Dr Maciej Grzesiak Podręcznik: W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra ...

Grupa, podgrupa, homomorfizm 

Grupa symetryczna S n 

Grupa ilorazowa 

Dr Maciej Grzesiak 

Podręcznik: W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra współczesna z 

zastosowaniami, WNT, Warszawa 2008 

http://www.math.put.poznan.pl/∼grzesiak/ 

Konsultacje: piątek 9.45–11.15 pokój 724E 

Grupy




Treść wykładu 


Grupa symetryczna 


Działanie grupy na zbiorze 

Grupy




Definicja 

Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym ◦ 

nazywamy grupą, gdy: 

G1. ∀ x,y,z∈G (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z); 

Grupy




Definicja 



G1. ∀ x,y,z∈G (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z); 

G2. ∃ e∈G ∀ x∈G e ◦ x = x ◦ e = x; 

Grupy




Definicja 



G1. ∀ x,y,z∈G (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z); 

G2. ∃ e∈G ∀ x∈G e ◦ x = x ◦ e = x; 

G3. ∀ x∈G ∃ x −1 ∈G x ◦ x −1 = x −1 ◦ x = e. 

Grupy




Ponieważ działanie jest łączne, więc (ab)c = a(bc) można pisać po 

prostu jako abc. Z tego samego powodu iloczyn a 1 a 2 . . . a n można 

pisać bez nawiasów. 

Grupy







Jeśli a 1 = a 2 = . . . = a n , to taki iloczyn nazywamy n−tą potęgą i 

oznaczamy a n . 

Grupy









Określamy ponadto a 0 = e, a −n = (a n ) −1 lub a −n = (a −1 ) n . 

Grupy









Określamy ponadto a 0 = e, a −n = (a n ) −1 lub a −n = (a −1 ) n . 

Ć w i c z e n i e. Wykazać, że dla a ∈ G, m, n ∈ Z a m a n = a m+n , 

(a m ) n = a mn . 

Grupy




Jeśli a n = e dla pewnego n > 0, to najmniejszą z liczb o tej 

własności nazywamy rzędem elementu a i oznaczamy |a|. 

Grupy






Jeśli a n ≠ e dla każdego n > 0, to |a| = ∞. 

Grupy







Jeśli grupa ma skończoną liczbę elementów, to nazywamy ją grupą 

skończoną. Liczbę elementów grupy nazywamy rzędem grupy; 

oznaczenie: |G|. 

Grupy







Jeśli grupa ma skończoną liczbę elementów, to nazywamy ją grupą 

skończoną. Liczbę elementów grupy nazywamy rzędem grupy; 

oznaczenie: |G|. 

Ć w i c z e n i e. Jeśli a n = e, to n dzieli się przez |a|. 

Grupy




Jeżeli G spełnia oprócz G1—G3 jeszcze: 

G4. ∀ x,y∈G x ◦ y = y ◦ x, 

to nazywamy ją grupą abelową. 

Grupy




Jeżeli G spełnia oprócz G1—G3 jeszcze: 

G4. ∀ x,y∈G x ◦ y = y ◦ x, 

to nazywamy ją grupą abelową. 

Tradycyjnie działanie w grupie abelowej oznaczamy + i stosujemy 

następującą terminologię: 

· + 

mnożenie dodawanie 

iloczyn suma 

jedynka zero 

odwrotny przeciwny 

potęga krotność 

e lub 1 0 

a −1 −a 

a n na 

Grupy




Przykłady. 

1. Zbiór elementów dowolnego ciała rozpatrywany z dodawaniem 

tworzy grupę abelową, np. Q, R, C. 

Grupy




Przykłady. 



2. Zbiór elementów niezerowych dowolnego ciała rozpatrywany z 

mnożeniem tworzy grupę abelową, np. Q ∗ , R ∗ , C ∗ . 

Grupy




Przykłady. 





3. Zbiór Z z dodawaniem tworzy grupę abelową. 

Grupy




Przykłady. 






4. Zbiór Z n reszt z dzielenia przez n z działaniem dodawania 

modulo n tworzy grupę abelową. Jest to grupa skończona rzędu n. 

Grupy




Przykłady. 








5. Q p = { m p n |m, n ∈ Z}, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest 

addytywną grupą abelową. 

Grupy




Przykłady. 








5. Q p = { m p n |m, n ∈ Z}, gdzie p jest liczbą pierwszą, jest 

addytywną grupą abelową. 

6. Zbiór C n pierwiastków stopnia n z 1 jest grupą multiplikatywną 

skończoną rzędu n. 

Grupy




7. Niech Ω będzie zbiorem, a S(Ω) niech oznacza zbiór 

odwzorowań odwracalnych Ω −→ Ω. Zbiór S(Ω) z działaniem 

składania tworzy grupę. 

Grupy







8. W szczególności, gdy Ω = {1, 2, . . . , n},to S(Ω) jest grupą 

permutacji n -elementowych. Nazywamy ją grupą symetryczną i 

oznaczamy S n . 

Grupy










Grupa S n jest skończona; |S n | = n!. 

Grupy










Grupa S n jest skończona; |S n | = n!. 

Dla n > 2 grupy S n są nieabelowe. 

Grupy




9. Niech K będzie dowolnym ciałem. Zbiór macierzy nieosobliwych 

o wyrazach z K z działaniem mnożenia macierzy jest grupą. 

Oznaczamy ją GL(n, K) lub GL n (K) i nazywamy pełną grupą 

liniową. Jedynką tej grupy jest macierz jednostkowa; elementem 

odwrotnym do macierzy A jest macierz odwrotna A −1 . 

Grupy




W GL n (K) można rozpatrywać następujące podzbiory: 

a) SL n (K) = {A ∈ GL n (K) : det A = 1}; 

Grupy






b) D n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest diagonalna}; 

Grupy







c) T n (K) = {A ∈ GL n (K) : A jest górnotrójkątna}; 

Grupy








d) UT n (K) = {A ∈ T n (K) : A ma jedynki na przekątnej }. 

Grupy








d) UT n (K) = {A ∈ T n (K) : A ma jedynki na przekątnej }. 

Grupy te noszą nazwy: specjalna grupa liniowa, grupa diagonalna, 

grupa trójkątna, grupa unitrójkątna. 

Grupy

Podgrupy 




Jeśli podzbiór H grupy G jest zamknięty ze względu na mnożenie 

(tj. a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H), to ograniczenie operacji mnożenia do H 

jest działaniem na H. 

Grupy

Podgrupy 







Jeżeli względem tego działania H jest grupą, to mówimy, że H 

jest podgrupą G i oznaczamy H G. 

Grupy

Podgrupy 









Jeśli H G i H ≠ G, to piszemy H < G. 

Grupy

Podgrupy 









Jeśli H G i H ≠ G, to piszemy H < G. 

Lemat 

Następujące warunki są równoważne: 

a) H G; 

b) ∀ a,b∈H ab −1 ∈ H; 

c) ∀ a,b∈H ab ∈ H ∧ a −1 ∈ H. 

Grupy




Przykłady. 

1. Z < Q p < Q < R < C. Zauważmy, że Z = ⋂ Q p . 

Grupy




Przykłady. 


2. Q ∗ < R ∗ < C ∗ . 

Grupy




Przykłady. 


2. Q ∗ < R ∗ < C ∗ . 

3. C p < C p 2 < . . . < C p ∞. Ponadto C p ∞ = ⋃ C p n. 

Grupy




Przykłady. 


2. Q ∗ < R ∗ < C ∗ . 

3. C p < C p 2 < . . . < C p ∞. Ponadto C p ∞ = ⋃ C p n. 

4. Dla n 2: SL n (K) < GL n (K), D n (K) < T n (K), 

UT n (K) < T n (K) < GL n (K). 

Grupy




Iloczyny proste grup 

Niech G, H będą dowolnymi grupami. Wtedy w zbiorze G × H 

można określić działanie wzorem: 

(g, h) ◦ (g ′ , h ′ ) = (gg ′ , hh ′ ) 

dla dowolnych (g, g ′ ), (h, h ′ ) ze zbioru G × H. 

Grupy







(g, h) ◦ (g ′ , h ′ ) = (gg ′ , hh ′ ) 


Zbiór G × H z tym działaniem tworzy grupę, której elementem 

neutralnym jest (e G , e H ). Nazywamy ją iloczynem prostym grup G 

i H. 

Grupy







(g, h) ◦ (g ′ , h ′ ) = (gg ′ , hh ′ ) 




i H. 

Zbiory G ′ = {(g, e H ) : g ∈ G} i H ′ = {(e G , h) : h ∈ H} są 

podgrupami grupy G × H i oczywiście są izomorficzne odpowiednio 

z G i H. 

Grupy







(g, h) ◦ (g ′ , h ′ ) = (gg ′ , hh ′ ) 




i H. 

Zbiory G ′ = {(g, e H ) : g ∈ G} i H ′ = {(e G , h) : h ∈ H} są 

podgrupami grupy G × H i oczywiście są izomorficzne odpowiednio 

z G i H. 

U w a g a. W przypadku grup abelowych mówimy raczej: suma 

prosta grup. 

Grupy




Zbiory generujące 

Przekrój dowolnego zbioru podgrup danej grupy jest także 

podgrupą. 

Grupy






podgrupą. 

Niech M — dowolny podzbiór grupy G. Przekrój (M) wszystkich 

podgrup grupy G zawierających M nazywamy podgrupą 

generowaną przez M, a zbiór M — zbiorem generatorów dla (M). 

Grupy






podgrupą. 

Niech M — dowolny podzbiór grupy G. Przekrój (M) wszystkich 

podgrup grupy G zawierających M nazywamy podgrupą 

generowaną przez M, a zbiór M — zbiorem generatorów dla (M). 

Grupę mającą skończony zbiór generatorów nazywamy skończenie 

generowaną. 

Grupy




Twierdzenie 

Jeśli M jest podzbiorem grupy G, to 

(M) = {a ε 1 

1 aε 2 

2 · · · aεm m : a i ∈ M, ε i = ±1, m = 1, 2, . . .}. 

Grupy




Twierdzenie 


(M) = {a ε 1 

1 aε 2 

2 · · · aεm m : a i ∈ M, ε i = ±1, m = 1, 2, . . .}. 

D o w ó d. Oznaczmy prawą część przez H. Ponieważ (M) zawiera 

wszystkie a i ∈ M, więc (M) H. 

Grupy




Twierdzenie 


(M) = {a ε 1 

1 aε 2 

2 · · · aεm m : a i ∈ M, ε i = ±1, m = 1, 2, . . .}. 



Z drugiej strony, jeśli x, y ∈ H, to xy −1 ∈ H, więc H jest 

podgrupą, oczywiście zawierającą M. 

Grupy




Twierdzenie 


(M) = {a ε 1 

1 aε 2 

2 · · · aεm m : a i ∈ M, ε i = ±1, m = 1, 2, . . .}. 



Z drugiej strony, jeśli x, y ∈ H, to xy −1 ∈ H, więc H jest 

podgrupą, oczywiście zawierającą M. 

Stąd H ⊇ (M) i w końcu H = (M). 

Grupy




Przykłady. . Uwaga: jeśli zbiór M określony jest w postaci 

M = {. . . : . . .}, to będziemy pisać (. . . : . . .) zamiast 

({. . . : . . .}). 

Grupy






({. . . : . . .}). 

1. Z = (1). 

Grupy






({. . . : . . .}). 

1. Z = (1). 

2. Z n = (1(modn)). 

Grupy






({. . . : . . .}). 

1. Z = (1). 

2. Z n = (1(modn)). 

3. Q = ( 1 n : n = 1, 2, . . .). Grupy






({. . . : . . .}). 

1. Z = (1). 

2. Z n = (1(modn)). 

3. Q = ( 1 n 

: n = 1, 2, . . .). 

4. Q ∗ = (−1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .). 

Grupy






({. . . : . . .}). 

1. Z = (1). 

2. Z n = (1(modn)). 

3. Q = ( 1 n 

: n = 1, 2, . . .). 

4. Q ∗ = (−1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .). 

5. C n = (ε n ), ε n = cos 2π n + i sin 2π n Ġrupy






({. . . : . . .}). 

1. Z = (1). 

2. Z n = (1(modn)). 

3. Q = ( 1 n 

: n = 1, 2, . . .). 

4. Q ∗ = (−1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .). 

5. C n = (ε n ), ε n = cos 2π n + i sin 2π n . 

6. C p ∞ = (ε p m : m = 1, 2, . . .). 

Grupy




Funkcja Eulera 

Definicja 

Funkcję ϕ Eulera przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej 

liczbę liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej 

samej. 

Grupy




Funkcja Eulera 

Definicja 

Funkcję ϕ Eulera przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej 

liczbę liczb względnie z nią pierwszych nie większych od niej 

samej. 

Przykład. Początkowe wartości funkcji Eulera: 

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 

ϕ(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 

Grupy




Własności funkcji Eulera 

1 Dla dowolnej liczby pierwszej p jest ϕ(p) = p − 1 

Grupy






2 Jeżeli liczby całkowite m, n są względnie pierwsze, to 

ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). 

Grupy







ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). 

3 Jeżeli n = p k , to ϕ(n) = p k − p k−1 

Grupy







ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). 


4 Jeżeli n nie ma wielokrotnych dzielników pierwszych, tj. 

n = p 1 p 2 . . . p k gdzie liczby p i są pierwsze i parami różne 

(i = 1, . . . , k), to ϕ(n) = (p 1 − 1)(p 2 − 1) . . . (p k − 1). 

Grupy







ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). 


4 Jeżeli n nie ma wielokrotnych dzielników pierwszych, tj. 

n = p 1 p 2 . . . p k gdzie liczby p i są pierwsze i parami różne 

(i = 1, . . . , k), to ϕ(n) = (p 1 − 1)(p 2 − 1) . . . (p k − 1). 

5 Dla dowolnej liczby całkowitej n zachodzi: ∑ m|n 

ϕ(m) = n 

(sumowanie przebiega wszystkie dzielniki liczby n). 

Grupy





Jeżeli n = ∏ k 

i=1 p k i 

i 

jest rozkładem liczby n na czynniki 

pierwsze to ϕ(n) = ∏ k 

i=1 ϕ(p k i 

i 

) 

Dla każdej liczby naturalnej n: 

) ) 

) 

ϕ(n) = n 

(1 − 1 p 1 

(1 − 1 p 2 

. . . 

(1 − 1 p k 

, 

gdzie p 1 , p 2 , . . . , p k są wszystkimi czynnikami pierwszymi 

liczby n liczonymi bez powtórzeń. 

Grupy





Jeżeli n = ∏ k 

i=1 p k i 

i 

jest rozkładem liczby n na czynniki 

pierwsze to ϕ(n) = ∏ k 

i=1 ϕ(p k i 

i 

) 

Dla każdej liczby naturalnej n: 

) ) 

) 

ϕ(n) = n 

(1 − 1 p 1 

(1 − 1 p 2 

. . . 

(1 − 1 p k 

, 

gdzie p 1 , p 2 , . . . , p k są wszystkimi czynnikami pierwszymi 

liczby n liczonymi bez powtórzeń. 

Wykażemy ostatni wzór w oparciu o zasadę włączania-wyłączania. 

Grupy




Zasada włączania-wyłączania 

Twierdzenie (zasada włączania-wyłączania) 

Niech |S| oznacza liczbę elementów zbioru S. Jeżeli A 1 , A 2 , . . . , A r 

są zbiorami skończonymi, to 

| ⋃ r 

i=1 A i | = 

= ∑ r 

i=1 |A i | − ∑ r 

+ ∑ r 

i,j,k=1 

i≠j,i≠k,j≠k 

i,j=1 

i≠j 

|A i ∩ A j |+ 

|A i ∩ A j ∩ A k | + · · · + 

+ (−1) r−1 |A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A r |. 

Grupy




Dowód wzoru 

Załóżmy, że liczba n ma następujący rozkład na czynniki pierwsze: 

n = p e 1 

1 pe 2 

2 . . . per r . 

i niech A i będzie zbiorem wszystkich liczb m ∈ {1, 2, . . . , n} 

takich, że p i dzieli m. Można wykazać, że 

Grupy




Dowód wzoru 


n = p e 1 

1 pe 2 

2 . . . per r . 



|A i | = n p i 

, |A i ∩ A j | = n 

p i p j 

dla i ≠ j, 

Grupy




Dowód wzoru 


n = p e 1 

1 pe 2 

2 . . . per r . 



|A i | = n p i 

, |A i ∩ A j | = n 

p i p j 

dla i ≠ j, 

|A i ∩ A j ∩ A k | = n 

p i p j p k 

dla różnych i, j, k, 

Grupy




Dowód wzoru 


n = p e 1 

1 pe 2 

2 . . . per r . 



|A i | = n p i 

, |A i ∩ A j | = n 

p i p j 

dla i ≠ j, 

|A i ∩ A j ∩ A k | = n 

p i p j p k 

dla różnych i, j, k, 

itd. Ponieważ ϕ(n) = n − | ⋃ r 

i=1 A i |, więc stosując zasadę 

włączania-wyłączania i powyższe równości otrzymujemy: 

ϕ(n) = n− ∑ n 

+ ∑ n 

− 

n +. . . = n 

p i p i p j p i p j p k 

(1 − 1 p 1 

) (1 − 1 p 2 

) 

. . . 

( 

1 − p 

Grupy




Podgrupy cykliczne 

Podgrupa (a) generowana przez jeden element a nazywa się 

cykliczną. 

Grupy




Podgrupy cykliczne 

Podgrupa (a) generowana przez jeden element a nazywa się 

cykliczną. 

Z twierdzenia o podgrupie generowanej przez zbiór wynika, że 

(a) = {a n : n = 0, ±1, ±2, . . .}. 

Dwa pierwsze przykłady wyżej pokazują, że Z i Z n są grupami 

cyklicznymi. 

Grupy




Twierdzenie 

(i) Każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. 

Grupy




Twierdzenie 


(ii) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n. Element a k 

generuje podgrupę rzędu 

n 

NWD(k,n) . 

Grupy




Twierdzenie 




n 

NWD(k,n) . 

(iv) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n a l – dodatnim 

dzielnikiem liczby n. Wtedy (a) zawiera ϕ(l) elementów rzędu 

l. 

Grupy




Twierdzenie 




n 

NWD(k,n) . 

(iv) Niech (a) będzie grupą cykliczną rzędu n a l – dodatnim 

dzielnikiem liczby n. Wtedy (a) zawiera ϕ(l) elementów rzędu 

l. 

(v) Grupa cykliczna rzędu n zawiera ϕ(n) generatorów. 

Generatorami są te i tylko te elementy a r dla których 

NWD(r, n) = 1. 

Grupy




Dowód (i) (dla grupy skończonej). Niech (a) będzie cykliczną 

grupą rzędu n, H ≠ {e} jej podgrupą. 

Grupy






Niech m będzie najmniejszą liczbą całkowitą o własności: 

a m ∈ H, 0 < m < n. 

Grupy







a m ∈ H, 0 < m < n. 

Oczywiście (a m ) ⊆ H. Wykażemy, że naprawdę (a m ) = H. 

Grupy







a m ∈ H, 0 < m < n. 


Weźmy dowolny element z H; musi on mieć postać a k , 0 k < n. 

Grupy







a m ∈ H, 0 < m < n. 



Podzielmy k przez m: k = mq + r, 0 r < m. Wtedy 

Grupy







a m ∈ H, 0 < m < n. 




a r = a k (a m ) −q ∈ H. 

Grupy







a m ∈ H, 0 < m < n. 




a r = a k (a m ) −q ∈ H. 

Ze sposobu wyboru liczby m wynika, że r = 0, a więc a k ∈ (a m ). 

Grupy







a m ∈ H, 0 < m < n. 




a r = a k (a m ) −q ∈ H. 


Dowód (iii). Niech n = dl. Na mocy (ii) |a k | = l wtedy, i tylko 

wtedy, gdy nwd(k, n) = d. 

Grupy







a m ∈ H, 0 < m < n. 




a r = a k (a m ) −q ∈ H. 




Zatem liczba elementów rzędu l jest liczbą tych k n, że 

nwd(k, n) = d. 

Grupy







a m ∈ H, 0 < m < n. 




a r = a k (a m ) −q ∈ H. 




Zatem liczba elementów rzędu l jest liczbą tych k n, że 

nwd(k, n) = d. 

Ale gdy k = dh, to 

nwd(k, n) = d ⇔ nwd(dh, dl) = d ⇔ nwd(h, l) = 1. 

Grupy




Przykład. Rozważmy grupę C n pierwiastków stopnia n z 1, 

generowaną przez ε 1 = e i 2π n . Przykładowo weźmy n = 12; wtedy 

generatorem jest liczba e i π 6 . Grupa ma 12 elementów: 

C 12 = {e i kπ 6 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}. 

Dzielnikami 12 są 1, 2 , 3, 4, 6, 12. 

Grupy




Przykład. Rozważmy grupę C n pierwiastków stopnia n z 1, 

generowaną przez ε 1 = e i 2π n . Przykładowo weźmy n = 12; wtedy 

generatorem jest liczba e i π 6 . Grupa ma 12 elementów: 

C 12 = {e i kπ 6 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}. 

Dzielnikami 12 są 1, 2 , 3, 4, 6, 12. 

l 1 2 3 4 6 12 

ϕ(l) 1 1 2 2 2 4 

liczby 1 e i π e i 2π 3 , e i 4π 3 e i π 2 , e i 3π 2 e i π 3 , e i 5π 3 e i π 6 , e i 5π 6 , e i 7π 6 , e i 11π 

6 

Grupy




Przykład. Rozważmy grupę O n obrotów płaszczyzny, generowaną 

przez obrót o 2π/n . Przykładowo weźmy n = 12; wtedy generatorem 

jest obrót o kąt π 6 

. Grupa ma 12 elementów: 

O 12 = {o kπ/6 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}. 

Dzielnikami 12 są 1, 2 ,3, 4, 6, 12. 

l 1 2 3 4 6 12 

ϕ(l) 1 1 2 2 2 4 

obroty id o π o 2π/3 , o 4π/3 o π/2 , o 3π/2 o π/3 , o 5π/3 o π/6 , o 5π/6 , o 7 

Grupy




Homomorfizmy 

Niech G, G ′ będą grupami. Odwzorowanie f : G −→ G ′ nazywamy 

homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b ∈ G spełniony jest 

warunek: 

f (ab) = f (a)f (b). 

Grupy




Homomorfizmy 



warunek: 

f (ab) = f (a)f (b). 

Homomorfizm różnowartościowy nazywamy monomorfizmem; 

Grupy




Homomorfizmy 



warunek: 

f (ab) = f (a)f (b). 


jeżeli obrazem G jest cała G ′ , to mówimy o epimorfizmie. 

Grupy




Homomorfizmy 



warunek: 

f (ab) = f (a)f (b). 



Homomorfizm, który jest monomorfizmem i epimorfizmem 

nazywamy izomorfizmem. 

Grupy




Homomorfizmy 



warunek: 

f (ab) = f (a)f (b). 





Jeśli G = G ′ , to homomorfizm nazywamy endomorfizmem; 

endomorfizm, który jest izomorfizmem, nazywamy 

automorfizmem. 

Grupy




Homomorfizmy 



warunek: 

f (ab) = f (a)f (b). 





Jeśli G = G ′ , to homomorfizm nazywamy endomorfizmem; 

endomorfizm, który jest izomorfizmem, nazywamy 

automorfizmem. 

Jeżeli istnieje izomorfizm f : G −→ G ′ , to grupy G i G ′ nazywamy 

izomorficznymi; piszemy wtedy G ∼ = G ′ . 

Grupy




Przykłady. 

1. Odwzorowanie Z −→ Z n przyporządkowujące liczbie jej resztę z 

dzielenia przez n jest epimorfizmem. 

Grupy




Przykłady. 



2. ln : R + −→ R oraz exp : R −→ R + są izomorfizmami. 

Grupy




Przykłady. 




3. det : GL n (K) −→ K ∗ jest epimorfizmem. 

Grupy




Przykłady. 




3. det : GL n (K) −→ K ∗ jest epimorfizmem. 

4. f : Z n → O n , f (k) = o 2kπ/n . 

Grupy




Z każdym homomorfizmem grup f : G −→ G ′ związane są dwie 

podgrupy: jądro ker f ⊆ G i obraz im f ⊆ G ′ : 

Grupy






ker f = {x ∈ G : f (x) = e}; 

Grupy






ker f = {x ∈ G : f (x) = e}; 

im f = {y ∈ G ′ : ∃ x∈G f (x) = y}. 

Grupy






ker f = {x ∈ G : f (x) = e}; 

im f = {y ∈ G ′ : ∃ x∈G f (x) = y}. 

Sprawdzimy, że są to rzeczywiście podgrupy. 

Jeśli a, b ∈ ker f , to f (ab −1 ) = f (a)f (b) −1 = ee = e, zatem 

ab −1 ∈ ker f . 

Grupy






ker f = {x ∈ G : f (x) = e}; 

im f = {y ∈ G ′ : ∃ x∈G f (x) = y}. 

Sprawdzimy, że są to rzeczywiście podgrupy. 

Jeśli a, b ∈ ker f , to f (ab −1 ) = f (a)f (b) −1 = ee = e, zatem 

ab −1 ∈ ker f . 

Jeśli c, d ∈ im f , to istnieją a, b ∈ G takie, że c = f (a), d = f (b). 

Zatem cd −1 = f (a)f (b) −1 = f (ab −1 ), więc cd −1 ∈ im f . 

Grupy




Warto także zauważyć, że 

ab −1 ∈ ker f ⇔ f (ab −1 ) = e ⇔ f (a) = f (b). Zatem jeżeli f jest 

monomorfizmem, to 

a ∈ ker f ⇒ ae −1 ∈ ker f ⇔ f (a) = f (e) ⇒ a = e, więc ker f = e. 

Odwrotnie, jeśli ker f = {e}, to 

f (a) = f (b) ⇔ ab −1 ∈ ker f ⇒ ab −1 = e ⇔ a = b. Wykazaliśmy 

więc, że homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, 

gdy ma jądro jednoelementowe. 

Grupy





S n jest grupą permutacji n-elementowych z działaniem składania. 

Grupy






Jak wiadomo, istnieje n! permutacji n-elementowych, więc 

|S n | = n!. 

Grupy







|S n | = n!. 

Permutacje oznaczać będziemy małymi literami greckimi (wyjątek 

— permutacja tożamościowa e). 

Grupy







|S n | = n!. 

Permutacje oznaczać będziemy małymi literami greckimi (wyjątek 

— permutacja tożamościowa e). 

Permutację π : i ↦→ π(i), i = 1, 2, . . . , n zapisuje się w dwóch 

rzędach: ( 

1 2 . . . n 

i 1 i 2 . . . i n 

) 

podając wszystkie wartości przekształcenia π: 

1 2 . . . n 

↓ ↓ · · · ↓ 

i 1 i 2 . . . i n 

. 

Grupy




Permutacje mnoży się zgodnie z prawem składania przekształceń. 

Jeżeli σ, τ ∈ S n , to (στ)(i) = σ(τ(i)). Np. dla 

( ) ( ) 

1 2 3 4 1 2 3 4 

σ = 

, τ = 

2 3 4 1 4 3 2 1 

Grupy






( ) ( ) 

1 2 3 4 1 2 3 4 

σ = 

, τ = 

2 3 4 1 4 3 2 1 

mamy 

στ = 

( 

1 2 3 4 

2 3 4 1 

) ( 

1 2 3 4 

4 3 2 1 

) 

= 

1 2 3 4 

↓ ↓ ↓ ↓ 

4 3 2 1 

↓ ↓ ↓ ↓ 

1 4 3 2 

= 

( 

1 2 3 4 

1 4 3 2 

Grupy






( ) ( ) 

1 2 3 4 1 2 3 4 

σ = 

, τ = 

2 3 4 1 4 3 2 1 

mamy 

στ = 

( 

1 2 3 4 

2 3 4 1 

Zauważmy, że 

( 

1 2 3 4 

τσ = 

4 3 2 1 

) ( 

1 2 3 4 

4 3 2 1 

) 

) ( 

1 2 3 4 

2 3 4 1 

= 

) 

1 2 3 4 

↓ ↓ ↓ ↓ 

4 3 2 1 

↓ ↓ ↓ ↓ 

1 4 3 2 

= 

= 

( 

1 2 3 4 

3 2 1 4 

( 

1 2 3 4 

1 4 3 2 

) 

, 

Grupy






( ) ( ) 

1 2 3 4 1 2 3 4 

σ = 

, τ = 

2 3 4 1 4 3 2 1 

mamy 

στ = 

( 

1 2 3 4 

2 3 4 1 

Zauważmy, że 

( 

1 2 3 4 

τσ = 

4 3 2 1 

) ( 

1 2 3 4 

4 3 2 1 

) 

) ( 

1 2 3 4 

2 3 4 1 

= 

) 

1 2 3 4 

↓ ↓ ↓ ↓ 

4 3 2 1 

↓ ↓ ↓ ↓ 

1 4 3 2 

= 

= 

( 

1 2 3 4 

3 2 1 4 

( 

1 2 3 4 

1 4 3 2 

) 

, 

więc στ ≠ τσ. 

Grupy




Twierdzenie Cayleya 

Twierdzenie (Cayleya) 

Każda grupa skończona jest izomorficzna z pewną grupą 

permutacji. 

Grupy







permutacji. 

D o w ó d. Niech G będzie grupą, |G| = n. Określimy 

odwzorowanie Γ : G → S(G) wzorem Γ(g) = γ, gdzie 

( ) 

g1 g 

γ = 

2 . . . g n 

∈ S(G). 

gg 1 gg 2 . . . gg n 

Grupy







permutacji. 



( ) 

g1 g 

γ = 

2 . . . g n 

∈ S(G). 

gg 1 gg 2 . . . gg n 

γ jest oczywiście permutacją. Sprawdzimy, że Γ jest izomorfizmem. 

Ponieważ dla x ∈ G, Γ(x)(g) = xg, więc 

Γ(ab)(g) = (ab)g = a(bg) = a(Γ(b)g) = Γ(a) (Γ(b)(g)) = 

= (Γ(a) ◦ Γ(b)) (g) 

Grupy







permutacji. 



( ) 

g1 g 

γ = 

2 . . . g n 

∈ S(G). 

gg 1 gg 2 . . . gg n 

γ jest oczywiście permutacją. Sprawdzimy, że Γ jest izomorfizmem. 

Ponieważ dla x ∈ G, Γ(x)(g) = xg, więc 

Γ(ab)(g) = (ab)g = a(bg) = a(Γ(b)g) = Γ(a) (Γ(b)(g)) = 

czyli Γ(ab) = Γ(a) ◦ Γ(b). 

= (Γ(a) ◦ Γ(b)) (g) 

Grupy





Odwzorowanie Γ jest różnowartościowe, bo jeśli Γ(a) = e, to 

a = ae G = Γ(a)(e G ) = e(e G ) = e G , 

Grupy





Odwzorowanie Γ jest różnowartościowe, bo jeśli Γ(a) = e, to 

a = ae G = Γ(a)(e G ) = e(e G ) = e G , 

więc a = e G . Zatem Γ ma jądro jednoelementowe, czyli jest 

monomorfizmem. 

Grupy




Rozkład permutacji na cykle 

 

 

 

 

 

 

 

Permutacje z S n można rozłożyć na iloczyn prostszych permutacji. 

Zauważmy np., że dla powyższych σ i τ można narysować grafy: 

4 

σ : 1 

3 τ : 4 1 3 

2 

2 

Grupy





 

 

 

 

 

 

 

Permutacje z S n można rozłożyć na iloczyn prostszych permutacji. 

Zauważmy np., że dla powyższych σ i τ można narysować grafy: 

4 

σ : 1 

3 τ : 4 1 3 

2 

2 

Naturalne będzie więc nazwanie permutacji σ cyklem o długości 4, 

a permutacji τ — iloczynem dwóch rozłącznych cykli długości 2. 

Grupy





Niech π będzie permutacją. Mówimy, że elementy i, j są 

π-równoważne, jeśli j = π s (i) dla pewnego s ∈ Z (π s oznacza 

s-krotne złożenie permutacji π). Tak zdefiniowana relacja jest 

relacją równoważności. 

Grupy




Twierdzenie (zasada abstrakcji) 

Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X . Wtedy 

dla dowolnych x, y ∈ X : 

1) x ∈ [y] ⇔ x ∼ y. 

2) [x] = [y] ⇔ x ∼ y. 

3) X = ⋃ x∈X [x]. 

4) [x] ∩ [y] ≠ ∅ ⇔ [x] = [y]. 

Grupy







1) x ∈ [y] ⇔ x ∼ y. 

2) [x] = [y] ⇔ x ∼ y. 

3) X = ⋃ x∈X [x]. 

4) [x] ∩ [y] ≠ ∅ ⇔ [x] = [y]. 

Zgodnie z zasadą abstrakcji uzyskujemy rozbicie zbioru 

Ω = {1, 2, . . . , n} 

Ω = Ω 1 ∪ · · · ∪ Ω p (1) 

na rozłączne klasy Ω 1 , . . . , Ω p , zwane π- orbitami. 

Grupy







1) x ∈ [y] ⇔ x ∼ y. 

2) [x] = [y] ⇔ x ∼ y. 

3) X = ⋃ x∈X [x]. 

4) [x] ∩ [y] ≠ ∅ ⇔ [x] = [y]. 

Zgodnie z zasadą abstrakcji uzyskujemy rozbicie zbioru 

Ω = {1, 2, . . . , n} 

Ω = Ω 1 ∪ · · · ∪ Ω p (1) 

na rozłączne klasy Ω 1 , . . . , Ω p , zwane π- orbitami. 

Każdy element i ∈ Ω należy więc do dokładnie jednej orbity. Liczbę 

l k = |Ω k | nazywamy długością orbity Ω k . Jeśli i ∈ Ω k , to 

Ω k = {i, π(i), . . . , π l k−1 (i)}. 

Grupy




Permutację 

π k = 

( 

i π(i) . . . π 

l k −2 (i) π lk−1 (i) 

π(i) π 2 (i) . . . π lk−1 (i) i 

) 

Grupy




Permutację 

π k = 

( 

i π(i) . . . π 

l k −2 (i) π lk−1 (i) 

π(i) π 2 (i) . . . π lk−1 (i) i 

) 

nazywamy cyklem długości l k . 

Grupy




Permutację 

π k = 

( 

i π(i) . . . π 

l k −2 (i) π lk−1 (i) 

π(i) π 2 (i) . . . π lk−1 (i) i 

) 

nazywamy cyklem długości l k . 

Cykle będziemy zapisywać w postaci jednego wiersza: 

( 

) 

π k = i π(i) . . . π lk−2 (i) π lk−1 (i) . 

Elementy te można oddzielać przecinkami lub nie. 

Grupy




Cykl π k pozostawia na miejscu wszystkie elementy zbioru Ω \ Ω k . 

Dlatego też uzasadnione jest nazywanie cykli π s i π t dla s ≠ t 

cyklami rozłącznymi. 

Grupy







Z rozbiciem zbioru Ω = Ω 1 ∪ · · · ∪ Ω p wiąże się zatem rozkład 

permutacji π na iloczyn 

π = π 1 π 2 · · · π p , (2) 

w którym wszystkie cykle π k są ze sobą przemienne. 

Grupy







Z rozbiciem zbioru Ω = Ω 1 ∪ · · · ∪ Ω p wiąże się zatem rozkład 

permutacji π na iloczyn 

π = π 1 π 2 · · · π p , (2) 

w którym wszystkie cykle π k są ze sobą przemienne. 

W zapisie tym zwykle pomijamy cykle o długości 1, np. 

( ) 

1 2 3 4 5 6 7 8 

π = 

∈ S 

2 3 4 5 1 7 6 8 8 (3) 

można zapisać: 

π = (1 2 3 4 5)(6 7)(8) = (1 2 3 4 5)(6 7). 

Grupy




Twierdzenie 

Każdą permutację π ≠ e w S n można przedstawić w postaci 

iloczynu cykli rozłącznych o długości większej lub równej 2. 

Rozkład taki jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności 

czynników. 

Grupy




Rozkład na cykle pozwala na łatwe znalezienie rzędu permutacji. 

Grupy





Wniosek 

Rząd permutacji π ∈ S n jest równy najmniejszej wspólnej 

wielokrotności długości cykli występujących w rozkładzie 

π = π 1 π 2 · · · π p . 

Grupy





Wniosek 



π = π 1 π 2 · · · π p . 

D o w ó d. Ponieważ cykle rozłączne są ze sobą przemienne, więc 

π s = π s 1π s 2 · · · π s p , s = 0, 1, 2, . . . 

Grupy





Wniosek 



π = π 1 π 2 · · · π p . 


π s = π s 1π s 2 · · · π s p , s = 0, 1, 2, . . . 

Cykle π 1 , π 2 , . . . , π p działają na różnych zbiorach Ω 1 , . . . , Ω p , więc 

π q = e ⇔ 

(π q k = e dla wszystkich k = 1, 2, . . . , p ) 

. 

Grupy





Wniosek 



π = π 1 π 2 · · · π p . 


π s = π s 1π s 2 · · · π s p , s = 0, 1, 2, . . . 

Cykle π 1 , π 2 , . . . , π p działają na różnych zbiorach Ω 1 , . . . , Ω p , więc 

π q = e ⇔ 

(π q k = e dla wszystkich k = 1, 2, . . . , p ) 

. 

Grupy




Aby π q k = e, to q musi być wielokrotnością długości cyklu l k. 

Grupy





Rzędem permutacji π jest zatem najmniejsza liczba q będąca 

wielokrotnością wszystkich liczb l k , czyli 

|π| = NWW(l 1 , . . . , l p ). 

Grupy





Rzędem permutacji π jest zatem najmniejsza liczba q będąca 

wielokrotnością wszystkich liczb l k , czyli 

|π| = NWW(l 1 , . . . , l p ). 

Np. rząd permutacji π = (1 2 3 4 5)(6 7)(8) = (1 2 3 4 5)(6 7) 

wynosi 10. 

Grupy




Przykład. Jaki jest maksymalny rząd elementów grupy S 8 

Grupy





Rozpatrując możliwe rozbicia liczby 8 na sumy: 

8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . . 

Grupy






8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . . 

dojdziemy do wniosku, że rzędami elementów różnych od e w S 8 

mogą być liczby 2,3,4,5,6,7,8,10,12,15. 

Grupy






8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . . 



Np. π = (1 2 3 4 5)(6 7 8) jest rzędu 15. 

Grupy






8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 3 + 5, 8 = 4 + 4, . . . 



Np. π = (1 2 3 4 5)(6 7 8) jest rzędu 15. 

Rząd grupy jest dużo większy: |S 8 | = 8! = 40320. 

Grupy




Cykl długości 2 nazywamy transpozycją. Z twierdzenia 6 wynika 

poniższy wniosek. 

Grupy






Wniosek 

Każda permutacja π ∈ S n jest iloczynem pewnej liczby 

transpozycji. 

Grupy






Wniosek 


transpozycji. 

D o w ó d. Po pierwsze, e = τ 2 dla dowolnej transpozycji τ. Po 

drugie, z twierdzenia 6 wynika, że wystarczy podać sposób 

rozkładu cyklu na transpozycje. Mamy np.: 

(1 2 . . . k −1 k) = (1 k)(1 k −1) · · · (1 3)(1 2), 

Grupy






Wniosek 


transpozycji. 

D o w ó d. Po pierwsze, e = τ 2 dla dowolnej transpozycji τ. Po 

drugie, z twierdzenia 6 wynika, że wystarczy podać sposób 

rozkładu cyklu na transpozycje. Mamy np.: 

a ogólniej: 

(1 2 . . . k −1 k) = (1 k)(1 k −1) · · · (1 3)(1 2), 

(a 1 a 2 . . . a k−1 a k ) = (a 1 a k )(a 1 a k−1 ) · · · (a 1 a 3 )(a 1 a 2 ). □ 

Grupy




Wniosek ten można wypowiedzieć inaczej: 

Wniosek 

Transpozycje tworzą zbiór generatorów dla S n . 

Grupy





Wniosek 


Oczywiście nie jest to minimalny zbiór generatorów, np.: 

S 3 = ( (1 2), (1 3), (2 3) ) = ( (1 2), (1 3) ) . 

Grupy





Wniosek 


Oczywiście nie jest to minimalny zbiór generatorów, np.: 

S 3 = ( (1 2), (1 3), (2 3) ) = ( (1 2), (1 3) ) . 

Twierdzenie (o generatorach grupy S n ) 

Następujące podzbiory są zbiorami generatorów grupy 

symetrycznej S n : 

a) wszystkie transpozycje elementów zbioru Ω = {1, 2, . . . , n}; 

b) {(1 2), (2 3), (3 4), . . . , (n−1 n)}; 

c) {(1 2), (1 3), (1 4), . . . , (1 n)}; 

d) {(1 2), (1 2 3 . . . n)}. 

Grupy




D o w ó d. a) jest treścią poprzedniego wniosku. 

b) Każdą transpozycję (ij), 1 i < j n można przedstawić w 

postaci: 

(i j) = (i i+1)(i+1 i+2) · · · (j−1 j)(j−2 j−1)(j−3 j−2) · · · (i+1 i+2)(i i+1). 

Na mocy a) zbiór wszystkich permutacji generuje S n , więc również 

zbiór transpozycji podany w b) ją generuje. 

Grupy






postaci: 




c) Teza wynika z równości (i j) = (1 i)(1 j)(1 i). 

Grupy






postaci: 




c) Teza wynika z równości (i j) = (1 i)(1 j)(1 i). 

d) Niech α = (1 2), β = (1 2 . . . n). Wtedy mamy kolejno 

β −1 = β n−1 (bo β n = e), (2 3) = βαβ −1 , (3 4) = β(2 3)β −1 , 

(4 5) = β(3 4)β −1 , . . ., (n−1 n) = β(n−2 n−1)β −1 . Na mocy b) 

zbiór {α, β} jest również zbiorem generatorów. 

Grupy




Warto także podkreślić, że rozkład permutacji na transpozycje nie 

jest jednoznaczny; więcej, różne rozkłady mogą mieć nawet różną 

liczbę czynników. Np. w S 4 mamy: 

(1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) = (1 3)(2 4)(1 2)(1 4). 

Grupy




Warto także podkreślić, że rozkład permutacji na transpozycje nie 

jest jednoznaczny; więcej, różne rozkłady mogą mieć nawet różną 

liczbę czynników. Np. w S 4 mamy: 

(1 2 3) = (1 3)(1 2) = (2 3)(1 3) = (1 3)(2 4)(1 2)(1 4). 

Można jednak wykazać, że jeśli jakiś rozkład permutacji na 

transpozycje ma parzystą liczbę czynników, to każdy inny ma także 

parzystą liczbę czynników. Innymi słowy, liczba ε π = (−1) k , gdzie 

k jest liczbą transpozycji w dowolnym rozkładzie permutacji π, jest 

niezmiennikiem permutacji. 

Grupy




Można udowodnić kolejno poniższe lematy. 

Lemat 

Niech π ∈ S n , niech τ ∈ S n będzie transpozycją. Liczby cykli 

występujących w rozkładach na cykle permutacji π i τπ różnią się 

o 1. 

Grupy




Można udowodnić kolejno poniższe lematy. 

Lemat 

Niech π ∈ S n , niech τ ∈ S n będzie transpozycją. Liczby cykli 

występujących w rozkładach na cykle permutacji π i τπ różnią się 

o 1. 

Lemat 

Jeżeli permutacja tożsamościowa e jest przedstawiona w postaci 

iloczynu k transpozycji, np. e = τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 , to liczba k jest 

parzysta. 

Grupy




Twierdzenie 

Jeżeli π ∈ S n jest na dwa sposoby przedstawiona w postaci 

iloczynu transpozycji, to albo w obu przedstawieniach liczba 

czynników jest parzysta, albo w obu — nieparzysta. 

Grupy




Twierdzenie 




D o w ó d. Niech π = τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 = σ l σ l−1 · · · σ 2 σ 1 będą 

dowolnymi przedstawieniami permutacji π ∈ S n w postaci iloczynu 

transpozycji. Wtedy: 

Grupy




Twierdzenie 







e = π −1 π = (σ l σ l−1 · · · σ 2 σ 1 ) −1 (τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 ) = 

= σ1 −1 2 · · · σl −1 τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 = 

= σ 1 σ 2 · · · σ l τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 

jest przedstawieniem permutacji tożsamościowej w postaci iloczynu 

k + l transpozycji. 

Grupy




Twierdzenie 







e = π −1 π = (σ l σ l−1 · · · σ 2 σ 1 ) −1 (τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 ) = 

= σ1 −1 2 · · · σl −1 τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 = 

= σ 1 σ 2 · · · σ l τ k τ k−1 · · · τ 2 τ 1 

jest przedstawieniem permutacji tożsamościowej w postaci iloczynu 

k + l transpozycji. 

Na mocy poprzedniego lematu k + l jest liczbą parzystą, więc albo 

k, l są obie parzyste, lub obie nieparzyste. 

Grupy




Permutację π ∈ S n nazywamy parzystą, gdy ε π = 1 i nieparzystą, 

gdy ε π = −1. 

Grupy





gdy ε π = −1. 

Tak więc wszystkie transpozycje są permutacjami nieparzystymi. 

Grupy





gdy ε π = −1. 

Tak więc wszystkie transpozycje są permutacjami nieparzystymi. 

Można wykazać, że wszystkie permutacje parzyste zbioru 

n-elementowego (n 2) tworzą podgrupę A n grupy S n , rzędu n! 

2 . 

Jest to tzw. grupa alternująca. 

Grupy




Podobieństwo i sprzężenie 

Definicja 

Dwie permutacje π 1 i π 2 nazywamy podobnymi, jeżeli w ich 

rozkładach na cykle występuje tyle samo cykli tej samej 

długości. 

Grupy





Definicja 



długości. 

Przykład. Permutacje: 

π 1 = (1)(2)(3 4 5)(6 7 8 9 10) , π 2 = (1 2 3)(4)(5 6 7 8 9)(10) 

są podobne. 

Grupy





Definicja 



długości. 

Przykład. Permutacje: 

π 1 = (1)(2)(3 4 5)(6 7 8 9 10) , π 2 = (1 2 3)(4)(5 6 7 8 9)(10) 

są podobne. 

Nietrudno sprawdzić, że podobieństwo jest relacją równoważności 

w zbiorze S n . 

Grupy




Definicja 

Mówimy, że permutacja π 1 ∈ S n jest sprzężona z permutacją 

π 2 ∈ S n względem pewnej grupy permutacji G ⊆ S n , jeśli 

istnieje element π grupy G taki, że ππ 1 π −1 = π 2 . 

Grupy




Definicja 




Łatwo wykazać, że w zbiorze G sprzężenie względem G jest relacją 

równoważności. 

Grupy




Definicja 




Łatwo wykazać, że w zbiorze G sprzężenie względem G jest relacją 

równoważności. 

Klasy abstrakcji relacji sprzężenia (względem grupy G) w zbiorze G 

nazywamy klasami elementów sprzężonych w grupie G. 

Grupy




Twierdzenie 

Dwie permutacje π 1 , π 2 ∈ S n są sprzężone względem S n wtedy i 

tylko wtedy, gdy są podobne. 

Grupy




Twierdzenie 



D o w ó d. (⇒) Przykład: w S 4 rozważmy permutację π 1 = (132) i 

sprzężoną z nią π 2 = (34)π 1 (34). Wtedy π 2 = (142) jest podobna 

do π 1 . 

Grupy




Twierdzenie 



D o w ó d. (⇒) Przykład: w S 4 rozważmy permutację π 1 = (132) i 

sprzężoną z nią π 2 = (34)π 1 (34). Wtedy π 2 = (142) jest podobna 

do π 1 . 

Jeśli dany jest rozkład permutacji π 1 na cykle, to rozkład π 2 

otrzymujemy zastępując liczby ich obrazami przy permutacji π. 

Grupy




(⇐) Przykład: w S 5 rozważmy permutacje podobne (123)(45) i 

(143)(25). Określamy 

π = 

( 

1 2 3 4 5 

1 4 3 2 5 

Wtedy π(123)(45)π −1 = (143)(25). 

) 

= (24). 

Grupy




(⇐) Przykład: w S 5 rozważmy permutacje podobne (123)(45) i 

(143)(25). Określamy 

π = 

( 

1 2 3 4 5 

1 4 3 2 5 

Wtedy π(123)(45)π −1 = (143)(25). 

Ogolnie, niech permutacje 

) 

= (24). 

π 1 = (a 1 a 2 . . . a k )(b 1 . . . b l ) . . . (. . .), π 2 = (a ′ 1 a ′ 2 . . . a ′ k)(b ′ 1 . . . b ′ l) . . 

będą podobne. Niech 

( ) 

a1 a 

π = 

2 . . . a k b 1 b 2 . . . b l . . . 

a 1 ′ a 2 ′ . . . ′ a k ′ b 1 ′ b 2 ′ . . . ′ b l ′ ∈ S 

. . . n . 

Wtedy π 2 = ππ 1 π −1 . 

Grupy




W wielu zagadnieniach można utożsamiać permutacje podobne. 

Dlatego przydatne jest następujące pojęcie. 

Grupy






Definicja 

Niech w rozkładzie permutacji π ∈ S n na cykle występuje j k 

cykli o długości k, k = 1, 2, . . . , n. Jednomian 

z(π) = x j 1 

1 x j 2 

2 · · · x n 

jn 

nazywamy typem permutacji π. 

Grupy






Definicja 



z(π) = x j 1 

1 x j 2 

2 · · · x n 

jn 


Uwaga. Czasem typ oznacza się z(π) = 1 j 1 

2 j2 · · · n jn . 

Grupy






Definicja 



z(π) = x j 1 

1 x j 2 

2 · · · x n 

jn 


Uwaga. Czasem typ oznacza się z(π) = 1 j 1 

2 j2 · · · n jn . 

Definicja 

Indeksem cyklowym grupy permutacji G ⊆ S n nazywamy 

wielomian: 

Z(G) = 1 ∑ 

z(π). 

|G| 

π∈G 

Grupy




Przykład. Rozpatrzmy S 2 = {e, (12)}. Tutaj 

Z(S 2 ) = 1 2 (z(e) + z(12)) = 1 2 (x 2 1 + x 2). 

Grupy




Przykład. Rozpatrzmy S 2 = {e, (12)}. Tutaj 

Z(S 2 ) = 1 2 (z(e) + z(12)) = 1 2 (x 2 1 + x 2). 

Dla grupy S 3 mamy z kolei: 

Z(S 3 ) = 1 6 

6∑ 

z(π i ) = 1 6 (x 1 3 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 3 ) = 

i=1 

= 1 6 (x 3 1 + 3x 1 x 2 + 2x 3 ). 

Grupy




Indeks cyklowy grupy dwuścianu 

Definicja 

Grupę izometrii n-kąta foremnego (n 3) nazywamy grupą 

dwuścianu (diedralną) i ozn. D n . 

Grupy





Definicja 



|D n | = 2n, bo D n składa się z n obrotów i n symetrii osiowych. 

Grupa ta jest generowana np. przez obrót o kąt 2π/n i jedną 

symetrię osiową. 

Grupy





Definicja 






Każda izometria z D n da się opisać jako pewna permutacja 

wierzchołków, więc D n można traktować jako podgrupę grupy S n . 

Grupy





Definicja 






Każda izometria z D n da się opisać jako pewna permutacja 

wierzchołków, więc D n można traktować jako podgrupę grupy S n . 

Np. 

D 4 = {e, (1234), (13)(24), (1432), (12)(34), (14)(23), (13), (24)}. 

Grupy




Twierdzenie 

1) Jeżeli n = 2m + 1, to 

Z(D n ) = 1 ( x 

n 

2n 1 + nx 1 x2 m + ∑ 

ϕ(d)x n/d ) 

d . 

d|n,d≠1 

Grupy




Twierdzenie 

1) Jeżeli n = 2m + 1, to 

Z(D n ) = 1 ( x 

n 

2n 1 + nx 1 x2 m + ∑ 

ϕ(d)x n/d ) 

d . 

d|n,d≠1 

2) Jeżeli n = 2m, to 

Z(D n ) = 1 ( x 

n 

2n 1 + mx1 2 x2 m−1 + (m + 1)x2 m + ∑ 

ϕ(d)x n/d ) 

d . 

d|n,d≠1,2 

dla n = 2m. 

D o w ó d. Symetrie osiowe dają w D n składniki: 

nx 1 x2 m dla n = 2m + 1, 

mx1 2x 2 m−1 + mx2 m Grupy




Natomiast obroty tworzą podgrupę cykliczną. Niech g będzie 

generatorem — jest to cykl rzędu n, np. g = (123 . . . n). Wtedy g k 

ma rząd 

n 

d = 

nwd(k, n) 

i jest iloczynem n/d cykli długości d, tj. z(g k ) = x n/d 

d 

. 

Grupy




Natomiast obroty tworzą podgrupę cykliczną. Niech g będzie 

generatorem — jest to cykl rzędu n, np. g = (123 . . . n). Wtedy g k 

ma rząd 

n 

d = 

nwd(k, n) 

i jest iloczynem n/d cykli długości d, tj. z(g k ) = x n/d 

d 

. 

Elementów rzędu d jest tyle, ile jest takich k, że nwd(k, n) = n/d, 

tj. ϕ(d) (bo nwd(k, d) = 1 ⇔ nwd(k · n 

d , d · n 

d ) = n d 

). Dla n = 2m 

istnieje jeden obrót typu x2 m. 

Grupy




Warstwa grupy względem podgrupy 

Definicja 

Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H 

wyznaczoną przez a ∈ G nazywamy zbiór: 

aH = {ah : h ∈ H}. 

Grupy





Definicja 



aH = {ah : h ∈ H}. 

Przykłady. 

1. Niech G = Q ∗ , H = {3 n : n ∈ Z}. Wtedy np. 

5H = {5 · 3 n : n ∈ Z}. 

Grupy





Definicja 



aH = {ah : h ∈ H}. 

Przykłady. 


5H = {5 · 3 n : n ∈ Z}. 

2. W zapisie addytywnym: niech G = Z, H = 3Z = {3k : k ∈ Z}; 

wtedy 5 + H = {5 + 3k : k ∈ Z}. 

Grupy





Definicja 



aH = {ah : h ∈ H}. 

Przykłady. 


5H = {5 · 3 n : n ∈ Z}. 

2. W zapisie addytywnym: niech G = Z, H = 3Z = {3k : k ∈ Z}; 

wtedy 5 + H = {5 + 3k : k ∈ Z}. 

3. G = GL n (K), H = SL n (K). Dla A ∈ GL n (K) mamy: 

AH = {AB : B ∈ SL n (K)} = {C : det C = det A}. 

Grupy




Lemat 

Niech H G. b ∈ aH ⇔ a −1 b ∈ H. 

Grupy




Lemat 


Lemat 

Relacja : 

a ∼ b ⇔ a −1 b ∈ H 

jest relacją równoważności w zbiorze G. Klasami abstrakcji tej 

relacji są warstwy G względem H. 

Grupy




Lemat 


Lemat 

Relacja : 

a ∼ b ⇔ a −1 b ∈ H 

jest relacją równoważności w zbiorze G. Klasami abstrakcji tej 

relacji są warstwy G względem H. 

Wniosek 

Niech H G. Każdy element grupy G należy do dokładnie jednej 

warstwy względem H. 

Grupy




Wniosek (twierdzenie Lagrange’a) 

Rząd podgrupy grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy. 

Grupy






D o w ó d. Niech |G| = n. Każdy element G należy do dokładnie 

jednej warstwy względem H. Ponadto każda warstwa ma tyle 

elementów, ile podgrupa H. Zatem: 

Grupy









n = liczba warstw · liczba elementów warstwy, 

Grupy










n = liczba warstw · |H|. 

Grupy










n = liczba warstw · |H|. 

Zatem |H| jest dzielnikiem |G|. 

Grupy




Wniosek 

Jeżeli grupa G ma rząd będący liczbą pierwszą p, to jest cykliczna. 

Grupy




Wniosek 

Jeżeli grupa G ma rząd będący liczbą pierwszą p, to jest cykliczna. 

D o w ó d. Jeżeli a ∈ G jest rzędu n, to {e, a, . . . , a n−1 } jest 

podgrupą cykliczną rzędu n. Zatem n|p. 

Definicja 

Zbiór warstw G względem H nazywamy zbiorem ilorazowym 

grupy G przez podgrupę H i oznaczamy G/H. Moc zbioru G/H 

nazywamy indeksem podgrupy H w grupie G ; oznaczenie 

(G : H). 

Grupy




W zbiorze ilorazowym można wprowadzić działanie, ale trzeba 

więcej założyć o H. 

Definicja 

Podgrupę H grupy G nazywamy podgrupą normalną lub 

dzielnikiem normalnym (oznaczenie : H ⊳ G), jeżeli spełniony 

jest warunek: 

∀ g∈G ∀ h∈H g −1 hg ∈ H. 

Grupy




W zbiorze ilorazowym można wprowadzić działanie, ale trzeba 

więcej założyć o H. 

Definicja 

Podgrupę H grupy G nazywamy podgrupą normalną lub 

dzielnikiem normalnym (oznaczenie : H ⊳ G), jeżeli spełniony 

jest warunek: 

∀ g∈G ∀ h∈H g −1 hg ∈ H. 

Warunki równoważne: 

∀ g∈G gH = Hg ; ∀ g∈G g −1 Hg ⊆ H. 

Grupy




Przykłady. 

1. Jeżeli G jest abelowa, to każda podgrupa jest normalna. 

Grupy




Przykłady. 


2. SL n (K) jest normalna w GL n (K). 

Grupy




Przykłady. 



3. W grupie S 3 podgrupa H = {e, (1 2)} nie jest normalna, bo dla 

g = (1 2 3), gH = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}. 

Grupy




Przykłady. 




g = (1 2 3), gH = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}. 

Lemat 

Niech f : G −→ G ′ będzie homomorfizmem. Wtedy ker f ⊳ G. 

Grupy




Przykłady. 




g = (1 2 3), gH = {(1 2 3), (1 3)}, ale Hg = {(1 2 3), (2 3)}. 

Lemat 

Niech f : G −→ G ′ będzie homomorfizmem. Wtedy ker f ⊳ G. 

D o w ó d. Dla g ∈ G, h ∈ ker f mamy 

f (g −1 hg) = f (g) −1 f (h)f (g) = f (g) −1 f (g) = e, więc 

g −1 hg ∈ ker f . 

Grupy




Twierdzenie 

Jeżeli H ⊳ G, to działanie: 

aH · bH = abH 

wprowadza w zbiorze ilorazowym G/H strukturę grupy, zwanej 

grupą ilorazową G przez H. Warstwa H = eH jest jedynką w G/H, 

a elementem odwrotnym do aH jest a −1 H. 

Grupy




Twierdzenie 






D o w ó d. Sprawdzimy, że działanie jest dobrze określone, tj. 

(aH = a ′ H , bH = b ′ H) =⇒ abH = a ′ b ′ H. 

Grupy




Twierdzenie 






D o w ó d. Sprawdzimy, że działanie jest dobrze określone, tj. 

(aH = a ′ H , bH = b ′ H) =⇒ abH = a ′ b ′ H. 

Mamy : a ′ b ′ H = a ′ (b ′ H) = a ′ (bH) = a ′ (Hb) = (a ′ H)b = (aH)b = 

a(Hb) = a(bH) = abH. 

Grupy




Twierdzenie (podstawowe o homomorfizmach) 

. Niech f : G −→ G ′ będzie homomorfizmem grup z jądrem 

H = ker f . Wtedy H ⊳ G oraz G/H ∼ = f (G). Na odwrót, jeśli 

H ⊳ G, to istnieje grupa G ′ (mianowicie G/H) i epimorfizm 

π : G −→ G ′ o jądrze H. 

Grupy




 

Twierdzenie (podstawowe o homomorfizmach) 

. Niech f : G −→ G ′ będzie homomorfizmem grup z jądrem 

H = ker f . Wtedy H ⊳ G oraz G/H ∼ = f (G). Na odwrót, jeśli 

H ⊳ G, to istnieje grupa G ′ (mianowicie G/H) i epimorfizm 

π : G −→ G ′ o jądrze H. 

G π G/ ker f 

f 

¯f 

 

G ′ 

U w a g a. π nazywamy homomorfizmem kanonicznym 

(naturalnym). 

Grupy




D o w ó d. Wiemy już, że H ⊳ G. Określamy odwzorowanie 

¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g). 

Grupy





¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g). 

Odwzorowanie ¯f jest dobrze określone, bo jeśli g 1 H = g 2 H, to 

g1 −1 g 2 ∈ H, czyli f (g1 −1 g 2) = e, tj. f (g 1 ) = f (g 2 ). 

Grupy





¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g). 



Dalej, ¯f jest homomorfizmem, bo ¯f (g 1 H · g 2 H) = ¯f (g 1 g 2 H) = 

f (g 1 g 2 ) = f (g 1 )f (g 2 ) = ¯f (g 1 H)¯f (g 2 H). 

Grupy





¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g). 




f (g 1 g 2 ) = f (g 1 )f (g 2 ) = ¯f (g 1 H)¯f (g 2 H). Ponadto ¯f jest 

monomorfizmem, bo jeśli ¯f (gH) = e, to f (g) = e czyli g ∈ H, 

więc gH = H. 

Grupy





¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g). 






więc gH = H. 

Oczywiście ¯f (G/H) = f (G), czyli obraz ¯f jest taki sam jak obraz 

f . Zatem f jest szukanym izomorfizmem. 

Grupy





¯f : G/H −→ G ′ , ¯f (gH) = f (g). 






więc gH = H. 

Oczywiście ¯f (G/H) = f (G), czyli obraz ¯f jest taki sam jak obraz 

f . Zatem f jest szukanym izomorfizmem. 

Odwrotnie, niech H ⊳ G. Określamy π : G −→ G/H wzorem 

π(g) = gH. Odwzorowanie π ma wtedy wszystkie żądane 

własności. 

Grupy




Niekiedy grupa jest izomorficzna z iloczynem prostym swoich 

podgrup. 

Grupy





podgrup. 

Twierdzenie 

Niech G będzie grupą, a A i B jej dzielnikami normalnymi. Jeżeli 

A ∩ B = {e} i AB = G, to G ∼ = A × B. 

Grupy





podgrup. 

Twierdzenie 


A ∩ B = {e} i AB = G, to G ∼ = A × B. 

D o w ó d. Każdy element g ∈ G można w sposób jednoznaczny(!) 

przedstawić w postaci iloczynu g = ab, a ∈ A, b ∈ B. Określamy 

f : G −→ A × B wzorem f (g) = (a, b). To odwzorowanie jest 

izomorfizmem. 

Grupy





podgrup. 

Twierdzenie 


A ∩ B = {e} i AB = G, to G ∼ = A × B. 





Twierdzenie 

Niech G = A × B. Wtedy G/A ∼ = B. 

Grupy





podgrup. 

Twierdzenie 


A ∩ B = {e} i AB = G, to G ∼ = A × B. 





Twierdzenie 

Niech G = A × B. Wtedy G/A ∼ = B. 

D o w ó d. Niech f : G −→ B, f (a, b) = b. Wtedy f jest 

epimorfizmem z jądrem A. 

Grupy




Przykład. Rozpatrzmy odwzorowanie | | (moduł) 

przyporządkowujące każdej liczbie zespolonej jej wartość 

bezwzględną. Ponieważ |z 1 z 2 | = |z 1 | · |z 2 | więc jest to 

homomorfizm grupy multiplikatywnej C ∗ w grupę multiplikatywną 

R ∗ + liczb nieujemnych. 

Grupy









Jądrem tego homomorfizmu jest grupa C 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. 

Grupy










Grupa ilorazowa C ∗ /C 1 jest izomorficzna z grupą R ∗ +. 

Grupy











Geometrycznie, elementami grupy ilorazowej są okręgi o środku w 

początku układu współrzędnych. Iloczynem dwu takich okręgów o 

promieniach r 1 i r 2 jest okrąg o promieniu r 1 r 2 . 

Grupy














Grupa R ∗ + jest także podgrupą w C ∗ ; łatwo zauważyć, że jest to 

jądro homomorfizmu arg : C ∗ −→ R (R — grupa addytywna). 

Grupy














Grupa R ∗ + jest także podgrupą w C ∗ ; łatwo zauważyć, że jest to 

jądro homomorfizmu arg : C ∗ −→ R (R — grupa addytywna). 

Widać, że R ∗ + ∩ C 1 = {1} oraz R ∗ +C 1 = C ∗ . Zatem C ∗ ∼ = C 1 × R ∗ +. 

Grupy




Przykład. Niech ϕ : C ∗ → C ∗ będzie określone wzorem 

ϕ(z) = z3 . Sprawdzić, że ϕ jest homomorfizmem, wyznaczyć 

|z| 3 

ker ϕ i im ϕ, przedstawić graficznie oba zbiory i narysować warstwę 

e i π/4 ker ϕ. 

Grupy






|z| 3 



Rozwiązanie. C ∗ jest grupą z mnożeniem. Sprawdzamy, czy ϕ jest 

homomorfizmem: 

Grupy






|z| 3 





ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3 

|z 1 z 2 | 3 = Grupy






|z| 3 





ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3 

|z 1 z 2 | 3 = z3 1 z3 2 

|z 1 | 3 |z 2 | 3 = Grupy






|z| 3 





ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3 

|z 1 z 2 | 3 = z3 1 z3 2 

|z 1 | 3 |z 2 | 3 = z3 1 

|z 1 | 3 · z2 

3 

|z 2 | 3 = 

Grupy






|z| 3 





ϕ(z 1 z 2 ) = (z 1z 2 ) 3 

|z 1 z 2 | 3 = z3 1 z3 2 

|z 1 | 3 |z 2 | 3 = z3 1 

|z 1 | 3 · z2 

3 

|z 2 | 3 = ϕ(z 1)ϕ(z 2 ). 

Grupy




Jądro tworzą rozwiązania równania ϕ(z) = 1, tzn. 

z 3 

|z| 3 = 1 

Grupy





z 3 

|z| 3 = 1 

Aby je rozwiązać można np. zapisać z w postaci wykładniczej: 

z = re i α . Wtedy 

Grupy





z 3 

|z| 3 = 1 



(re i α ) 3 

|re i α | 3 = 1, 

Grupy





z 3 

|z| 3 = 1 



(re i α ) 3 

|re i α | 3 = 1, 

e 3 i α = 1 

Grupy





z 3 

|z| 3 = 1 



(re i α ) 3 

|re i α | 3 = 1, 

e 3 i α = 1 

3α = 2kπ, k ∈ Z. 

Grupy





z 3 

|z| 3 = 1 



(re i α ) 3 

|re i α | 3 = 1, 

e 3 i α = 1 

3α = 2kπ, k ∈ Z. 

Zatem r jest dowolne, a α ma 3 wartości: 0, 2π/3, 4π/3: 

ker ϕ = {r, re 2 i π/3 , re 4 i π/3 : r ∈ R + }. 

Grupy





z 3 

|z| 3 = 1 



(re i α ) 3 

|re i α | 3 = 1, 

e 3 i α = 1 

3α = 2kπ, k ∈ Z. 

Zatem r jest dowolne, a α ma 3 wartości: 0, 2π/3, 4π/3: 

ker ϕ = {r, re 2 i π/3 , re 4 i π/3 : r ∈ R + }. 

Geometrycznie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, 

nachylone do osi rzeczywistej pod kątami 0, 2π/3, 4π/3. 

Grupy




Z kolei obraz homomorfizmu to zbiór liczb postaci ϕ(re i α ) = e 3 i α , 

α ∈ R. 

Grupy





α ∈ R. 

Jest to więc okrąg jednostkowy. 

Grupy





α ∈ R. 


Warstwa: 

e i π/4 ker ϕ = {re i π/4·e 2k i π/3 : k = 0, 1, 2} = {re i π/4 , re i(π/4+2π/3) , re i(π/4 

Grupy





α ∈ R. 


Warstwa: 

e i π/4 ker ϕ = {re i π/4·e 2k i π/3 : k = 0, 1, 2} = {re i π/4 , re i(π/4+2π/3) , re i(π/4 

Geometrycznie są to 3 półproste wychodzące z początku układu, 

nachylone do osi rzeczywistej pod kątami π 4 , 11π 

12 , 19π 

12 . 

Grupy

Dr Maciej Grzesiak Podręcznik: W.J.Gilbert, W.K.Nicholson, Algebra ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?