




Weksel jest papierem wartościowym stwierdzającym zobowiązanie 

do zapłacenia pewnej określonej kwoty w określonym terminie. 




Weksel jest papierem wartościowym stwierdzającym zobowiązanie 

do zapłacenia pewnej określonej kwoty w określonym terminie. 

Posiadacz weksla może go sprzedać (zdyskontować) przed 

terminem w banku komercyjnym. Bank ten może z kolei 

redyskontować go w banku centralnym. Te operacje związane są z 

pomniejszeniem wartości weksla o wartość odpowiedniego 

dyskonta. 



Jeżeli d oznacza roczną stopę dyskontową, a n liczbę dni między 

datą spłaty weksla a datą jego zakupu, to 

d 

D H = W nom 

360 n. 





d 

D H = W nom 

360 n. 

Odstępujący weksel otrzyma kwotę: 

W akt = W nom − D H , 





d 

D H = W nom 

360 n. 

Odstępujący weksel otrzyma kwotę: 

W akt = W nom − D H , 

czyli 

W akt = W nom (1 − 

d 

360 n). 


Dyskonto handlowe a matematyczne 

Dalej n będzie znowu oznaczało liczbę okresów (a nie liczbę dni). 




Dyskontowanie handlowe nie jest działaniem odwrotnym do 

oprocentowania przy tej samej stopie procentowej. Dla 

oprocentowania prostego mamy: 

K n − D H = K n − K n rn = K n (1 − rn) = K 0 (1 + nr)(1 − nr) = 

= K 0 (1 − n 2 r 2 ) < K 0 




Dyskontowanie handlowe nie jest działaniem odwrotnym do 

oprocentowania przy tej samej stopie procentowej. Dla 

oprocentowania prostego mamy: 

K n − D H = K n − K n rn = K n (1 − rn) = K 0 (1 + nr)(1 − nr) = 

= K 0 (1 − n 2 r 2 ) < K 0 

czyli dodanie odsetek prostych do K 0 daje K n , ale odjęcie D H od 

K n nie daje K 0 . 



Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto 

matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy 

stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi: 






D H = D M 






D H = D M 

K n dn = K 0 rn 






D H = D M 


K 0 (1 + nr)d = K 0 r 






D H = D M 


K 0 (1 + nr)d = K 0 r 

d = 

r 

1 + nr 






oraz 

D H = D M 


K 0 (1 + nr)d = K 0 r 

d = 

r 

1 + nr 

r = 

d 

1 − nd . 






oraz 

D H = D M 


K 0 (1 + nr)d = K 0 r 

d = 

r 

1 + nr 

r = 

d 

1 − nd . 

Stąd wynika, że równoważność stopy procentowej i dyskontowej 

zależy od liczby okresów n. 


Dyskonto handlowe: przykład 

Przykład . Firma A dostarczyła firmie B towary o wartości 40 000 

zł. Firma B zaproponowała uiszczenie zapłaty za dwa miesiące, 

przy czym za okres zwłoki zobowiązała się zapłacić odsetki proste 

wg rocznej stopy 16%. Wyrazem przeprowadzonej transakcji był 

weksel kupiecki. 








Weksel wystawiony przez B ma wartość nominalną: 

K = 40000(1 + 2 

0, 16 

) ≈ 41066, 67. 

12 








Weksel wystawiony przez B ma wartość nominalną: 

K = 40000(1 + 2 

0, 16 

) ≈ 41066, 67. 

12 

Jeżeli firma A potrzebuje gotówki natychmiast, to przedstawia 

weksel do dyskonta w banku. 



Dyskonto handlowe wyznaczone przy stopie dyskontowej równej 

stopie procentowej wynosi 

Firma A otrzyma 

D H = 41066, 67 · 

0, 16 

12 

· 2 ≈ 1095, 11. 

W akt = 41066, 67 − 1095, 11 = 39971, 56. 



Dyskonto handlowe jest zarobkiem banku. 

Przykład . W dniu 1 lipca hurtownia A sprzedała towar sklepowi 

B, przy czym zobowiązanie zapłaty zostało potwierdzone wekslem 

kupieckim o wartości nominalnej 20 000 zł płatnym 1.09. 

Hurtownia A zdyskontowała ten weksel w banku 1.08, przy czym 

stopa dyskontowa wynosiła 20%. Bank zdyskontował ten weksel w 

NBP dnia 16.08 wg stopy redyskontowej 15%. Wyznaczyć zysk 

hurtowni A oraz zarobek (marżę) banku na tej transakcji. 



W dniu 1.08: 

W akt = 20000(1 − 0, 2 · 31) ≈ 19965, 56. 

360 



W dniu 1.08: 

W akt = 20000(1 − 0, 2 · 31) ≈ 19965, 56. 

360 

Tyle otrzymuje hurtownia A. Jej zysk wiąże się z możliwością 

zainwestowania tej kwoty na okres jednego miesiąca. Jeżeli stopa 

zwrotu z tej inwestycji wynosi 2% miesięcznie, to jej wartość 

wynosi 1.09: 



W dniu 1.08: 

W akt = 20000(1 − 0, 2 · 31) ≈ 19965, 56. 

360 

Tyle otrzymuje hurtownia A. Jej zysk wiąże się z możliwością 

zainwestowania tej kwoty na okres jednego miesiąca. Jeżeli stopa 

zwrotu z tej inwestycji wynosi 2% miesięcznie, to jej wartość 

wynosi 1.09: 

W akt (1 + 0, 02) = 20364, 87, 

więc zysk hurtowni wynosi 399,31. 



Natomiast marża banku komercyjnego jest różnicą wartości 

aktualnych weksla 16.08 wynikającą z różnicy stóp dyskontowych, 

czyli: 

20000(1− 

0, 15 

360 

0, 2 

2 − 0, 15 

·15)−20000(1− = 20000·0, 

·15 = 41, 67. 

360·15) 

360

Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?