Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ FORMULE 64
Nyní je potřeba spočítat koeficienty kvadraturní formule jako řešení následující soustavy rovnic
∫+∞
Q (−∞,+∞) (1) = A 1 +A 2 +A 3 = e −x2 dx = √ π
√ ) √ ∫+∞
6 6
Q (−∞,+∞) (x) = A 1
(− +0A 2 +A 3
2 2 = xe −x2 dx = 0
−∞
√ ) 2 (√ ) 2
6 6
Q (−∞,+∞) (x 2 ) = A 1
(− +0A 2 +A 3 =
2 2
Jejím vyřešením získáváme koeficienty A 1 =
6 , A 2 = 2√ π
3 , A 3 =
Hermitovu kvadraturu bude vypadat následovně
√ π
√ π
Q (−∞,+∞) (f) =
6 f(x 1)+ 2√ π
3 f(x 2)+
√ √
π 6
+
6 f( 2 ).
Po vyčíslení pak získáme
Q (−∞,+∞) (f) = 1,382033071.
−∞
∫
+∞
−∞
x 2 e −x2 dx =
√ π
2 .
√ π
6
. Předpis pro Gaussovu-
√ √ √
π π 6
6 f(x 3) =
6 f(− 2 )+ 2√ π
3 f(0)+
Nyní přistoupíme k odhadu chyby. Za tímto účelem budeme používat vzorec
|R(f)| ≤ Ω ∫
(2n)!
+∞
−∞
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 w(x)dx.
Nejprve je nutné odhadnout hodnotu šesté derivace funkce f na intervalu(−∞,+∞). Platí
|f (6) (x)| ≤ 1.
Pro chybu Gaussovy-Hermitovy kvadratury platí vztah
|R(f)| ≤ 720 ∫
720
+∞
−∞
(x+
√ √
6 6
2 )2 (x−0) 2 (x−
2 )2 e −x2 dx = 1,846306095·10 −3 .
Při aproximaci se tedy dopustíme chyby o velikosti nejvýše 1,846306095 · 10 −3 , pro hledanou
hodnotu integrálu platí
∫
+∞
−∞
e −x2 cosxdx ∈ 〈1,380186765;1,383879377〉.