Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67
Polynomp (0,1〉
2 získaný ortogonalizací posloupnosti1,x,x 2 ,... vzhledem k (24) bude vypadat
následovně
p (0,1〉
2 (x) = x 2 − 5 17
x−
7 252
a bude mít kořenyx 1 = 5
14 − √
106
42 ,x 2 = 5
14 + √
106
42 .
KoeficientyA 1 , A 2 získáme vyřešením soustavy rovnic
Q (0,1〉 (1) = A 1 +A 2 =
∫ 1
0
lnxdx = 1
( √ ( √ )
Q (0,1〉 5 106
(x) = A 1
)+A
14 − 5 106
2
42 14 + =
42
a jejich hodnoty budouA 1 = 1 2 + 9√ 106
424 , A 2 = 1 2 − 9√ 106
424 .
Pro Gaussovu kvadraturu platí
( ) (
Q (0,1〉 1
(1) =
2 + 9√ √ )
106 5 106
sin
424 14 − −
42
=−0,2397677151.
∫ 1
0
xlnxdx = 1 4
( ) (
1
2 − 9√ √ )
106 5 106
sin
424 14 + =
42
Nyní přistoupíme k odhadu chyby. Pro čtvrtou derivaci funkcef na intervalu(0,1〉 platí
Po dosazení do vztahu (20) získáváme
|R(f)| ≤ sin1
24
∫ 1
0
|f (4) (x)| ≤ sin1.
( ( √ )) 2 ( ( √ )) 2
5 106
− x−
14 − 5 106
x−
42 14 + lnxdx =
42
=1,000205260·10 −4 .
Pro hledanou hodnotu integrálu tedy platí
∫ 1
0
sinxlnxdx ∈ 〈−0,2398677356;−0,2396676946〉.
Pro srovnání, skutečná hodnota vypadá následovně
∫ 1
0
sinxlnxdx = −0,2398117420.