Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 52
Poznámka 6.6. Na základě pozorování můžeme uvedený vztah zjednodušit. Rozdělme interval
〈a,b〉 na k ∈ N stejně velkých subintervalů s krajními body a j ,b j . Necht’ n ∈ N je počet uzlů
Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule v každém podintervalu. Pak jsou koeficienty A 〈a j,b j 〉
A 〈a j,b j 〉
2 ,...,A 〈a j,b j 〉
n nezávislé na hodnotě j.
1 ,
Důkaz. Pomocí Gaussovy-Legendrovy kvadraturní formule s uzly x 〈a j,b j 〉
1 < x 〈a j,b j 〉
2 < ··· <
x 〈a j,b j 〉
n , přičemžx 〈a j,b j 〉
1 ,x 〈a j,b j 〉
2 ,...,x 〈a j,b j 〉
n jsou kořeny Legendrova polynomuL 〈a j,b j 〉
n , budeme
aproximovat hodnotu integrálu
∫ b j
a j
l j i (x)dx,
kde l j i je elementární Lagrangeův polynom stupně n−1 konstruovaný v bodech x〈a j,b j 〉
1 ,x 〈a j,b j 〉
2
,...,x 〈a j,b j 〉
n pomocí vztahu (6).
Vzhledem k tomu, že Gaussova-Legendrova kvadraturní formule nanuzlech bude mít stupeň
přesnosti2n−1, můžeme psát
Víme, že
l j i (x〈a j,b j 〉
l
) = 0 prol ≠ i
a
l j i (x〈a j,b j 〉
l
) = 1 prol = i.
Platí tedy vztah
∫ b j
n∑
l j i (x)dx = A 〈a j,b j 〉
i
l j i (x).
a i=0
j
∫ b j
a j
l j i (x)dx = A〈a j,b j 〉
i
.
Podobně jako v předchozí kapitole můžeme vyjádřit hodnoty a j ,b j .
a vzhledem k (6) můžeme psát
A 〈a j,b j 〉
i
=
a j =a+(j −1) b−a
k ,
b j =a+j b−a
k
a+j b−a
k ∫
a+(j−1) b−a
k
n∏
l=1,l≠i
n∏
l=1,l≠i
(x−x 〈a j,b j 〉
l
)
dx.
(x 〈a j,b j 〉
i
−x 〈a j,b j 〉
l
)