Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 58 Tabulka pro velké hodnotyk. k Odhady chyb Skutečné chyby Podíl Gauss Simpson Gauss Simpson 1000 1,6718·10 −13 2,5076·10 −13 1,0682·10 −13 1,6022·10 −13 1,499999928 2000 1,0448·10 −14 1,5673·10 −14 6,6760·10 −15 1,0014·10 −14 1,499999981 3000 2,0639·10 −15 3,0958·10 −15 1,3187·10 −15 1,9781·10 −15 1,499999993 4000 6,5303·10 −16 9,7954·10 −16 4,1725·10 −16 6,2587·10 −16 1,499999996 5000 2,6748·10 −16 4,0122·10 −16 1,7090·10 −16 2,5636·10 −16 1,499999997 6000 1,2899·10 −16 1,9349·10 −16 8,2419·10 −17 1,2363·10 −16 1,499999998 7000 6,9627·10 −17 1,0444·10 −16 4,4488·10 −17 6,6732·10 −17 1,499999999 8000 4,0814·10 −17 6,1221·10 −17 2,6078·10 −17 3,9117·10 −17 1,499999999 9000 2,5480·10 −17 3,8220·10 −17 1,6280·10 −17 2,4421·10 −17 1,500000000 10000 1,6718·10 −17 2,5076·10 −17 1,0682·10 −17 1,6022·10 −17 1,500000000 Jak si můžeme povšimnout, také v tomto případě se poměr chyb blíží k hodnotě 1,5, pro velká k se tedy poměr skutečných chyb blíží k poměru jejich odhadů.
7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURNÍ FORMULE 59 7 Gaussova-Čebyševova kvadraturní formule Definice 7.1. Uvažujme váhovou funkciw(x) = √ 1 1−x na intervaluI = (−1,1). Polynomy, které 2 získáme ortogonalizací posloupnosti1,x,x 2 ,... vzhledem ke skalárnímu součinu 〈u,v〉 = ∫ 1 −1 1 u(x)v(x) √ dx, 1−x 2 jsou Čebyševovy polynomy. Gaussovu kvadraturní formuli pro aproximaci integrálu ∫ 1 −1 1 f(x) √ dx 1−x 2 budeme nazývat Gaussova-Čebyševova kvadraturní formule. Věta 7.1. Necht’ f je reálná funkce, která má na intervalu (−1,1) omezenou 2n-tou derivaci (n ∈ N). Pak pro chybu Gaussovy-Čebyševovy kvadratury platí vztah |R(f)| ≤ Ω (2n)! ∫ 1 −1 (x−x 1 ) 2 (x−x 2 ) 2 ...(x−x n ) 2 1 √ 1−x 2 dx, kde x 1 < x 2 < ··· < x n jsou kořeny Čebyševova polynomu T n (−1,1) pro každé x ∈ (−1,1) platí|f (2n) (x)| ≤ Ω. Důkaz. Obecný důkaz byl proveden v kapitole 5.7. a Ω je taková hodnota, že Příklad 7.1. Pomocí Gaussovy-Čebyševovy kvadraturní formule o třech uzlech určete přibližně hodnotu integrálu ∫ 1 −1 1 (1+x 2 ) √ dx a odhadněte chybu aproximace. 1−x2 Váhová funkce bude vypadat následovně w(x) = 1 √ 1−x 2 . Dále platíf(x) = 1 ,x ∈ (−1,1), n = 3. (1+x 2 ) Čebyševův polynom třetího stupně bude mít tvar a kořeny x 1 = − √ 3 2 , x 2 = 0, x 3 = √ 3 2 . T (−1,1) 3 (x) = x 3 − 3 4 x
- Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
- Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
- Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 13 and 14: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 15 and 16: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33 and 34: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 35 and 36: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 43 and 44: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45 and 46: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 47 and 48: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 49 and 50: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53 and 54: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 55 and 56: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
- Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 58<br />
Tabulka pro velké hodnotyk.<br />
k Odhady chyb Skutečné chyby Podíl<br />
Gauss Simpson Gauss Simpson<br />
1000 1,6718·10 −13 2,5076·10 −13 1,0682·10 −13 1,6022·10 −13 1,499999928<br />
2000 1,0448·10 −14 1,5673·10 −14 6,6760·10 −15 1,0014·10 −14 1,499999981<br />
3000 2,0639·10 −15 3,0958·10 −15 1,3187·10 −15 1,9781·10 −15 1,499999993<br />
4000 6,5303·10 −16 9,7954·10 −16 4,1725·10 −16 6,2587·10 −16 1,499999996<br />
5000 2,6748·10 −16 4,0122·10 −16 1,7090·10 −16 2,5636·10 −16 1,499999997<br />
6000 1,2899·10 −16 1,9349·10 −16 8,2419·10 −17 1,2363·10 −16 1,499999998<br />
7000 6,9627·10 −17 1,0444·10 −16 4,4488·10 −17 6,6732·10 −17 1,499999999<br />
8000 4,0814·10 −17 6,1221·10 −17 2,6078·10 −17 3,9117·10 −17 1,499999999<br />
9000 2,5480·10 −17 3,8220·10 −17 1,6280·10 −17 2,4421·10 −17 1,500000000<br />
10000 1,6718·10 −17 2,5076·10 −17 1,0682·10 −17 1,6022·10 −17 1,500000000<br />
Jak si můžeme povšimnout, také v tomto případě se poměr chyb blíží k hodnotě 1,5, pro velká<br />
k se tedy poměr skutečných chyb blíží k poměru jejich odhadů.
Change language