Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

11 ZÁVĚR 70
11 Závěr
Ačkoli se v literatuře o Gaussově kvadratuře nehovoří tak často jako například o Newtonových-Cotesových
vzorcích, ukázalo se, že i ona má své nesporné výhody. Poskytuje poměrně
spolehlivý aparát pro přibližný výpočet hodnoty integrálu a určení chyby, které se při aproximaci
dopustíme, i pro integrály na otevřeném nebo neomezeném intervalu, případně integrály funkcí,
jež mají v krajních bodech intervalu I singularity. Další z výhod je i fakt, že k provedení většiny
výpočtů, které se v rámci práce vyskytovaly, není nutná rozsáhlá znalost lineární algebry, matematické
analýzy či programování.
Při psaní bakalářské práce jsem měla možnost získat ucelený přehled poznatků, které je zapotřebí
znát při konstrukci a určování chyby Gaussovy kvadratury, a jejich shrnutí provedla v prvních
několika kapitolách. Rovněž jsem se věnovala hledání optimální polohy uzlů pro konstrukci
kvadraturní formule maximální přesnosti a zabývala se některými problémy, jež mohou nastat.
Rozhodla jsem se však primárně věnovat Gaussově-Legendrově kvadraturní formuli, která,
vzhledem k výhodnému tvaru váhové funkce, dává prostor k dalším zjednodušením. Tuto kvadraturní
formuli jsem se rozhodla prezentovat pomocí jednoduchých příkladů a na základě experimentů
pak mohla vypozorovat některé její vlastnosti.
V literatuře, již jsem měla možnost prostudovat, autoři většinou zvětšovali přesnost aproximace
pouze zvyšováním počtu uzlů. To však, jak jsem měla možnost zjistit, výrazně zkomplikovalo
počítání kořenů a následně i výpočet koeficientů. Alternativním způsobem, který jsem se
rozhodla prezentovat, je užití složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury, jež nám umožňuje zvýšit
přesnost aproximace, aniž bychom se museli trápit s polynomy vyšších stupňů a rozsáhlejšími soustavami
rovnic. Přestože se o složených Gaussových kvadraturách v literatuře, z níž jsem čerpala,
nehovoří, ukázalo se, že jde o poměrně užitečný aparát a rozhodně může mít své uplatnění v numerickém
integrování.
Abych mohla plně určit přínos složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury, rozhodla jsem se
ji srovnat s další numerickou metodou, Simpsonovým pravidlem. Zjistila jsem, že Gaussova-
Legendrova kvadratura vykazuje větší přesnost, navíc po uplatnění objevených vztahů je i její
konstrukce srovnatelně obtížná, možná dokonce jednodušší.
V následujících kapitolách jsem se věnovala dalším specifickým Gaussovým kvadraturám
a práci s nimi ilustrovala pomocí příkladů. Při výpočtech jsem se mnohdy opírala o matematický
software Maple, v němž jsem si pro zefektivnění dalších výpočtů implementovala všechny
potřebné funkce.
Tvorba bakalářské práce byla po všech stránkách velkým přínosem, zejména jako námět k zamyšlení
nad provázaností, která existuje mezi jednotlivými matematickými disciplínami.