Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 54 Opět zavedeme substituci b−a 2k v = 2ku b−a −1 dv =du a získáváme A 〈a j,b j 〉 i = b−a 2k 0 ↦→ −1 b−a ↦→ 2−1 = 1 k ∫ 1 −1 n∏ l=1,l≠i n∏ (x 〈−1,1〉 i l=1,l≠i (v −x 〈−1,1〉 l ) −x 〈−1,1〉 l ) dv. Označíme proměnnou v jako x a uzly x 〈−1,1〉 l koeficienty A 〈a j,b j 〉 i jako x l . Z výše uvedeného vztahu je patrné, že jsou nezávislé na hodnotě j. Jedná se dokonce o násobky koeficientů, které přísluší kořenům Legendrova polynomuL 〈−1,1〉 n A 〈a j,b j 〉 i a pro jejich výpočet můžeme použít vztah = b−a 2k A〈−1,1〉 i . Složená Gaussova-Legendrova kvadratura o dvou uzlech v každém subintervalu tedy bude mít následující předpis k∑ S = (A 〈a j,b j 〉 1 f(x 〈a j,b j 〉 1 )+A 〈a j,b j 〉 2 f(x 〈a j,b j 〉 2 )) = Q (2) j=1 = b−a 2k k∑ j=1 (A 〈−1,1〉 1 f(x 〈a j,b j 〉 1 )+A 〈−1,1〉 2 f(x 〈a j,b j 〉 2 )). Obdobně jako v kapitole 5.2 dopočítáme koeficientyA 〈−1,1〉 1 ,A 〈−1,1〉 2 , jejichž hodnoty budou A 〈−1,1〉 1 = 1 aA 〈−1,1〉 2 = 1. Vztah tedy můžeme ještě zjednodušit a získat Q (2) S = b−a 2k k∑ j=1 (f(x 〈a j,b j 〉 1 )+f(x 〈a j,b j 〉 2 )). Příklad 6.7. Určete, jak se mění skutečná chyba a odhad chyby aproximace integrálu ∫ 1 −1 e −x2 dx s měnícím sek. Porovnejte výsledky získané aproximací pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadratury
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 55 a Simpsonova pravidla. Nejprve přistoupíme k odhadům chyby. Pro odhad chyby složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury budeme používat vztah (22), kden = 2. Absolutní hodnota čtvrté derivace funkcef nabývá svého maxima na intervalu 〈−1,1〉 v bodě x = 0 a jeho hodnota je 12. Pro odhad chyby složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury tedy platí vztah |R G (f)| ≤ 12 4! 2 5 8 2 5 k 4 45 ( ozn = R OG (x)). Odhad chyby aproximace získané pomocí složeného Simpsonova pravidla budeme počítat pomocí vzorce (23). Dosazením dostaneme 2 5 |R S (f)| ≤ 12 1802 4 k 4 ( ozn = R OS (x)). Abychom mohli porovnat jednotlivé metody, provedeme podíl získaných odhadů chyb, tj. Po úpravě získáváme 12 R OS (f) R OG (f) = 2 5 180 2 4 k 4 12 2 5 8 4! 2 5 k 4 45 R OS (f) R OG (f) = 3 2 . Odhad chyby aproximace získané pomocí Simpsonova pravidla je tedy pro každé k 1,5 krát větší než odhad chyby složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury. Nyní budeme zkoumat hodnoty skutečné chyby obou metod. Skutečnou chybu Gaussovy-Legendrovy kvadratury budeme počítat pomocí vztahu R G (f) = ∫ b a f(x)dx− b−a 2k k∑ j=1 . (f(x 〈a j,b j 〉 1 )+f(x 〈a j,b j 〉 2 )). Postup bude analogický jako v řadě předchozích příkladů. Skutečnou chybu Simpsonova pravidla pak budeme počítat pomocí vzorce ∫ b R S (f) = a − b−a 6k f(x)dx− k∑ i=1 ( f(a+(j −1) b−a k )+f(a+jb−a k )+4f(a+jb−a − b−a ) k 2k ) . Absolutní hodnoty a odhady skutečných chyb obou metod a jejich podíl jsou shrnuty v následujících tabulkách.
- Page 5 and 6: Abstrakt Gaussova kvadratura je jed
- Page 7 and 8: OBSAH 7 11 Závěr 70 12 Literatura
- Page 9 and 10: 1 ÚVOD 9 1 Úvod Na základě pozn
- Page 11 and 12: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 13 and 14: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 15 and 16: 3 ORTOGONÁLNÍ SYSTÉMY POLYNOMŮ
- Page 17 and 18: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 17 Polyno
- Page 19 and 20: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 19 Obráz
- Page 21 and 22: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 21 Přík
- Page 23 and 24: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 23 4.2 He
- Page 25 and 26: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 25 Podobn
- Page 27 and 28: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 27 4.2.2
- Page 29 and 30: 4 INTERPOLAČNÍ POLYNOMY 29 Pro ab
- Page 31 and 32: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 33 and 34: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 35 and 36: 5 KVADRATURNÍ FORMULE A JEJÍ PŘE
- Page 37 and 38: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 39 and 40: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 41 and 42: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 43 and 44: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 45 and 46: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 47 and 48: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 49 and 50: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 51 and 52: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 53: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 57 and 58: 6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ
- Page 59 and 60: 7 GAUSSOVA-ČEBYŠEVOVA KVADRATURN
- Page 61 and 62: 8 GAUSSOVA-LAGUERROVA KVADRATURNÍ
- Page 63 and 64: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 65 and 66: 9 GAUSSOVA-HERMITOVA KVADRATURNÍ F
- Page 67 and 68: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 67 P
- Page 69 and 70: 10 OBECNÁ GAUSSOVA KVADRATURA 69 P
- Page 71 and 72: 12 LITERATURA 71 12 Literatura [1]
6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 55<br />
a Simpsonova pravidla.<br />
Nejprve přistoupíme k odhadům chyby. Pro odhad chyby složené <strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy <strong>kvadratury</strong><br />
budeme používat vztah (22), kden = 2. Absolutní hodnota čtvrté derivace funkcef nabývá<br />
svého maxima na intervalu 〈−1,1〉 v bodě x = 0 a jeho hodnota je 12. Pro odhad chyby složené<br />
<strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy <strong>kvadratury</strong> tedy platí vztah<br />
|R G (f)| ≤ 12<br />
4!<br />
2 5<br />
8<br />
2 5 k 4 45<br />
( ozn = R OG (x)).<br />
Odhad chyby aproximace získané pomocí složeného Simpsonova pravidla budeme počítat pomocí<br />
vzorce (23). Dosazením dostaneme<br />
2 5<br />
|R S (f)| ≤ 12<br />
1802 4 k 4 ( ozn = R OS (x)).<br />
Abychom mohli porovnat jednotlivé metody, provedeme podíl získaných odhadů chyb, tj.<br />
Po úpravě získáváme<br />
12<br />
R OS (f)<br />
R OG (f) =<br />
2 5<br />
180 2 4 k 4<br />
12 2 5 8<br />
4! 2 5 k 4 45<br />
R OS (f)<br />
R OG (f) = 3 2 .<br />
Odhad chyby aproximace získané pomocí Simpsonova pravidla je tedy pro každé k 1,5 krát<br />
větší než odhad chyby složené <strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy <strong>kvadratury</strong>.<br />
Nyní budeme zkoumat hodnoty skutečné chyby obou metod. Skutečnou chybu <strong>Gaussovy</strong>-Legendrovy<br />
<strong>kvadratury</strong> budeme počítat pomocí vztahu<br />
R G (f) =<br />
∫ b<br />
a<br />
f(x)dx− b−a<br />
2k<br />
k∑<br />
j=1<br />
.<br />
(f(x 〈a j,b j 〉<br />
1 )+f(x 〈a j,b j 〉<br />
2 )).<br />
Postup bude analogický jako v řadě předchozích příkladů. Skutečnou chybu Simpsonova pravidla<br />
pak budeme počítat pomocí vzorce<br />
∫ b<br />
R S (f) =<br />
a<br />
− b−a<br />
6k<br />
f(x)dx−<br />
k∑<br />
i=1<br />
(<br />
f(a+(j −1) b−a<br />
k )+f(a+jb−a k )+4f(a+jb−a − b−a )<br />
k 2k ) .<br />
Absolutní hodnoty a odhady skutečných chyb obou metod a jejich podíl jsou shrnuty v následujících<br />
tabulkách.
Change language