Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURNÍ FORMULE 60
Nyní je potřeba spočítat koeficienty kvadraturní formule jako řešení následující soustavy rovnic
Q (−1,1) (1) = A 1 +A 2 +A 3 =
√ )
3
Q (−1,1) (x) = A 1
(−
2
√
3
Q (−1,1) (x 2 ) = A 1
(−
2
∫ 1
−1
√ ∫1
3
+0A 2 +A 3
2 =
1
√
1−x 2 dx = π
−1
) 2 (√ ) 2 ∫ 1
3
+0A 2 +A 3 =
2
−1
x
√
1−x 2 dx = 0
x 2
√
1−x 2 dx = π 2 .
Jejím vyřešením získáváme koeficienty A 1 = A 2 = A 3 = π 3
. Předpis pro Gaussovu-Čebyševovu
kvadraturu bude vypadat následovně
Q (−1,1) (f) = π 3 f(x 1)+ π 3 f(x 2)+ π 3 f(x 3) = π √
3
3 f(− 2 )+ π 3 f(0)+ π √
3
3 f( 2 ).
Po vyčíslení pak získáme
Q (−1,1) (f) = 5π .
= 2,243994753.
7
Nyní přistoupíme k odhadu chyby. Za tímto účelem budeme používat vzorec
|R(f)| ≤ Ω ∫ b
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 w(x)dx.
(2n)!
a
Nejprve je nutné odhadnout hodnotu šesté derivace funkce f na intervalu(−1,1). Platí
|f (6) (x)| ≤ 720.
Pro chybu Gaussovy-Čebyševovy kvadratury tedy platí vztah
|R(f)| ≤ 720
720
∫ 1
−1
(x+
√ √
3 3
2 )2 (x−0) 2 1
(x−
2 )2 √ dx = 1−x 2 9,817477044·10−2 .
Při aproximaci se tedy dopustíme chyby o velikosti nejvýše 9,817477044 · 10 −2 , pro hledanou
hodnotu integrálu tedy platí
∫ 1
−1
1
(1+x 2 ) √ dx ∈ 〈2,145819983;2,342169523〉.
1−x2 Pro srovnání, skutečná hodnota počítaného integrálu je
∫ 1
−1
√
1 2π
(1+x 2 ) √ 1−x dx = 2 2
nachází se tedy v námi spočítaném intervalu.
.
= 2,221441469,