WIELOMIANY

WIELOMIANY
Ćwiczenie 1. W pierścieniu Z 5 [x] wyznaczyć
V (x) + W (x), V (x) − 2W (x), V (x)W (x) i V 2 (x) +
W 3 (x), gdy V (x) = x 3 + 2x 2 + 3x + 4 i W (x) =
x 3 + 3x 2 + 2.
Ćwiczenie 2. Niech Q(x) = x 3 +5x−1 oraz R(x) =
−23x + 5 będą odpowiednio ilorazem i resztą z dzielenia
wielomianu V (x) przez wielomian W (x) =
x 2 + 2x + 5 w pierścieniu R[x]. Wyznaczyć wielomian
V (x).
Ćwiczenie 3. Zbadać podzielność wielomianu
V (x) = x 3 + x 2 + x + 1 przez wielomian W (x) =
x 2 + 3x + 2 w pierścieniu: (a) R[x]; (b) Z 5 [x]; (c)
Z 7 [x].
Ćwiczenie 4. Korzystając ze schematu Hornera,
wyznaczyć iloraz Q(x) i resztę R(x) z dzielenia wielomianu
V (x) przez dwumian W (x), gdy:
1. V (x) = x 3 − 4x 2 + x − 3, W (x) = x − 2;
2. V (x) = x 4 −4x 3 −10x 2 −4x+4, W (x) = x+1;
3. V (x) = 8x 4 + 3x 2 + 6, W (x) = x + 2;
4. V (x) = x 3 + 5x − 2, W (x) = (x − 1)(x − 2);
5. V (x) = −4x 7 +12x 6 −15x 5 +21x 4 −8x 3 +7x 2
−4x + 6, W (x) = x − 2.
Ćwiczenie 5. Obliczyć iloraz Q(x) i resztę R(x) z
dzielenia wielomianu V (x) przez wielomian W (x),
gdy:
1. V (x) = 3x 3 − 2x 2 − 3x + 2, W (x) = 3x − 2;
2. V (x) = x 3 + 8, W (x) = x 2 − 2x + 4;
3. V (x) = jx 2 + x − j, W (x) = x − j w C[x];
4. V (x) = x 2 + 2x + 2, W (x) = 2x + 2 w Z 3 [x];
5. V (x) = 2x 3 + 3x 2 + 4x + 1, W (x) = 3x + 1
w Z 5 [x];
6. V (x) = x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1, W (x)
= x + 1 w Z 5 [x].
Ćwiczenie 6. Wyznaczyć resztę R(x) z dzielenia
wielomianu V (x) przez wielomian W (x), gdy:
1. v(x) = 77x 76 + x 3 + 4, W (x) = x + 1 w R[x];
2. V (x) = x 100 (x 2 + x + 1), W (x) = x 2 − 1 w
R[x];
3. V (x) = x 100 +2x 50 +1, W (x) = x 3 −x w R[x];
4. V (x) = 2x 2010 + 2009x + 2, W (x) = x 2 − 1 w
R[x];
5. V (x) = x 110 − 2x 55 + 1, W (x) = x 2 + 1 w C[x];
6. V (x) = x 110 − 2x 55 + j, W (x) = x 2 + 1 w C[x];
7. V (x) = x 10 + 4, W (x) = x 2 + 1 w Z 5 [x].
Ćwiczenie 7. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki
wielomianu V (x), jeśli jednym z nich jest liczba x 1 ,
gdzie:
1. V (x) = x 3 − x 2 − 7x + 15, x 1 = 2 + j;
2. V (x) = x 3 − 6x 2 + 21x − 26, x 1 = 2 + 3j;
3. V (x) = x 4 − 2x 3 + 9x 2 − 8x + 20, x 1 = 2j;
4. V (x) = x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1, x 1 = −j;
5. V (x) = x 4 −6x 3 +11x 2 +12x−26, x 1 = 3+2j;
6. V (x) = x 4 + 3x 3 + 2x 2 − x + 5, x 1 = −2 + j;
7. V (x) = x 4 + 3x 2 − 6x + 10, x 1 = 1 + j;
8. V (x) = x 4 − 6x 3 − 15x 2 − 6x − 16, x 1 = j;
9. V (x) = x 4 −6x 3 +23x 2 −34x+26, x 1 = 2+3j;
10. V (x) = x 4 − 6x 3 + 15x 2 − 18x + 10, x 1 = 2 + j;
11. V (x) = x 4 − 6x 3 + 18x 2 − 30x + 25, x 1 = 2 − j;
12. V (x) = x 4 +2x 3 +9x 2 +8x+20, x 1 = −1−2j;
13. V (x) = x 4 − x 3 + 2x 2 − x + 1, x 1 = j;
14. V (x) = x 4 + 3x 3 + 2x 2 + 3x + 1, x 1 = j;
15. V (x) = x 4 − x 3 + x 2 + 9x − 10, x 1 = 1 + 2j;
16. V (x) = x 4 − 5x 3 + 10x 2 − 10x + 4, x 1 = 1 + j.
1

Ćwiczenie 8. Wyznaczyć krotność pierwiastka
x 0 = 1 wielomianu V (x), gdy:
1. V (x) = x 4 − x 3 − 3x 2 + 5x − 2;
2. V (x) = x 5 − 2x 4 − 2x 3 + 8x 2 − 7x + 2.
Ćwiczenie 9. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki
wielomianu W (x) = x 5 −5x 4 +18x 3 −18x 2 +17x−13,
gdy dwoma z nich są x 1 = 2 − 3j i x 2 = j.
Ćwiczenie 10. Znaleźć pierwiastki wielomianu
V (x) = x 3 − 15x 2 +76x − 140, jeśli jednym z jego
pierwiastków jest liczba całkowita.
Ćwiczenie 11. Wyznaczyć pierwiastki wielomianu
V (x) = x 4 − 8x 3 + 20x 2 − 72x + 99, jeśli jednym z
nich jest liczba czysto urojona.
Ćwiczenie 12. Wyznaczyć pierwiastki wielomianu
V (x), gdy:
1. V (x) = x 2 − 3x + 3 + j;
2. V (x) = x 2 + 3x + 3 − j;
3. V (x) = x 2 + (2j − 1)x + 1 + 5j;
4. V (x) = x 2 − (5 + j)x + 8 + j;
5. V (x) = 12x 3 − 4x 2 − 3x + 1;
6. V (x) = x 3 − 4x 2 + 5x − 2;
7. V (x) = 2x 3 − 3x 2 + 2x − 1;
8. V (x) = 2x 3 − 11x 2 + 18x − 8;
9. V (x) = 3x 3 + 12x 2 + 13x + 4;
10. V (x) = 5x 3 + 2x 2 − 26x − 20;
11. V (x) = x 4 − x 2 − 6;
12. V (x) = x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1;
13. V (x) = x 4 − x 3 − 2x 2 + 6x − 4;
14. V (x) = x 4 − jx 2 + 2;
15. V (x) = x 4 + 2jx 2 − 1;
16. V (x) = 4x 4 + x 2 − 3x + 1;
17. V (x) = 4x 4 − 19x 3 + 24x 2 + x − 10;
18. V (x) = 2x 4 − 4x 3 − 23x 2 − 11x + 6;
19. V (x) = 3x 4 + 2x 3 − 15x 2 + 12x − 2;
20. V (x) = x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 1;
21. V (x) = x 6 − 2x 4 + 4x 2 − 8;
22. V (x) = x 6 + x 4 + 2x 2 − 4;
23. V (x) = x 6 + 2x 3 + 2;
24. V (x) = x 7 − 2x 6 + x − 2.
2
Ćwiczenie 13. Wielomian V (x) przedstawić w postaci
iloczynu wielomianów stopnia pierwszego, gdy:
1. V (x) = x 6 + x 4 + 2x 2 − 4;
2. V (x) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6;
3. V (x) = x 4 + 16.
Ćwiczenie 14. Wielomian V (x) przedstawić w postaci
iloczynu rzeczywistych wielomianów stopnia co
najwyżej drugiego, gdy:
1. V (x) = x 3 + 8;
2. V (x) = x 4 + 16;
3. V (x) = x 6 − 64;
4. V (x) = x 3 + x 2 − x + 2;
5. V (x) = x 3 − x 2 + x − 1;
6. V (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1;
7. V (x) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1;
8. V (x) = x 4 + 4x 3 + 4x 2 − 1;
9. V (x) = x 4 − x 3 + x 2 ;
10. V (x) = x 4 − 6x 2 + 25;
11. V (x) = x 4 − x 3 + 2x 2 + x + 3;
12. V (x) = x 4 − x 3 − 2x 2 + 6x − 4;
13. V (x) = x 6 + 27;
14. V (x) = x 6 + 4x 3 + 8;
15. V (x) = x 6 + x 4 + 4x 2 + 4;
16. V (x) = x 6 + 2x 4 + 2x 2 + 1.
Ćwiczenie 15. Wielomian W (x) = x 5 − 4x 4 +
6x 3 −4x 2 +5x, którego pierwiastkiem jest liczba x =
2 + j, przedstawić w postaci iloczynu wielomianów
rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.
Ćwiczenie 16. Wyznaczyć pierwiastki niżej podanych
wielomianów, wiedząc, że każdy z nich ma pierwiastek
wielokrotny:
1. V (x) = x 3 − 10x 2 + 32x − 32;
2. V (x) = 2x 3 + 11x 2 + 12x − 9;
3. V (x) = x 3 − 15x 2 + 72x − 108;
4. V (x) = 9x 3 + 39x 2 − 29x + 5;
5. V (x) = 4x 3 − 27x − 27;
6. V (x) = x 4 + 6x 3 + 13x 2 + 12x + 4;
7. V (x) = x 4 + x 3 − 3x 2 − 5x − 2.