MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ 1. Obliczyć A1, A2 ...

13. Wykazać, że jeżeli macierz A ma wiersz złożony z samych zer, to to samo jest prawdą
dla iloczynu AB dla dowolnej macierzy B.
14. Uprościć wyrażenia, w których A, B, C, D są macierzami:
a) A(B + C − D) + B(C − A + D) − (A + B)C + (A − B)D;
b) AB(BC − CB) − (CA − AB)BC + CA(A − B)C.
15. Podać dwa przykłady macierzy A stopnia 2 takich, że A 2 = O.
16. Rozwiązać układy stosując wzory Cramera:
⎧
⎨ x 1 + x 2 + x 3 = 1
a) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2
⎩
x 1 + 4x 2 + 10x 3 = −1
b)
c)
d)
⎧
⎨
⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎨
⎩
x + 2y − 3z = 0
2x + 2y + 3z = 1
x + 10y + 2z = 2
x 1 + 2x 2 + 3x 3 − 2x 4 = 6
2x 1 − x 2 − 2x 3 − 3x 4 = 8
3x 1 + 2x 2 − x 3 + 2x 4 = 4
2x 1 − 3x 2 + 2x 3 + x 4 = −8
x 2 − 3x 3 = 5
x 1 − 2x 3 = −4
3x 1 + 2x 2 = 12
17. Rozwiązać układy stosując metodę eliminacji Gaussa:
⎧
2x + 3y − z + u = −3
⎪⎨
3x − y + 2z + 4u = 8
a)
,
x + y + 3z − 2u = 6
⎪⎩
−x + 2y + 3z + 5u = 3
b)
c)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎨
⎩
x + 2y + 3z = 3
2x − y + z = 1
x − 2y − 2z = −1
x + y + z = 1
3x − y + 2z = 1
x + 2y − 3z + u − 5v + 2w = 1
4x − 13y + 9z − 5u + 19v − 10w = 3
2x − 3y + z − u + 3v − 2w = 2
18. Rozwiązać układy z parametrem a:
⎧
⎨ ax + y − z = −2
a) x + y + z = −1 ,
⎩
2x − ay + 2z = a
⎧
⎨ −2x + ay + z = 1
c) x − 2ay + z = a
⎩
x + ay − 2z = 1
,
,
Wsk.: Zacząć od obliczenia wyznacznika głównego. Dla tych a dla których jest on różny od
0 posłużyć się wzorami Cramera. Pozostałe wartości podstawiać do układu i rozwiązywać
metodą eliminacji.
,
2