Treść wykładu

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Treść wykładu
Podprzestrzenie niezmiennicze.
Wektory i wartości własne.
Diagonalizacja macierzy.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Podprzestrzenie niezmiennicze
Definicja
Niech f : V → V będzie przekształceniem liniowym.
Podprzestrzeń W ⊂ V nazywamy niezmienniczą względem f ,
jeżeli f (w) ∈ W dla każdego w ∈ W .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Podprzestrzenie niezmiennicze: przykłady
1. Dla dowolnego f : V → V istnieją co najmniej dwie
podprzestrzenie niezmiennicze: podprzestrzeń zerowa {0} i cała
przestrzeń V .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Podprzestrzenie niezmiennicze: przykłady
1. Dla dowolnego f : V → V istnieją co najmniej dwie
podprzestrzenie niezmiennicze: podprzestrzeń zerowa {0} i cała
przestrzeń V .
2. Jeżeli f jest obrotem przestrzeni R 3 dokoła pewnej osi
przechodzącej przez 0, to podprzestrzeniami niezmienniczymi są:
oś obrotu i płaszczyzna prostopadła do osi i przechodząca przez 0.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Podprzestrzenie niezmiennicze: przykłady
1. Dla dowolnego f : V → V istnieją co najmniej dwie
podprzestrzenie niezmiennicze: podprzestrzeń zerowa {0} i cała
przestrzeń V .
2. Jeżeli f jest obrotem przestrzeni R 3 dokoła pewnej osi
przechodzącej przez 0, to podprzestrzeniami niezmienniczymi są:
oś obrotu i płaszczyzna prostopadła do osi i przechodząca przez 0.
3. Jeżeli f jest jednokładnością płaszczyzny R 2 o środku w
początku układu (i dowolnej skali), to każda podprzestrzeń jest
niezmiennicza.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Definicja
Niech f : V → V będzie przekształceniem liniowym. Wektor
v ∈ V , v ≠ 0, spełniający związek f (v) = λv dla pewnego λ ∈ K
nazywamy wektorem własnym, a odpowiadającą liczbę λ —
wartością własną przekształcenia liniowego f .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Definicja
Niech f : V → V będzie przekształceniem liniowym. Wektor
v ∈ V , v ≠ 0, spełniający związek f (v) = λv dla pewnego λ ∈ K
nazywamy wektorem własnym, a odpowiadającą liczbę λ —
wartością własną przekształcenia liniowego f .
Jeżeli v jest wektorem własnym, to wektory postaci αv tworzą
jednowymiarową podprzestrzeń niezmienniczą.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Definicja
Niech f : V → V będzie przekształceniem liniowym. Wektor
v ∈ V , v ≠ 0, spełniający związek f (v) = λv dla pewnego λ ∈ K
nazywamy wektorem własnym, a odpowiadającą liczbę λ —
wartością własną przekształcenia liniowego f .
Jeżeli v jest wektorem własnym, to wektory postaci αv tworzą
jednowymiarową podprzestrzeń niezmienniczą.
Odwrotnie, jeśli W jest jednowymiarową podprzestrzenią
niezmienniczą, to każdy wektor tej podprzestrzeni jest wektorem
własnym.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Twierdzenie (o istnieniu)
Jeżeli V jest skończenie wymiarową przestrzenią zespoloną, to
każde przekształcenie liniowe f : V → V ma przynajmniej jeden
wektor własny.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Twierdzenie (o istnieniu)
Jeżeli V jest skończenie wymiarową przestrzenią zespoloną, to
każde przekształcenie liniowe f : V → V ma przynajmniej jeden
wektor własny.
D o w ó d. Niech A = [a ij ] będzie macierzą przekształcenia f w
pewnej bazie przestrzeni liniowej V . Jeżeli v = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) jest
wektorem własnym, tj. f (v) = λv dla pewnego λ ∈ K, to:
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Twierdzenie (o istnieniu)
Jeżeli V jest skończenie wymiarową przestrzenią zespoloną, to
każde przekształcenie liniowe f : V → V ma przynajmniej jeden
wektor własny.
D o w ó d. Niech A = [a ij ] będzie macierzą przekształcenia f w
pewnej bazie przestrzeni liniowej V . Jeżeli v = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) jest
wektorem własnym, tj. f (v) = λv dla pewnego λ ∈ K, to:
Av T = λv T
(v T oznacza macierz jednokolumnową — transpozycję wektora v).
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Ta równość wektorowa jest równoważna układowi równań:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = λx 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = λx 2
, (1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n = λx n
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Ta równość wektorowa jest równoważna układowi równań:
czyli
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = λx 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = λx 2
, (1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n = λx n
(a 11 −λ)x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = 0
a 21 x 1 + (a 22 −λ)x 2 + · · · + a 2n x n = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + (a nn −λ)x n = 0
. (2)
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Układ taki ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
liczba λ spełnia warunek:
a 11 −λ a 12 · · · a 1n
a 12 a 22 −λ · · · a 2n
= 0. (3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∣ a n1 a n2 · · · a nn −λ ∣
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Układ taki ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
liczba λ spełnia warunek:
a 11 −λ a 12 · · · a 1n
a 12 a 22 −λ · · · a 2n
= 0. (3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∣ a n1 a n2 · · · a nn −λ ∣
Lewa strona tej równości jest wielomianem zmiennej λ stopnia n.
Na mocy zasadniczego twierdzenia algebry równanie (3) ma co
najmniej jeden pierwiastek λ 0 .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Układ taki ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
liczba λ spełnia warunek:
a 11 −λ a 12 · · · a 1n
a 12 a 22 −λ · · · a 2n
= 0. (3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∣ a n1 a n2 · · · a nn −λ ∣
Lewa strona tej równości jest wielomianem zmiennej λ stopnia n.
Na mocy zasadniczego twierdzenia algebry równanie (3) ma co
najmniej jeden pierwiastek λ 0 .
Jeżeli (x 1 , x 2 , . . . , x n ) jest jakimkolwiek rozwiązaniem niezerowym
układu otrzymanego z układu (2) po podstawieniu λ = λ 0 , to
wektor (x 1 , x 2 , . . . , x n ) jest własny.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Zbiór wszystkich wektorów własnych odpowiadających tej samej
wartości własnej λ jest podprzestrzenią (bo jest to zbiór rozwiązań
układu jednorodnego).
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Zbiór wszystkich wektorów własnych odpowiadających tej samej
wartości własnej λ jest podprzestrzenią (bo jest to zbiór rozwiązań
układu jednorodnego).
Wymiar tej podprzestrzeni, nazywanej podprzestrzenią własną i
oznaczanej E λ , nazywamy geometryczną krotnością wartości
własnej (w odróżnieniu od krotności algebraicznej, tj. krotności
wartości własnej jako pierwiastka równania (3)).
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Równanie
∣
a 11 −λ a 12 · · · a 1n
a 12 a 22 −λ · · · a 2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a n1 a n2 · · · a nn −λ
= 0. (4)
∣
można zapisać krótko:
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Równanie
∣
a 11 −λ a 12 · · · a 1n
a 12 a 22 −λ · · · a 2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a n1 a n2 · · · a nn −λ
= 0. (4)
∣
można zapisać krótko:
det(A − λI) = 0
lub
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Równanie
∣
a 11 −λ a 12 · · · a 1n
a 12 a 22 −λ · · · a 2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a n1 a n2 · · · a nn −λ
= 0. (4)
∣
można zapisać krótko:
lub
det(A − λI) = 0
|A − λI| = 0.
Nazywamy je równaniem charakterystycznym przekształcenia f , a
wielomian tworzący lewą stronę tego równania — wielomianem
charakterystycznym przekształcenia f .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład Obliczyć wartości i wektory własne macierzy:
⎡
⎤
1 3 0
⎢
⎥
A = ⎣ 3 −2 −1 ⎦ .
0 −1 1
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład Obliczyć wartości i wektory własne macierzy:
⎡
⎤
1 3 0
⎢
⎥
A = ⎣ 3 −2 −1 ⎦ .
0 −1 1
Piszemy równanie charakterystyczne:
1−λ 3 0
3 −2−λ −1
= 0,
∣ 0 −1 1−λ ∣
czyli
−λ 3 + 13λ − 12 = 0.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład Obliczyć wartości i wektory własne macierzy:
⎡
⎤
1 3 0
⎢
⎥
A = ⎣ 3 −2 −1 ⎦ .
0 −1 1
Piszemy równanie charakterystyczne:
1−λ 3 0
3 −2−λ −1
= 0,
∣ 0 −1 1−λ ∣
czyli
−λ 3 + 13λ − 12 = 0.
Pierwiastkami tego równania są −4, 1, 3. Macierz ma więc trzy
wartości własne. Obliczymy teraz wektory własne.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Dla λ = −4 układ (2) przyjmuje postać:
5x + 3y = 0
3x + 2y − z = 0
−y + 5z = 0
Rozwiązaniem układu są liczby x = −3k, y = 5k, z = k (k ∈ R).
Zatem wektory własne są postaci k(−3, 5, 1) (k ∈ R).
.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Analogicznie, dla λ = 1 układ (2) przyjmuje postać:
3y = 0
3x − 3y − z = 0
−y = 0
Znajdujemy: x = k, y = 0, z = 3k (k ∈ R). Zatem wektory własne
są postaci k(1, 0, 3), k ∈ R.
.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Dla λ = 3 mamy:
−2x + 3y = 0
3x − 5y − z = 0
−y − 2z = 0
skąd x = 3k, y = 2k, z = −k (k ∈ R). Wektory własne:
k(3, 2, −1), k ∈ R.
,
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
Definicja
Macierze A i B nazywamy podobnymi, gdy istnieje taka
macierz nieosobliwa P, że B = P −1 AP.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
Definicja
Macierze A i B nazywamy podobnymi, gdy istnieje taka
macierz nieosobliwa P, że B = P −1 AP.
Twierdzenie
Jeżeli macierze A i B są podobne, to mają ten sam wyznacznik,
ten sam rząd, ten sam wielomian charakterystyczny i te same
wartości własne.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
D o w ó d (częściowy). Niech B = P −1 AP dla pewnej macierzy
nieosobliwej P. Wtedy
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
D o w ó d (częściowy). Niech B = P −1 AP dla pewnej macierzy
nieosobliwej P. Wtedy
det B =
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
D o w ó d (częściowy). Niech B = P −1 AP dla pewnej macierzy
nieosobliwej P. Wtedy
det B = det(P −1 AP) =
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
D o w ó d (częściowy). Niech B = P −1 AP dla pewnej macierzy
nieosobliwej P. Wtedy
det B = det(P −1 AP) = det P −1 det A det P =
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
D o w ó d (częściowy). Niech B = P −1 AP dla pewnej macierzy
nieosobliwej P. Wtedy
det B = det(P −1 AP) = det P −1 det A det P = 1 det A det P =
det P
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
D o w ó d (częściowy). Niech B = P −1 AP dla pewnej macierzy
nieosobliwej P. Wtedy
det B = det(P −1 AP) = det P −1 det A det P = 1 det A det P = det A
det P
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
D o w ó d (częściowy). Niech B = P −1 AP dla pewnej macierzy
nieosobliwej P. Wtedy
det B = det(P −1 AP) = det P −1 det A det P = 1 det A det P = det A
det P
więc wyznacznik jest ten sam.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
Sprawdzimy jeszcze równość wielomianów charakterystycznych:
det(P −1 AP − λI) = det(P −1 AP − P −1 λIP) =
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
Sprawdzimy jeszcze równość wielomianów charakterystycznych:
det(P −1 AP − λI) = det(P −1 AP − P −1 λIP) =
= det(P −1 (A − λI)P) =
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
Sprawdzimy jeszcze równość wielomianów charakterystycznych:
det(P −1 AP − λI) = det(P −1 AP − P −1 λIP) =
= det(P −1 (A − λI)P) =
= det(P −1 ) det(A − λI) det P =
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze podobne
Sprawdzimy jeszcze równość wielomianów charakterystycznych:
det(P −1 AP − λI) = det(P −1 AP − P −1 λIP) =
= det(P −1 (A − λI)P) =
= det(P −1 ) det(A − λI) det P =
= det(A − λI).
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Działania na macierzach diagonalnych
Potęgowanie macierzy diagonalnej:
⎡
⎢
⎣
⎤
λ 1 0 0 . . . 0
0 λ 2 0 . . . 0
0 0 λ 3 . . . 0
⎥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎦
0 0 0 . . . λ n
n
⎡
=
⎢
⎣
λ n 1 0 0 . . . 0
0 λ n 2 0 . . . 0
0 0 λ n 3 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . λ n n
⎤
,
⎥
⎦
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Działania na macierzach diagonalnych
Jeśli p(t) jest wielomianem, a A jest macierzą diagonalną, to
⎡
(
p
⎢
⎣
⎤
λ 1 0 0 . . . 0
0 λ 2 0 . . . 0
0 0 λ 3 . . . 0
⎥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎦
0 0 0 . . . λ n
⎡
)
=
⎢
⎣
p(λ 1 ) 0 0 . . . 0
0 p(λ 2 ) 0 . . . 0
0 0 p(λ 3 ) . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . p(λ n )
⎤
⎥
⎦
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Działania na macierzach podobnych do diagonalnych
Jeśli A = P −1 BP, gdzie det P ≠ 0, to dla dowolnego n ∈ N:
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Działania na macierzach podobnych do diagonalnych
Jeśli A = P −1 BP, gdzie det P ≠ 0, to dla dowolnego n ∈ N:
A n = (P −1 BP) n = P −1 BP · P −1 BP · · · P −1 BP = P −1 B n P,
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Działania na macierzach podobnych do diagonalnych
Jeśli A = P −1 BP, gdzie det P ≠ 0, to dla dowolnego n ∈ N:
A n = (P −1 BP) n = P −1 BP · P −1 BP · · · P −1 BP = P −1 B n P,
a w konsekwencji dla dowolnego wielomianu p(t):
p(A) = P −1 p(B)P.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Działania na macierzach podobnych do diagonalnych
Jeśli A = P −1 BP, gdzie det P ≠ 0, to dla dowolnego n ∈ N:
A n = (P −1 BP) n = P −1 BP · P −1 BP · · · P −1 BP = P −1 B n P,
a w konsekwencji dla dowolnego wielomianu p(t):
p(A) = P −1 p(B)P.
Jeśli P jest macierzą diagonalizującą macierz A, to obliczanie
potęg i wielomianów macierzy A można sprowadzić do dwóch
prostych czynności:
obliczenia potęgi (lub wielomianu) macierzy diagonalnej;
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Działania na macierzach podobnych do diagonalnych
Jeśli A = P −1 BP, gdzie det P ≠ 0, to dla dowolnego n ∈ N:
A n = (P −1 BP) n = P −1 BP · P −1 BP · · · P −1 BP = P −1 B n P,
a w konsekwencji dla dowolnego wielomianu p(t):
p(A) = P −1 p(B)P.
Jeśli P jest macierzą diagonalizującą macierz A, to obliczanie
potęg i wielomianów macierzy A można sprowadzić do dwóch
prostych czynności:
obliczenia potęgi (lub wielomianu) macierzy diagonalnej;
przemnożenia przez P i P −1 .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład . Dla macierzy
⎡
A =
⎢
⎣
0 −2 0
−2 0 2
0 2 −1
⎤
⎥
⎦ , P = 1 3
⎡
⎢
⎣
2 −2 1
1 2 2
2 1 −2
⎤
⎥
⎦
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład . Dla macierzy
⎡
A =
⎢
⎣
0 −2 0
−2 0 2
0 2 −1
⎤
⎥
⎦ , P = 1 3
⎡
⎢
⎣
2 −2 1
1 2 2
2 1 −2
⎤
⎥
⎦
mamy
⎡
⎢
A = P ⎣
0 0 0
0 3 0
0 0 −3
⎤
⎥
⎦ P −1
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład . Dla macierzy
⎡
A =
⎢
⎣
0 −2 0
−2 0 2
0 2 −1
⎤
⎥
⎦ , P = 1 3
⎡
⎢
⎣
2 −2 1
1 2 2
2 1 −2
⎤
⎥
⎦
mamy
Stąd np.
⎡
⎢
A = P ⎣
⎡
A 10 ⎢
= P ⎣
0 0 0
0 3 0
0 0 −3
⎤
⎥
⎦ P −1
⎤
0 0 0
0 3 10 ⎥
0
0 0 3 10
⎦ P −1
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą mającą n liniowo niezależnych wektorów
własnych v 1 , v 2 , . . . , v n . Niech λ i będzie wartością własną
odpowiadającą wektorowi własnemu v i (dla i = 1, 2, . . . , n), tj.
Av T i = λ i v T i .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą mającą n liniowo niezależnych wektorów
własnych v 1 , v 2 , . . . , v n . Niech λ i będzie wartością własną
odpowiadającą wektorowi własnemu v i (dla i = 1, 2, . . . , n), tj.
Av T i = λ i v T i .
Utwórzmy macierz P, której kolumnami są wektory v T 1 , vT 2 , ..., vT n :
P = [ v T 1 v T 2 ... v T n ].
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Twierdzenie
Niech A będzie macierzą mającą n liniowo niezależnych wektorów
własnych v 1 , v 2 , . . . , v n . Niech λ i będzie wartością własną
odpowiadającą wektorowi własnemu v i (dla i = 1, 2, . . . , n), tj.
Av T i = λ i v T i .
Utwórzmy macierz P, której kolumnami są wektory v T 1 , vT 2 , ..., vT n :
Wówczas:
P = [ v T 1 v T 2 ... v T n ].
⎡
P −1 AP =
⎢
⎣
⎤
λ 1 0 0 . . . 0
0 λ 2 0 . . . 0
0 0 λ 3 . . . 0
⎥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎦
0 0 0 . . . λ n
czyli macierz A jest podobna do macierzy diagonalnej.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład diagonalizacji
Weźmy macierz z poprzedniego przykładu:
⎡
⎤
1 3 0
⎢
⎥
A = ⎣ 3 −2 −1 ⎦ .
0 −1 1
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład diagonalizacji
Weźmy macierz z poprzedniego przykładu:
⎡
⎤
1 3 0
⎢
⎥
A = ⎣ 3 −2 −1 ⎦ .
0 −1 1
Z jej wektorów własnych tworzymy macierz P:
⎡
⎤
−3 1 3
⎢
⎥
P = ⎣ 5 0 2 ⎦ .
1 3 −1
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład diagonalizacji
Weźmy macierz z poprzedniego przykładu:
⎡
⎤
1 3 0
⎢
⎥
A = ⎣ 3 −2 −1 ⎦ .
0 −1 1
Z jej wektorów własnych tworzymy macierz P:
⎡
⎤
−3 1 3
⎢
⎥
P = ⎣ 5 0 2 ⎦ .
1 3 −1
Jej macierz odwrotna to:
P −1 =
⎡
− 3
⎤
1 1
35 7 35
⎢ 1
3 ⎥
⎣ 10
0
10 ⎦ .
3 1
14 7
− 1
14
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Mamy zatem
⎡
⎢
⎣
− 3
⎤ ⎡
1 1
35 7 35
1
3 ⎥ ⎢
10
0
10 ⎦· ⎣
3 1
14 7
− 1
14
1 3 0
3 −2 −1
0 −1 1
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦· ⎣
−3 1 3
5 0 2
1 3 −1
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
−4 0 0
0 1 0
0 0 3
⎤
⎥
⎦ .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Mamy zatem
⎡
⎢
⎣
− 3
⎤ ⎡
1 1
35 7 35
1
3 ⎥ ⎢
10
0
10 ⎦· ⎣
3 1
14 7
− 1
14
1 3 0
3 −2 −1
0 −1 1
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦· ⎣
−3 1 3
5 0 2
1 3 −1
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
−4 0 0
0 1 0
0 0 3
⎤
⎥
⎦ .
A więc np.
⎡
⎢
⎣
1 3 0
3 −2 −1
0 −1 1
⎤10
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
−3 1 3
5 0 2
1 3 −1
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦· ⎣
4 10 ⎤ ⎡
0 0
⎥ ⎢
0 1 0 ⎦· ⎣
0 0 3 10
− 3 1 1
35 7 35
1
3
10
0
10
3 1
14 7
− 1
14
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład Wyznaczyć wektory własne dla A =
⎡
⎢
⎣
4 −5 2
5 −7 3
6 −9 4
⎤
⎥
⎦.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład Wyznaczyć wektory własne dla A =
⎡
⎢
⎣
4 −5 2
5 −7 3
6 −9 4
Wielomian charakterystyczny:
4 − λ −5 2
k1+k2+k3
c(λ) =
5 −7 − λ 3
=
∣ 6 −9 4 − λ ∣ ∣
1 −5 2
= (1 − λ)
1 −7 − λ 3
= · · · = (1 − λ)λ 2 .
∣ 1 −9 4 − λ ∣
Zatem wartości własne to 0 i 1.
⎤
⎥
⎦.
1 − λ −5 2
1 − λ −7 − λ 3
1 − λ −9 4 − λ
∣
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Dla λ = 0 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o
macierzy A − 0 · I = A i otrzymujemy wektor
v = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3).
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Dla λ = 0 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o
macierzy A − 0 · I = A i otrzymujemy wektor
v = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3).
Dla λ = 1 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o
macierzy A − 1 · I. Otrzymujemy wektor v = (b, b, b) = b(1, 1, 1).
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Dla λ = 0 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o
macierzy A − 0 · I = A i otrzymujemy wektor
v = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3).
Dla λ = 1 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o
macierzy A − 1 · I. Otrzymujemy wektor v = (b, b, b) = b(1, 1, 1).
Tym razem jest za mało wektorów, aby przeprowadzić
diagonalizację.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Dla λ = 0 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o
macierzy A − 0 · I = A i otrzymujemy wektor
v = (a, 2a, 3a) = a(1, 2, 3).
Dla λ = 1 rozwiązujemy (metodą eliminacji) układ jednorodny o
macierzy A − 1 · I. Otrzymujemy wektor v = (b, b, b) = b(1, 1, 1).
Tym razem jest za mało wektorów, aby przeprowadzić
diagonalizację.
Uwaga. Wartość własna λ = 0 ma krotność algebraiczną 2, ale
krotność geometryczną 1.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Z poprzedniego przykładu widać, że nie wszystkie macierze mają
wystarczającą liczbę wektorów własnych (mogą ich wcale nie mieć;
przykładem jest np. macierz obrotu).
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Z poprzedniego przykładu widać, że nie wszystkie macierze mają
wystarczającą liczbę wektorów własnych (mogą ich wcale nie mieć;
przykładem jest np. macierz obrotu).
Twierdzenie o istnieniu zapewnia wprawdzie, że każda macierz ma
zespoloną wartość własną, ale:
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Z poprzedniego przykładu widać, że nie wszystkie macierze mają
wystarczającą liczbę wektorów własnych (mogą ich wcale nie mieć;
przykładem jest np. macierz obrotu).
Twierdzenie o istnieniu zapewnia wprawdzie, że każda macierz ma
zespoloną wartość własną, ale:
1 nie wynika z tego istnienie n niezależnych liniowo wektorów
własnych;
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Z poprzedniego przykładu widać, że nie wszystkie macierze mają
wystarczającą liczbę wektorów własnych (mogą ich wcale nie mieć;
przykładem jest np. macierz obrotu).
Twierdzenie o istnieniu zapewnia wprawdzie, że każda macierz ma
zespoloną wartość własną, ale:
1 nie wynika z tego istnienie n niezależnych liniowo wektorów
własnych;
2 w praktyce, gdy macierz jest rzeczywista szukamy tylko
rzeczywistych wartości własnych, których może wcale nie być.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład . Macierz
A =
⎡
⎢
⎣
1 1 0
−2 1 0
0 0 3
ma wielomian charakterystyczny c(λ) = (3 − λ)(λ 2 − 2λ + 2).
⎤
⎥
⎦
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład . Macierz
A =
⎡
⎢
⎣
1 1 0
−2 1 0
0 0 3
ma wielomian charakterystyczny c(λ) = (3 − λ)(λ 2 − 2λ + 2).
Jest tylko jedna wartość własna, i jeden wektor własny (0, 0, 1).
⎤
⎥
⎦
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Przykład . Macierz
A =
⎡
⎢
⎣
1 1 0
−2 1 0
0 0 3
ma wielomian charakterystyczny c(λ) = (3 − λ)(λ 2 − 2λ + 2).
Jest tylko jedna wartość własna, i jeden wektor własny (0, 0, 1).
⎤
⎥
⎦
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Twierdzenie
Niech A będzie rzeczywistą macierzą symetryczną (tj. A = A T ).
Wtedy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są
rzeczywiste i istnieje n wartości własnych (licząc z krotnościami)
oraz n liniowo niezależnych wektorów własnych v 1 , v 2 , . . . , v n .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Twierdzenie
Niech A będzie rzeczywistą macierzą symetryczną (tj. A = A T ).
Wtedy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są
rzeczywiste i istnieje n wartości własnych (licząc z krotnościami)
oraz n liniowo niezależnych wektorów własnych v 1 , v 2 , . . . , v n .
Zweryfikujemy to twierdzenie dla macierzy stopnia 2. Macierz
[ ]
a b
b
c
ma wielomian charakterystyczny c(λ) = λ 2 − (a + c)λ + (ac − b 2 ).
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Twierdzenie
Niech A będzie rzeczywistą macierzą symetryczną (tj. A = A T ).
Wtedy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego są
rzeczywiste i istnieje n wartości własnych (licząc z krotnościami)
oraz n liniowo niezależnych wektorów własnych v 1 , v 2 , . . . , v n .
Zweryfikujemy to twierdzenie dla macierzy stopnia 2. Macierz
[ ]
a b
b
c
ma wielomian charakterystyczny c(λ) = λ 2 − (a + c)λ + (ac − b 2 ).
Zatem ∆ = (a − c) 2 + 4b 2 0. Zawsze istnieją pierwiastki
rzeczywiste.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Wniosek
Każda macierz symetryczna jest podobna do macierzy diagonalnej.
Przykład Macierz
A =
⎡
⎢
⎣
0 1 1
1 0 1
1 1 0
ma wielomian charakterystyczny
⎤
−λ 1 1
⎥
c(λ) =
1 −λ 1 ⎦ = (λ + 1) 2 (λ − 2).
∣ 1 1 −λ
⎤
⎥
⎦
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Wniosek
Każda macierz symetryczna jest podobna do macierzy diagonalnej.
Przykład Macierz
A =
⎡
⎢
⎣
0 1 1
1 0 1
1 1 0
ma wielomian charakterystyczny
⎤
−λ 1 1
⎥
c(λ) =
1 −λ 1 ⎦ = (λ + 1) 2 (λ − 2).
∣ 1 1 −λ
Wektory własne:
dla λ = −1: (1, −1, 0), (1, 0, −1);
dla λ = 2: (1, 1, 1).
⎤
⎥
⎦
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Przykład Dla wyżej zdefiniowanej macierzy A tworzymy macierz z
jej wektorów własnych:
⎡
⎤
1 1 1
⎢
⎥
P = ⎣ −1 0 1 ⎦
0 −1 1
i znajdujemy jej odwrotność:
⎡
P −1 = 1 3
⎢
⎣
1 −2 1
1 1 −2
1 1 1
⎤
⎥
⎦ .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Wtedy zachodzi równość
P −1 AP =
⎡
⎢
⎣
−1 0 0
0 −1 0
0 0 2
⎤
⎥
⎦ .
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Można wykazać, że suma wszystkich wartości własnych macierzy
jest równa sumie elementów przekątnej głównej tej macierzy.
Definicja
Śladem macierzy A = [a ij ] nazywamy sumę elementów jej
przekątnej głównej.
Wektory i wartości własne

Podprzestrzenie niezmiennicze
Wektory i wartości własne
Diagonalizacja macierzy
Macierze symetryczne
Można wykazać, że suma wszystkich wartości własnych macierzy
jest równa sumie elementów przekątnej głównej tej macierzy.
Definicja
Śladem macierzy A = [a ij ] nazywamy sumę elementów jej
przekątnej głównej.
Oznaczenie: tr A. Zatem z definicji:
tr A =
n∑
a ii ,
i=1
oraz jak można wykazać tr A = ∑ n
i=1 λ i .
Wektory i wartości własne