Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 68 Příklad 10.2. Pomocí Gaussovy kvadraturní formule o dvou uzlech určete přibližně hodnotu integrálu ∫ 1 0 cosx √ x dx a odhadněte chybu aproximace. Jako funkciw tentokrát zvolíme w(x) = 1 √ x . O funkci 1 √x víme, že je spojitá na intervalu(0,1〉 a splňuje podmínku w(x) > 0, ∀x ∈ (0,1〉. Musíme zjistit, zda je pro váhovou funkciw splněna podmínka ∫ 1 0 |x| k 1 √ x dx < +∞. Postup bude podobný jako v předchozím příkladu. Na intervalu(0,1〉 platí |x| k ≤ 1. Nerovnost vynásobíme výrazem 1 √ x , který bude kladný pro všechnaxzintervalu(0,1〉, a následně zintegrujeme. Obdržíme vztah Integrál na pravě straně rovnosti bude konečný, tj. platí tedy ∫ 1 0 |x| k √ 1 ∫ 1 1 dx ≤ √ dx. x x ∫ 1 0 ∫ 1 0 1 √ x dx = 2 < +∞, |x| k 1 √ x dx < +∞. Zjistili jsme, že funkce w splňuje všechny podmínky požadované v definici 3.1, je tedy váhovou funkcí. Budeme ortogonalizovat posloupnost1,x,x 2 ,... (jedná se o prvky prostoru F ) podle skalárního součinu ∫ 1 0 0 u(x)v(x)x 1 √ x dx.
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 Polynom p (0,1〉 2 který získáme ortogonalizací posloupnosti 1,x,x 2 ,... vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu bude mít následující tvar a kořeny x 1 = 3 7 − 2√ 30 35 , x 2 = 3 7 + 2√ 30 35 . p (0,1〉 2 (x) = x 2 − 6 7 x− 3 35 Nyní dopočítáme koeficientyA 1 , A 2 jako řešení následující soustavy rovnic Q (0,1〉 (1) = A 1 +A 2 = ∫ 1 0 1 √ x dx = 2 ( ( ) Q (0,1〉 3 (x) = A 1 7 − 2√ 30 3 )+A 2 35 7 + 2√ ∫ 30 1 = 35 a jejich hodnoty budouA 1 = 1+ √ √ 30 18 , A 2 = 1− 30 18 . 0 x 1 √ x dx = 2 3 Pro Gaussovu kvadraturu platí ( √ ) ( ) ( 30 Q (0,1〉 3 (1) = 1+ cos 18 7 − 2√ √ ) ( ) 30 30 3 − 1− cos 35 18 7 + 2√ 30 = 35 =1,808616395. Nyní budeme odhadovat hodnotu chyby. Pro čtvrtou derivaci funkcef na intervalu(0,1〉 platí |f (4) (x)| ≤ 1. Po dosazení do vztahu (20) dostaneme |R(f)| ≤ 1 ∫ 1 ( ( )) 2 ( ( )) 2 3 x− 24 7 − 2√ 30 3 x− 35 7 + 2√ 30 1 √x dx = 35 0 =4,837490552·10 −4 . Pro hledanou hodnotu integrálu platí ∫ 1 0 cosx 1 √ x dx ∈ 〈1,808132646;1,809100144〉. Pro srovnání, skutečná hodnota vypadá následovně ∫ 1 0 cosx 1 √ x dx = 1,809048476.
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33 and 34: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 35 and 36: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 43 and 44: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45 and 46: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 47 and 48: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 49 and 50: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53 and 54: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 55 and 56: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57 and 58: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 67: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 68<br />
Příklad 10.2. Pomocí <strong>Gaussovy</strong> kvadraturní formule o dvou uzlech určete přibližně hodnotu integrálu<br />
∫ 1<br />
0<br />
cosx √ x<br />
dx a odhadněte chybu aproximace.<br />
Jako funkciw tentokrát zvolíme<br />
w(x) = 1 √ x<br />
.<br />
O funkci<br />
1 √x víme, že je spojitá na intervalu(0,1〉 a splňuje podmínku<br />
w(x) > 0, ∀x ∈ (0,1〉.<br />
Musíme zjistit, zda je pro váhovou funkciw splněna podmínka<br />
∫ 1<br />
0<br />
|x| k 1 √ x<br />
dx < +∞.<br />
Postup bude podobný jako v předchozím příkladu. Na intervalu(0,1〉 platí<br />
|x| k ≤ 1.<br />
Nerovnost vynásobíme výrazem 1 √ x<br />
, který bude kladný pro všechnaxzintervalu(0,1〉, a následně<br />
zintegrujeme. Obdržíme vztah<br />
Integrál na pravě straně rovnosti bude konečný, tj.<br />
platí tedy<br />
∫ 1<br />
0<br />
|x| k √ 1 ∫ 1<br />
1<br />
dx ≤ √ dx. x x<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
1<br />
√ x<br />
dx = 2 < +∞,<br />
|x| k 1 √ x<br />
dx < +∞.<br />
Zjistili jsme, že funkce w splňuje všechny podmínky požadované v definici 3.1, je tedy váhovou<br />
funkcí.<br />
Budeme ortogonalizovat posloupnost1,x,x 2 ,... (jedná se o prvky prostoru F ) podle skalárního<br />
součinu<br />
∫ 1<br />
0<br />
0<br />
u(x)v(x)x 1 √ x<br />
dx.
Change language