pochodne i ich zastosowania

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodne
Maciej Grzesiak
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Treść wykładu
Określenie pochodnej.
Podstawowe metody obliczania pochodnej.
Różniczka funkcji.
Pochodne wyższych rzędów.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Iloraz różnicowy
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Iloraz różnicowy
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Niech ∆x oznacza przyrost argumentu x (może być ujemny!).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Iloraz różnicowy
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Niech ∆x oznacza przyrost argumentu x (może być ujemny!).
Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi:
∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Iloraz różnicowy
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Niech ∆x oznacza przyrost argumentu x (może być ujemny!).
Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi:
∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ).
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym
przyrostowi argumentu ∆x nazywamy:
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Iloraz różnicowy
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Niech ∆x oznacza przyrost argumentu x (może być ujemny!).
Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi:
∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ).
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym
przyrostowi argumentu ∆x nazywamy:
∆y
∆x =
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Iloraz różnicowy
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Niech ∆x oznacza przyrost argumentu x (może być ujemny!).
Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi:
∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ).
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym
przyrostowi argumentu ∆x nazywamy:
∆y
∆x = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
.
∆x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Iloraz różnicowy
Iloraz różnicowy ma prostą interpretację geometryczną. Jeśli przez
dwa punkty
(x 0 , f (x 0 )), (x 0 + ∆x, f (x 0 + ∆x))
należące do wykresu funkcji y = f (x) poprowadzimy prostą
(nazywamy ją sieczną wykresu funkcji), to iloraz różnicowy jest
równy tangensowi jej kąta nachylenia do osi Ox.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Iloraz różnicowy
Iloraz różnicowy ma prostą interpretację geometryczną. Jeśli przez
dwa punkty
(x 0 , f (x 0 )), (x 0 + ∆x, f (x 0 + ∆x))
należące do wykresu funkcji y = f (x) poprowadzimy prostą
(nazywamy ją sieczną wykresu funkcji), to iloraz różnicowy jest
równy tangensowi jej kąta nachylenia do osi Ox.
Krócej: iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym
siecznej.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja ilorazu różnicowego
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Określenie pochodnej
Definicja
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Określenie pochodnej
Definicja
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Pochodną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę:
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Określenie pochodnej
Definicja
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Pochodną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę:
f ′ (x 0 ) =
lim
∆x→0
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
.
∆x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Określenie pochodnej
Definicja
Niech x 0 ∈ R i niech funkcja y = f (x) będzie określona w pewnym
otoczeniu punktu x 0 .
Pochodną funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę:
f ′ (x 0 ) =
lim
∆x→0
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
.
∆x
Liczbę tę oznaczamy y ′ (x 0 ), df
dx (x 0), dy
dx (x 0), lub Df (x 0 ).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x = Maciej Grzesiak Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x = (x 0 + ∆x) 2 − x 2 0
∆x
=
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x = (x 0 + ∆x) 2 − x 2 0
∆x
= 2x 0 · ∆x + (∆x) 2
∆x
=
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x = (x 0 + ∆x) 2 − x 2 0
∆x
= 2x 0 · ∆x + (∆x) 2
∆x
= 2x 0 + ∆x,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x = (x 0 + ∆x) 2 − x 2 0
∆x
i przechodzimy do granicy:
= 2x 0 · ∆x + (∆x) 2
∆x
= 2x 0 + ∆x,
lim (2x 0 + ∆x) =
∆x→0
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x = (x 0 + ∆x) 2 − x 2 0
∆x
i przechodzimy do granicy:
= 2x 0 · ∆x + (∆x) 2
∆x
= 2x 0 + ∆x,
lim (2x 0 + ∆x) = 2x 0 .
∆x→0
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x = (x 0 + ∆x) 2 − x 2 0
∆x
i przechodzimy do granicy:
= 2x 0 · ∆x + (∆x) 2
∆x
= 2x 0 + ∆x,
lim (2x 0 + ∆x) = 2x 0 .
∆x→0
Ta liczba jest pochodną funkcji f (x) = x 2 w punkcie x 0 . Można
zapisać
(x 2 ) ′ x=x 0
= 2x 0
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x 2
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x = (x 0 + ∆x) 2 − x 2 0
∆x
i przechodzimy do granicy:
= 2x 0 · ∆x + (∆x) 2
∆x
= 2x 0 + ∆x,
lim (2x 0 + ∆x) = 2x 0 .
∆x→0
Ta liczba jest pochodną funkcji f (x) = x 2 w punkcie x 0 . Można
zapisać
(x 2 ) ′ x=x 0
= 2x 0
Np. (x 2 ) ′ x=2 = 4, (x 2 ) ′ x=−3 = −6.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x
= sin(x 0+∆x)−sin x 0
∆x
=
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x
= sin(x 0+∆x)−sin x 0
∆x
= 2 sin x 0 +∆x−x 0 cos x 0 +∆x+x 0
2 2
∆x
=
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x
= sin(x 0+∆x)−sin x 0
∆x
= 2 sin x 0 +∆x−x 0 cos x 0 +∆x+x 0
2 2
∆x
=
=
∆x
2 sin 2 cos 2x 0 +∆x
2
∆x
,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x
= sin(x 0+∆x)−sin x 0
∆x
= 2 sin x 0 +∆x−x 0 cos x 0 +∆x+x 0
2 2
∆x
=
=
∆x
2 sin 2 cos 2x 0 +∆x
2
∆x
,
i przechodzimy do granicy:
2 sin ∆x
2
lim
cos 2x 0+∆x
2
∆x→0 ∆x
=
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x
= sin(x 0+∆x)−sin x 0
∆x
= 2 sin x 0 +∆x−x 0 cos x 0 +∆x+x 0
2 2
∆x
=
=
∆x
2 sin 2 cos 2x 0 +∆x
2
∆x
,
i przechodzimy do granicy:
2 sin ∆x
2
lim
cos 2x 0+∆x
2
∆x→0 ∆x
= lim
∆x→0
sin ∆x
2
∆x
2
· cos
(x 0 + ∆x )
=
2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x
= sin(x 0+∆x)−sin x 0
∆x
= 2 sin x 0 +∆x−x 0 cos x 0 +∆x+x 0
2 2
∆x
=
=
∆x
2 sin 2 cos 2x 0 +∆x
2
∆x
,
i przechodzimy do granicy:
2 sin ∆x
2
lim
cos 2x 0+∆x
2
∆x→0 ∆x
= lim
∆x→0
sin ∆x
2
∆x
2
· cos
(x 0 + ∆x )
= cos x 0 .
2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x
= sin(x 0+∆x)−sin x 0
∆x
= 2 sin x 0 +∆x−x 0 cos x 0 +∆x+x 0
2 2
∆x
=
=
∆x
2 sin 2 cos 2x 0 +∆x
2
∆x
,
i przechodzimy do granicy:
2 sin ∆x
2
lim
cos 2x 0+∆x
2
∆x→0 ∆x
= lim
∆x→0
sin ∆x
2
∆x
2
· cos
(x 0 + ∆x )
= cos x 0 .
2
Ta liczba jest pochodną funkcji f (x) = sin x w punkcie x 0 .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x
w punkcie x 0 ∈ R.
Tworzymy iloraz różnicowy
∆y
∆x
= sin(x 0+∆x)−sin x 0
∆x
= 2 sin x 0 +∆x−x 0 cos x 0 +∆x+x 0
2 2
∆x
=
=
∆x
2 sin 2 cos 2x 0 +∆x
2
∆x
,
i przechodzimy do granicy:
2 sin ∆x
2
lim
cos 2x 0+∆x
2
∆x→0 ∆x
= lim
∆x→0
sin ∆x
2
∆x
2
· cos
(x 0 + ∆x )
= cos x 0 .
2
Ta liczba jest pochodną funkcji f (x) = sin x w punkcie x 0 .
Np. (sin x) ′ x=π = cos π = −1.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja geometryczna pochodnej
Ponieważ:
1 iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej;
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja geometryczna pochodnej
Ponieważ:
1 iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej;
2 sieczna dąży do stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0 (gdy
∆x → 0);
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja geometryczna pochodnej
Ponieważ:
1 iloraz różnicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznej;
2 sieczna dąży do stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0 (gdy
∆x → 0);
więc mamy wniosek:
Pochodna funkcji w punkcie x 0 jest współczynnikiem kierunkowym
stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna jako współczynnik kierunkowy stycznej
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna jako współczynnik kierunkowy stycznej
Równanie stycznej do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie x 0 ma
postać:
y = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna jako współczynnik kierunkowy stycznej
Równanie stycznej do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie x 0 ma
postać:
y = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ).
Przykłady Napisać równania stycznych do wykresów podanych
funkcji we wskazanych punktach:
1) y = cos x, (π/2, 0);
2) y = 4√ x, (16, 2).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Kąt przecięcia krzywych
Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą
styczne do tych krzywych w punkcie ich przecięcia.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Kąt przecięcia krzywych
Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą
styczne do tych krzywych w punkcie ich przecięcia.
Niech krzywe y = f (x) i y = g(x) przecinają się w punkcie (x 0 , y 0 )
i tworzą kąt ϕ. Jeśli α, β, α β oznaczają kąty jakie tworzą
styczne do tych krzywych (w punkcie (x 0 , y 0 )) z osią Ox, to
ϕ = β − α lub ϕ = π + β − α,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Kąt przecięcia krzywych
Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą
styczne do tych krzywych w punkcie ich przecięcia.
Niech krzywe y = f (x) i y = g(x) przecinają się w punkcie (x 0 , y 0 )
i tworzą kąt ϕ. Jeśli α, β, α β oznaczają kąty jakie tworzą
styczne do tych krzywych (w punkcie (x 0 , y 0 )) z osią Ox, to
ϕ = β − α lub ϕ = π + β − α,
i ze wzoru na tangens różnicy kątów mamy:
tg α − tg β
tg(α − β) =
1 + tg α tg β .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Kąt przecięcia krzywych
Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą
styczne do tych krzywych w punkcie ich przecięcia.
Niech krzywe y = f (x) i y = g(x) przecinają się w punkcie (x 0 , y 0 )
i tworzą kąt ϕ. Jeśli α, β, α β oznaczają kąty jakie tworzą
styczne do tych krzywych (w punkcie (x 0 , y 0 )) z osią Ox, to
ϕ = β − α lub ϕ = π + β − α,
i ze wzoru na tangens różnicy kątów mamy:
tg α − tg β
tg(α − β) =
1 + tg α tg β .
Po uwzględnieniu, że tg α = f ′ (x 0 ), tg β = g ′ (x 0 ) otrzymamy wzór:
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Kąt przecięcia krzywych
Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą
styczne do tych krzywych w punkcie ich przecięcia.
Niech krzywe y = f (x) i y = g(x) przecinają się w punkcie (x 0 , y 0 )
i tworzą kąt ϕ. Jeśli α, β, α β oznaczają kąty jakie tworzą
styczne do tych krzywych (w punkcie (x 0 , y 0 )) z osią Ox, to
ϕ = β − α lub ϕ = π + β − α,
i ze wzoru na tangens różnicy kątów mamy:
tg α − tg β
tg(α − β) =
1 + tg α tg β .
Po uwzględnieniu, że tg α = f ′ (x 0 ), tg β = g ′ (x 0 ) otrzymamy wzór:
tg ϕ =
f ′ (x 0 ) − g ′ (x 0 )
∣1 + f ′ (x 0 )g ′ (x 0 ) ∣ .
Wartość bezwzględna daje pewność, że wyznaczone z tego wzoru
ϕ będzie miarą kąta ostrego.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Kąt przecięcia krzywych
Przez kąt przecięcia krzywych rozumiemy kąt ostry ϕ, jaki tworzą
styczne do tych krzywych w punkcie ich przecięcia.
Niech krzywe y = f (x) i y = g(x) przecinają się w punkcie (x 0 , y 0 )
i tworzą kąt ϕ. Jeśli α, β, α β oznaczają kąty jakie tworzą
styczne do tych krzywych (w punkcie (x 0 , y 0 )) z osią Ox, to
ϕ = β − α lub ϕ = π + β − α,
i ze wzoru na tangens różnicy kątów mamy:
tg α − tg β
tg(α − β) =
1 + tg α tg β .
Po uwzględnieniu, że tg α = f ′ (x 0 ), tg β = g ′ (x 0 ) otrzymamy wzór:
tg ϕ =
f ′ (x 0 ) − g ′ (x 0 )
∣1 + f ′ (x 0 )g ′ (x 0 ) ∣ .
Wartość bezwzględna daje pewność, że wyznaczone z tego wzoru
ϕ będzie miarą kąta ostrego.
Przykłady Obliczyć kąty Maciej przecięcia Grzesiak Pochodne krzywych:

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Twórcy rachunku różniczkowego
Isaac Newton (1643-1727)
Maciej Grzesiak
Pochodne
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716)

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(c) ′ = 0
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(c) ′ = 0
(x α ) ′ = αx α−1 , gdzie α ∈ R
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(c) ′ = 0
(x α ) ′ = αx α−1 , gdzie α ∈ R
(sin x) ′ = cos x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(c) ′ = 0
(x α ) ′ = αx α−1 , gdzie α ∈ R
(sin x) ′ = cos x
(cos x) ′ = − sin x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(c) ′ = 0
(x α ) ′ = αx α−1 , gdzie α ∈ R
(sin x) ′ = cos x
(cos x) ′ = − sin x
(tg x) ′ = 1
cos 2 x = 1 + tg2 x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(c) ′ = 0
(x α ) ′ = αx α−1 , gdzie α ∈ R
(sin x) ′ = cos x
(cos x) ′ = − sin x
(tg x) ′ = 1
cos 2 x = 1 + tg2 x
(ctg x) ′ =
−1
sin 2 x = −1 − ctg2 x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(a x ) ′ = a x ln a, gdzie 0 < a ≠ 1
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(a x ) ′ = a x ln a, gdzie 0 < a ≠ 1
(e x ) ′ = e x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(a x ) ′ = a x ln a, gdzie 0 < a ≠ 1
(e x ) ′ = e x
(log a x) ′ = 1
x ln a
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(a x ) ′ = a x ln a, gdzie 0 < a ≠ 1
(e x ) ′ = e x
(log a x) ′ = 1
x ln a
(ln x) ′ = 1 x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(arc sin x) ′ =
1
√
1 − x 2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(arc sin x) ′ =
(arc cos x) ′ =
1
√
1 − x 2
−1 √
1 − x 2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(arc sin x) ′ =
(arc cos x) ′ =
1
√
1 − x 2
−1 √
1 − x 2
(arc tg x) ′ = 1
1 + x 2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(arc sin x) ′ =
(arc cos x) ′ =
1
√
1 − x 2
−1 √
1 − x 2
(arc tg x) ′ = 1
1 + x 2
(arcctg x) ′ =
−1
1 + x 2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(sinh x) ′ = cosh x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(sinh x) ′ = cosh x
(cosh x) ′ = sinh x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(sinh x) ′ = cosh x
(cosh x) ′ = sinh x
(tgh x) ′ =
1
cosh 2 x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podstawowe wzory
(sinh x) ′ = cosh x
(cosh x) ′ = sinh x
(tgh x) ′ =
(ctgh x) ′ =
1
cosh 2 x
−1
sinh 2 x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x 0 , to
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x 0 , to
1. (f + g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) + g ′ (x 0 );
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x 0 , to
1. (f + g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) + g ′ (x 0 );
2. (f − g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) − g ′ (x 0 );
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x 0 , to
1. (f + g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) + g ′ (x 0 );
2. (f − g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) − g ′ (x 0 );
3. (cf ) ′ (x 0 ) = cf ′ (x 0 ), gdzie c ∈ R;
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x 0 , to
1. (f + g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) + g ′ (x 0 );
2. (f − g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) − g ′ (x 0 );
3. (cf ) ′ (x 0 ) = cf ′ (x 0 ), gdzie c ∈ R;
4. (fg) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g ′ (x 0 );
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne w punkcie x 0 , to
1. (f + g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) + g ′ (x 0 );
2. (f − g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) − g ′ (x 0 );
3. (cf ) ′ (x 0 ) = cf ′ (x 0 ), gdzie c ∈ R;
4. (fg) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g ′ (x 0 );
( ) ′
5. f
g (x0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 )−f (x 0 )g ′ (x 0 )
g 2 (x 0
,
)
o ile g(x 0 ) ≠ 0.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ =
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ = 2(x 4 ) ′ − 4(x 3 ) ′ + 3(x) ′ =
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ = 2(x 4 ) ′ − 4(x 3 ) ′ + 3(x) ′ = 8x 3 − 12x 2 + 3
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ = 2(x 4 ) ′ − 4(x 3 ) ′ + 3(x) ′ = 8x 3 − 12x 2 + 3
( x 2 − 1) ′
x 2 =
+ 1
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ = 2(x 4 ) ′ − 4(x 3 ) ′ + 3(x) ′ = 8x 3 − 12x 2 + 3
( x 2 − 1) ′
x 2 = (x2 −1) ′·(x2 +1)−(x 2 −1)·(x 2 +1) ′
=
+ 1
(x 2 +1) 2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ = 2(x 4 ) ′ − 4(x 3 ) ′ + 3(x) ′ = 8x 3 − 12x 2 + 3
( x 2 − 1) ′
x 2 = (x2 −1) ′·(x2 +1)−(x 2 −1)·(x 2 +1) ′
=
+ 1
(x 2 +1) 2
2x·(x 2 +1)−(x 2 −1)·2x
=
(x 2 +1) 2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ = 2(x 4 ) ′ − 4(x 3 ) ′ + 3(x) ′ = 8x 3 − 12x 2 + 3
( x 2 − 1) ′
x 2 = (x2 −1) ′·(x2 +1)−(x 2 −1)·(x 2 +1) ′
=
+ 1
(x 2 +1) 2
2x·(x 2 +1)−(x 2 −1)·2x
(x 2 +1) 2 = 4x
(x 2 +1) 2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ = 2(x 4 ) ′ − 4(x 3 ) ′ + 3(x) ′ = 8x 3 − 12x 2 + 3
( x 2 − 1) ′
x 2 = (x2 −1) ′·(x2 +1)−(x 2 −1)·(x 2 +1) ′
=
+ 1
(x 2 +1) 2
2x·(x 2 +1)−(x 2 −1)·2x
(x 2 +1) 2 = 4x
(x 2 +1) 2
(e x (2 sin x−cos x)) ′ = e x (2 sin x−cos x)+e x (2 cos x = sin x) = e x (3 sin x+
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykłady
(2x 4 − 4x 3 + 3x) ′ = 2(x 4 ) ′ − 4(x 3 ) ′ + 3(x) ′ = 8x 3 − 12x 2 + 3
( x 2 − 1) ′
x 2 = (x2 −1) ′·(x2 +1)−(x 2 −1)·(x 2 +1) ′
=
+ 1
(x 2 +1) 2
2x·(x 2 +1)−(x 2 −1)·2x
(x 2 +1) 2 = 4x
(x 2 +1) 2
(e x (2 sin x−cos x)) ′ = e x (2 sin x−cos x)+e x (2 cos x = sin x) = e x (3 sin x+
y = arctg x
1 + x 2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Załóżmy, że punkt materialny porusza się prostoliniowo, i droga
przebyta w czasie t wynosi s(t).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Załóżmy, że punkt materialny porusza się prostoliniowo, i droga
przebyta w czasie t wynosi s(t).
Przyrost drogi od czasu t 0 do czasu t 0 + ∆t wynosi
∆s = s(t 0 + ∆t) − s(t 0 ),
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Załóżmy, że punkt materialny porusza się prostoliniowo, i droga
przebyta w czasie t wynosi s(t).
Przyrost drogi od czasu t 0 do czasu t 0 + ∆t wynosi
∆s = s(t 0 + ∆t) − s(t 0 ),
a iloraz
s(t 0 + ∆t) − s(t 0 )
∆t
jest prędkością średnią.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Załóżmy, że punkt materialny porusza się prostoliniowo, i droga
przebyta w czasie t wynosi s(t).
Przyrost drogi od czasu t 0 do czasu t 0 + ∆t wynosi
∆s = s(t 0 + ∆t) − s(t 0 ),
a iloraz
s(t 0 + ∆t) − s(t 0 )
∆t
jest prędkością średnią.
Granica tego ilorazu (a więc pochodna s ′ (t 0 )) jest prędkością
chwilową w momencie t 0 .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Ogólniej, w zastosowaniach fizycznych pochodna pojawia się
wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmianą jakiejś wielkości.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Ogólniej, w zastosowaniach fizycznych pochodna pojawia się
wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmianą jakiejś wielkości.
Jeżeli tę zmianę potrafimy wyrazić jako funkcję czasu, to pochodną
tej funkcji interpretujemy jako prędkość zmiany.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Ogólniej, w zastosowaniach fizycznych pochodna pojawia się
wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmianą jakiejś wielkości.
Jeżeli tę zmianę potrafimy wyrazić jako funkcję czasu, to pochodną
tej funkcji interpretujemy jako prędkość zmiany.
Wyżej mieliśmy drogę jako funkcję czasu — pochodna jest wtedy
prędkością ruchu.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Ogólniej, w zastosowaniach fizycznych pochodna pojawia się
wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmianą jakiejś wielkości.
Jeżeli tę zmianę potrafimy wyrazić jako funkcję czasu, to pochodną
tej funkcji interpretujemy jako prędkość zmiany.
Wyżej mieliśmy drogę jako funkcję czasu — pochodna jest wtedy
prędkością ruchu.
Jeżeli mielibyśmy prędkość v(t) jako funkcję czasu, to pochodna
byłaby przyspieszeniem ruchu.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Interpretacja fizyczna pochodnej
Ogólniej, w zastosowaniach fizycznych pochodna pojawia się
wtedy, gdy mamy do czynienia ze zmianą jakiejś wielkości.
Jeżeli tę zmianę potrafimy wyrazić jako funkcję czasu, to pochodną
tej funkcji interpretujemy jako prędkość zmiany.
Wyżej mieliśmy drogę jako funkcję czasu — pochodna jest wtedy
prędkością ruchu.
Jeżeli mielibyśmy prędkość v(t) jako funkcję czasu, to pochodna
byłaby przyspieszeniem ruchu.
Gdy Q(t) oznacza ilość ładunku elektrycznego przepływającego
przez przewodnik w czasie t, to Q ′ (t) jest natężeniem prądu i(t),
i.t.d.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą
prędkością V = 10 m3
min
i tworzy plamę kołową o grubości d = 2
mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica
plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 1000 m.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą
prędkością V = 10 m3
min
i tworzy plamę kołową o grubości d = 2
mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica
plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 1000 m.
Rozwiązanie. Niech D(t) będzie średnicą plamy w chwili t. Do
tego momentu wyleje się 10t [m 3 ] ropy.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą
prędkością V = 10 m3
min
i tworzy plamę kołową o grubości d = 2
mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica
plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 1000 m.
Rozwiązanie. Niech D(t) będzie średnicą plamy w chwili t. Do
tego momentu wyleje się 10t [m 3 ] ropy. Plama ropy to
geometrycznie walec o promieniu D(t)/2 i wysokości d, a więc
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą
prędkością V = 10 m3
min
i tworzy plamę kołową o grubości d = 2
mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica
plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 1000 m.
Rozwiązanie. Niech D(t) będzie średnicą plamy w chwili t. Do
tego momentu wyleje się 10t [m 3 ] ropy. Plama ropy to
geometrycznie walec o promieniu D(t)/2 i wysokości d, a więc
1
4 πD2 (t)d = 10t
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą
prędkością V = 10 m3
min
i tworzy plamę kołową o grubości d = 2
mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica
plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 1000 m.
Rozwiązanie. Niech D(t) będzie średnicą plamy w chwili t. Do
tego momentu wyleje się 10t [m 3 ] ropy. Plama ropy to
geometrycznie walec o promieniu D(t)/2 i wysokości d, a więc
skąd
1
4 πD2 (t)d = 10t
√ √
40t
D(t) =
πd = 100 2
π · √t
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą
prędkością V = 10 m3
min
i tworzy plamę kołową o grubości d = 2
mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica
plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 1000 m.
Rozwiązanie. Niech D(t) będzie średnicą plamy w chwili t. Do
tego momentu wyleje się 10t [m 3 ] ropy. Plama ropy to
geometrycznie walec o promieniu D(t)/2 i wysokości d, a więc
skąd
1
4 πD2 (t)d = 10t
√ √
40t
D(t) =
πd = 100 2
π · √t
Ponieważ D(t) = 1000 gdy t = 50π, więc musimy obliczyć
pochodną D ′ (50π).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Ropa z uszkodzonego tankowca wycieka ze stałą
prędkością V = 10 m3
min
i tworzy plamę kołową o grubości d = 2
mm. Obliczyć z jaką prędkością będzie powiększała się średnica
plamy ropy w chwili, gdy będzie miała średnicę D = 1000 m.
Rozwiązanie. Niech D(t) będzie średnicą plamy w chwili t. Do
tego momentu wyleje się 10t [m 3 ] ropy. Plama ropy to
geometrycznie walec o promieniu D(t)/2 i wysokości d, a więc
skąd
1
4 πD2 (t)d = 10t
√ √
40t
D(t) =
πd = 100 2
π · √t
Ponieważ D(t) = 1000 gdy t = 50π, więc musimy obliczyć
pochodną D ′ (50π).
Mamy D ′ (t) = 50√
2
πt , więc D′ (50π) = 10
π
na minutę).
Maciej Grzesiak
Pochodne
(wynik jest w metrach

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji złożonej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli
funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 ,
funkcja g ma pochodną w punkcie f (x 0 ),
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji złożonej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)
Jeżeli
funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 ,
funkcja g ma pochodną w punkcie f (x 0 ),
to
(g ◦ f ) ′ (x 0 ) = g ′ (f (x 0 )) f ′ (x 0 ).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji złożonej – przykłady
(sin 3x) ′ = cos 3x · 3 = 3 cos 3x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji złożonej – przykłady
(sin 3x) ′ = cos 3x · 3 = 3 cos 3x
((x 4 − 2x 3 + 1) 9 ) ′ = 9(x 4 − 2x 3 + 1) 8 · (4x 3 − 6x 2 )
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji złożonej – przykłady
(sin 3x) ′ = cos 3x · 3 = 3 cos 3x
((x 4 − 2x 3 + 1) 9 ) ′ = 9(x 4 − 2x 3 + 1) 8 · (4x 3 − 6x 2 )
(sin(log(x 2 + 2)) ′ = cos(log(x 2 + 2)) ·
1
(x 2 +2) ln 10 · 2x
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji złożonej – przykłady
(sin 3x) ′ = cos 3x · 3 = 3 cos 3x
((x 4 − 2x 3 + 1) 9 ) ′ = 9(x 4 − 2x 3 + 1) 8 · (4x 3 − 6x 2 )
(sin(log(x 2 + 2)) ′ = cos(log(x 2 + 2)) ·
1
(x 2 +2) ln 10 · 2x
(e x2 ) ′ = e x2 ·2x = 2x e x2
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 )
punktu x 0 ,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 )
punktu x 0 ,
2. funkcja f ma pochodną f ′ (x 0 ) ≠ 0,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 )
punktu x 0 ,
2. funkcja f ma pochodną f ′ (x 0 ) ≠ 0,to
(f −1 ) ′ (y 0 ) = 1
f ′ (x 0 ) , gdzie y 0 = f (x 0 ).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 )
punktu x 0 ,
2. funkcja f ma pochodną f ′ (x 0 ) ≠ 0,to
(f −1 ) ′ (y 0 ) = 1
f ′ (x 0 ) , gdzie y 0 = f (x 0 ).
Przykład Wyprowadzimy wzór na (arc sin x) ′ .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 )
punktu x 0 ,
2. funkcja f ma pochodną f ′ (x 0 ) ≠ 0,to
(f −1 ) ′ (y 0 ) = 1
f ′ (x 0 ) , gdzie y 0 = f (x 0 ).
Przykład Wyprowadzimy wzór na (arc sin x) ′ .
(arc sin x) ′ =
1
(sin y) ′ =
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 )
punktu x 0 ,
2. funkcja f ma pochodną f ′ (x 0 ) ≠ 0,to
(f −1 ) ′ (y 0 ) = 1
f ′ (x 0 ) , gdzie y 0 = f (x 0 ).
Przykład Wyprowadzimy wzór na (arc sin x) ′ .
(arc sin x) ′ =
1
(sin y) ′ = 1
cos y =
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 )
punktu x 0 ,
2. funkcja f ma pochodną f ′ (x 0 ) ≠ 0,to
(f −1 ) ′ (y 0 ) = 1
f ′ (x 0 ) , gdzie y 0 = f (x 0 ).
Przykład Wyprowadzimy wzór na (arc sin x) ′ .
(arc sin x) ′ =
1
(sin y) ′ = 1
cos y = 1
√
1 − sin 2 y
=
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła i ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 )
punktu x 0 ,
2. funkcja f ma pochodną f ′ (x 0 ) ≠ 0,to
(f −1 ) ′ (y 0 ) = 1
f ′ (x 0 ) , gdzie y 0 = f (x 0 ).
Przykład Wyprowadzimy wzór na (arc sin x) ′ .
(arc sin x) ′ =
1
(sin y) ′ = 1
cos y = 1
√
1 − sin 2 y
=
1
√
1 − x 2 .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna logarytmiczna
Jeżeli funkcja y = ln f (x) jest różniczkowalna, to jej pochodną
nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f . Mamy
(ln f (x)) ′ = f ′ (x)
f (x) ,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna logarytmiczna
Jeżeli funkcja y = ln f (x) jest różniczkowalna, to jej pochodną
nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f . Mamy
(ln f (x)) ′ = f ′ (x)
f (x) ,
więc
f ′ (x) = f (x) · (ln f (x)) ′ .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna logarytmiczna
Jeżeli funkcja y = ln f (x) jest różniczkowalna, to jej pochodną
nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f . Mamy
więc
(ln f (x)) ′ = f ′ (x)
f (x) ,
f ′ (x) = f (x) · (ln f (x)) ′ .
Ten ostatni wzór stosujemy, gdy pochodna logarytmiczna jest
łatwiejsza do obliczenia niż ”zwykła”,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna logarytmiczna
Jeżeli funkcja y = ln f (x) jest różniczkowalna, to jej pochodną
nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f . Mamy
więc
(ln f (x)) ′ = f ′ (x)
f (x) ,
f ′ (x) = f (x) · (ln f (x)) ′ .
Ten ostatni wzór stosujemy, gdy pochodna logarytmiczna jest
łatwiejsza do obliczenia niż ”zwykła”, tj. gdy mamy skomplikowany
iloczyn (który przez logarytmowanie zamienia sie na sumę)
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna logarytmiczna
Jeżeli funkcja y = ln f (x) jest różniczkowalna, to jej pochodną
nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f . Mamy
więc
(ln f (x)) ′ = f ′ (x)
f (x) ,
f ′ (x) = f (x) · (ln f (x)) ′ .
Ten ostatni wzór stosujemy, gdy pochodna logarytmiczna jest
łatwiejsza do obliczenia niż ”zwykła”, tj. gdy mamy skomplikowany
iloczyn (który przez logarytmowanie zamienia sie na sumę)
lub potęgę, w której x występuje i w podstawie, i w wykładniku.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodna logarytmiczna
Jeżeli funkcja y = ln f (x) jest różniczkowalna, to jej pochodną
nazywamy pochodną logarytmiczną funkcji f . Mamy
więc
(ln f (x)) ′ = f ′ (x)
f (x) ,
f ′ (x) = f (x) · (ln f (x)) ′ .
Ten ostatni wzór stosujemy, gdy pochodna logarytmiczna jest
łatwiejsza do obliczenia niż ”zwykła”, tj. gdy mamy skomplikowany
iloczyn (który przez logarytmowanie zamienia sie na sumę)
lub potęgę, w której x występuje i w podstawie, i w wykładniku.
Przykłady
1. f (x) = 4 x (x 2 + 1) sin x cos 4 x;
2. f (x) = x x .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Różniczka
Definicja
Niech funkcja f (x) ma pochodną w punkcie x 0 . Różniczką funkcji
f w punkcie x 0 nazywamy funkcję df zmiennej ∆x = x − x 0
określoną wzorem
df (∆x) = f ′ (x 0 )∆x.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Różniczka
Definicja
Niech funkcja f (x) ma pochodną w punkcie x 0 . Różniczką funkcji
f w punkcie x 0 nazywamy funkcję df zmiennej ∆x = x − x 0
określoną wzorem
df (∆x) = f ′ (x 0 )∆x.
Różniczkę oznaczamy też symbolem dy.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Różniczka
Definicja
Niech funkcja f (x) ma pochodną w punkcie x 0 . Różniczką funkcji
f w punkcie x 0 nazywamy funkcję df zmiennej ∆x = x − x 0
określoną wzorem
df (∆x) = f ′ (x 0 )∆x.
Różniczkę oznaczamy też symbolem dy.
Uwaga. Przyjmujemy dx = ∆x, więc wzór powyższy można
zapisać także:
df = f ′ (x 0 ) dx.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przyrost ∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) nie jest równy różniczce dy.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przyrost ∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) nie jest równy różniczce dy.
Ale różnica między przyrostem a różniczką jest niewielka dla
małych ∆x, a nawet można wykazać, że dąży szybciej do zera niż
∆x (tzn. np. jeśli ∆x jest rzędu setnych, to różnica ∆y − dy jest
rzędu tysięcznych).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przyrost ∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) nie jest równy różniczce dy.
Ale różnica między przyrostem a różniczką jest niewielka dla
małych ∆x, a nawet można wykazać, że dąży szybciej do zera niż
∆x (tzn. np. jeśli ∆x jest rzędu setnych, to różnica ∆y − dy jest
rzędu tysięcznych).
Zatem dla małych przyrostów ∆x jest ∆f ≈ df , czyli
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ≈ f ′ (x 0 )∆x.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przyrost ∆y = f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) nie jest równy różniczce dy.
Ale różnica między przyrostem a różniczką jest niewielka dla
małych ∆x, a nawet można wykazać, że dąży szybciej do zera niż
∆x (tzn. np. jeśli ∆x jest rzędu setnych, to różnica ∆y − dy jest
rzędu tysięcznych).
Zatem dla małych przyrostów ∆x jest ∆f ≈ df , czyli
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ≈ f ′ (x 0 )∆x.
Przykład Obliczyć przyrost i różniczkę funkcji y = x 3 w punkcie
x 0 = 2 dla ∆x = 0, 4. (Odp.:∆y = 5, 824)
(Gdy ∆x = 0, 04, to ∆y = 0, 4897, dy = 0, 48).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 , to
f (x 0 + ∆x) ≈ f (x 0 ) + f ′ (x 0 )∆x.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 , to
f (x 0 + ∆x) ≈ f (x 0 ) + f ′ (x 0 )∆x.
Ponadto błąd jaki popełniamy zastępując przyrost ∆f różniczką df
dąży szybciej do zera niż ∆x, tzn.
∆f − df
lim
∆x→0 ∆x
= 0.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 , to
f (x 0 + ∆x) ≈ f (x 0 ) + f ′ (x 0 )∆x.
Ponadto błąd jaki popełniamy zastępując przyrost ∆f różniczką df
dąży szybciej do zera niż ∆x, tzn.
∆f − df
lim
∆x→0 ∆x
= 0.
Przykład Obliczyć przy pomocy różniczki ln 1,004.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Zastosowanie różniczki do szacowania błędów
Przypuśćmy teraz, że wielkość fizyczna y jest funkcją innej
wielkości x, którą jesteśmy w stanie zmierzyć: y = f (x).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Zastosowanie różniczki do szacowania błędów
Przypuśćmy teraz, że wielkość fizyczna y jest funkcją innej
wielkości x, którą jesteśmy w stanie zmierzyć: y = f (x).
Pomiar jest zawsze związany z pewnym błędem, i należy
oszacować jak wpływa on na błąd obliczeń wielkości y.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Zastosowanie różniczki do szacowania błędów
Przypuśćmy teraz, że wielkość fizyczna y jest funkcją innej
wielkości x, którą jesteśmy w stanie zmierzyć: y = f (x).
Pomiar jest zawsze związany z pewnym błędem, i należy
oszacować jak wpływa on na błąd obliczeń wielkości y.
Jeżeli błąd bezwzględny pomiaru wynosi ∆ x , to błąd bezwzględny
obliczanej wielkości ∆ y wyraża się wzorem:
∆ y ≈ |f ′ (x 0 )|∆ x .
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Zastosowanie różniczki do szacowania błędów
Przypuśćmy teraz, że wielkość fizyczna y jest funkcją innej
wielkości x, którą jesteśmy w stanie zmierzyć: y = f (x).
Pomiar jest zawsze związany z pewnym błędem, i należy
oszacować jak wpływa on na błąd obliczeń wielkości y.
Jeżeli błąd bezwzględny pomiaru wynosi ∆ x , to błąd bezwzględny
obliczanej wielkości ∆ y wyraża się wzorem:
∆ y ≈ |f ′ (x 0 )|∆ x .
Po obliczeniu błędów bezwzględnych można obliczyć błędy
względne:
δ x = ∆ x
x ,
δ y = ∆ y
y .
Błędy względne wyrażamy najczęściej w procentach.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością ±1 mm
i otrzymano 125 mm. Z jaką dokładnością można obliczyć pole
powierzchni całkowitej sześcianu, a z jaką jego objętość Podać
błędy bezwzględne i względne.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością ±1 mm
i otrzymano 125 mm. Z jaką dokładnością można obliczyć pole
powierzchni całkowitej sześcianu, a z jaką jego objętość Podać
błędy bezwzględne i względne.
Jeśli a oznacza krawędź, to pole P(a) = 6a 2 , P ′ (a) = 12a, więc dla
a = 125 [mm]:
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością ±1 mm
i otrzymano 125 mm. Z jaką dokładnością można obliczyć pole
powierzchni całkowitej sześcianu, a z jaką jego objętość Podać
błędy bezwzględne i względne.
Jeśli a oznacza krawędź, to pole P(a) = 6a 2 , P ′ (a) = 12a, więc dla
a = 125 [mm]:
∆ P = |12 · 125| · 1 = 1500,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością ±1 mm
i otrzymano 125 mm. Z jaką dokładnością można obliczyć pole
powierzchni całkowitej sześcianu, a z jaką jego objętość Podać
błędy bezwzględne i względne.
Jeśli a oznacza krawędź, to pole P(a) = 6a 2 , P ′ (a) = 12a, więc dla
a = 125 [mm]:
∆ P = |12 · 125| · 1 = 1500,
δ a = 1
125 = 0,8%
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Krawędź sześcianu zmierzono z dokładnością ±1 mm
i otrzymano 125 mm. Z jaką dokładnością można obliczyć pole
powierzchni całkowitej sześcianu, a z jaką jego objętość Podać
błędy bezwzględne i względne.
Jeśli a oznacza krawędź, to pole P(a) = 6a 2 , P ′ (a) = 12a, więc dla
a = 125 [mm]:
∆ P = |12 · 125| · 1 = 1500,
δ a = 1
125 = 0,8% δ P = 1500
6 · 125 = 2
125 = 1,6%.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów
Pochodną rzędu n definiujemy indukcyjnie: y (n) = (y (n−1) ) ′ dla
n = 2, 3, 4, . . ..
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów
Pochodną rzędu n definiujemy indukcyjnie: y (n) = (y (n−1) ) ′ dla
n = 2, 3, 4, . . ..
Przyjmuje się także oznaczenie y (0) = y
(”pochodna” rzędu 0 jest równa funkcji).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów
Pochodną rzędu n definiujemy indukcyjnie: y (n) = (y (n−1) ) ′ dla
n = 2, 3, 4, . . ..
Przyjmuje się także oznaczenie y (0) = y
(”pochodna” rzędu 0 jest równa funkcji).
Dla pochodnych niewielkich rzędów można pisać: y ′′ , y ′′′ , y IV , y V ,
y VI , i.t.d.
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć (sin x) (n) .
Obliczamy kolejno:
(sin x) ′ = cos x = sin(x + π 2 ),
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć (sin x) (n) .
Obliczamy kolejno:
(sin x) ′ = cos x = sin(x + π 2 ),
(sin x) ′′ = (cos x) ′ = − sin x = sin(x + π),
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć (sin x) (n) .
Obliczamy kolejno:
(sin x) ′ = cos x = sin(x + π 2 ),
(sin x) ′′ = (cos x) ′ = − sin x = sin(x + π),
(sin x) ′′′ = (− sin x) ′ = − cos x = sin(x + 3 π 2 ),
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć (sin x) (n) .
Obliczamy kolejno:
(sin x) ′ = cos x = sin(x + π 2 ),
(sin x) ′′ = (cos x) ′ = − sin x = sin(x + π),
(sin x) ′′′ = (− sin x) ′ = − cos x = sin(x + 3 π 2 ),
(sin x) IV = (− cos x) ′ = sin x = sin(x + 2π),
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Przykład Obliczyć (sin x) (n) .
Obliczamy kolejno:
(sin x) ′ = cos x = sin(x + π 2 ),
(sin x) ′′ = (cos x) ′ = − sin x = sin(x + π),
(sin x) ′′′ = (− sin x) ′ = − cos x = sin(x + 3 π 2 ),
(sin x) IV = (− cos x) ′ = sin x = sin(x + 2π),
Odgadujemy stąd wzór:
(sin x) (n) = sin(x + n π 2 ).
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podobnie można uzyskać wzory:
(cos x) (n) = cos(x + n π 2 ),
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podobnie można uzyskać wzory:
(cos x) (n) = cos(x + n π 2 ),
( 1
x
) (n)
= (−1)n n!
x n+1 ,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podobnie można uzyskać wzory:
(cos x) (n) = cos(x + n π 2 ),
( 1
x
) (n)
= (−1)n n!
x n+1 ,
(ln x) (n) = (−1)n−1 (n − 1)!
x n ,
Maciej Grzesiak
Pochodne

Określenie pochodnej
Podstawowe metody obliczania pochodnej
Różniczka funkcji
Pochodne wyższych rzędów
Podobnie można uzyskać wzory:
(cos x) (n) = cos(x + n π 2 ),
( 1
x
) (n)
= (−1)n n!
x n+1 ,
(ln x) (n) = (−1)n−1 (n − 1)!
x n ,
i inne. Zauważmy też, że (e x ) (n) = e x .
Maciej Grzesiak
Pochodne