Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 53
Připomeňme si, že hodnoty x 〈a j,b j 〉
1 ,x 〈a j,b j 〉
2 ,...,x 〈a j,b j 〉
n jsou kořeny Legendrova polynomu
L 〈a j,b j 〉
n , platí tudíž
x 〈a j,b j 〉 = x〈−1,1〉 +1
2
Dosazením získáváme
=
=
A 〈a j,b j 〉
i
=
a+(j−1) b−a
k ∫
a+(j−1) b−a
k
a+(j−1) b−a
k ∫
a+(j−1) b−a
k
n∏
( x〈−1,1〉 i +1
2
l=1,l≠i
n∏
(b j −a j )+a j = x〈−1,1〉 +1b−a
+a+(j −1) b−a
2 k k .
n∏
(x−(
x〈−1,1〉 l +1
2
l=1,l≠i
n∏
Zaved’me následující substituci
(x−( x〈−1,1〉 l +1
2
l=1,l≠i
b−a
k
+a+(j −1) b−a
b−a
k
+a+(j −1) b−a
k ))
l +1
k
−( x〈−1,1〉
2
b−a
k
+a+(j −1) b−a
k ))
(
x〈−1,1〉 i +1 b−a
2 k
− x〈−1,1〉 l +1
2
l=1,l≠i
b−a
k )
u =x−a−(j −1) b−a
k
du =dx
dx.
b−a
k
+a+(j −1) b−a
k )) dx =
Dostáváme vztah
a+(j −1) b−a
k
a+j b−a
k
A 〈a j,b j 〉
i
=
b−a
∫k
0
↦→ a+(j −1) b−a
k
↦→ a+j b−a
k
n∏
n∏
−a−(j −1) b−a
k
−a−(j −1) b−a
k
(u−
x〈−1,1〉 l +1
2
l=1,l≠i
b−a
k )
(
x〈−1,1〉 i +1 b−a
2 k
− x〈−1,1〉 l +1
2
l=1,l≠i
= 0
= b−a
k .
b−a
k ) du.
Ze všech n − 1 závorek v čitateli a n − 1 závorek ve jmenovateli můžeme vytknout výraz b−a
2k
a následně zlomek vykrátit. Získáváme
A 〈a j,b j 〉
i
=
b−a
∫k
0
n∏
( 2ku
b−a −x〈−1,1〉
l=1,l≠i
n∏
(x 〈−1,1〉
i
l=1,l≠i
l
−1)
+1−x 〈−1,1〉
l
−1)
du =
b−a
∫k
0
n∏
( 2ku
b−a −x〈−1,1〉
l=1,l≠i
n∏
(x 〈−1,1〉
i
l=1,l≠i
l
−1)
−x 〈−1,1〉
l
)
du.