MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ 1. Obliczyć A1, A2 ...

MACIERZE, WYZNACZNIKI, UKŁADY RÓWNAŃ
1. Obliczyć A 1 , A 2 , A⎡
3 , A 4 , gdy:
[ ] i 1
A =
A = ⎣ 1 0 1 ⎤
0 1 0 ⎦
0 −i
1 0 1
2. Obliczyć wyznaczniki:
2 1 0 0
3 1 1 1
∣ 1 2 1 0
0 1 2 1
,
1 3 1 1
246 427 327
∣∣∣∣∣ x y x + y
1 1 3 1
,
1014 543 443
∣
∣ 0 0 1 2 ∣ ∣ 1 1 1 3 ∣ −342 721 621 ∣ , y x + y x
x + y x y ∣ ,
1 2 3 4
x a a . . . a
∣ −2 1 −4 3
a x a . . . a
1 1 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣
3 −4 −1 2
,
a a x . . . a
,
x y z w
∣ 4 3 −2 −1 ∣
· · · · ·
x 2 y 2 z 2 w 2
∣
∣ a a a . . . x ∣ x 3 y 3 z 3 w 3
⎡ ⎤
1 0 0
3. Znaleźć wszystkie macierze przemienne z macierzą ⎣ 0 1 0 ⎦.
0 0 2
4. Niech A będzie macierzą dolnotrójkątną taką, że a ii ≠ 0, i = 1, 2, . . . , n. Wykazać, że
A −1 istnieje, jest także dolnotrójkątna, i ma na przekątnej elementy 1
a ii
, i = 1, 2, . . . , n.
5. Udowodnić, że jeśli A spełnia równanie A 2 − A + E = O, to A −1 istnieje i równa się
I − A.
6. Znaleźć macierze dołączone A D , B D macierzy
⎡
⎤
A = ⎣ 1 2 2
2 1 −2 ⎦
2 −2 1
⎡
⎤
B = ⎣ 2 −1 1
1 3 1 ⎦
2 1 2
7. Wyznaczyć macierze odwrotne do danych:
A =
⎡
⎣ 1 2 2
2 1 −2
2 −2 1
⎤
⎦ , B =
⎡
⎢
⎣
1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 1 −1
1 −1 −1 1
8. Śladem macierzy kwadratowej A, ozn. tr A nazywamy sumę elementów przekątnej głównej.
Wykaż, że trAB = trBA.
9. Macierz kwadratową P nazywamy idempotentną gdy P 2 = P. Wykaż, że macierze
[ 1 1
0 0
]
,
[ 1 0
1 0
]
,
1
2
[ 1 1
1 1
są idempotentne.
10. Wykaż, że P jest idempotentna wtedy i tylko wtedy, gdy (I-2P) −1 = I-2P.
11. Dla jakiej wartości c macierz
A =
⎡
⎣ 1 0 2
3 −4 c
2 5 8
ma odwrotność Znaleźć ją.
12. Wyznaczyć macierz X z równania
[ ] [ 2 1 −3 2
X
3 2 5 −3
]
=
⎤
⎦
]
[ −2 4
3 −1
]
⎤
⎥
⎦ .
1

13. Wykazać, że jeżeli macierz A ma wiersz złożony z samych zer, to to samo jest prawdą
dla iloczynu AB dla dowolnej macierzy B.
14. Uprościć wyrażenia, w których A, B, C, D są macierzami:
a) A(B + C − D) + B(C − A + D) − (A + B)C + (A − B)D;
b) AB(BC − CB) − (CA − AB)BC + CA(A − B)C.
15. Podać dwa przykłady macierzy A stopnia 2 takich, że A 2 = O.
16. Rozwiązać układy stosując wzory Cramera:
⎧
⎨ x 1 + x 2 + x 3 = 1
a) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 2
⎩
x 1 + 4x 2 + 10x 3 = −1
b)
c)
d)
⎧
⎨
⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎨
⎩
x + 2y − 3z = 0
2x + 2y + 3z = 1
x + 10y + 2z = 2
x 1 + 2x 2 + 3x 3 − 2x 4 = 6
2x 1 − x 2 − 2x 3 − 3x 4 = 8
3x 1 + 2x 2 − x 3 + 2x 4 = 4
2x 1 − 3x 2 + 2x 3 + x 4 = −8
x 2 − 3x 3 = 5
x 1 − 2x 3 = −4
3x 1 + 2x 2 = 12
17. Rozwiązać układy stosując metodę eliminacji Gaussa:
⎧
2x + 3y − z + u = −3
⎪⎨
3x − y + 2z + 4u = 8
a)
,
x + y + 3z − 2u = 6
⎪⎩
−x + 2y + 3z + 5u = 3
b)
c)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎨
⎩
x + 2y + 3z = 3
2x − y + z = 1
x − 2y − 2z = −1
x + y + z = 1
3x − y + 2z = 1
x + 2y − 3z + u − 5v + 2w = 1
4x − 13y + 9z − 5u + 19v − 10w = 3
2x − 3y + z − u + 3v − 2w = 2
18. Rozwiązać układy z parametrem a:
⎧
⎨ ax + y − z = −2
a) x + y + z = −1 ,
⎩
2x − ay + 2z = a
⎧
⎨ −2x + ay + z = 1
c) x − 2ay + z = a
⎩
x + ay − 2z = 1
,
,
Wsk.: Zacząć od obliczenia wyznacznika głównego. Dla tych a dla których jest on różny od
0 posłużyć się wzorami Cramera. Pozostałe wartości podstawiać do układu i rozwiązywać
metodą eliminacji.
,
2