Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan ...
Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan ...
Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
<strong>Dr</strong> <strong>Maciej</strong> <strong>Grzesiak</strong>, <strong>pok.724</strong> E<br />
e-<strong>mail</strong>: <strong>maciej</strong>.<strong>grzesiak@put</strong>.<strong>poznan</strong>.pl<br />
http://www.math.put.<strong>poznan</strong>.pl/∼grzesiak/<br />
Konsultacje: piątek 9.45–11.15 pokój 724E<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Treść wykładu<br />
Matematyka stosowana w ekonomii<br />
Wartość pieniądza jako funkcja czasu.<br />
Stopy procentowe.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja<br />
Dyskonto rzeczywiste i handlowe<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przedmiot ekonomii<br />
Ekonomia to nauka społeczna zajmująca się badaniem sposobów<br />
gospodarowania społeczeństw.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przedmiot ekonomii<br />
Ekonomia to nauka społeczna zajmująca się badaniem sposobów<br />
gospodarowania społeczeństw.<br />
Termin ”ekonomia” pochodzi z greckiego oikonomikos i pierwszy<br />
raz został użyty przez Ksenofonta jako tytuł dzieła o kierowaniu<br />
gospodarstwem domowym.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przedmiot ekonomii<br />
Ekonomia to nauka społeczna zajmująca się badaniem sposobów<br />
gospodarowania społeczeństw.<br />
Termin ”ekonomia” pochodzi z greckiego oikonomikos i pierwszy<br />
raz został użyty przez Ksenofonta jako tytuł dzieła o kierowaniu<br />
gospodarstwem domowym.<br />
Ekonomia jako samodzielna nauka istnieje od czasów Adama<br />
Smitha (II połowa XVIII w.) i jego książki The Wealth of Nations.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Tradycyjnie ekonomię dzieli się na mikroekonomię, która zajmuje<br />
się tym, w jaki sposób gospodarstwa domowe i przedsiębiorstwa<br />
podejmują decyzje i jak współdziałają na konkretnych rynkach,<br />
oraz na makroekonomię, która skupia swoją uwagę na badaniu<br />
całej gospodarki.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Tradycyjnie ekonomię dzieli się na mikroekonomię, która zajmuje<br />
się tym, w jaki sposób gospodarstwa domowe i przedsiębiorstwa<br />
podejmują decyzje i jak współdziałają na konkretnych rynkach,<br />
oraz na makroekonomię, która skupia swoją uwagę na badaniu<br />
całej gospodarki.<br />
Obecnie ekonomiści wyróżniają również dodatkowo, jako działy<br />
ekonomii, międzynarodowe stosunki gospodarcze – zajmujące się<br />
uwzględnieniem wpływu międzynarodowej wymiany handlowej na<br />
gospodarkę państwa oraz gospodarkę światową – dział ekonomii<br />
zajmujący się gospodarką całego świata jako jednego organizmu.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Tradycyjnie ekonomię dzieli się na mikroekonomię, która zajmuje<br />
się tym, w jaki sposób gospodarstwa domowe i przedsiębiorstwa<br />
podejmują decyzje i jak współdziałają na konkretnych rynkach,<br />
oraz na makroekonomię, która skupia swoją uwagę na badaniu<br />
całej gospodarki.<br />
Obecnie ekonomiści wyróżniają również dodatkowo, jako działy<br />
ekonomii, międzynarodowe stosunki gospodarcze – zajmujące się<br />
uwzględnieniem wpływu międzynarodowej wymiany handlowej na<br />
gospodarkę państwa oraz gospodarkę światową – dział ekonomii<br />
zajmujący się gospodarką całego świata jako jednego organizmu.<br />
Podstawowymi problemami współczesnej ekonomii są: problemy<br />
bezrobocia i inflacji, równowaga i wzrost gospodarczy, rola rządu w<br />
procesach gospodarowania (planowanie czy liberalizm).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Matematyka stosowana w ekonomii<br />
Część wiedzy ekonomicznej ma postać rozmaitych modeli, w<br />
których występują w miarę jasno sprecyzowane założenia, z których<br />
przy pomocy pojęć i metod matematycznych otrzymuje się wnioski.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Matematyka stosowana w ekonomii<br />
Część wiedzy ekonomicznej ma postać rozmaitych modeli, w<br />
których występują w miarę jasno sprecyzowane założenia, z których<br />
przy pomocy pojęć i metod matematycznych otrzymuje się wnioski.<br />
Wykorzystywane dziedziny matematyczne:<br />
arytmetyka<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Matematyka stosowana w ekonomii<br />
Część wiedzy ekonomicznej ma postać rozmaitych modeli, w<br />
których występują w miarę jasno sprecyzowane założenia, z których<br />
przy pomocy pojęć i metod matematycznych otrzymuje się wnioski.<br />
Wykorzystywane dziedziny matematyczne:<br />
arytmetyka<br />
statystyka matematyczna<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Matematyka stosowana w ekonomii<br />
Część wiedzy ekonomicznej ma postać rozmaitych modeli, w<br />
których występują w miarę jasno sprecyzowane założenia, z których<br />
przy pomocy pojęć i metod matematycznych otrzymuje się wnioski.<br />
Wykorzystywane dziedziny matematyczne:<br />
arytmetyka<br />
statystyka matematyczna<br />
rachunek różniczkowy ( podstawa tzw. rachunku<br />
marginalnego)<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Matematyka stosowana w ekonomii<br />
Część wiedzy ekonomicznej ma postać rozmaitych modeli, w<br />
których występują w miarę jasno sprecyzowane założenia, z których<br />
przy pomocy pojęć i metod matematycznych otrzymuje się wnioski.<br />
Wykorzystywane dziedziny matematyczne:<br />
arytmetyka<br />
statystyka matematyczna<br />
rachunek różniczkowy ( podstawa tzw. rachunku<br />
marginalnego)<br />
algebra liniowa; w szczególności:<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Matematyka stosowana w ekonomii<br />
Część wiedzy ekonomicznej ma postać rozmaitych modeli, w<br />
których występują w miarę jasno sprecyzowane założenia, z których<br />
przy pomocy pojęć i metod matematycznych otrzymuje się wnioski.<br />
Wykorzystywane dziedziny matematyczne:<br />
arytmetyka<br />
statystyka matematyczna<br />
rachunek różniczkowy ( podstawa tzw. rachunku<br />
marginalnego)<br />
algebra liniowa; w szczególności:<br />
model Leontiewa posługujący się macierzami wejścia i wyjścia<br />
programowanie liniowe, będące teorią opisującą problem<br />
minimalizacji lub maksymalizacji funkcji liniowej na zbiorze<br />
określonym przez układ warunków liniowych<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Zakres matematyki finansowej<br />
Termin matematyka finansowa, który pojawił się w 1946 roku jako<br />
tytuł książki Richardsona Financial Mathematics, obejmuje<br />
arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem<br />
i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów);<br />
matematykę ubezpieczeń (obliczanie wielkości składki,<br />
wielkości rezerw na wypłaty w oparciu o probabilistyczne<br />
modele i statystyki umieralności, czy wypadkowości);<br />
wycenę papierów wartościowych (akcji, obligacji,<br />
instrumentów pochodnych).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Aktuariusze<br />
Aktuariusz to osoba, która odpowiada za kalkulację składek i<br />
rezerw firmy ubezpieczeniowej. W krajach zachodnich jest to<br />
całkiem spora grupa zawodowa — np. w USA Society of Actuaries<br />
liczy ok. 23000 członków. W Polsce jest obecnie kilkuset<br />
aktuariuszy. Aby zostać aktuariuszem trzeba ukończyć studia<br />
wyższe — matematykę lub ekonomię, a następnie zdać egzamin<br />
państwowy, który Ministerstwo Finansów organizuje mniej więcej<br />
raz w roku. Egzamin jest czteroczęściowy i obejmuje:<br />
matematykę finansową;<br />
matematykę ubezpieczeń życiowych;<br />
matematykę ubezpieczeń majątkowych;<br />
prawdopodobieństwo i statystykę.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Wartość pieniądza jako funkcja czasu<br />
Pieniądz zmienia swoją wartość wraz z upływem czasu.<br />
Przyczyny:<br />
Denominacja;<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Wartość pieniądza jako funkcja czasu<br />
Pieniądz zmienia swoją wartość wraz z upływem czasu.<br />
Przyczyny:<br />
Denominacja;<br />
Inflacja;<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Wartość pieniądza jako funkcja czasu<br />
Pieniądz zmienia swoją wartość wraz z upływem czasu.<br />
Przyczyny:<br />
Denominacja;<br />
Inflacja;<br />
Rozwój gospodarki: naturalna przyczyna zmiany realnej<br />
wartości pieniądza. Pieniądz jest ekwiwalentem towaru czy<br />
usługi — możemy wymieniać jedno na drugie. Jeśli towarów<br />
przybywa, to pieniądz zwiększa swoją wartość, bo staje się<br />
ekwiwalentem większej niż przedtem ilości produktów.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Wartość pieniądza jako funkcja czasu<br />
Wyrazem zmiany wartości pieniądza w czasie są zmiany wartości<br />
konta bankowego.<br />
Jeżeli do banku wpłacamy kwotę K 0 nazywaną wartością<br />
początkową lub teraźniejszą (ang. present value, PV ), to po<br />
pewnym okresie (miesiąc, kwartał, rok) przyjmuje ona wartość K 1<br />
nazywaną wartością końcową lub przyszłą (ang. future value,<br />
FV ).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Wartość pieniądza jako funkcja czasu<br />
Wyrazem zmiany wartości pieniądza w czasie są zmiany wartości<br />
konta bankowego.<br />
Jeżeli do banku wpłacamy kwotę K 0 nazywaną wartością<br />
początkową lub teraźniejszą (ang. present value, PV ), to po<br />
pewnym okresie (miesiąc, kwartał, rok) przyjmuje ona wartość K 1<br />
nazywaną wartością końcową lub przyszłą (ang. future value,<br />
FV ).<br />
Różnicę Z = K 1 − K 0 nazywamy odsetkami (ang. interest).<br />
Odsetki wyrażamy w jednostkach pieniężnych.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Wartość pieniądza jako funkcja czasu<br />
Wyrazem zmiany wartości pieniądza w czasie są zmiany wartości<br />
konta bankowego.<br />
Jeżeli do banku wpłacamy kwotę K 0 nazywaną wartością<br />
początkową lub teraźniejszą (ang. present value, PV ), to po<br />
pewnym okresie (miesiąc, kwartał, rok) przyjmuje ona wartość K 1<br />
nazywaną wartością końcową lub przyszłą (ang. future value,<br />
FV ).<br />
Różnicę Z = K 1 − K 0 nazywamy odsetkami (ang. interest).<br />
Odsetki wyrażamy w jednostkach pieniężnych.<br />
Są one formą zapłaty banku za udzielenie przez właściciela<br />
kapitału prawa dysponowania daną kwotą.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Wartość pieniądza jako funkcja czasu<br />
Wyrazem zmiany wartości pieniądza w czasie są zmiany wartości<br />
konta bankowego.<br />
Jeżeli do banku wpłacamy kwotę K 0 nazywaną wartością<br />
początkową lub teraźniejszą (ang. present value, PV ), to po<br />
pewnym okresie (miesiąc, kwartał, rok) przyjmuje ona wartość K 1<br />
nazywaną wartością końcową lub przyszłą (ang. future value,<br />
FV ).<br />
Różnicę Z = K 1 − K 0 nazywamy odsetkami (ang. interest).<br />
Odsetki wyrażamy w jednostkach pieniężnych.<br />
Są one formą zapłaty banku za udzielenie przez właściciela<br />
kapitału prawa dysponowania daną kwotą.<br />
Odsetki zależą:<br />
od okresu, na jaki została wpłacona dana kwota<br />
od wielkości tej kwoty.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa procentowa<br />
Obiektywnym wskaźnikiem umożliwiającym porównanie warunków<br />
oferowanych przez różne banki jest wskaźnikiem jest stopa<br />
procentowa (ang. interest rate) oznaczana literą r (często i).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa procentowa<br />
Obiektywnym wskaźnikiem umożliwiającym porównanie warunków<br />
oferowanych przez różne banki jest wskaźnikiem jest stopa<br />
procentowa (ang. interest rate) oznaczana literą r (często i).<br />
Określamy ją jako stosunek odsetek do wartości początkowej:<br />
r = Z K 0<br />
= K 1 − K 0<br />
K 0<br />
.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa procentowa<br />
Obiektywnym wskaźnikiem umożliwiającym porównanie warunków<br />
oferowanych przez różne banki jest wskaźnikiem jest stopa<br />
procentowa (ang. interest rate) oznaczana literą r (często i).<br />
Określamy ją jako stosunek odsetek do wartości początkowej:<br />
r = Z K 0<br />
= K 1 − K 0<br />
K 0<br />
.<br />
Jest to więc liczba niemianowana, np. r = 0, 1. Można ją wyrażać<br />
w procentach, mnożąc przez 100%. Zapisy: r = 0, 1 i r = 10% są<br />
równoważne. Jednak we wszystkich wzorach należy traktować r<br />
jako liczbę niemianowaną.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa procentowa<br />
Obiektywnym wskaźnikiem umożliwiającym porównanie warunków<br />
oferowanych przez różne banki jest wskaźnikiem jest stopa<br />
procentowa (ang. interest rate) oznaczana literą r (często i).<br />
Określamy ją jako stosunek odsetek do wartości początkowej:<br />
r = Z K 0<br />
= K 1 − K 0<br />
K 0<br />
.<br />
Jest to więc liczba niemianowana, np. r = 0, 1. Można ją wyrażać<br />
w procentach, mnożąc przez 100%. Zapisy: r = 0, 1 i r = 10% są<br />
równoważne. Jednak we wszystkich wzorach należy traktować r<br />
jako liczbę niemianowaną.<br />
Mamy więc zależności:<br />
Z = K 0 r,<br />
K 1 = K 0 (1 + r).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Procent i punkt procentowy<br />
Procent oznacza setną część całości.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Procent i punkt procentowy<br />
Procent oznacza setną część całości.<br />
pa<br />
p% liczby a wynosi<br />
100 . Oprocentowanie i kapitalizacja
Procent i punkt procentowy<br />
Procent oznacza setną część całości.<br />
pa<br />
p% liczby a wynosi<br />
100 .<br />
W ekonomii i matematyce finansowej procent oznacza również<br />
korzyści wynikające z użytkowania kapitału, np. mówi się o<br />
ulokowaniu pieniędzy na procent. Również odsetki określa się<br />
mianem procentu.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Procent i punkt procentowy<br />
Procent oznacza setną część całości.<br />
pa<br />
p% liczby a wynosi<br />
100 .<br />
W ekonomii i matematyce finansowej procent oznacza również<br />
korzyści wynikające z użytkowania kapitału, np. mówi się o<br />
ulokowaniu pieniędzy na procent. Również odsetki określa się<br />
mianem procentu.<br />
Punkt procentowy (w skrócie p.p.) - różnica między dwiema<br />
wartościami jednej wielkości podanymi w procentach. Np: wzrost<br />
jakiejś wielkości z 20% do 30% jest równy 10 punktom<br />
procentowym.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Punkt procentowy jest często mylony z rzeczywistą zmianą<br />
procentową liczoną od pewnej wartości bazowej.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Punkt procentowy jest często mylony z rzeczywistą zmianą<br />
procentową liczoną od pewnej wartości bazowej.<br />
Przykład 1: W mediach czytamy informację: Bezrobocie spadło w<br />
tym miesiącu o 3%. Informacja jest mało precyzyjna, ale możemy<br />
podejrzewać, że chodzi tu prawdopodobnie o którąś ze stóp<br />
bezrobocia.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Punkt procentowy jest często mylony z rzeczywistą zmianą<br />
procentową liczoną od pewnej wartości bazowej.<br />
Przykład 1: W mediach czytamy informację: Bezrobocie spadło w<br />
tym miesiącu o 3%. Informacja jest mało precyzyjna, ale możemy<br />
podejrzewać, że chodzi tu prawdopodobnie o którąś ze stóp<br />
bezrobocia.<br />
Jeśli np. stopa ta na początku miesiąca wynosiła 7%, to spadek o<br />
3% nie znaczy wcale, że wynosi obecnie 4%, lecz 7% - 3% · 7% =<br />
6,79%. Spadek z 7% do 4% byłby wprawdzie równy 3 punktom<br />
procentowym ale zarazem aż 57% wielkości bezrobocia na<br />
początku miesiąca.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Punkt procentowy jest często mylony z rzeczywistą zmianą<br />
procentową liczoną od pewnej wartości bazowej.<br />
Przykład 1: W mediach czytamy informację: Bezrobocie spadło w<br />
tym miesiącu o 3%. Informacja jest mało precyzyjna, ale możemy<br />
podejrzewać, że chodzi tu prawdopodobnie o którąś ze stóp<br />
bezrobocia.<br />
Jeśli np. stopa ta na początku miesiąca wynosiła 7%, to spadek o<br />
3% nie znaczy wcale, że wynosi obecnie 4%, lecz 7% - 3% · 7% =<br />
6,79%. Spadek z 7% do 4% byłby wprawdzie równy 3 punktom<br />
procentowym ale zarazem aż 57% wielkości bezrobocia na<br />
początku miesiąca.<br />
Przykład 2: Od 2011 roku PTU czyli VAT jest naliczany wg<br />
podstawowej stawki 23%. Przedtem wynosiła ona 22%. Mamy<br />
więc wzrost o 1 p.p., ale oznacza to, że podatek wzrósł o<br />
1<br />
22 · 100% = 4,(54)%. Oprocentowanie i kapitalizacja
Punkt bazowy<br />
Fragment informacji z posiedzenia RPP:<br />
”Rada postanowiła od 7.02.2013 obniżyć stopy procentowe NBP o<br />
25 punktów bazowych do poziomu:<br />
stopa referencyjna 3,75% w skali rocznej;<br />
stopa lombardowa 5,25% w skali rocznej;<br />
stopa depozytowa 2,25% w skali rocznej;<br />
stopa redyskonta weksli 4,00% w skali rocznej.”<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Punkt bazowy<br />
Fragment informacji z posiedzenia RPP:<br />
”Rada postanowiła od 7.02.2013 obniżyć stopy procentowe NBP o<br />
25 punktów bazowych do poziomu:<br />
stopa referencyjna 3,75% w skali rocznej;<br />
stopa lombardowa 5,25% w skali rocznej;<br />
stopa depozytowa 2,25% w skali rocznej;<br />
stopa redyskonta weksli 4,00% w skali rocznej.”<br />
Punkt bazowy to jedna setna punktu procentowego. Np. wzrost<br />
wysokości stopy procentowej o 1 punkt bazowy z poziomu 10%<br />
oznacza wzrost stopy do 10,01%.<br />
Przy niskich stopach procentowych używanie punktów bazowych<br />
może być wygodniejsze.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
W określeniu r nie występuje czas. Uwzględniamy go mówiąc o<br />
stopie rocznej, kwartalnej, miesięcznej, czy jednodniowej. Przedział<br />
czasu, którego stopa dotyczy nazywamy okresem stopy<br />
procentowej.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowaniem nazywamy wyznaczanie odsetek. Odsetki mogą<br />
być wypłacone na końcu okresu wypożyczenia (oprocentowanie z<br />
dołu) lub na początku (oprocentowanie z góry).<br />
Przykład Jeżeli stopa roczna wynosi 13%, to osoba wpłacająca do<br />
banku 100 zł otrzyma<br />
— przy oprocentowaniu z dołu — za rok kwotę 113 zł;<br />
— przy oprocentowaniu z góry — od razu kwotę 13 zł, i za rok<br />
100 zł.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Kapitalizacja jest to dopisywanie odsetek do kapitału. Czas, po<br />
którym dopisuje się odsetki nazywamy okresem kapitalizacji.<br />
Okres ten może być równy okresowi stopy procentowej (mówimy<br />
wtedy o kapitalizacji zgodnej) lub inny (kapitalizacja niezgodna).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Kapitalizacja jest to dopisywanie odsetek do kapitału. Czas, po<br />
którym dopisuje się odsetki nazywamy okresem kapitalizacji.<br />
Okres ten może być równy okresowi stopy procentowej (mówimy<br />
wtedy o kapitalizacji zgodnej) lub inny (kapitalizacja niezgodna).<br />
Po kapitalizacji wartość przyszła staje się wartością teraźniejszą.<br />
Jeśli kapitalizacji podlega tylko kapitał początkowy, to nazywamy<br />
ją prostą. W tym modelu odsetki nie podlegają oprocentowaniu.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Kapitalizacja jest to dopisywanie odsetek do kapitału. Czas, po<br />
którym dopisuje się odsetki nazywamy okresem kapitalizacji.<br />
Okres ten może być równy okresowi stopy procentowej (mówimy<br />
wtedy o kapitalizacji zgodnej) lub inny (kapitalizacja niezgodna).<br />
Po kapitalizacji wartość przyszła staje się wartością teraźniejszą.<br />
Jeśli kapitalizacji podlega tylko kapitał początkowy, to nazywamy<br />
ją prostą. W tym modelu odsetki nie podlegają oprocentowaniu.<br />
Zasada oprocentowania prostego<br />
polega na tym, że odsetki oblicza się od kapitału początkowego<br />
proporcjonalnie do długości czasu oprocentowania.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Jeśli oprocentowaniu podlega cała zgromadzona do tej pory kwota,<br />
to nazywamy ją złożoną. Oprocentowaniu podlega więc i kapitał<br />
początkowy, i nagromadzone odsetki.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Jeśli oprocentowaniu podlega cała zgromadzona do tej pory kwota,<br />
to nazywamy ją złożoną. Oprocentowaniu podlega więc i kapitał<br />
początkowy, i nagromadzone odsetki.<br />
Reasumując, stopę procentową podaje się zawsze w związku z<br />
podstawowym okresem czasu, np. można mówić o stopie rocznej<br />
6%. Trzeba także podać okres kapitalizacji (konwersji) — jest to<br />
przedział czasowy na końcu którego dopisuje się odsetki.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Efektywna stopa procentowa<br />
Stopa procentowa nazywa się efektywną jeśli jej okres pokrywa się<br />
z okresem konwersji — oznacza to, że odsetki dopisuje się na<br />
koniec okresu podstawowego.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Efektywna stopa procentowa<br />
Stopa procentowa nazywa się efektywną jeśli jej okres pokrywa się<br />
z okresem konwersji — oznacza to, że odsetki dopisuje się na<br />
koniec okresu podstawowego.<br />
Niech r oznacza efektywną roczną stopę procentową. Rozważmy<br />
rachunek, na który wpłacono K 0 j.p. i na który na koniec okresu<br />
(roku) i wpłaca się dodatkowo kwotę p i . Jaki jest stan rachunku<br />
po n latach<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Efektywna stopa procentowa<br />
Niech K i będzie stanem na koniec roku i (łącznie z płatnością p i ).<br />
Odsetki za rok poprzedni wynoszą rK i−1 , więc<br />
K i = K i−1 + rK i−1 + p i . (1)<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Efektywna stopa procentowa<br />
Niech K i będzie stanem na koniec roku i (łącznie z płatnością p i ).<br />
Odsetki za rok poprzedni wynoszą rK i−1 , więc<br />
K i = K i−1 + rK i−1 + p i . (1)<br />
czyli:<br />
K i − (1 + r)K i−1 = p i .<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Efektywna stopa procentowa<br />
Niech K i będzie stanem na koniec roku i (łącznie z płatnością p i ).<br />
Odsetki za rok poprzedni wynoszą rK i−1 , więc<br />
czyli:<br />
K i = K i−1 + rK i−1 + p i . (1)<br />
K i − (1 + r)K i−1 = p i .<br />
Mnożymy równanie przez (1 + r) n−i :<br />
(1 + r) n−i K i − (1 + r) n−i+1 K i−1 = (1 + r) n−i p i .<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Efektywna stopa procentowa<br />
Niech K i będzie stanem na koniec roku i (łącznie z płatnością p i ).<br />
Odsetki za rok poprzedni wynoszą rK i−1 , więc<br />
czyli:<br />
K i = K i−1 + rK i−1 + p i . (1)<br />
K i − (1 + r)K i−1 = p i .<br />
Mnożymy równanie przez (1 + r) n−i :<br />
i sumujemy po n:<br />
(1 + r) n−i K i − (1 + r) n−i+1 K i−1 = (1 + r) n−i p i .<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
n∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
(1 + r) n−i K i − (1 + r) n−i+1 K i−1 = (1 + r) n−i p i ,<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
n−1 ∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
(1 + r) n−i K i − (1 + r) n−i+1 K i−1 = (1 + r) n−i p i ,<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
n−1<br />
(1+r) n−i K i +(1+r) 0 ∑<br />
K n − (1+r) n−i K i −(1+r) n K 0 =<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
n∑<br />
(1+r) n−i p i ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
n−1 ∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
n∑<br />
(1 + r) n−i K i − (1 + r) n−i+1 K i−1 = (1 + r) n−i p i ,<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
n−1<br />
(1+r) n−i K i +(1+r) 0 ∑<br />
K n − (1+r) n−i K i −(1+r) n K 0 =<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
czyli<br />
n∑<br />
K n = (1 + r) n K 0 + (1 + r) n−i p i .<br />
i=1<br />
n∑<br />
(1+r) n−i p i ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
n−1 ∑<br />
i=1<br />
czyli<br />
n∑<br />
(1 + r) n−i K i −<br />
i=1<br />
n∑<br />
(1 + r) n−i+1 K i−1 =<br />
i=1<br />
n−1<br />
n∑<br />
(1 + r) n−i p i ,<br />
i=1<br />
(1+r) n−i K i +(1+r) 0 ∑<br />
K n − (1+r) n−i K i −(1+r) n K 0 =<br />
i=1<br />
K n = (1 + r) n K 0 +<br />
n∑<br />
(1 + r) n−i p i .<br />
i=1<br />
n∑<br />
(1+r) n−i p i ,<br />
Potęgi (1 + r) nazywamy czynnikami pomnażającymi. Początkowy<br />
kapitał K po h latach wynosi (1 + r) h K.<br />
i=1<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przykład Jaka wartość osiągnie kapitał 1000 zł przy<br />
oprocentowaniu złożonym rocznym przy stopie 6% po 3. latach<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przykład Jaka wartość osiągnie kapitał 1000 zł przy<br />
oprocentowaniu złożonym rocznym przy stopie 6% po 3. latach<br />
Odp.: K 3 = (1 + 0, 06) 3 1000 = 1191, 02<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przykład Jaka wartość osiągnie kapitał 1000 zł przy<br />
oprocentowaniu złożonym rocznym przy stopie 6% po 3. latach<br />
Odp.: K 3 = (1 + 0, 06) 3 1000 = 1191, 02<br />
Jeżeli wzór (1) napiszemy w postaci<br />
i zsumujemy po i, to otrzymamy<br />
K i − K i−1 = rK i−1 + p i<br />
K n − K 0 =<br />
n∑<br />
rK i−1 +<br />
i=1<br />
n∑<br />
p i .<br />
Zatem przyrost wartości jest sumą wszystkich odsetek i wszystkich<br />
wpłat.<br />
i=1<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Jeżeli okres konwersji nie pokrywa się z okresem podstawowym, to<br />
mówimy o kapitalizacji niezgodnej. Stopa procentowa nazywa się<br />
wtedy stopą nominalną.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Jeżeli okres konwersji nie pokrywa się z okresem podstawowym, to<br />
mówimy o kapitalizacji niezgodnej. Stopa procentowa nazywa się<br />
wtedy stopą nominalną.<br />
Np. stopa roczna 6% z kwartalnym okresem konwersji oznacza, że<br />
co trzy miesiące do rachunku dopisuje się 1, 5% kapitału. Oznacza<br />
to, że początkowy kapitał 1 wzrasta do (1, 015) 4 = 1, 06136 na<br />
koniec roku.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Jeżeli okres konwersji nie pokrywa się z okresem podstawowym, to<br />
mówimy o kapitalizacji niezgodnej. Stopa procentowa nazywa się<br />
wtedy stopą nominalną.<br />
Np. stopa roczna 6% z kwartalnym okresem konwersji oznacza, że<br />
co trzy miesiące do rachunku dopisuje się 1, 5% kapitału. Oznacza<br />
to, że początkowy kapitał 1 wzrasta do (1, 015) 4 = 1, 06136 na<br />
koniec roku.<br />
Inaczej, nominalna stopa 6% z okresem kapitalizacji 3 miesiące jest<br />
równoważna efektywnej stopie 6,136%.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Niech r będzie daną roczną efektywną stopą procentową.<br />
Określamy r (m) jako stopę nominalną kapitalizowaną m razy w<br />
roku, równoważną stopie r.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Niech r będzie daną roczną efektywną stopą procentową.<br />
Określamy r (m) jako stopę nominalną kapitalizowaną m razy w<br />
roku, równoważną stopie r.<br />
Czynniki pomnażające są równe:<br />
(1 + r (m) ) m<br />
= 1 + r,<br />
m<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Niech r będzie daną roczną efektywną stopą procentową.<br />
Określamy r (m) jako stopę nominalną kapitalizowaną m razy w<br />
roku, równoważną stopie r.<br />
Czynniki pomnażające są równe:<br />
skąd<br />
(1 + r (m) ) m<br />
= 1 + r,<br />
m<br />
r (m) = m[(1 + r) 1 m − 1].<br />
W granicy, gdy m → ∞ otrzymujemy kapitalizację ciągłą.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Niech<br />
δ = lim<br />
m→∞ r (m) .<br />
Liczbę δ nazywamy intensywnością (natężeniem) oprocentowania<br />
równoważną stopie r. Ponieważ<br />
więc<br />
r (m) = (1 + r) 1 m − (1 + r) 0<br />
1<br />
,<br />
m<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
δ = lim<br />
m→∞ r (m) =<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
δ = lim<br />
m→∞ r (m) =<br />
(1 + r) 1 m − (1 + r) 0<br />
lim<br />
m→∞<br />
1<br />
m<br />
=<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
δ = lim<br />
m→∞ r (m) =<br />
(1 + r) 1 m − (1 + r) 0<br />
lim<br />
m→∞<br />
1<br />
m<br />
(1 + r) ∆x − (1 + r) 0<br />
= lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
=<br />
=<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
δ = lim<br />
m→∞ r (m) =<br />
(1 + r) 1 m − (1 + r) 0<br />
lim<br />
m→∞<br />
1<br />
m<br />
(1 + r) ∆x − (1 + r) 0<br />
= lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
= d<br />
dx ((1 + r)x ) x=0 = [(1 + r) x · ln(1 + r)] x=0 = ln(1 + r),<br />
=<br />
=<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
δ = lim<br />
m→∞ r (m) =<br />
lub<br />
(1 + r) 1 m − (1 + r) 0<br />
lim<br />
m→∞<br />
1<br />
m<br />
(1 + r) ∆x − (1 + r) 0<br />
= lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
= d<br />
dx ((1 + r)x ) x=0 = [(1 + r) x · ln(1 + r)] x=0 = ln(1 + r),<br />
=<br />
e δ = 1 + r.<br />
=<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
δ = lim<br />
m→∞ r (m) =<br />
lub<br />
(1 + r) 1 m − (1 + r) 0<br />
lim<br />
m→∞<br />
1<br />
m<br />
(1 + r) ∆x − (1 + r) 0<br />
= lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
= d<br />
dx ((1 + r)x ) x=0 = [(1 + r) x · ln(1 + r)] x=0 = ln(1 + r),<br />
=<br />
e δ = 1 + r.<br />
Zatem czynnik pomnażający dla okresu h lat wynosi (1 + r) h = e δh<br />
(h może być dowolną liczbą rzeczywistą).<br />
=<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
(m) = (1+r) 1 m −(1+r) 0<br />
1<br />
m<br />
jest malejącą funkcją m.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
(m) = (1+r) m 1 −(1+r) 0<br />
1 jest malejącą funkcją m.<br />
m<br />
(Można to uzasadnić interpretując r (m) jako współczynnik<br />
kierunkowy siecznej do krzywej (1 + r) x , która jest wypukła).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
(m) = (1+r) m 1 −(1+r) 0<br />
1 jest malejącą funkcją m.<br />
m<br />
(Można to uzasadnić interpretując r (m) jako współczynnik<br />
kierunkowy siecznej do krzywej (1 + r) x , która jest wypukła).<br />
Przykład liczbowy dla r = 6%:<br />
m<br />
1 0,06000<br />
2 0,05913<br />
3 0,05884<br />
4 0,05870<br />
6 0,05855<br />
12 0,05841<br />
∞ 0,05827<br />
r (m)<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa efektywna dla stopy nominalnej kapitalizowanej m razy w<br />
roku wynosi<br />
r ef = ( 1 + r m<br />
) m − 1,<br />
a w granicy, gdy m → ∞,<br />
r ef = e r − 1.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Rozważmy rachunek, na który dokonywane są wpłaty ciągłe w<br />
wysokości p(t).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Rozważmy rachunek, na który dokonywane są wpłaty ciągłe w<br />
wysokości p(t).<br />
Wpłaty na rachunek dla małego przedziału czasu od t do t + dt<br />
wynoszą p(t) dt.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Rozważmy rachunek, na który dokonywane są wpłaty ciągłe w<br />
wysokości p(t).<br />
Wpłaty na rachunek dla małego przedziału czasu od t do t + dt<br />
wynoszą p(t) dt.<br />
Załóżmy, że odsetki są również dopisywane w sposób ciągły z<br />
intensywnością oprocentowania δ(t), zależną od czasu t.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Rozważmy rachunek, na który dokonywane są wpłaty ciągłe w<br />
wysokości p(t).<br />
Wpłaty na rachunek dla małego przedziału czasu od t do t + dt<br />
wynoszą p(t) dt.<br />
Załóżmy, że odsetki są również dopisywane w sposób ciągły z<br />
intensywnością oprocentowania δ(t), zależną od czasu t.<br />
Jeżeli K(t) to stan rachunku w chwili t, to kwota odsetek w<br />
przedziale [t, t + dt] wynosi K(t)δ(t) dt.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Rozważmy rachunek, na który dokonywane są wpłaty ciągłe w<br />
wysokości p(t).<br />
Wpłaty na rachunek dla małego przedziału czasu od t do t + dt<br />
wynoszą p(t) dt.<br />
Załóżmy, że odsetki są również dopisywane w sposób ciągły z<br />
intensywnością oprocentowania δ(t), zależną od czasu t.<br />
Jeżeli K(t) to stan rachunku w chwili t, to kwota odsetek w<br />
przedziale [t, t + dt] wynosi K(t)δ(t) dt.<br />
Całkowity przyrost kapitału w tym przedziale jest więc równy<br />
dK(t) = K(t)δ(t) dt + p(t) dt.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Otrzymujemy równanie liniowe<br />
K ′ (t) = K(t)δ(t) + p(t).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Otrzymujemy równanie liniowe<br />
Przepiszmy je w postaci<br />
K ′ (t) = K(t)δ(t) + p(t).<br />
e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds K ′ (t) − e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds K(t)δ(t) = e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds p(t).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Otrzymujemy równanie liniowe<br />
Przepiszmy je w postaci<br />
K ′ (t) = K(t)δ(t) + p(t).<br />
e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds K ′ (t) − e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds K(t)δ(t) = e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds p(t).<br />
czyli<br />
d<br />
.t [e− ∫ t<br />
0 δ(s) ds K(t)] = e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds p(t).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Otrzymujemy równanie liniowe<br />
Przepiszmy je w postaci<br />
K ′ (t) = K(t)δ(t) + p(t).<br />
e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds K ′ (t) − e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds K(t)δ(t) = e − ∫ t<br />
0 δ(s) ds p(t).<br />
czyli<br />
d<br />
∫ ∫ t<br />
.t [e− δ(s) ds 0 K(t)] = e − t<br />
δ(s) ds 0 p(t).<br />
Całkujemy od 0 do h:<br />
∫ ∫<br />
e − h<br />
h ∫ δ(s) ds 0 K(h) − K(0) = e − t<br />
δ(s) ds 0 p(t).t.<br />
0<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Stąd<br />
∫ h<br />
∫ h ∫<br />
K(h) − e<br />
δ(s) 0 . s h<br />
K(0) = e<br />
δ(s) 0 . ∫ s · e − t<br />
δ(s) 0 . s p(t).t,<br />
0<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Stąd<br />
∫ h<br />
∫ h ∫<br />
K(h) − e<br />
δ(s) 0 . s h<br />
K(0) = e<br />
δ(s) 0 . ∫ s · e − t<br />
δ(s) 0 . s p(t).t,<br />
0<br />
więc<br />
∫ h<br />
∫ h<br />
K(h) = e<br />
δ(s) 0 . s K(0) + e<br />
0<br />
∫ h<br />
t<br />
δ(s). s p(t).t.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Szczególne przypadki:<br />
1) Jeżeli w chwili t = 0 wpłacamy kwotę K(0), a potem nic więcej<br />
(tzn p(t) = 0), to<br />
∫ h<br />
K(h) = e<br />
δ(s) 0 . s K(0).<br />
Tyle wynosi zakumulowana wartość wpłaty K(0).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Analiza wpłat ciągłych<br />
Szczególne przypadki:<br />
1) Jeżeli w chwili t = 0 wpłacamy kwotę K(0), a potem nic więcej<br />
(tzn p(t) = 0), to<br />
∫ h<br />
K(h) = e<br />
δ(s) 0 . s K(0).<br />
Tyle wynosi zakumulowana wartość wpłaty K(0).<br />
2) Jeżeli δ(t) = δ (stała intensywność oprocentowania), to<br />
∫ h<br />
K(h) = e δh K(0) + e δh e −δt p(t).t.<br />
0<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Czas bankowy<br />
Ponieważ banki posługują się na ogół rocznymi stopami<br />
procentowymi, podstawowe znaczenie mają dwie operacje:<br />
— obliczenie ile jest dni między dwiema ustalonymi datami<br />
— zamiana liczby dni na liczbę lat.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Czas bankowy<br />
Ponieważ banki posługują się na ogół rocznymi stopami<br />
procentowymi, podstawowe znaczenie mają dwie operacje:<br />
— obliczenie ile jest dni między dwiema ustalonymi datami<br />
— zamiana liczby dni na liczbę lat.<br />
Otóż w praktyce bankowej, a także w matematyce finansowej<br />
oprócz ”zwykłego” czasu kalendarzowego występuje czas<br />
bankowy. Jednostkami tego czasu są: rok bankowy o długości 360<br />
dni oraz miesiąc bankowy o długości 30 dni.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Czas bankowy<br />
Ponieważ banki posługują się na ogół rocznymi stopami<br />
procentowymi, podstawowe znaczenie mają dwie operacje:<br />
— obliczenie ile jest dni między dwiema ustalonymi datami<br />
— zamiana liczby dni na liczbę lat.<br />
Otóż w praktyce bankowej, a także w matematyce finansowej<br />
oprócz ”zwykłego” czasu kalendarzowego występuje czas<br />
bankowy. Jednostkami tego czasu są: rok bankowy o długości 360<br />
dni oraz miesiąc bankowy o długości 30 dni.<br />
Przyjmujemy oznaczenia:<br />
t K – dokładna liczba dni (według czasu kalendarzowego),<br />
t B – bankowa liczba dni (według czasu bankowego),<br />
n K – liczba lat kalendarzowych,<br />
n B – liczba lat bankowych.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Np. między 13 marca i 17 czerwca jest 96 (18+30+31+17) dni<br />
kalendarzowych, ale tylko 94 (17+30+30+17) dni bankowych.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Np. między 13 marca i 17 czerwca jest 96 (18+30+31+17) dni<br />
kalendarzowych, ale tylko 94 (17+30+30+17) dni bankowych.<br />
Przeliczając na lata otrzymujemy: n K = 96<br />
365<br />
= 0, 2630 i<br />
n B = 94<br />
360 = 0, 2611. Oprocentowanie i kapitalizacja
Np. między 13 marca i 17 czerwca jest 96 (18+30+31+17) dni<br />
kalendarzowych, ale tylko 94 (17+30+30+17) dni bankowych.<br />
Przeliczając na lata otrzymujemy: n K = 96<br />
365<br />
= 0, 2630 i<br />
n B = 94<br />
360<br />
= 0, 2611.<br />
Możliwe są więc cztery warianty obliczania dni i lat: (n K , t K ),<br />
(n K , t B ), (n B , t K ), (n B , t B ).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Np. między 13 marca i 17 czerwca jest 96 (18+30+31+17) dni<br />
kalendarzowych, ale tylko 94 (17+30+30+17) dni bankowych.<br />
Przeliczając na lata otrzymujemy: n K = 96<br />
365<br />
= 0, 2630 i<br />
n B = 94<br />
360<br />
= 0, 2611.<br />
Możliwe są więc cztery warianty obliczania dni i lat: (n K , t K ),<br />
(n K , t B ), (n B , t K ), (n B , t B ).<br />
Banki najchętniej stosują wariant (n B , t K ), tzn. rachunek dni<br />
według czasu kalendarzowego i rachunek lat według czasu<br />
bankowego. Jest to bowiem wariant najkorzystniejszy dla<br />
wierzyciela (a głównie w takiej roli występują banki). Nie wszystko<br />
jednak od nich zależy. Ustawa o kredycie konsumenckim (dotycząca<br />
kredytów do wysokości 80000 zł, ale nie hipotecznych) narzuca<br />
bankom wzór obliczania stopy procentowej według reguły (n K , t K ).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowanie z góry<br />
Oprocentowanie z góry oznacza, że odsetki są wypłacane na<br />
początku okresu kapitalizacji.<br />
W n = przyszła wartość kapitału K 0 na początku n-tego okresu<br />
kapitalizacji.<br />
Obliczmy W 1 : wpłacana kwota K 0 podlega oprocentowaniu z góry<br />
dając odsetki K 0 r. Odsetki te, dołączane do kapitału można<br />
traktować jako następną wpłatę, która daje odsetki Kr 2 , itd.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowanie z góry<br />
Oprocentowanie z góry oznacza, że odsetki są wypłacane na<br />
początku okresu kapitalizacji.<br />
W n = przyszła wartość kapitału K 0 na początku n-tego okresu<br />
kapitalizacji.<br />
Obliczmy W 1 : wpłacana kwota K 0 podlega oprocentowaniu z góry<br />
dając odsetki K 0 r. Odsetki te, dołączane do kapitału można<br />
traktować jako następną wpłatę, która daje odsetki Kr 2 , itd.<br />
(o ile |r| < 1).<br />
W 1 = K 0 + K 0 r + K 0 r 2 + · · · = K 0<br />
1<br />
1 − r ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowanie z góry<br />
Analogicznie:<br />
Zatem<br />
W n+1 = W n<br />
1<br />
1 − r .<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowanie z góry<br />
Analogicznie:<br />
Zatem<br />
W n+1 = W n<br />
1<br />
1 − r .<br />
1<br />
W n = K 0 , n = 1, 2, . . . .<br />
(1 − r) n<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowanie z góry<br />
Analogicznie:<br />
Zatem<br />
W n+1 = W n<br />
1<br />
1 − r .<br />
1<br />
W n = K 0 , n = 1, 2, . . . .<br />
(1 − r) n<br />
1<br />
Liczbę<br />
1−r<br />
nazywamy czynnikiem wartości przyszłej lub<br />
współczynnikiem akumulacji.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowanie z góry<br />
Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej<br />
stopie złożonej z góry z kapitału 600 j.p. uzyskano po jednym roku<br />
wartość 750 j.p.<br />
750 = 600 ·<br />
1<br />
1 − r , 1 − r = 60<br />
75 , r = 15 = 0, 2.<br />
75<br />
Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej<br />
stopie złożonej z góry odsetki za drugi rok od kwoty początkowej<br />
K 0 = 400 j.p. wynoszą 44 j.p.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowanie z góry<br />
Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej<br />
stopie złożonej z góry z kapitału 600 j.p. uzyskano po jednym roku<br />
wartość 750 j.p.<br />
750 = 600 ·<br />
1<br />
1 − r , 1 − r = 60<br />
75 , r = 15 = 0, 2.<br />
75<br />
Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej<br />
stopie złożonej z góry odsetki za drugi rok od kwoty początkowej<br />
K 0 = 400 j.p. wynoszą 44 j.p.<br />
stąd<br />
1<br />
Z 2 = W 2 − W 1 ⇒ 44 = 400<br />
(1 − r) 2 − 400 1<br />
1 − r ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Oprocentowanie z góry<br />
Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej<br />
stopie złożonej z góry z kapitału 600 j.p. uzyskano po jednym roku<br />
wartość 750 j.p.<br />
750 = 600 ·<br />
1<br />
1 − r , 1 − r = 60<br />
75 , r = 15 = 0, 2.<br />
75<br />
Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej<br />
stopie złożonej z góry odsetki za drugi rok od kwoty początkowej<br />
K 0 = 400 j.p. wynoszą 44 j.p.<br />
1<br />
Z 2 = W 2 − W 1 ⇒ 44 = 400<br />
(1 − r) 2 − 400 1<br />
1 − r ,<br />
stąd<br />
r = 1 ≈ 0, 09.<br />
11<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej<br />
Załóżmy, że przez n 1 okresów obowiązywała stopa r 1 , przez n 2<br />
okresów obowiązywała stopa r 2 , itd. Jaka jest przyszła wartość<br />
kapitału K 0 po n okresach, gdzie n = ∑ p<br />
i=1 n i Zakładamy, że<br />
okres stopy procentowej jest zawsze taki sam i równy okresowi<br />
kapitalizacji.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej<br />
Załóżmy, że przez n 1 okresów obowiązywała stopa r 1 , przez n 2<br />
okresów obowiązywała stopa r 2 , itd. Jaka jest przyszła wartość<br />
kapitału K 0 po n okresach, gdzie n = ∑ p<br />
i=1 n i Zakładamy, że<br />
okres stopy procentowej jest zawsze taki sam i równy okresowi<br />
kapitalizacji.<br />
Jeżeli obowiązuje model kapitalizacji prostej, to:<br />
Z = K 0 n 1 r 1 + K 0 n 2 r 2 + · · · + K 0 n p r p = K 0<br />
p∑<br />
n i r i .<br />
i=1<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej<br />
Załóżmy, że przez n 1 okresów obowiązywała stopa r 1 , przez n 2<br />
okresów obowiązywała stopa r 2 , itd. Jaka jest przyszła wartość<br />
kapitału K 0 po n okresach, gdzie n = ∑ p<br />
i=1 n i Zakładamy, że<br />
okres stopy procentowej jest zawsze taki sam i równy okresowi<br />
kapitalizacji.<br />
Jeżeli obowiązuje model kapitalizacji prostej, to:<br />
Z = K 0 n 1 r 1 + K 0 n 2 r 2 + · · · + K 0 n p r p = K 0<br />
Zatem wartość przyszła po czasie n:<br />
K n = K 0 + Z = K 0 (1 +<br />
p∑<br />
n i r i ).<br />
i=1<br />
p∑<br />
n i r i .<br />
i=1<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dla modelu kapitalizacji złożonej wartość kapitału po danym<br />
okresie staje się wartością początkową dla okresu następnego.<br />
Zatem<br />
dla kapitalizacji złożonej z dołu:<br />
K n = K 0 (1 + r 1 ) n 1<br />
(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dla modelu kapitalizacji złożonej wartość kapitału po danym<br />
okresie staje się wartością początkową dla okresu następnego.<br />
Zatem<br />
dla kapitalizacji złożonej z dołu:<br />
K n = K 0 (1 + r 1 ) n 1<br />
(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np<br />
dla kapitalizacji złożonej z góry:<br />
W n = K 0 (1 − r 1 ) −n 1<br />
(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dla modelu kapitalizacji złożonej wartość kapitału po danym<br />
okresie staje się wartością początkową dla okresu następnego.<br />
Zatem<br />
dla kapitalizacji złożonej z dołu:<br />
K n = K 0 (1 + r 1 ) n 1<br />
(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np<br />
dla kapitalizacji złożonej z góry:<br />
W n = K 0 (1 − r 1 ) −n 1<br />
(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np<br />
dla kapitalizacji ciągłej:<br />
K(n) = K 0 e n 1r 1<br />
e n 2r2<br />
· · · e nprp = K 0 e∑ p<br />
i=1 n i r i<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
W przypadku występowania zmiennej stopy procentowej<br />
uzasadnione jest wprowadzenie pojęcia przeciętnej stopy<br />
procentowej.<br />
Definicja<br />
Przeciętną stopą procentową nazywamy taką stałą stopę r prz dla<br />
której przyszła wartość kapitału jest taka sama jak przyszła<br />
wartość tego kapitału przy zmieniającej się stopie procentowej.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
Stąd:<br />
dla modelu kapitalizacji prostej:<br />
p∑<br />
K 0 (1 + nr prz ) = K 0 (1 + n i r i ),<br />
i=1<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
Stąd:<br />
dla modelu kapitalizacji prostej:<br />
p∑<br />
K 0 (1 + nr prz ) = K 0 (1 + n i r i ),<br />
i=1<br />
r prz = 1 p∑<br />
n i r i ;<br />
n<br />
i=1<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
Stąd:<br />
dla modelu kapitalizacji prostej:<br />
p∑<br />
K 0 (1 + nr prz ) = K 0 (1 + n i r i ),<br />
i=1<br />
r prz = 1 p∑<br />
n i r i ;<br />
n<br />
i=1<br />
dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu:<br />
(1 + r prz ) n = (1 + r 1 ) n 1<br />
(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
Stąd:<br />
dla modelu kapitalizacji prostej:<br />
p∑<br />
K 0 (1 + nr prz ) = K 0 (1 + n i r i ),<br />
i=1<br />
r prz = 1 p∑<br />
n i r i ;<br />
n<br />
i=1<br />
dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu:<br />
(1 + r prz ) n = (1 + r 1 ) n 1<br />
(1 + r 2 ) n2 · · · (1 + r p ) np ,<br />
r prz = n √(1 + r 1 ) n 1 (1 + r2 ) n 2 · · · (1 + rp ) np − 1;<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
dla modelu kapitalizacji złożonej z góry:<br />
(1 − r prz ) −n = (1 − r 1 ) −n 1<br />
(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
dla modelu kapitalizacji złożonej z góry:<br />
(1 − r prz ) −n = (1 − r 1 ) −n 1<br />
(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np ,<br />
r prz = 1 − n √(1 − r 1 ) n 1 (1 − r2 ) n 2 · · · (1 − rp ) np ;<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
dla modelu kapitalizacji złożonej z góry:<br />
(1 − r prz ) −n = (1 − r 1 ) −n 1<br />
(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np ,<br />
r prz = 1 − n √(1 − r 1 ) n 1 (1 − r2 ) n 2 · · · (1 − rp ) np ;<br />
dla modelu kapitalizacji ciągłej:<br />
K 0 e nrprz = K 0 e∑ p<br />
i=1 n i r i<br />
,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przeciętna stopa procentowa<br />
dla modelu kapitalizacji złożonej z góry:<br />
(1 − r prz ) −n = (1 − r 1 ) −n 1<br />
(1 − r 2 ) −n2 · · · (1 − r p ) −np ,<br />
r prz = 1 − n √(1 − r 1 ) n 1 (1 − r2 ) n 2 · · · (1 − rp ) np ;<br />
dla modelu kapitalizacji ciągłej:<br />
K 0 e nrprz = K 0 e∑ p<br />
i=1 n i r i<br />
,<br />
r prz = 1 p∑<br />
n i r i .<br />
n<br />
i=1<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto<br />
Odsetki wypłacane na początku okresu (z góry) nazywamy<br />
dyskontem, a odpowiadająca stopa nazywa się stopą dyskontową.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto<br />
Odsetki wypłacane na początku okresu (z góry) nazywamy<br />
dyskontem, a odpowiadająca stopa nazywa się stopą dyskontową.<br />
Niech d — roczna stopa dyskontowa. Osoba inwestująca kapitał K<br />
otrzymuje z góry odsetki równe.K, a kapitał K jest wypłacany na<br />
koniec okresu. Inwestując otrzymane odsetki,.K, na tych samych<br />
warunkach, otrzymuje się dodatkowe odsetki Kd · d = Kd 2 i<br />
dodatkowo zainwestowana kwota będzie zwrócona na koniec roku.<br />
Reinwestując otrzymane odsetki, Kd 2 otrzymuje się z góry Kd 3 ,<br />
itd.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto<br />
Odsetki wypłacane na początku okresu (z góry) nazywamy<br />
dyskontem, a odpowiadająca stopa nazywa się stopą dyskontową.<br />
Niech d — roczna stopa dyskontowa. Osoba inwestująca kapitał K<br />
otrzymuje z góry odsetki równe.K, a kapitał K jest wypłacany na<br />
koniec okresu. Inwestując otrzymane odsetki,.K, na tych samych<br />
warunkach, otrzymuje się dodatkowe odsetki Kd · d = Kd 2 i<br />
dodatkowo zainwestowana kwota będzie zwrócona na koniec roku.<br />
Reinwestując otrzymane odsetki, Kd 2 otrzymuje się z góry Kd 3 ,<br />
itd.<br />
Zatem na koniec okresu inwestor wpłacający kwotę K otrzyma<br />
K + Kd + Kd 2 + · · · = 1<br />
1 − d K.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa dyskontowa a stopa procentowa<br />
Równoważną efektywną stopę procentową można obliczyć z<br />
równości<br />
1<br />
1 − d = 1 + r,<br />
skąd d =<br />
r<br />
1+r . Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa dyskontowa a stopa procentowa<br />
Równoważną efektywną stopę procentową można obliczyć z<br />
równości<br />
1<br />
1 − d = 1 + r,<br />
r<br />
1+r .<br />
skąd d =<br />
Ten wynik ma prostą interpretację: jeżeli inwestuje się kapitał w<br />
wysokości 1, to d (czyli odsetki płatne z góry) jest równe<br />
zdyskontowanej wartości odsetek r (płatnych z dołu).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa dyskontowa a stopa procentowa<br />
Równoważną efektywną stopę procentową można obliczyć z<br />
równości<br />
1<br />
1 − d = 1 + r,<br />
r<br />
1+r .<br />
skąd d =<br />
Ten wynik ma prostą interpretację: jeżeli inwestuje się kapitał w<br />
wysokości 1, to d (czyli odsetki płatne z góry) jest równe<br />
zdyskontowanej wartości odsetek r (płatnych z dołu).<br />
Równoważną równość:<br />
r =<br />
d<br />
1 − d<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stopa dyskontowa a stopa procentowa<br />
Równoważną efektywną stopę procentową można obliczyć z<br />
równości<br />
1<br />
1 − d = 1 + r,<br />
r<br />
1+r .<br />
skąd d =<br />
Ten wynik ma prostą interpretację: jeżeli inwestuje się kapitał w<br />
wysokości 1, to d (czyli odsetki płatne z góry) jest równe<br />
zdyskontowanej wartości odsetek r (płatnych z dołu).<br />
Równoważną równość:<br />
r =<br />
d<br />
1 − d<br />
interpretujemy tak: odsetki płatne na koniec okresu są<br />
zakumulowaną wartością odsetek płatnych na początku okresu.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Niech d (m) będzie równoważną nominalną stopą dyskontową<br />
naliczaną m razy w roku. Zatem inwestor otrzymuje d(m)<br />
m K na<br />
początku okresu, a kapitał K na koniec. Równość czynników<br />
pomnażających dla m-tej części roku wyraża się przez<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Niech d (m) będzie równoważną nominalną stopą dyskontową<br />
naliczaną m razy w roku. Zatem inwestor otrzymuje d(m)<br />
m K na<br />
początku okresu, a kapitał K na koniec. Równość czynników<br />
pomnażających dla m-tej części roku wyraża się przez<br />
1<br />
1 − d(m)<br />
m<br />
= 1 + r (m)<br />
m = (1 + r) 1 m ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Niech d (m) będzie równoważną nominalną stopą dyskontową<br />
naliczaną m razy w roku. Zatem inwestor otrzymuje d(m)<br />
m K na<br />
początku okresu, a kapitał K na koniec. Równość czynników<br />
pomnażających dla m-tej części roku wyraża się przez<br />
co daje<br />
1<br />
1 − d(m)<br />
m<br />
= 1 + r (m)<br />
m = (1 + r) 1 m ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
(<br />
)<br />
d (m) 1<br />
= m 1 −<br />
,<br />
(1 + r) 1 m<br />
a także (przypomnijmy, że r (m) = m ( (1 + r) 1 m − 1 ) ):<br />
d (m) =<br />
r (m)<br />
1 + r (m)<br />
m<br />
.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stąd mamy prosty związek:<br />
1<br />
d (m) = 1 m + 1<br />
r (m) .<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stąd mamy prosty związek:<br />
Stąd<br />
1<br />
d (m) = 1 m + 1<br />
r (m) .<br />
lim d (m) = lim r (m) = δ,<br />
m→∞ m→∞<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Stąd mamy prosty związek:<br />
Stąd<br />
1<br />
d (m) = 1 m + 1<br />
r (m) .<br />
lim d (m) = lim r (m) = δ,<br />
m→∞ m→∞<br />
co nie powinno dziwić: przy ciągłym naliczaniu odsetek różnica<br />
między odsetkami z góry i z dołu znika.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Przykład . Dla r = 6:<br />
1 d (m)<br />
1 0,05660<br />
2 0,05743<br />
3 0,05771<br />
4 0,05785<br />
6 0,05799<br />
12 0,05813<br />
∞ 0,05827<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe<br />
Dyskonto handlowe, D H , stosuje się w przypadku korzystania z<br />
weksli, czeków, obligacji sprzedawanych z dyskontem. Wartość<br />
nominalna papieru wartościowego jest znana i jest to wartość<br />
końcowa. Dyskonto handlowe powoduje obniżenie wartości<br />
nominalnej do tzw. wartości aktualnej. Dyskonto handlowe jest<br />
proporcjonalne do wartości nominalnej danego papieru<br />
wartościowego (i czasu, którego dotyczy). Współczynnik<br />
proporcjonalności d nazywa się stopą dyskontową. Zatem:<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe<br />
Dyskonto handlowe, D H , stosuje się w przypadku korzystania z<br />
weksli, czeków, obligacji sprzedawanych z dyskontem. Wartość<br />
nominalna papieru wartościowego jest znana i jest to wartość<br />
końcowa. Dyskonto handlowe powoduje obniżenie wartości<br />
nominalnej do tzw. wartości aktualnej. Dyskonto handlowe jest<br />
proporcjonalne do wartości nominalnej danego papieru<br />
wartościowego (i czasu, którego dotyczy). Współczynnik<br />
proporcjonalności d nazywa się stopą dyskontową. Zatem:<br />
gdzie n jest liczbą okresów.<br />
D H = W nom dn<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe i weksle<br />
Najczęściej dyskonto handlowe stosuje się w obrocie wekslami.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe i weksle<br />
Najczęściej dyskonto handlowe stosuje się w obrocie wekslami.<br />
Weksel jest papierem wartościowym stwierdzającym zobowiązanie<br />
do zapłacenia pewnej określonej kwoty w określonym terminie.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe i weksle<br />
Najczęściej dyskonto handlowe stosuje się w obrocie wekslami.<br />
Weksel jest papierem wartościowym stwierdzającym zobowiązanie<br />
do zapłacenia pewnej określonej kwoty w określonym terminie.<br />
Posiadacz weksla może go sprzedać (zdyskontować) przed<br />
terminem w banku komercyjnym. Bank ten może z kolei<br />
redyskontować go w banku centralnym. Te operacje związane są z<br />
pomniejszeniem wartości weksla o wartość odpowiedniego<br />
dyskonta.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe i weksle<br />
Jeżeli d oznacza roczną stopę dyskontową, a n liczbę dni między<br />
datą spłaty weksla a datą jego zakupu, to<br />
d<br />
D H = W nom<br />
360 n.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe i weksle<br />
Jeżeli d oznacza roczną stopę dyskontową, a n liczbę dni między<br />
datą spłaty weksla a datą jego zakupu, to<br />
d<br />
D H = W nom<br />
360 n.<br />
Odstępujący weksel otrzyma kwotę:<br />
W akt = W nom − D H ,<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe i weksle<br />
Jeżeli d oznacza roczną stopę dyskontową, a n liczbę dni między<br />
datą spłaty weksla a datą jego zakupu, to<br />
d<br />
D H = W nom<br />
360 n.<br />
Odstępujący weksel otrzyma kwotę:<br />
W akt = W nom − D H ,<br />
czyli<br />
W akt = W nom (1 −<br />
d<br />
360 n).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Dalej n będzie znowu oznaczało liczbę okresów (a nie liczbę dni).<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Dalej n będzie znowu oznaczało liczbę okresów (a nie liczbę dni).<br />
Dyskontowanie handlowe nie jest działaniem odwrotnym do<br />
oprocentowania przy tej samej stopie procentowej. Dla<br />
oprocentowania prostego mamy:<br />
K n − D H = K n − K n rn = K n (1 − rn) = K 0 (1 + nr)(1 − nr) =<br />
= K 0 (1 − n 2 r 2 ) < K 0<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Dalej n będzie znowu oznaczało liczbę okresów (a nie liczbę dni).<br />
Dyskontowanie handlowe nie jest działaniem odwrotnym do<br />
oprocentowania przy tej samej stopie procentowej. Dla<br />
oprocentowania prostego mamy:<br />
K n − D H = K n − K n rn = K n (1 − rn) = K 0 (1 + nr)(1 − nr) =<br />
= K 0 (1 − n 2 r 2 ) < K 0<br />
czyli dodanie odsetek prostych do K 0 daje K n , ale odjęcie D H od<br />
K n nie daje K 0 .<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto<br />
matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy<br />
stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi:<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto<br />
matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy<br />
stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi:<br />
D H = D M<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto<br />
matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy<br />
stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi:<br />
D H = D M<br />
K n dn = K 0 rn<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto<br />
matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy<br />
stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi:<br />
D H = D M<br />
K n dn = K 0 rn<br />
K 0 (1 + nr)d = K 0 r<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto<br />
matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy<br />
stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi:<br />
D H = D M<br />
K n dn = K 0 rn<br />
K 0 (1 + nr)d = K 0 r<br />
d =<br />
r<br />
1 + nr<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto<br />
matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy<br />
stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi:<br />
oraz<br />
D H = D M<br />
K n dn = K 0 rn<br />
K 0 (1 + nr)d = K 0 r<br />
d =<br />
r<br />
1 + nr<br />
r =<br />
d<br />
1 − nd .<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe a matematyczne<br />
Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto<br />
matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy<br />
stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi:<br />
oraz<br />
D H = D M<br />
K n dn = K 0 rn<br />
K 0 (1 + nr)d = K 0 r<br />
d =<br />
r<br />
1 + nr<br />
r =<br />
d<br />
1 − nd .<br />
Stąd wynika, że równoważność stopy procentowej i dyskontowej<br />
zależy od liczby okresów n.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe: przykład<br />
Przykład . Firma A dostarczyła firmie B towary o wartości 40 000<br />
zł. Firma B zaproponowała uiszczenie zapłaty za dwa miesiące,<br />
przy czym za okres zwłoki zobowiązała się zapłacić odsetki proste<br />
wg rocznej stopy 16%. Wyrazem przeprowadzonej transakcji był<br />
weksel kupiecki.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe: przykład<br />
Przykład . Firma A dostarczyła firmie B towary o wartości 40 000<br />
zł. Firma B zaproponowała uiszczenie zapłaty za dwa miesiące,<br />
przy czym za okres zwłoki zobowiązała się zapłacić odsetki proste<br />
wg rocznej stopy 16%. Wyrazem przeprowadzonej transakcji był<br />
weksel kupiecki.<br />
Weksel wystawiony przez B ma wartość nominalną:<br />
K = 40000(1 + 2<br />
0, 16<br />
) ≈ 41066, 67.<br />
12<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe: przykład<br />
Przykład . Firma A dostarczyła firmie B towary o wartości 40 000<br />
zł. Firma B zaproponowała uiszczenie zapłaty za dwa miesiące,<br />
przy czym za okres zwłoki zobowiązała się zapłacić odsetki proste<br />
wg rocznej stopy 16%. Wyrazem przeprowadzonej transakcji był<br />
weksel kupiecki.<br />
Weksel wystawiony przez B ma wartość nominalną:<br />
K = 40000(1 + 2<br />
0, 16<br />
) ≈ 41066, 67.<br />
12<br />
Jeżeli firma A potrzebuje gotówki natychmiast, to przedstawia<br />
weksel do dyskonta w banku.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe: przykład<br />
Dyskonto handlowe wyznaczone przy stopie dyskontowej równej<br />
stopie procentowej wynosi<br />
Firma A otrzyma<br />
D H = 41066, 67 ·<br />
0, 16<br />
12<br />
· 2 ≈ 1095, 11.<br />
W akt = 41066, 67 − 1095, 11 = 39971, 56.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe<br />
Dyskonto handlowe jest zarobkiem banku.<br />
Przykład . W dniu 1 lipca hurtownia A sprzedała towar sklepowi<br />
B, przy czym zobowiązanie zapłaty zostało potwierdzone wekslem<br />
kupieckim o wartości nominalnej 20 000 zł płatnym 1.09.<br />
Hurtownia A zdyskontowała ten weksel w banku 1.08, przy czym<br />
stopa dyskontowa wynosiła 20%. Bank zdyskontował ten weksel w<br />
NBP dnia 16.08 wg stopy redyskontowej 15%. Wyznaczyć zysk<br />
hurtowni A oraz zarobek (marżę) banku na tej transakcji.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe<br />
W dniu 1.08:<br />
W akt = 20000(1 − 0, 2 · 31) ≈ 19965, 56.<br />
360<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe<br />
W dniu 1.08:<br />
W akt = 20000(1 − 0, 2 · 31) ≈ 19965, 56.<br />
360<br />
Tyle otrzymuje hurtownia A. Jej zysk wiąże się z możliwością<br />
zainwestowania tej kwoty na okres jednego miesiąca. Jeżeli stopa<br />
zwrotu z tej inwestycji wynosi 2% miesięcznie, to jej wartość<br />
wynosi 1.09:<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe<br />
W dniu 1.08:<br />
W akt = 20000(1 − 0, 2 · 31) ≈ 19965, 56.<br />
360<br />
Tyle otrzymuje hurtownia A. Jej zysk wiąże się z możliwością<br />
zainwestowania tej kwoty na okres jednego miesiąca. Jeżeli stopa<br />
zwrotu z tej inwestycji wynosi 2% miesięcznie, to jej wartość<br />
wynosi 1.09:<br />
W akt (1 + 0, 02) = 20364, 87,<br />
więc zysk hurtowni wynosi 399,31.<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja
Dyskonto handlowe<br />
Natomiast marża banku komercyjnego jest różnicą wartości<br />
aktualnych weksla 16.08 wynikającą z różnicy stóp dyskontowych,<br />
czyli:<br />
20000(1−<br />
0, 15<br />
360<br />
0, 2<br />
2 − 0, 15<br />
·15)−20000(1− = 20000·0,<br />
·15 = 41, 67.<br />
360·15)<br />
360<br />
Oprocentowanie i kapitalizacja