Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ FORMULE 62
Nyní je potřeba spočítat koeficienty kvadraturní formule jako řešení následující soustavy rovnic
∫+∞
Q 〈0,+∞) (1) = A 1 +A 2 +A 3 = e −x dx = 1
Q 〈0,+∞) (x) = A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 x 3 =
Q 〈0,+∞) (x 2 ) = A 1 x 2 1 +A 2 x 2 2 +A 3 x 2 3+ =
0
∫
+∞
0
∫
+∞
0
xe −x dx = 1
x 2 e −x dx = 2.
Koeficienty kvadraturní formule pro jejich složitost vyjádříme numericky a platí
A 1 = 0,7110930106, A 2 = 0,2785177335, A 3 = 0,01038925655. Pro Gaussovu-Laguerrovu
kvadraturu platí
Q 〈0,+∞) (f) = A 1 f(x 1 )+A 2 f(x 2 )+A 3 f(x 3 ) = 0,4765208395.
Chybu Gaussovy-Laguerrovy kvadratury budeme opět počítat pomocí obecného vzorce
|R(f)| ≤ Ω ∫
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 w(x)dx.
(2n)!
I
Pro hodnotu šesté derivace funkcef(x) = cosx na intervalu〈0,+∞) platí
|f (6) (x)| ≤ 1.
Není těžké si uvědomit, že hodnota (x − x 1 ) 2 (x − x 2 ) 2 ...(x − x n ) 2 je vlastně druhá mocnina
Laguerrova polynomu G 〈0,+∞)
3 , díky čemuž se můžeme vyhnout práci s poměrně složitými tvary
uzlů. Pro chybu Gaussovy-Laguerrovy kvadratury platí vztah
|R(f)| ≤ 1
720
∫
+∞
0
(x 3 −9x 2 +18x−6) 2 e −x dx = 5·10 −2 .
Při aproximaci se tedy dopustíme chyby o velikosti nejvýše 5 · 10 −2 , pro hledanou hodnotu integrálu
platí
∫+∞
cosxe −x dx ∈ 〈0,4265208395;0,5265208395〉.
0
Pro srovnání, skutečná hodnota počítaného integrálu je
∫
+∞
nachází se tedy v námi spočítaném intervalu.
0
e −x cosxdx = 0,5,