Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURNÍ FORMULE 59
7 Gaussova-Čebyševova kvadraturní formule
Definice 7.1. Uvažujme váhovou funkciw(x) = √ 1
1−x
na intervaluI = (−1,1). Polynomy, které
2
získáme ortogonalizací posloupnosti1,x,x 2 ,... vzhledem ke skalárnímu součinu
〈u,v〉 =
∫ 1
−1
1
u(x)v(x) √ dx,
1−x 2
jsou Čebyševovy polynomy. Gaussovu kvadraturní formuli pro aproximaci integrálu
∫ 1
−1
1
f(x) √ dx
1−x 2
budeme nazývat Gaussova-Čebyševova kvadraturní formule.
Věta 7.1. Necht’ f je reálná funkce, která má na intervalu (−1,1) omezenou 2n-tou derivaci
(n ∈ N). Pak pro chybu Gaussovy-Čebyševovy kvadratury platí vztah
|R(f)| ≤ Ω
(2n)!
∫ 1
−1
(x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 1
√
1−x 2 dx,
kde x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny Čebyševova polynomu T n
(−1,1)
pro každé x ∈ (−1,1) platí|f (2n) (x)| ≤ Ω.
Důkaz. Obecný důkaz byl proveden v kapitole 5.7.
a Ω je taková hodnota, že
Příklad 7.1. Pomocí Gaussovy-Čebyševovy kvadraturní formule o třech uzlech určete přibližně
hodnotu integrálu
∫ 1
−1
1
(1+x 2 ) √ dx a odhadněte chybu aproximace.
1−x2 Váhová funkce bude vypadat následovně
w(x) =
1
√
1−x 2 .
Dále platíf(x) = 1 ,x ∈ (−1,1), n = 3.
(1+x 2 )
Čebyševův polynom třetího stupně bude mít tvar
a kořeny x 1 = −
√
3
2 , x 2 = 0, x 3 =
√
3
2 .
T (−1,1)
3 (x) = x 3 − 3 4 x