Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ FORMULE 63
9 Gaussova-Hermitova kvadraturní formule
Definice 9.1. Uvažujme váhovou funkci w(x) = e −x2 na intervalu I = (−∞,+∞). Polynomy,
které získáme ortogonalizací posloupnosti1,x,x 2 ,... vzhledem ke skalárnímu součinu
〈u,v〉 =
∫
+∞
−∞
u(x)v(x)e −x2 dx,
jsou Hermitovy polynomy. Gaussovu kvadraturní formuli pro aproximaci integrálu
∫
+∞
−∞
f(x)e −x2 dx
budeme nazývat Gaussova-Hermitova kvadraturní formule.
Věta 9.1. Necht’f je reálná funkce, která má na intervalu(−∞,+∞) omezenou2n-tou derivaci
(n ∈ N). Pak pro chybu Gaussovy-Hermitovy kvadratury platí vztah
|R(f)| ≤ Ω ∫
(2n)!
+∞
−∞
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 e −x2 dx,
kde x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny Hermitova polynomu M n
(−∞,+∞)
pro každé x ∈ (−∞,+∞) platí|f (2n) (x)| ≤ Ω.
Důkaz. Obecný důkaz byl proveden v kapitole 5.7.
a Ω je taková hodnota, že
Příklad 9.1. Pomocí Gaussovy-Hermitovy kvadraturní formule o třech uzlech určete přibližně
+∞ ∫
hodnotu integrálu e −x2 cosxdx a odhadněte chybu aproximace.
−∞
Váhová funkce bude mít následující tvar
Dále platíf(x) = cosx,x ∈ (−∞,∞),n = 3.
w(x) = e −x2 .
Hermitův polynom třetího stupně na intervalu(−∞,∞) bude vypadat následovně
M (−∞,∞)
3 (x) = x 3 − 3 2 x
a pro jeho kořeny platí x 1 = −
√
6
2 , x 2 = 0,x 3 =
√
6
2 .