Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 57
Příklad 6.8. Určete, jak se mění skutečná chyba a odhad chyby aproximace integrálu
∫ 1
−1
sin(x 2 )dx s měnícím se k. Porovnejte výsledky získané aproximací pomocí Gaussovy-Legendrovy
kvadratury a Simpsonova pravidla.
Postup bude totožný jako v předchozím příkladu. Předpis pro čtvrtou derivaci funkcef je
f (4) (x) = 16sin(x 2 )x 4 −48cos(x 2 )x 2 −12sin(x 2 )
a maximum absolutní hodnoty funkce f (4) na intervalu 〈−1,1〉 má hodnotu −4sin1 + 48cos1.
Hodnoty a odhady skutečných chyb obou metod a jejich podíl jsou shrnuty v následujících tabulkách.
k Odhady chyb Skutečné chyby Podíl
Gauss Simpson Gauss Simpson
10 1,6718·10 −5 2,5076·10 −5 1,0761·10 −5 1,6135·10 −5 1,499307890
20 1,0448·10 −6 1,5673·10 −6 6,6887·10 −7 1,0032·10 −6 1,499821915
30 2,0639·10 −7 3,0958·10 −7 1,3198·10 −7 1,9796·10 −7 1,499920440
40 6,5303·10 −8 9,7954·10 −8 4,1745·10 −8 6,2615·10 −8 1,499955167
50 2,6748·10 −8 4,0122·10 −8 1,7096·10 −8 2,5643·10 −8 1,499971283
60 1,2899·10 −8 1,9349·10 −8 8,2437·10 −9 1,2365·10 −8 1,499980049
70 6,9627·10 −9 1,0444·10 −8 4,4495·10 −9 6,6741·10 −9 1,499985338
80 4,0814·10 −9 6,1221·10 −9 2,6081·10 −9 3,9121·10 −9 1,499988772
90 2,5480·10 −9 3,8220·10 −9 1,6282·10 −9 2,4423·10 −9 1,499991128
100 1,6718·10 −9 2,5076·10 −9 1,0682·10 −9 1,6023·10 −9 1,499992813