Řešení planimetrických konstrukčních úloh. - Wichterlovo ...

Řešení planimetrických konstrukčních úloh strana 48
Konstrukce:
Konstrukci proveďte sami, zvolte například r = 2 cm, ρ = 3 cm.
Příklad 15:
Jsou dány dvě soustředné kružnice s poloměry r 1 = 3 cm, r 2 = 5 cm. Sestrojte
množinu středů všech kružnic, které se dotýkají obou kružnic mezikruží.
Rozbor a náčrtek:
Zadány jsou kružnice n 1 a n 2 .
Červeně jsou sestrojené příklady
kružnic, jejichž středy hledám.
Poloha jejich středů určí poloměry
výsledných kružnic, tj. kružnic k 1 a
k 2 .
Konstrukce už pak není náročná. Je
ji ale třeba bezpečně ovládat,
protože se používá k řešení mnoha
konstruktivních úloh o kružnicích.
k2
n1
m2
m1
k1
n2
4.3 Konstrukce kružnic
V konstruktivních úlohách o kružnicích se hledají vesměs kružnice splňující
požadavky typu: procházet daným bodem (B), dotýkat se dané přímky (p),
dotýkat se dané kružnice (k). Různými výběry trojice těchto požadavků
vznikne celkem 10 tzv. Apollóniových úloh. Např. zkratka ppk znamená pokyn
hledat kružnici, která se dotýká dvou daných přímek a jedné dané kružnice.
V rámci středoškolské planimetrie se budeme zabývat jen některými z nich.
Zájemci mohou podrobnosti a odkazy k těmto úlohám nalézt například v [1] na
str. 113.
Příklad 16:
Jsou dány kružnice k 1 (S 1 , 5 cm), k 2 (S 2 , 1 cm), ⎪S 1 S 2 ⎪= 2 cm. Sestrojte
všechny kružnice, které se dotýkají daných kružnic a mají poloměr 3cm.
Rozbor a náčrtek:
Náčrtek je v případě kružnic lepší nečrtat od ruky, ale přece jen použít
kružítko. Jsou-li v úloze konkrétní rozměry, je lepší je použít i v náčrtku,
alespoň proporcionálně, protože poskytnou vizuální informaci o vzájemné
poloze zadaných kružnic. Výslednou kružnici pak umístíte do náčrtku jen od
ruky, ale budete mít o ní lepší představu. Pak máte vše připraveno k úvaze o
tom, kde leží střed hledané kružnice. Je to bod – takže jej hledáme opět jako
průsečík dvou čar. Dalším atributem, který musíme určit, je poloměr. Ten je
roven většinou vzdáleností mezi sestrojeným středem a dotykovým bodem
na zadaném objektu.