Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 54
Opět zavedeme substituci
b−a
2k
v = 2ku
b−a −1
dv =du
a získáváme
A 〈a j,b j 〉
i
= b−a
2k
0 ↦→ −1
b−a
↦→ 2−1 = 1
k
∫ 1
−1
n∏
l=1,l≠i
n∏
(x 〈−1,1〉
i
l=1,l≠i
(v −x 〈−1,1〉
l
)
−x 〈−1,1〉
l
)
dv.
Označíme proměnnou v jako x a uzly x 〈−1,1〉
l
koeficienty A 〈a j,b j 〉
i
jako x l . Z výše uvedeného vztahu je patrné, že
jsou nezávislé na hodnotě j. Jedná se dokonce o násobky koeficientů, které
přísluší kořenům Legendrova polynomuL 〈−1,1〉
n
A 〈a j,b j 〉
i
a pro jejich výpočet můžeme použít vztah
= b−a
2k A〈−1,1〉 i
.
Složená Gaussova-Legendrova kvadratura o dvou uzlech v každém subintervalu tedy bude mít
následující předpis
k∑
S = (A 〈a j,b j 〉
1 f(x 〈a j,b j 〉
1 )+A 〈a j,b j 〉
2 f(x 〈a j,b j 〉
2 )) =
Q (2)
j=1
= b−a
2k
k∑
j=1
(A 〈−1,1〉
1 f(x 〈a j,b j 〉
1 )+A 〈−1,1〉
2 f(x 〈a j,b j 〉
2 )).
Obdobně jako v kapitole 5.2 dopočítáme koeficientyA 〈−1,1〉
1 ,A 〈−1,1〉
2 , jejichž hodnoty budou
A 〈−1,1〉
1 = 1 aA 〈−1,1〉
2 = 1. Vztah tedy můžeme ještě zjednodušit a získat
Q (2)
S = b−a
2k
k∑
j=1
(f(x 〈a j,b j 〉
1 )+f(x 〈a j,b j 〉
2 )).
Příklad 6.7. Určete, jak se mění skutečná chyba a odhad chyby aproximace integrálu
∫ 1
−1
e −x2 dx
s měnícím sek. Porovnejte výsledky získané aproximací pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadratury