2. analiza naprezanja

2.1 Definicija naprezanja
2.2 Tenzor naprezanja
Analiza naprezanja - 1 -
2. ANALIZA NAPREZANJA
S a d r ž a j:
2.2.1 Označavanje komponenata naprezanja
2.3 Jednadžbe ravnoteže u pravokutnom koordinatnom sustavu
2.4 Pravilo o recipročnosti (konjugiranosti) posmičnih naprezanja
2.5 Transformacija komponenata tenzora naprezanja
2.5.1 Transformacija na zadanu ravninu
2.5.2 Transformacija u zarotirani koordinatni sustav
2.6 Prostorno stanje naprezanja
2.6.1 Glavna naprezanja
2.6.2 Sferni i devijatorski dio tenzora naprezanja
2.6.3 Najveće posmično i oktaedarsko posmično naprezanje
2.7 Jednadžbe ravnoteže u cilindričnom koordinatnom sustavu

2.1 Definicija naprezanja
Analiza naprezanja - 2 -
Mehanika deformabilnih tijela (mehanika fluida, elastičnosti i plastičnosti) koja proučava
djelovanje sile na čvrsto tijelo i fluid, temelji se na konceptu direktnog kontakta. Ako zamislimo
tijelo podijeljeno na male dijelove, tada se utjecaj prenosi samo na susjedne dijelove koji su u
kontaktu. Ako su dva dijela u kontaktu s površinom razdvajanja, sila se može prenositi iz jednog
dijela u drugi, i suprotno. Npr., promatrajmo zamišljenu ravninu R koja presijeca tijelo i
označimo s A presječnu površinu u ravnini R (vidi crtež 2.1). Jedna strana ravnine R uzima se
kao pozitivna, a druga kao negativna. Sila se prenosi kroz ravninu R preko direktnog kontakta
materijala. Sila koja se prenosi preko područja A označena je s F. Općenito, sila F nije okomita
na ravninu R. Primjenom Newton-ovog zakona reakcije materijal na negativnoj strani ravnine R
prenosi silu −F preko područja A.
Ravnina R
Crtež 2.1 Unutrašnje sile u presjeku deformabilnog tijela
Sila F je unutrašnja sila jer se reakcija javlja unutar tijela. Sila F se može rastaviti na
komponente Fn i Ft, tako da je komponenta Fn okomita na ravninu R, a komponenta Ft tangira
ravninu R. Komponenta Fn naziva se normalna sila na površinu A, a komponenta Ft posmična
sila na površini A.
Navedeni koncept se jednako može primjeniti na nedeformabilna i deformabilna tijela. Fn i Ft
se mijenjaju za vrijeme procesa deformiranja. Fn /A i Ft /A nazivaju se prosječno normalno i
prosječno posmično naprezanje na površinu A. Naprezanje u točki se dobije uzimajući područje
A beskonačno malim (infinitezimalnim). Tada se sile Fn i Ft približavaju nuli, ali je prosječno
naprezanje najčešće različito od nule. Općenito, naprezanje ne ovisi samo o koordinatama
površine A već i o ravnini u kojoj se nalazi površina A. Normalno i posmično naprezanje mogu
se promatrati kao normalna i tangencijalna projekcija vektora naprezanja na pridruženu
beskonačno malu površinu A. Prema tome, može se govoriti o smjeru vektora naprezanja koji
djeluje u zadanoj točki ravnine. Matematička reprezentacija ima sljedeći oblik:
F
lim n
F
= σ,
lim t = τ
→0 A
A→0
A
A
A
D
Fn
D1
F
Ft
Negativna strana
Pozitivna strana
PRESJEČNA
RAVNINA

Analiza naprezanja - 3 -
gdje je σ normalno naprezanje u točki iz područja A ravnine R, a τ posmično naprezanje u istoj
točki područja A ravnine R.
Postoji bitna razlika izmeñu unutrašnjih sila kod fluida i čvrstih tijela. Često su čvrsta tijela
naprezana velikim unutrašnjim vlačnim silama. S druge strane, normalne sile kod fluida su
najčešće tlačne i uzrokuju pritisak (negativno naprezanje). Osim toga, fluidi imaju i druga
svojstva različita od čvrstih tijela. Fluidi teku (kontinuirano se deformiraju) sve dok postoji
posmično naprezanje. Kod fluida koji miruju ne postoji posmično naprezanje.
2.2 Tenzor naprezanja
Sila P i moment M predstavljaju ukupno djelovanje odbačenog dijela volumena tijela D1 na
promatrani dio volumena tijela D (crtež 2.2a), a dobivaju se zbrajanjem svih djelovanja
raspodijeljenih po kontaktnoj površini A.
X 3
X 2
O
D
A
T
D 1
PRESJEČNA RAVNINA
P
M
n
V - UKUPNI VOLUMEN
X 1
a) b)
X 3
Crtež 2.2 Ukupno djelovanje u presjeku tijela
Ako se izdvoji dio zajedničke granice tijela D i D1 u okolišu točke T infinitezimalne veličine
0
dA, može se reći da je gustoća naprezanja σT r konstantna funkcija pa je ukupna sila
meñudjelovanja na površini dA odreñena izrazom:
dP
= σ
r r
gdje je: dP r - ukupna sila meñudjelovanja na zajedničkom dijelu granice dA
Funkcija
0
T ⋅
dA
0
σT r - intenzitet interaktivnog djelovanja u točki T
dA - dio zajedničke granice tijela D i D1
0
T
X 2
O
T
dA
dP
n
X 1
(2.1)
σ r opisuje specifično interaktivno djelovanje u točki T, odnosno naprezanje na
orijentiranoj površini dA koje se tradicionalno označava sa
0
σn r i predstavlja vektor punog

Analiza naprezanja - 4 -
naprezanja na površini dA s pripadajućom jediničnom vanjskom normalom n r . Očigledno je da
se u točki T može odabrati bezbroj orijentiranih površina dA i za svaku će se dobiti pripadajući
0
vektor punog naprezanja što znači da rješenje nije jednoznačno i da σn r nije element vektorskog
polja sila za razliku od npr. volumenske sile dF r koja je potpuno odreñena položajem
elementarnog volumena tijela. Meñutim, za jednu fiksiranu orijentaciju površine dA dobiva se
jednoznačno pripadajući vektor
0
σn r koji je odreñen s tri komponente. U točki T uz proizvoljno
odabrani presjek mogu se postaviti još tri presjeka u smjerovima koordinatnih ravnina tako da se
oko točke T formira elementarni dio volumena tijela u obliku tetraedra kao što je prikazano na
crtežu 2.3.
σ1 0 . dA1
→
n1
dA1
x3
Crtež 2.3
Analogno definiciji općeg naprezanja u točki T na plohu dA odreñenu smjerom normale n r , u
elementarnim plohama dA1, dA2 i dA3 postoje puna naprezanja odreñena vektorima
0
σ3 r čiji se smjer općenito ne podudara sa smjerovima normala na te površine.
0
σ1 r ,
0
σ2 r i
Dimenzije elementarnog tetraedra su infinitezimalnih veličina pa volumenske sile postaju
diferencijalne veličine drugog reda tako da se može napisati ravnoteža površinskih sila u točki T
u obliku:
r
σ
0 n
r r r
dA = σ dA + σ dA + σ
0
1
1
Elementarne površine dA1, dA2 i dA3 se mogu izraziti kao komponente elementarne površine
dA preko kosinusa smjerova normale n r :
dA
dA
dA
Uvrštavanjem (2.3) u (2.2) dobiva se:
1
2
3
r
σ
0 n
dA
= dA ⋅cos(
n,
x ) = n
= dA ⋅cos(
n,
x ) = n
0 2
2
0
3
dA
dA
dA
= dA ⋅cos(
n,
x ) = n dA
r r r
= n σ + n σ + n σ
1
0
1
x2
σ2 0 . dA2
T
→
n2
2
1
2
3
dP = σn 0 . dA
0 2
→
n
dA2
1
3
2
3
0
3
→
n3
3
σ3 0 . dA3
dA3
x1
(2.2)
(2.3)
(2.4)

Analiza naprezanja - 5 -
Vektori punog naprezanja na pojedinoj pobočki mogu se prikazati preko triju komponenata u
smjerovima koordinatnih osi:
r
σ
0 n
r
σ
r
σ
r
σ
0
1
0 2
0
3
= σ
= σ
= σ
11
21
31
r
i1
+ σ
r
i1
+ σ
r
i + σ
Uvrštavajući izraze (2.5) u jednadžbu (2.4) slijedi:
= n ( σ
1
= ( n σ
1
11
11
r
i + σ
1
+ n
2
σ
12
21
r
i
2
+ σ
+ n
3
13
σ
r
i3)
+ n2
( σ
r
) i + ( n σ
31
1
1
21
12
1
2
12
22
32
r
i2
+ σ
r
i2
+ σ
r
i + σ
22
2
3
13
23
33
r
i3
r
i
r
i
32
3
3
r r r r r r
i1
+ σ22
i2
+ σ23
i3)
+ n3
( σ31
i1
+ σ32
i2
+ σ33
i3)
=
+ n σ + n σ
r
) i + ( n σ + n σ + n σ
r
) i
gdje σij označava skalarnu vrijednost j-te komponente vektora punog naprezanja
r
vanjskom normalom ; i = 1,
2, 3 .
Vektor
n i
0
σn r se može napisati po komponentama u smjerovima koordinatnih osi:
ili, konačno, u matričnom obliku:
⎧σ
⎪
⎨σ
⎪
⎪
⎩σ
σ
σ
σ
0
n1
0
n2
0
n3
0
n1
0
n2
0
n3
= σ
= σ
= σ
11
12
13
⎫ ⎡σ
⎪ ⎢
⎪
⎬ = ⎢σ
⎪ ⎢
⎪ ⎢
⎭ ⎣σ
n
11
12
13
n
n
1
1
1
+ σ
+ σ
+ σ
σ
σ
σ
21
22
23
21
22
23
n
n
n
2
2
2
+ σ
+ σ
31
+ σ
σ
σ
σ
31
32
33
32
33
n
n
3
n
3
2
3
⎤ ⎧n1
⎫
⎥ ⎪ ⎪
⎥ ⎪ ⎪
⋅ ⎨n
2 ⎬
⎥ ⎪ ⎪
⎥
⎦ ⎪⎩
n ⎪⎭
3
1
13
2
23
3
33
3
(2.5)
(2.6)
0
σi r na ravnini s
(2.7)
(2.8)
Dakle, odreñeno je jednoznačno preslikavanje jedinične vanjske normale n r u vektor punog
0
vanjskog naprezanja σn r na plohu odreñenu normalom n r pomoću linearnog operatora odnosno
tenzora naprezanja σij. Opće naprezanje u bilo kojem smjeru presjeka odreñeno je s devet
skalarnih komponenata tenzora naprezanja σij koji ovisi samo o izboru točke.
Površinska sila na elementarnu površinu dA odreñena je prema (2.1) kao:
0
dP
= σn
r r
odnosno, bilo koja k-ta komponenta, k = x1, x2, x3, može se napisati u obliku:
dP 0
k nk ik i
dA
(2.9)
= σ dA = σ n dA ; i,
k = 1,
2,
3
(2.10)
Ukupna k-ta komponenta površinske sile dobiva se integriranjem preko cijele površine A:

Analiza naprezanja - 6 -
P k = ∫σik
ni
dA
(2.11)
A
Izraz (2.11) omogućava izračunavanje površinske sile i s aspekta uvjeta ravnoteže sila
predstavlja vektorski tok kroz plohu A koji je odreñen tenzorom naprezanja kao funkcijom
točke.
Iz uvjeta da se suma statičkih momenata sila na pojedinu koordinatnu os poništava slijedi da
je tenzor naprezanja simetričan:
σ (2.12)
ij ji σ =
2.2.1 Označavanje komponenata naprezanja
Kod analize naprezanja kontinuuma razlikujemo dva tipa sila: (1) volumenske sile, koje
djeluju na elemente volumena tijela, (2) površinske sile, koje djeluju na površinu tijela. Primjer
volumenskih sila su gravitacijske, magnetske i inercijske sile. Primjer površinskih sila su
kontaktne sile izmeñu čvrstih tijela ili hidrostatički tlak fluida na čvrsta tijela.
0
− σ
r
z
σxx
σxy
y
σxz
∆y
σxz
σxy
0
− σ
r
Crtež 2.4 Naprezanje u presječnoj ravnini
Kod odreñivanja načina označavanja naprezanja potrebno je tijelo presjeći zamišljenom
ravninom i razmotriti djelovanje izmeñu dva dijela tijela na razdjelnoj površini. Zbog
jednostavnosti, uzeta je pravilna prizma sa stranicama paralelnim sa osima x, y, z (crtež 2.4), te
presječna ravnina okomita na x os. Zbog jasnoće crteža, prikazana su dva dijela tijela.
Pozitivnom x ravninom definira se ona ravnina čija je normala u smjeru pozitivne x osi.
Pozitivna presječna ravnina na crtežu 2.4 je lijevi šrafirani pravokutnik sa stranicama Δy, Δz.
Negativna x ravnina nalazi se na desnoj polovici tijela. Vektor naprezanja σ djeluje na površinu
ΔyΔz. Općenito, vektor naprezanja nije okomit na pozitivnu x ravninu. Stoga je potrebno
rastaviti sile na komponente u smjeru pozitivnih x, y, z osi. x, y, z komponente naprezanja se
označavaju sa σxx, σxy, σxz. σxx označava normalnu komponentu na pozitivnu x ravninu, a σxy i
σxz označavaju posmične (tangencijalne) komponente vektora naprezanja koje se nalaze u
pozitivnoj x ravnini i imaju pozitivne smjerove. Kod navedenih oznaka prvi indeks označava
površinu na koju naprezanje σ djeluje, a drugi indeks smjer komponente naprezanja.
0
σ r
σxx
σxy
σxz
σxz
σxy
∆z
σxx
0
σ r
x

Analiza naprezanja - 7 -
Primjenom trećeg Newton-ovog zakona (akcija i reakcija), komponente naprezanja koje
djeluju na negativnu x ravninu (desni dio tijela) moraju djelovati u suprotnom smjeru (crtež 2.4).
Na crtežu 2.5 prikazan je beskonačno mali element volumena u točki O tijela sa stranicama
okomitim na osi x, y, z, gdje su vektori naprezanja prikazani u pozitivnom smjeru.
σxx=σ11
y = x2 =2
σxy=σ12
z = x3 =3
σxz=σ13
σyz=σ23
O
σzz=σ33
σyy=σ22
σzy=σ32
σzx=σ31
σyx=σ21
σxz=σ13
σxy=σ12
σxx=σ11
x = x1 =1
Crtež 2.5 Označavanje koordinatnih smjerova i komponenata naprezanja
2.3 Jednadžbe ravnoteže u pravokutnom koordinatnom sustavu
Na osnovi razmatranja provedenog u točki 2.2, vidljivo je da se vektor ukupnog naprezanja
koji odgovara odreñenoj ravnini kroz promatranu točku može rastaviti na tri komponente od
kojih je jedna normalno naprezanje, a dvije su komponente posmična naprezanja. Izdvoji li se u
okolini točke O napregnutog tijela, crtež 2.6, elementarni paralelopiped OABCDEFG, tada će se
na šest njegovih stranica pojaviti unutrašnje (površinske) sile koje na tijelo sada djeluju kao
vanjske sile. Tako će, na primjer, na stranici OAEF djelovati površinska sila ( σ dxdz) gdje je
0
σ y vektor ukupnog naprezanja. To znači da će na paralelopiped djelovati šest vektora ukupnih
naprezanja, odnosno osamnaest komponenata naprezanja.
Na crtežu 2.6 prikazano je svih šest vektora ukupnih naprezanja, dok su komponente
naprezanja prikazane samo na vidljivim stranicama paralelopipeda.
Pretpostavljeno je takoñer da je paralelopiped izložen i djelovanju volumenskih sila FV kojih
su komponente na jedinicu volumena označene sa Fx, Fy, Fz za pravce istoimenih koordinatnih
osi.
Na stranicama paralelopipeda koje se spajaju u točki ishodišta O komponente naprezanja su
po iznosu: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, τyx, τzy, τxz.
0 y

F
σ
0 y
dz
A
x
Analiza naprezanja - 8 -
Crtež 2.6 Uz izvod jednadžbi ravnoteže
Budući da se naprezanja od točke do točke mijenjaju, tj. funkcija su koordinata, poštujući
Taylorovo pravilo o vrijednosti funkcije u susjednoj točki vrijedi:
σ′
x
= σ
σ′ = σ
y
x
y
∂ σ
+
∂x
+
∂ σ
x
y
∂y
dx
dy
+
+
K
K
(2.13)
Ovakva je aproksimacija dopuštena za područje linearne elastostatike. Iz crteža 2.6 vidljivo je
da su posmična naprezanja označena dvama indeksima. Prvi indeks uz posmično naprezanje
označava pravac normale pripadajuće površine u kojoj se nalazi posmično naprezanje, a drugi
indeks pravac naprezanja.
Na paralelopiped prikazan na crtežu 2.6 mogu se primijeniti poznati uvjeti ravnoteže:
∑
σ
τ
τ
z
E
O
∑
∂σ
+
z
z
z ∂
∑
dz
Fx y
z
x
y
z
∑
= 0 , F = 0 , F = 0 , M = 0 , M = 0 , M = 0
Na osnovi prvog uvjeta ravnoteže dobiva se:
σ
∂τ
zx
zx +
∂z
∂τ
+
x
xz
xz ∂
∂σ
+
x
x
x ∂
σ
dx
dx
∂σ
+
x
0x ∂
dz
dy
0 x
dx
τ
τ
∂τ
xy
xy +
∂x
FV
σ
∂τ
zy
zy +
∂z
σ0
x
dx
G
∑ Fx =
∂σ0
0z z
+
∂z
σ0
z
τ
dz
B
0 :
dz
∂τ
τ
yx
yx +
∂y
dx
D
yz
yz +
∂y
dy
C
∑
∂τ
σ
dy
∂σ
σ
y
y +
∂y
∂σ0
0 y
y +
∂y
dy
∑
y
dy

⎛
⎜σ
⎝
x
∂σ
+
∂x
x
⎛
+ ⎜τ
⎝
⎞
dx ⎟ dy dz − σ
⎠
zx
∂τ
+
∂z
zx
Analiza naprezanja - 9 -
x
⎛
dy dz +
⎜
⎜τ
⎝
⎞
dz⎟
dx dy − τ
⎠
zx
yx
+
∂τ
yx
∂y
dx dy + F
⎞
dy
⎟ dx dz − τ
⎠
x
yx
dx dy dz = 0
dx dz +
Analogne se jednadžbe dobiju i iz drugih dvaju uvjeta ravnoteže ( ∑ Fy = 0 , ∑Fz
= 0 ). Nakon
sreñivanja dobiva se:
∂σ ∂τ
x yx ∂τ
zx
+ + + Fx
= 0
∂x ∂y ∂z
∂τ xy ∂σ y ∂τ
zy
+ + + Fy
= 0
∂x ∂y ∂z
∂τ ∂τ
xz yz ∂σ
z + + + Fz
= 0
∂x ∂y ∂z
(2.14)
S pomoću triju statičkih uvjeta ravnoteže primijenjenih na elementarni volumen napregnutog
tijela dobivene su tri diferencijalne jednadžbe (2.14) koje daju vezu izmeñu komponenata
naprezanja i volumenskih sila, a nazivaju se Navierove jednadžbe ravnoteže napregnutog tijela.
Njihov tenzorski zapis je:
σ + = 0
(2.15)
ij , j
F i
Za slučaj da se ne radi o statičkoj ravnoteži, tada, u skladu s drugim Newtonovim zakonom,
jednadžbe (2.14) dobivaju oblik:
2
∂σ ∂τ
x yx ∂τ zx ∂ u
+ + + Fx = q 2
∂x ∂y ∂z ∂t
2
∂τ xy ∂σ y ∂τ zy ∂ v
+ + + Fy = q 2
∂x ∂y ∂z ∂t
2
∂τ ∂τ
xz yz ∂σ z ∂ w
+ + + Fz = q 2
∂x ∂y ∂z ∂t
(2.16)
Budući da se u jednadžbama (2.14) javlja šest meñusobno različitih komponenata naprezanja,
svaki je problem teorije elastičnosti statički neodreñen. Zbog tog razloga za odreñivanje stanja
naprezanja nisu dovoljne tri diferencijalne jednadžbe ravnoteže (2.14) već je potrebno uvesti
dopunske jednadžbe koje sadrže svojstva materijala promatranog tijela.

Analiza naprezanja - 10 -
2.4 Pravilo o recipročnosti (konjugiranosti) posmičnih naprezanja
Postave li se osi koordinatnog sustava x1, y1, z1 kroz težište paralelopipeda prikazanog na
crtežu 2.6, a zatim za te osi postave ravnotežne momentne jednadžbe, tada te jednadžbe sadrže
samo članove posmičnih naprezanja koje s tim osima nisu paralelne.
Tako, na primjer, iz ravnotežne momentne jednadžbe za os x1 slijedi:
⎛
⎜
⎜τ
⎝
yz
+
∂τ
yz
∂y
⎞
dy ⎟
⎠
dy
dx dz
2
+ τ
yz
dy
dx dz
2
1 ∂τyz
+ dy = τ
2 ∂y
142
43
⎛
− ⎜
⎜τ
⎝
zy
1 ∂τzy
+ dz
12
42 ∂z
43
zanemarimo
∂τzy
⎞ dz
+ dz dx dy − τ
z ⎟
∂ ⎠ 2
→ τyz
zy
⇒ τyz
= τzy
zanemarimo
zy
dz
dx dy
2
Analogno, za ostale dvije jednadžbe momenata koje se odnose na osi y1 i z1, dobiva se:
τ
xy = τyx
, τzx
= τxz
Dakle, dobiva se već navedeno svojstvo simetričnosti tenzora naprezanja (2.12). U općem
obliku se zakon o recipročnosti (konjugiranosti) posmičnih naprezanja izražava jednadžbom:
i glasi:
= 0
τ = τ , ( i ≠ j;
i,
j = x,
y,
z)
(2.17)
ij
ji
U dvjema meñusobno okomitim ravninama kroz neku točku napregnutog tijela posmična
su naprezanja istih veličina, a usmjerena su k presječnoj liniji tih dviju ravnina ili od nje.
Zbog tog razloga za posmična naprezanja kažemo da su konjugirana naprezanja.
2.5 Transformacija komponenata tenzora naprezanja
2.5.1 Transformacija na zadanu ravninu
r r r r
Neka je ravnina P zadana jediničnom normalom n = n1i1
+ n2
i2
+ n3i3
, a vektor punog
vanjskog naprezanja, koji predstavlja naprezanje u točki ravnine P odreñene jediničnom
normalom n r , prema (2.6) vektorom:
r
r
r
r
0
σ = n σ + n σ + n σ i + n σ + n σ + n σ i + n σ + n σ + n σ i
n
( 1 11 2 21 3 31)
1 ( 1 12 2 22 3 32 ) 2 ( 1 13 2 23 3 33 ) 3
n
σnn
n
σn o
t σnt
ravnina P
Crtež 2.7 Normalna i posmična naprezanja

Analiza naprezanja - 11 -
Odrediti normalnu komponentu σnn znači projicirati vektor punog vanjskog naprezanja
pravac odreñen jediničnom normalom n r , odnosno izračunati skalarni produkt:
σ
nn
r r
= n ⋅ σ = n σ + n σ + n σ + 2n
n σ + 2n
n σ + 2n
n σ
0 n
2
1
11
2
2
22
2
3
33
1
2
12
1
3
13
2
3
23
0
σn r na
(2.18)
Komponente vektora punog vanjskog naprezanja (2.5) mogu se, koristeći indeksno pravilo,
napisati u sljedećem obliku:
(2.19)
Prema tome, normalno naprezanje na ravninu P dobiveno iz izraza (2.18), koristeći (2.19), je:
(2.20)
Posmična komponenta naprezanja u ravnini P mogla bi se odrediti projiciranjem vektora
0
punog vanjskog naprezanja σn r na pravac odreñen tangentnim jediničnim vektorom t r koji je
okomit na normalnu komponentu i leži u ravnini P.
S druge strane, normalna i tangencijalna komponenta su katete pravokutnog trokuta čija je
hipotenuza
ili
0
σ n , pa je:
σ
2
nt
2
nt
r
= σ
0 n
r
⋅ σ
0 n
− σ
2
nn
0 2 0 2 0 2 2 ( σn1)
+ ( σn2
) + ( σn3
) − σnn
σ =
(2.21)
odnosno, uključujući (2.19) i (2.20) u (2.21) u indeksnom zapisu je:
σ
2
nt
nn
= σ
σ
ij
0
ni
0
ni
= σ
⋅n
= σ ⋅ n ⋅ n
j
i
2
ij
⋅n
ij
j
ij
i
i
j
j
2
σ = ( σ ⋅ n ) − ( σ ⋅ n ⋅ n )
(2.22)

2.5.2 Transformacija u zarotirani koordinatni sustav
z
σ'xx
Analiza naprezanja - 12 -
Crtež 2.8 Komponente tenzora naprezanja u zarotiranom koordinatnom sustavu
Veza koordinata u osnovnom i zarotiranom koordinatnom sustavu uspostavlja se preko
zakona transformacije:
x'
k
z'
y'
x'
2
3
x
1
21
31
x
2
x'1
β11
β12
β13
= βki
⋅ xi
,
(2.23)
x'
β β β
gdje su xi, x'k koordinate u osnovnom i zarotiranom koordinatnom sustavu, respektivno, a βki
matrica transformacije iz globalnog u lokalni koordinatni sustav. Elementi matrice
transformacije su kosinusi kutova izmeñu zarotirane koordinatne osi i koordinatnih osiju
osnovnog sustava, a sama matrica transformacije ima sljedeća svojstva:
β
β
22
32
−1
T
[ α ] = [ β ] = [ β ] = [ β ]
ki
σ'xz
σ'xy
0'
0
ki
y
σ'yy
σ'yz
σ'zy
σ'zz
ki
ik
x
β
3
23
33
(2.24)
Komponente tenzora se transformiraju na pojedinu pobočku prizme prikazane na crtežu 2.8
analogno transformaciji na ravninu zadanu jediničnom normalom koja se poklapa sa zarotiranom
koordinatnom osi, a u kojoj leži promatrana pobočka. Prema (2.20), općenito vrijedi:
σ'yx
σ'xz
σ'zx
σ'xy
σ'xx
σ'kl = σij . βki . βlj (2.25)
x'
x

PRIMJER:
Analiza naprezanja - 13 -
Za ravninsko stanje naprezanja zadan je tenzor naprezanja σij, i, j = 1, 2. Potrebno je odrediti
komponente tenzora naprezanja σ'ij u zarotiranom koordinatnom sustavu.
a)
0
x2
Crtež 2.9 a) osnovni, b) zarotirani koordinatni sustav
Normalna komponenta naprezanja σ33, te posmične komponente σ13, σ23, a zbog simetrije i
σ31, σ32, jednake su nuli pa je:
x'
x'
1
x'
2
3
σ22
σ12
x
1
cosϑ
− sin ϑ
0
σ12
σ11
x
2
sin ϑ
cosϑ
0
x
0
0
1
3
→
β
β
β
11
12
21
= β
22
= sin ϑ
= −sin
ϑ
= cosϑ
Po pravilu transformacije (2.25), na primjer posmična komponenta σ'12 u zarotiranom
koordinatnom sustavu izračunava se koristeći koeficijente (a) na sljedeći način:
σ'12 = σij . β1i . β2j = σ1j . β11 . β2j + σ2j . β12 . β2j + σ3j . β13 . β2j =
= σ11 . β11 . β21 + σ12 . β11 . β22 + σ13 . β11 . β23 + (b)
+ σ21 . β12 . β21 + σ22 . β12 . β22 + σ23 . β12 . β23 +
+ σ31 . β13 . β21 + σ32 . β13 . β22 + σ33 . β13 . β23
σ'12 = σ11 cos ϑ . (−sin ϑ ) + σ12 cos ϑ . cos ϑ + σ21 sin ϑ . (−sin ϑ ) + σ22 sin ϑ . cos ϑ (c)
σ − σ
σ' = 22 11
12 ⋅ sin(
2ϑ)
+ σ12
⋅ cos(
2ϑ)
[Šimić, str. 26 (4.30)] (d)
2
Prikazani postupak u matričnom zapisu ima sljedeći oblik:
x1
[ ] [ ] [ ] [ ] T
' = A σ A
σ α , β
b)
x'2
ij
x2
σ'22 σ'12 σ'12 σ'11
0 0'
ϑ
x'1
x1
(a)

ili
⎡σ'
⎢
⎢
σ'
⎢⎣
σ'
11
21
31
σ'
σ'
σ'
12
22
32
σ'
σ'
σ'
13
23
33
⎤ ⎡β
⎥ ⎢
⎥
=
⎢
β
⎥⎦
⎢⎣
β
11
21
31
Analiza naprezanja - 14 -
β
β
β
12
22
32
β
β
β
13
23
33
⎤ ⎡σ
⎥ ⎢
⎥
⋅
⎢
σ
⎥⎦
⎢⎣
σ
11
21
31
σ
σ
σ
12
22
32
σ
σ
σ
13
23
33
⎤ ⎡β
⎥ ⎢
⎥
⋅
⎢
β
⎥⎦
⎢⎣
β
Koristeći matricu transformacija A prema (a), provjerite rezultat za σ'12 prema (d).
Iz prikazanog postupka je vidljivo da se komponente naprezanja pri rotaciji koordinatnog
sustava transformiraju na isti način na koji se transformiraju komponente tenzora drugog reda. Iz
toga se zaključuje da devet komponenti naprezanja za tri meñusobno okomite ravnine kroz jednu
točku napregnutog tijela pomoću kojih je stanje naprezanja u toj točki odreñeno, čine simetričan
tenzor drugog reda.
2.6 Prostorno stanje naprezanja
U točki (2.3) prikazano je da trima meñusobno okomitim ravninama kroz jednu točku
napregnutog tijela odgovara devet komponenata naprezanja (šest meñusobno različitih). Takoñer
je pokazano u točki (2.5) da se pomoću devet spomenutih komponenata naprezanja u toj točki
može odrediti naprezanje na proizvoljnoj ravnini kroz tu točku. Može se, dakle, zaključiti da
devet komponanata naprezanja odreñuju stanje naprezanja u promatranoj točki napregnutog
tijala. Budući da se ovih devet komponanata pri rotaciji koordinatnog sustava transformiraju kao
komponente tenzora drugog reda, kako je to pokazano u točki (2.5.2), to znači da je naprezanje
tenzorska veličina, a stanje u točki napregnutog tijela odreñeno simetričnim tenzorom drugog
reda.
Komponente tenzora naprezanja mogu se napisati u obliku kvadratne sheme:
⎡σxx
σxy
σxz
⎤
⎢
⎥
σij
= ⎢σ
yx σyy
σyz
⎥
(2.26)
⎢
⎥
⎣σzx
σzy
σzz
⎦
koja se naziva matricom tenzora naprezanja, ili kraće, tenzorom naprezanja koji se, u
konkretnom slučaju, odnosi na prostorno (troosno) stanje naprezanja.
2.6.1 Glavna naprezanja
Tenzor naprezanja σij svakome smjeru odreñenom jediničnim vektorom nj, pridružuje vektor
punog vanjskog naprezanja
0
σ ni :
0
ij n j = σni
Prethodni izraz može se napisati i na sljedeći način:
11
12
13
σ (2.27)
β
β
β
21
22
23
β
β
β
31
32
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
(e)

Analiza naprezanja - 15 -
σ n = σ ⋅ n
(2.28)
ij
gdje su ni, nj jedinični vektori, a σ skalar. Izraz (2.28) može se takoñer napisati u obliku:
odnosno:
σ
ij
j
n j − σ ⋅ n j = 0
( − σ⋅
δ ) ⋅ = 0
ij
ij
n j
i
σ (2.29)
Izraz (2.29) predstavlja tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Netrivijalno rješenje
homogenog sustava jednadžbi po nj postoji uz uvjet:
det ij ij
σ − σ ⋅ δ = 0
(2.30)
Razvojem determinante (2.30) dobiva se algebarska jednadžba trećeg stupnja s
nepoznanicom σ:
σ 3 – I1 . σ 2 + I2 . σ – I3 =0 (2.31)
gdje su I1, I2, I3, invarijante simetričnog tenzora naprezanja, koje se ne mijenjaju usljed
transformacije koordinatnog sustava, tj. one su skalari.
Invarijante imaju sljedeće vrijednosti:
I
I
I
1
2
3
= σ
ii
1
=
2
= σ
= σ
+ σ
+ σ
( σ σ − σ σ )
ij
ii
xx
jj
ij
yy
ij
zz
= σ
11
σ
22
+ σ
22
σ
33
+ σ
33
σ
11
− σ
2
12
− σ
2
23
− σ
2
31
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪⎭
(2.32)
Rješenje kubne jednadžbe (2.31) moguće je odrediti u zatvorenom obliku pomoću poznate
Cardanove formule ili rastavom karakterističnog polinoma na faktore.
Postupak odreñivanja glavnih naprezanja i pripadajućih glavnih smjerova (osi zarotiranog
koordinatnog sustava na kojima se nalaze glavna naprezanja) za prostorno stanje naprezanja
prikazano je na sljedećem primjeru:
Neka je stanje naprezanja u točki M napregnutog tijela zadano matricom:
⎡100
60 20⎤
⎢
⎥
ij =
⎢
60 80 40
⎥
(N/mm
⎢⎣
20 40 20⎥⎦
2 ) (a)
[ σ ]
Invarijante naprezanja prema izrazima (2.32) iznose:
I1 = 200 (N/mm 2 ), I2 = 6000 (N/mm 2 ), I3 = −8000 (N/mm 2 ) (b)
a karakteristična jednadžba (2.31) je prema tome:
σ 3 – 200 . σ 2 + 6000 . σ + 8000 = 0 (c)

Vrijednosti glavnih naprezanja su:
Analiza naprezanja - 16 -
σ1 = 162.856 (N/mm 2 ), σ2 = 38.422 (N/mm 2 ), σ3 = −1.278 (N/mm 2 ) (d)
Za odreñivanje pripadajućih jediničnih vektora n (k) koji odreñuju nove koordinatne osi
(nosače glavnih naprezanja), odnosno njihove kosinuse kutova (projekcije na koordinatne osi
osnovnog sustava), potrebno je izraz (2.29) napisati u razvijenom obliku:
( σ − σ )
σ
σ
11
( k)
12n1
( k)
13n1
k
+
n
( ) ⎪ ⎪
) ( k)
( k)
+ σ
⎫
12n2
+ σ13n3
= 0
⎪
( k)
( k)
⎪
k n2
+ σ23n3
= 0⎬
( k)
( k)
n2
+ σ33
− σk
n3
= 0
⎭
( σ − σ )
+ σ
( k
1
Konkretno, za σk = σ1 , sustav (2.33) postaje:
22
23
( 100 −162.
856)
60n
20n
( 1)
1
( 1)
1
+
( ) ⎪ ⎪
( 1)
( 1)
( 1)
n + + = ⎫
1 60n
2 20n
3 0
⎪
( 1)
( 1)
⎪
n2
+ 40n
3 = 0 ⎬
( 1)
+ 20 − ( −1.
278)
n3
= 0
⎭
( 80 − 38.
422)
+ 40n
( 1)
2
(2.33)
Rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi (2.33) ili (e) traži se u obliku
jednoparametarskog rješenja, a parametar slijedi iz uvjeta duljine orta n (k) :
( k)
2 ( k)
2 ( k)
2 ( k)
2
( n ) ( n ) + ( n ) + ( n ) = 1
i
= (2.34)
1
Uzimajući bilo koje dvije od tri jednadžbe sustava (2.33), na primjer prve dvije, dobivaju se
opća rješenja, koja moraju zadovoljiti i uvjet (2.34):
σ
12
( σ − σ )
22
n
( k)
1
k
σ
σ
13
23
=
2
( σ − σ ) σ ( σ − σ )
σ
11
12
n
( k)
2
k
σ
13
23
=
σ
3
11
12
k
n
( k)
3
σ
12
( σ − σ )
22
k
(e)
(2.35)
Nakon sreñivanja izraza (2.35) u skladu s uvjetom (2.34) konačno se dobivaju izrazi za
komponente normiranih vektora glavnih naprezanja:

n
n
n
( k)
1
( k)
2
( k)
3
=
=
=
σ
( σ − σ )
σ
( σ − σ )
σ
12
12
12
22
22
( σ − σ )
22
k
k
k
σ
σ
σ
σ
σ
σ
13
23
13
23
2
13
23
2
2
Analiza naprezanja - 17 -
( σ22
− σk
) σ23
( σ − σ ) σ
2
( σ − σ )
+
σ
( σ − σ )
2
( σ − σ ) σ ( σ − σ )
+
σ
( σ11
− σk
)
σ12
σ12
( σ22
− σk
)
( σ − σ ) σ
2
( σ − σ )
+
σ
12
12
12
σ
11
σ
11
11
12
11
12
k
k
k
k
σ
σ
σ
13
23
13
23
13
23
σ
σ
σ
13
+
σ
13
23
+
σ
+
σ
12
12
12
11
11
11
k
k
k
σ
( σ − σ )
σ
12
12
22
( σ − σ )
22
k
k
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
( ) ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
σ12
σ22
− σk
⎭
2
2
2
(2.36)
Uvrštavanjem vrijednosti komponenata tenzora naprezanja iz (a) u (2.36), te sukcesivno
vrijednosti glavnih naprezanja σ1, σ2 i σ3 iz (d) u (2.36) dobivaju se ureñeni ortovi novog
koordinatnog sustava, odnosno glavni vektori naprezanja:
n
( 1)
⎡0.
70796⎤
⎢ ⎥
= ⎢0.
64812⎥,
⎢ ⎥
⎣0.
28059⎦
n
( 2)
⎡ 0.
69205⎤
⎢ ⎥
= ⎢−
0.
55733⎥
,
⎢ ⎥
⎣−
0.
45875⎦
n
( 3)
⎡ 0.
14097⎤
⎢ ⎥
= ⎢−
0.
51898⎥
⎢ ⎥
⎣ 0.
84308⎦
Zbog pozitivne definitnosti |σij| > 0 matrice tenzora naprezanja, korijeni karakteristične
jednadžbe (2.31) uvijek su realni brojevi, pa se pored navedenih postupaka mogu odrediti i
Newtonovim iterativnim postupkom odreñivanja nultočaka kubnog polinoma P3(σ), crtež 2.10.
Dovoljno je itearativno odrediti samo jedno glavno naprezanje (bilo koje), dok se preostala dva
iz ureñene trojke σ1 > σ2 > σ3 odreñuju iz invarijanti naprezanja u zatvorenom obliku.
P3(σ)
0
σ1
P3(σ1 (0) )
σ1 (2) σ1 (1) σ1 (0) σ
Crtež 2.10 Shema Newtonovog iterativnog postupka
(f)

Za (k+1) iterativni korak vrijedi odnos:
( k 1)
σ 1
+
Analiza naprezanja - 18 -
= σ
( k)
1
P
−
P
3
( k)
( σ1
)
( k)
'(
σ )
3
1
(2.37)
gdje je u brojniku vrijednost karakterističnog polinoma P3 za k-tu iteraciju glavnog naprezanja σ1
(ovo ne mora biti i konačno σ1, ali je sigurno jedno naprezanje od tri glavna), a u nazivniku je
derivacija polinoma za k-ti korak.
Početna vrijednost bira se sukladno mjestu traženog korijena u ureñenoj trojci, primjerice za
algoritam (2.37):
a konačna vrijednost do postizanja tražene točnosti
σ1 (0) > σ11, σ22, σ33 (2.38)
+ )
σ − σ < δ
k (
( k 1)
1 1
(2.39)
( m)
u m=(k+1)-om koraku kod postignute vrijednosti σ 1 . Preostala dva naprezanja σ2 i σ3 odreñuju
se iz sustava jednadžbi:
Rješenje sustava (2.40) glasi:
σ
( m)
1
σ
( m)
1
+ σ
2
⋅ σ
+ σ
2
⋅ σ
3
3
= I ⎫
1⎪
⎬
= I ⎪
3⎭
1
= ⎡ σ
2 ⎢⎣
2
( I − σ ) ± ( − σ ) − ⎤
1 1 I1
1 4I3
/
⎥⎦
σ2 , 3
1
nakon čega se trojka dobivenih naprezanja ureñuje:
U koordinatnom sustavu glavnih naprezanja invarijante su:
1
2
3
(2.40)
(2.41)
σ ≥ σ ≥ σ
(2.42)
I1 = σ1 + σ2 + σ3
I2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1
I3 = σ1 σ2 σ3
Za dvoosno stanje naprezanja invarijante tenzora naprezanja odreñene su izrazima:
I
I
I
1
2
3
= σ
= σ
= 0
11
11
+ σ
σ
22
22
− σ
2
12
(2.43)
⎫
⎪
⎬ , (2.44)
⎪
⎪
⎭

te se zbog I3 = 0 karakteristična jednadžba može prikazati u obliku:
Analiza naprezanja - 19 -
σ (σ 2 – I1σ + I2) = 0 (2.45)
Glavna naprezanja σ1 i σ2 su korijeni kvadratne jednadžbe u okruglim zagradama prethodnog
izraza, dok je glavno naprezanje uvijek jednako nuli.
) 3 (
σ
σ
1,
2
3
1
=
2
= 0
1
2
( σ + σ ) ± ( σ − σ )
11
22
11
22
2
+ 4σ
2
12
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(2.46)
Lako se može pokazati da prvi od izraza (2.46) vrijedi i za slučaj kada je u smjeru
[ ] T
0,
0,
1
n = unaprijed zadano glavno naprezanje 3 0 ≠ σ . Treba skrenuti pozornost na
neureñenost odnosa vrijednosti glavnih naprezanja dobivenih prema spomenutim izrazima.
Potrebno je zadovoljiti uvjet (2.42).
Glavni smjerovi u dvoosnom stanju naprezanja mogu se odrediti izrazima u zatvorenom
obliku na više načina. Iz otpornosti materijala poznat je izraz:
tg2
2σ
12 α =
σ11 −σ
22
(2.47)
gdje kut α odreñuje smjer glavnog naprezanja σ1 prema pozitivnom smjeru osi x. Korištenje
izraza (2.47) za izračun na računalu zahtjeva oprez u vezi s odreñivanjem jednoznačnosti smjera.
Zbog toga se preporučuje postupak korišten za troosno stanje naprezanja. Sustav jednadžbi
(2.33) bez trećeg smjera je:
i dodatni geometrijski uvjet:
ili
( σ − σ )
σ
11
( k)
12n1
( k)
( k)
⎫
k n1
+ σ12n
2 = 0
⎪
⎬
( k)
+ ( σ − σ ) n = 0⎪
22 k 2 ⎭
( k)
2 ( k)
2
( n ) ( n ) = 1
Nakon potrebnih sreñivanja dobiju se dva ravnopravna rješenja:
n
n
σ
1
2
(2.48)
+ (2.49)
− σ
( ) ( ) 2
( k)
21
( k)
k 11
1 = , n
2
2 =
(2.50)
2
2
σ21
+ σk
− σ11
σ21
+ σk
− σ11
( k)
k 22
( k)
12
1 = , n =
(2.51)
2
2
2
2 2
( σ − σ ) + σ
( σ − σ ) + σ
k
σ
− σ
22
12
Oba rješenja su jednoznačna jer je izraz ispod korijena uvijek nenegativan, a ispred korijena je
plus zbog prirode problema.
k
σ
σ
22
12

2.6.2 Sferni i devijatorski dio tenzora naprezanja
Analiza naprezanja - 20 -
Zbog česte uporabe tenzora naprezanja navode se još jednom izrazi za tenzor naprezanja i
njegove invarijante s pomoću komponenata naprezanja i s pomoću glavnih naprezanja:
⎡σ
⎢
a) [ σij
] = ⎢τyx
σy
τyz
⎥ ; b) [ σ ]
I
I
I
1
2
3
= σ
x
= σ
= σ
x
x
⎢
⎢⎣
τ
+ σ
σ
σ
y
y
x
zx
y
+ σ
σ
+ σ
z
y
z
σ
τ
τ
z
+ 2τ
xy
zy
= σ
xy
τ
1
+ σ
z
yz
τ
τ
σ
σ
+ σ
zx
xz
x
z
2
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
+ σ
− τ
− σ
2 xy
x
3
τ
− τ
2 yz
2 yz
− σ
− τ
2
zx
2
yτzx
ij
= σ
− σ
z
⎡σ1
⎢
= ⎢ 0
⎢
⎣ 0
1
τ
σ
2
2 xy
+ σ
= σ
2
1
σ
0
σ
σ
0
2
3
2
+ σ
σ
3
3
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
σ3⎦
σ
1
(2.52)
(2.53)
Tenzor naprezanja se, kao simetrični tenzor drugog reda, može rastaviti u dva dijela: sferni i
devijatorski. Tako se dobiva:
U izrazu (2.54) su:
σ ij - matrica tenzora naprezanja
σ 0 - matrica sfernog dijela tenzora naprezanja
δ ij - Kroneckerov simbol,
δ
ij
σ = σ ⋅δ
+ S
(2.54)
ij
⎧1,
= ⎨
⎩0,
0
ij
i = j
i ≠ j
S ij - matrica devijatorskog dijela tenzora naprezanja
Izraz (2.54) može se napisati koristeći komponente naprezanja ili koristeći glavna naprezanja
na sljedeće načine:
[ σ ]
ij
[ σ ]
⎡σ
⎢
= ⎢τ
⎢
⎢⎣
τ
ij
x
yx
zx
⎡σ
⎢
= ⎢ 0
⎢
⎢⎣
0
1
τ
σ
τ
xy
σ
y
zy
0
0
2
τ
τ
σ
xz
yz
z
⎤ ⎡σ0
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ 0
⎥ ⎢
⎥⎦
⎣ 0
0 ⎤ ⎡σ
⎥ ⎢
0 ⎥ = ⎢ 0
⎥ ⎢
σ3⎥⎦
⎢⎣
0
0
σ
0
σ
0
0
0
0
0
ij
0 ⎤ ⎡σx
− σ
⎥ ⎢
0 ⎥ + ⎢ τyx
⎥ ⎢
σ0⎦
⎢⎣
τzx
0 ⎤ ⎡σ
⎥ ⎢
0 ⎥ + ⎢
⎥ ⎢
σ0⎥⎦
⎢⎣
1
− σ
0
0
0
0
σ
σ
2
y
τ
− σ
τ
0
xy
zy
− σ
0
0
0
σ
τxz
⎤
⎥
τyz
⎥
⎥
σz
− σ0
⎥⎦
3
0 ⎤
⎥
0 ⎥
⎥
− σ0⎥⎦
U izrazu (2.55), odnosno (2.56), vrijednost σ0 je srednje normalno naprezanje i iznosi:
(2.55)
(2.56)
σx
+ σy
+ σz
σ1
+ σ2
+ σ3
1
σ 0 =
=
= σkk
(2.57a)
3
3 3

Analiza naprezanja - 21 -
Na taj se način izraz (2.54) u tenzorskom zapisu može napisati u sljedećem obliku:
σ1
σ3
Stanje naprezanja u
okolini točke
σ2
1
σ ij = σ0δij
+ S ij = σkkδij
+ Sij
(2.57b)
3
Crtež 2.11 Sastavna stanja naprezanja
Sukladno rastavljanju tenzora naprezanja na dva dijela može se i zadano stanje naprezanja
razdvojiti u dva sastavna stanja naprezanja, što shematski, crtež 2.11, prema izrazu (2.56),
izgleda ovako: Na lijevoj strani crteža 2.11 prikazana je elementarna prizma izrezana u okolini
neke točke napregnutog tijela. Stranice su joj paralelne s glavnim ravninama pa na njih djeluju
glavna naprezanja σ1, σ2, σ3. Takvoj prizmi odgovara tenzor naprezanja na lijevoj strani izraza
(2.56). Prvo od sastavnih stanja naprezanja prikazano je prvom prizmom desne strane, crtež 2.11.
Budući je ta prizma izložena jednakom naprezanju na svim trima meñusobno okomitim
pravcima, ona mijenja samo svoj volumen, a ne mijenja oblik. Za slučaj da se radi o tlačnom
naprezanju, ovakvo stanje naprezanja značilo bi jednoliki (hidrostatski) tlak. Tom sastavnom
stanju naprezanja odgovara prvi tenzor desne strane izraza (2.56) i naziva se sferni tenzor
naprezanja ili, u odnosu na ukupni tenzor naprezanja, sferni dio tenzora naprezanja.
Drugo je sastavno stanje naprezanja prikazano drugom prizmom desne strane, crtež 2.11.
Njemu odgovara drugi tenzor desne strane izraza (2.56) ili izraza (2.55). Ovaj se dio tenzora
naprezanja zove devijatorski dio tenzora naprezanja ili devijator naprezanja.
Osnovna značajka promjene volumena jest volumenska dilatacija. Volumenska je dilatacija
jednaka nuli ako je srednje normalno naprezanje jednako nuli. Srednje je normalno naprezanje
odreñeno izrazom (2.57). Budući da srednje normalno naprezanje čini trećinu zbroja vrijednosti
dijagonalnih članova, iz izraza (2.56), odnosno (2.55), vidljivo je da je zbroj dijagonalnih
članova jednak nuli pa se zaključuje da je volumenska dilatacija takoñer jednaka nuli. Ova
prizma, dakle, ne mijenja svoj volumen, već mijenja samo svoj oblik.
Prva invarijanta devijatorskog dijela tenzora naprezanja se poništava, a preostale dvije se
mogu izraziti preko invarijanti tenzora naprezanja:
*
1
I
I
I
* 2
* 3
= 0
= I
= I
2
3
σ0
1
− I
3
1
− I
3
2
1
1
⋅ I
σ0
2
+
2
27
σ0
= +
Prvo sastavno
stanje naprezanja
3
1
I
σ1- σ0
σ3 - σ0
Drugo sastavno
stanje naprezanja
σ2- σ0
(2.58)

Analiza naprezanja - 22 -
Glavne vrijednosti devijatora su korjeni njegove karakteristične jednadžbe i iznose
1
Sk = σk
− σ0
= σk
− I1
(2.59)
3
dok se njegovi smjerovi podudaraju s glavnim smjerovima tenzora naprezanja.
2.6.3 Najveće posmično i oktaedarsko posmično naprezanje
Kada se u točki O napregnutog tijela umjesto koordinatnog sustava x, y, z postavi koordinatni
sustav čije su osi glavni pravci, tada je stanje naprezanja u njoj odreñeno tenzorom naprezanja
čija je matrica dana izrazom (2.52b). Komponente se vektora ukupnog naprezanja σn o za
proizvoljnu ravninu Rn kroz točku O, a na pravcima glavnih osi, mogu pomoću glavnih
naprezanja napisati u obliku:
v [ σ ]
0 n
⎡σ
⎢
= ⎢σ
⎢
⎢σ
⎣
0
n1
0
n2
0
n3
⎤ ⎡σ
⎥ ⎢
⎥ = ⎢ 0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
1
0
σ
0
2
0 ⎤ ⎡n1
⎤
⎥ ⎢ ⎥
0 ⎥ ⋅ ⎢n2
⎥
⎥ ⎢ ⎥
σ3⎥⎦
⎢⎣
n3
⎥⎦
(2.60)
gdje normala n r ravnine Rn s glavnim pravcima zatvara kutove čiji su kosinusi smjera
n1 = cosα
, n2 = cosβ
i = cos γ . Na osnovi izraza (2.60) ukupno je naprezanje na ravnini Rn:
n 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 2 2 2 2
2
= σ + σ + σ = σ n + σ n + σ n
0 n
0
n1
0
n2
0
n3
σ (2.61)
dok je normalno naprezanje na ravnini Rn:
nn
0
n1
Posmično je naprezanje uz uvjet
ili u konačnom sreñenom obliku:
2
nt
1
0
n2
2
0
n3
3
1
1
1
2
1
σ = σ n + σ n + σ n = σ n + σ n + σ n
(2.62)
2
3
2
1
2
2
n = 1−
n − n :
τ
2
nt
=
0 2 2 ( σ ) − σ
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
( σ − σ ) + ( σ − σ ) n + σ − [ ( σ − σ ) n + ( σ − σ ) n + σ ] = f ( n , n )
1
3
n
τ =
(2.63)
n1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3
1 2
U glavnim su ravninama posmična naprezanja jednaka nuli. Normalna naprezanja, meñutim,
nisu u ravninama ekstremnih vrijednosti posmičnih naprezanja jednaka nuli, već prema izrazu
(2.62) ona iznose:
nn
1
1
1
σ I = ( σ2
+ σ3)
, σII
= ( σ1
+ σ3)
, σIII
= ( σ1
+ σ2
)
(2.64)
2
2
2
Tablica 2.1 Vrijednosti posmičnih naprezanja i ravnine u kojima se javljaju
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3

Analiza naprezanja - 23 -
n n1 n2 n3 τ σ
R1 0 ± 2 / 2 ± 2 / 2 τ1=±(1/2)(σ2-σ3) (1/2)(σ2+σ3)
R2
R3
A
σ1
± 2 / 2 0 ± 2 / 2 τ2=±(1/2)(σ1-σ3) (1/2)(σ1+σ3)
± 2 / 2 ± 2 / 2 0 τ3=±(1/2)(σ1-σ2) (1/2)(σ1+σ2)
O
Crtež 2.12 Ekstremne vrijednosti posmičnih naprezanja pri troosnom stanju naprezanja
Grafički prikaz ravnina ekstremnih posmičnih naprezanja dan je na crtežu 2.12. Vidljivo je da
se najveća posmična naprezanja pojavljuju u simetralnim ravninama dviju glavnih ravnina.
Ravnina ABC koja odsijeca jednake odsječke OA = OB = OC na glavnim osima, odnosno
čija normala zatvara jednake kutove s tim osima tako da su kosinusi n1 = n2
= n3
= 3 3 naziva
se oktaedarska ravnina. Naprezanja se za takvu ravninu nazivaju oktaedarskim naprezanjima i
ona, prema izrazu (2.62), odnosno prema izrazu (2.22), iznose:
σ
τ
σ3
C
okt
okt
I
1
=
3
1
=
3
( σ + σ + σ )
1
( ) ( ) ( ) 2
2
2
σ − σ + σ − σ + σ − σ
1
2
2
3
2
3
3
1
(2.65)
Oktaedarska naprezanja dana izrazom (2.65) mogu se napisati i s pomoću invarijanata tenzora
naprezanja (2.53). Ako se invarijante tenzora naprezanja izraze preko glavnih naprezanja, tada se
izraz (2.65) može napisati na sljedeći način:
σ
τ
B
okt
okt
1
= I
3
=
σ2
τ1 || σ1 τ2 || σ2 τ3 || σ3
1
3
1
2
2[
( I ) − 3I
]
1
2
(2.66)
a ako se invarijante tenzora naprezanja dane izrazom (2.53) uzmu izražene preko komponenata
naprezanja, tada se izraz (2.65) može napisati u obliku:
II
III

σ
τ
okt
okt
1
=
3
1
=
3
( σ + σ + σ )
xx
Analiza naprezanja - 24 -
2
2
2 2 2 2
( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + 6(
τ + τ + τ )
xx
yy
yy
zz
xx
2.7 Jednadžbe ravnoteže u cilindričnom koordinatnom sustavu
zz
Na slici 2.11 prikazane su komponente naprezanja u cilindričnom koordinatnom sustavu.
zz
xx
xy
yz
zx
(2.67)
Veza izmeñu komponenata naprezanja σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx i komponenata naprezanja σr,
σϕ, σz, τrϕ, τϕz, τzr može se dobiti na osnovi jednadžbi transformacije (2.25) smatrajući x, y, z
novim osima koje su, u odnosu na osi r, ϕ, z = z, zarotirane za negativni kut ϕ.
U poglavlju (2.5), meñutim, pokazano je da se transformacija komponenata naprezanja kod
rotacije koordinatnog sustava obavlja na isti način kao i transformacija komponenata tenzora II
reda. Upravo stoga što je stanje naprezanja σαβ u cilindričnom koordinatnom sustavu može se
povezati s komponentama naprezanja σij u Descartesovu koordinatnom sustavu na način dan
izrazom:
[ ] [ A] [ ][ A]
T
= σ
σ (a)
ij αβ
Matrica transformacije koordinata [ A ] = [ T]
0 dana je izrazom (*.*). Ona u ovom slučaju ima
vrijednost:
⎡σ
⎢
⎢τ
⎢
⎢
⎣
τ
[ A ]
⎡ cosϕ
=
⎢
⎢
− sin ϕ
⎢⎣
0
Prema izrazu (a), koristeći [A], dobije se:
x
yx
zx
τ
σ
τ
xy
y
zy
τ
τ
σ
xz
yz
⎤ ⎡cosϕ
⎥ ⎢
⎥ = ⎢sin
ϕ
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
⎡ 2
2
⎢
σr
cos ϕ + σϕ
sin ϕ − τrϕ
sin2ϕ
⎢ 1
= ⎢ ( σr
− σϕ)
sin2ϕ
+ τrϕ
cos2ϕ
⎢ 2
⎢ τrz
cosϕ
− τϕz
sinϕ
⎢⎣
z
−sin
ϕ
cosϕ
0
σ
1
2
r
0⎤
⎡ σ
⎥ ⎢
0⎥⋅
⎢τ
⎥ ⎢
1⎥⎦
⎢
⎣
τ
( σ − σ )
sin
r
2
ϕ + σ
τ
ϕz
sin ϕ
cosϕ
r
ϕr
zr
ϕ
0
τ
σ
τ
cosϕ
− τ
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
sin2ϕ
+ τ
ϕ
cos
rϕ
ϕ
zϕ
2
rϕ
τ
ϕ + τ
rz
τ
ϕz
σ
rz
sinϕ
z
⎤ ⎡ cosϕ
⎥ ⎢
⎥ ⋅ ⎢−
sinϕ
⎥ ⎢
⎥
⎦
⎢⎣
0
cos2ϕ
rϕ
sin2ϕ
τ
τ
rz
ϕz
sinϕ
cosϕ
0
cosϕ
− τ
cosϕ
+ τ
σ
z
ϕz
rz
0⎤
⎥
0⎥
=
⎥
1⎥⎦
⎤ (b)
sinϕ
⎥
⎥
sinϕ⎥
⎥
⎥
⎥⎦
Da bi se jednadžbe ravnoteže, pisane u pravokutnom koordinatnom sustavu, mogle napisati u
cilindričnom koordinatnom sustavu, treba odrediti izraze za diferencijalne operatore:

Analiza naprezanja - 25 -
∂ ∂ ∂
, ,
∂x
∂y
∂z
Na osnovi izraza (1.3) koji daje vezu izmeñu pravokutnih i cilindričnih koordinata, a glasi:
dobije se inverzna veza:
Na osnovi izraza (2.68) slijedi:
∂z
= 0
∂x
x = r cosϕ, y= r sinϕ, z = z (d)
2 2
⎛ y ⎞
r = x + y , ϕ = arctan⎜
⎟,
z = z
(2.68)
⎝ x ⎠
∂r
= cosϕ,
∂x
∂ϕ
1
= − sin ϕ,
∂x
r
Diferencijalni operatori (c) su:
∂r
= cosϕ,
∂y
∂ϕ
1
= − cosϕ,
∂y
r
∂z
= 0
∂y
∂ ∂ ∂r
∂ ∂ϕ
∂ ∂z
⎫
= + +
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
∂z
∂x
⎪
⎪
⎪
∂ ∂ ∂r
∂ ∂ϕ
∂ ∂z
⎪
= + + ⎬
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂z
∂y
⎪
⎪
∂ ∂ ∂r
∂ ∂ϕ
∂ ∂z
= + + ⎪
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂z
∂z
⎪⎭
∂r
= 0
∂x
∂ϕ
= 0
∂z
∂z
= 1
∂z
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(c)
(2.69)
(2.70)
Ako se u jednadžbe (2.70) uvrste vrijednosti (2.69), tada su vrijednosti diferencijalnih
operatora:
∂ ∂ ∂r
sin ϕ ∂ ⎫
= cosϕ
−
∂x
∂r
∂x
r ∂ϕ⎪
⎪
∂ ∂ cosϕ
∂ ⎪
= sin ϕ +
⎬
∂y
∂r
r ∂ϕ
⎪
⎪
∂ ∂z
=
⎪
∂z
∂z
⎪⎭
Za volumenske sile transformacijski izraz (1.6.c) daje:
T { } [ a ] { f } , [ a ] = [ A],
fi = i α αi
(2.71)
α (e)

čime se dobije:
⎧f
⎪
⎨f
⎪
⎪⎩
f
x
y
z
⎫ ⎡cosϕ
⎪ ⎢
⎪
⎬ = ⎢sin
ϕ
⎪ ⎢
⎪ ⎢
⎭ ⎣ 0
Analiza naprezanja - 26 -
− sin ϕ
cosϕ
0
0⎤
⎧fr
⎫ ⎧fr
cosϕ
− fϕ
sin ϕ⎫
⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
0⎥
⎨fϕ
⎬ = ⎨fr
sin ϕ + fϕ
cosϕ⎬
⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
1
⎥
⎦ ⎪⎩
fz
⎪⎭
⎪⎩
fz
⎪⎭
Prva od jednadžbi ravnoteže u pravokutnom koordinatnom sustavu je:
∂σ
∂τ
x xy ∂τxz
+ + + fx
= 0
∂x
∂y
∂z
(2.72)
Ako se za σx, τxy i τxz uzmu vrijednosti iz izraza (b), a za fx vrijednosti iz izraza (2.72) te se na
te vrijednosti primijene diferencijalni operatori (2.71), tada izraz (f) dobiva oblik:
⎛ ∂ sin ϕ ∂ ⎞
⎜cos
ϕ − ⎟
⎝ ∂r
r ∂ϕ
⎠
⎡1
⋅
⎢
⎣2
2
2
( σ cos ϕ + σ sin ϕ − τ sin 2ϕ)
⎤ ∂
( σ − σ ) sin 2ϕ
+ τ cos2ϕ
+ ( τ cosϕ
− τ sin ϕ)
+ f cosϕ
− f sin ϕ = 0
r
ϕ
r
rϕ
⎥
⎦
ϕ
∂z
odnosno, nakon ureñivanja i deriviranja, glasi:
cos
rz
rϕ
ϕz
⎛ ∂ cosϕ
∂ ⎞
+ ⎜sin
ϕ + ⎟⋅
⎝ ∂r
r ∂ϕ
⎠
⎛ ∂σ
1 ∂τ
r ϕr
∂τ
σr
− σ
zr
ϕ ⎞ ⎛ ∂τrϕ
1 ∂σϕ
∂τzϕ
τrϕ
⎞
⎜ + + + + fr
− sin ϕ
2 f = 0
r r z r ⎟
⎜ + + + +
r r z r ⎟
⎝ ∂ ∂ϕ
∂
⎠ ⎝ ∂ ∂ϕ
∂
⎠
ϕ ϕ
Jednadžba (g) biti će zadovoljena ako su vrijednosti u zagradama jednake nuli:
∂σ
∂τ
σ − σ
r 1 ϕr
∂τ
⎫
+ + zr r ϕ
+ + fr
= 0
∂r
r ∂ϕ
∂z
r
⎪
⎪
⎬
∂τrϕ
1 ∂σϕ
∂τzϕ
τrϕ
⎪
+ + + 2 + fϕ
= 0
∂r
r ∂ϕ
∂z
r
⎪
⎭
Ako se na posljednju od jednadžbi u pravokutnom sustavu:
primijeni analogan postupak, dobije se:
⎛ ∂ sin ϕ ∂ ⎞
⎜cosϕ
− ⎟
⎝ ∂r
r ∂ϕ
⎠
τ ∂τ
zr z ∂σ
+ + z + fz
= 0
∂r
∂y
∂z
∂ ϕ
( τ cosϕ
− τ sin ϕ)
rz
⋅
∂
( τ cosϕ
+ τ sin ϕ)
+ σ + f = 0,
ϕz
ϕz
rz
r
⎛ ∂ cosϕ
∂ ⎞
+ ⎜sin
ϕ + ⎟⋅
⎝ ∂r
r ∂ϕ
⎠
∂z
z
z
ϕ
(f)
(g)
(h)
(i)

odnosno, nakon deriviranja i ureñenja:
Analiza naprezanja - 27 -
τ 1 ∂τ
zr z ∂σz
∂τ
+ + + zr + fx
= 0 .
∂r
r ∂ϕ
∂z
∂r
∂ ϕ
Izrazi (h) i (j) napišu se zajedno tako da je konačno:
∂σ
∂r
∂τ
r
rϕ
∂r
∂τ
∂r
zr
1 ∂τϕr
∂τ
σ − σ ⎫
+ + zr r ϕ
+ + fr
= 0
r ∂ϕ
∂z
r
⎪
⎪
1 ∂σϕ
∂τzϕ
τrϕ
⎪
+ + + 2 + fϕ
= 0 ⎬
r ∂ϕ
∂z
r ⎪
1 ∂τ
∂σ
τ
⎪
zϕ
+ + z + zr + fz
= 0 ⎪
r ∂ϕ
∂z
r
⎪⎭
Jednadžbe (2.73) su jednadžbe ravnoteže pisane u cilindričnome koordinatnom sustavu.
(2.73)