Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

1 ÚVOD 9
1 Úvod
Na základě poznatků z matematické analýzy víme, že pro každou funkci f : R → R, která je
na uzavřeném intervalu〈a,b〉 spojitá, existuje integrál
∫ b
a
f(x)dx.
V praxi se však může jednat o funkci, pro niž je příliš složité nebo dokonce není možné spočítat
hodnotu příslušného integrálu analyticky. V tomto případě jsme nuceni uchýlit se k numerickému
řešení. Jednou z těchto numerických metod je i užití kvadraturní formule.
V rámci bakalářské práce si nejprve připomeneme některé partie z matematické analýzy a lineární
algebry, které budeme při studiu kvadraturních formulí využívat. Následně zavedeme a přiblížíme
pojem kvadraturní formule a budeme se zabývat konstrukcí kvadraturní formule maximálního
možného stupně přesnosti, v této fázi nás rovněž bude zajímat optimální poloha uzlů, v nichž budeme
schopni takovouto kvadraturu sestrojit, a určováním chyby, jíž se při aproximaci integrálu
dopustíme.
Dále se již budeme věnovat konkrétním kvadraturním formulím, kterými budeme přibližně
počítat hodnoty integrálů specifických typů funkcí. Jednu z nich detailně rozebereme a díky některým
vlastnostem budeme schopni její konstrukci značně zjednodušit. Budeme se rovněž zabývat
velikostí odhadu chyby, případně skutečnou chybou aproximace, a budeme se snažit najít efektivní
způsob, jak jejich hodnotu co nejvíce minimalizovat.
Skutečný přínos kvadraturních formulí však poznáme ve chvíli, kdy ji porovnáme s jinou metodou
numerické integrace, Simpsonovým pravidlem.