Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 66 10 Obecná Gaussova kvadratura Až dosud jsme se zabývali Gaussovými kvadraturami s takovou váhovou funkcí, pro niž je systém ortogonálních polynomů znám a hojně uveden v literatuře. Nyní budeme aproximovat hodnotu integrálu funkce, pro kterou budeme muset příslušnýn-tý ortogonální polynom dopočítat pomocí Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace. Příklad 10.1. Pomocí Gaussovy kvadraturní formule o dvou uzlech určete přibližně hodnotu integrálu ∫ 1 0 sinxlnxdx a odhadněte chybu aproximace. Funkciw zvolíme následovně w(x) = −lnx. Funkcew je spojitá na intervalu(0,1〉 a splňuje podmínku Dále musíme vyšetřit, zda je splněna podmínka Na intervalu(0,1〉 platí w(x) > 0, ∀x ∈ (0,1〉. ∫ 1 0 −|x| k lnxdx < +∞. |x| k ≤ 1. Nerovnost vynásobíme hodnotou −ln(x) ≥ 0 a poté zintegrujeme. Získáme ∫ 1 0 −|x| k lnxdx ≤ Integrál na pravé straně nerovnosti má následující hodnotu platí tedy rovněž ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 −lnxdx. −lnxdx = 1 < +∞, −|x| k lnxdx < +∞. Funkcew splňuje všechny podmínky požadované v definici 3.1, je tedy váhovou funkcí. V rámci příkladu budeme ortogonalizovat posloupnost 1,x,x 2 ,... (jedná se o prvky prostoru F ) vzhledem ke skalárnímu součinu 〈u,v〉 = ∫ 1 0 −u(x)v(x)lnxdx. (24)
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 Polynomp (0,1〉 2 získaný ortogonalizací posloupnosti1,x,x 2 ,... vzhledem k (24) bude vypadat následovně p (0,1〉 2 (x) = x 2 − 5 17 x− 7 252 a bude mít kořenyx 1 = 5 14 − √ 106 42 ,x 2 = 5 14 + √ 106 42 . KoeficientyA 1 , A 2 získáme vyřešením soustavy rovnic Q (0,1〉 (1) = A 1 +A 2 = ∫ 1 0 lnxdx = 1 ( √ ( √ ) Q (0,1〉 5 106 (x) = A 1 )+A 14 − 5 106 2 42 14 + = 42 a jejich hodnoty budouA 1 = 1 2 + 9√ 106 424 , A 2 = 1 2 − 9√ 106 424 . Pro Gaussovu kvadraturu platí ( ) ( Q (0,1〉 1 (1) = 2 + 9√ √ ) 106 5 106 sin 424 14 − − 42 =−0,2397677151. ∫ 1 0 xlnxdx = 1 4 ( ) ( 1 2 − 9√ √ ) 106 5 106 sin 424 14 + = 42 Nyní přistoupíme k odhadu chyby. Pro čtvrtou derivaci funkcef na intervalu(0,1〉 platí Po dosazení do vztahu (20) získáváme |R(f)| ≤ sin1 24 ∫ 1 0 |f (4) (x)| ≤ sin1. ( ( √ )) 2 ( ( √ )) 2 5 106 − x− 14 − 5 106 x− 42 14 + lnxdx = 42 =1,000205260·10 −4 . Pro hledanou hodnotu integrálu tedy platí ∫ 1 0 sinxlnxdx ∈ 〈−0,2398677356;−0,2396676946〉. Pro srovnání, skutečná hodnota vypadá následovně ∫ 1 0 sinxlnxdx = −0,2398117420.
- Page 15 and 16: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33 and 34: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 35 and 36: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 43 and 44: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45 and 46: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 47 and 48: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 49 and 50: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53 and 54: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 55 and 56: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57 and 58: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 66<br />
10 Obecná Gaussova kvadratura<br />
Až dosud jsme se zabývali Gaussovými kvadraturami s takovou váhovou funkcí, pro niž je<br />
systém ortogonálních polynomů znám a hojně uveden v literatuře. Nyní budeme aproximovat<br />
hodnotu integrálu funkce, pro kterou budeme muset příslušnýn-tý ortogonální polynom dopočítat<br />
pomocí Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace.<br />
Příklad 10.1. Pomocí <strong>Gaussovy</strong> kvadraturní formule o dvou uzlech určete přibližně hodnotu integrálu<br />
∫ 1<br />
0<br />
sinxlnxdx a odhadněte chybu aproximace.<br />
Funkciw zvolíme následovně<br />
w(x) = −lnx.<br />
Funkcew je spojitá na intervalu(0,1〉 a splňuje podmínku<br />
Dále musíme vyšetřit, zda je splněna podmínka<br />
Na intervalu(0,1〉 platí<br />
w(x) > 0, ∀x ∈ (0,1〉.<br />
∫ 1<br />
0<br />
−|x| k lnxdx < +∞.<br />
|x| k ≤ 1.<br />
Nerovnost vynásobíme hodnotou −ln(x) ≥ 0 a poté zintegrujeme. Získáme<br />
∫ 1<br />
0<br />
−|x| k lnxdx ≤<br />
Integrál na pravé straně nerovnosti má následující hodnotu<br />
platí tedy rovněž<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
0<br />
−lnxdx.<br />
−lnxdx = 1 < +∞,<br />
−|x| k lnxdx < +∞.<br />
Funkcew splňuje všechny podmínky požadované v definici 3.1, je tedy váhovou funkcí.<br />
V rámci příkladu budeme ortogonalizovat posloupnost 1,x,x 2 ,... (jedná se o prvky prostoru<br />
F ) vzhledem ke skalárnímu součinu<br />
〈u,v〉 =<br />
∫ 1<br />
0<br />
−u(x)v(x)lnxdx. (24)
Change language