Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69<br />
Polynom p (0,1〉<br />
2 který získáme ortogonalizací posloupnosti 1,x,x 2 ,... vzhledem k výše uvedenému<br />
skalárnímu součinu bude mít následující tvar<br />
a kořeny x 1 = 3 7 − 2√ 30<br />
35 , x 2 = 3 7 + 2√ 30<br />
35 .<br />
p (0,1〉<br />
2 (x) = x 2 − 6 7 x− 3 35<br />
Nyní dopočítáme koeficientyA 1 , A 2 jako řešení následující soustavy rovnic<br />
Q (0,1〉 (1) = A 1 +A 2 =<br />
∫ 1<br />
0<br />
1<br />
√ x<br />
dx = 2<br />
( ( )<br />
Q (0,1〉 3<br />
(x) = A 1<br />
7 − 2√ 30 3<br />
)+A 2<br />
35 7 + 2√ ∫<br />
30<br />
1<br />
=<br />
35<br />
a jejich hodnoty budouA 1 = 1+<br />
√ √<br />
30<br />
18 , A 2 = 1− 30<br />
18 .<br />
0<br />
x 1 √ x<br />
dx = 2 3<br />
Pro Gaussovu kvadraturu platí<br />
( √ ) ( ) (<br />
30<br />
Q (0,1〉 3<br />
(1) = 1+ cos<br />
18 7 − 2√ √ ) ( )<br />
30 30 3<br />
− 1− cos<br />
35 18 7 + 2√ 30<br />
=<br />
35<br />
=1,808616395.<br />
Nyní budeme odhadovat hodnotu chyby. Pro čtvrtou derivaci funkcef na intervalu(0,1〉 platí<br />
|f (4) (x)| ≤ 1.<br />
Po dosazení do vztahu (20) dostaneme<br />
|R(f)| ≤ 1 ∫ 1 ( ( )) 2 ( ( )) 2<br />
3<br />
x−<br />
24 7 − 2√ 30 3<br />
x−<br />
35 7 + 2√ 30 1 √x dx =<br />
35<br />
0<br />
=4,837490552·10 −4 .<br />
Pro hledanou hodnotu integrálu platí<br />
∫ 1<br />
0<br />
cosx 1 √ x<br />
dx ∈ 〈1,808132646;1,809100144〉.<br />
Pro srovnání, skutečná hodnota vypadá následovně<br />
∫ 1<br />
0<br />
cosx 1 √ x<br />
dx = 1,809048476.
Change language