Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 51
6.3.1 Složené Simpsonovo pravidlo
Rozdělíme si zadaný interval 〈a,b〉 na k stejně velkých subintervalů s krajními body a j ,b j ,
j ∈ {1,2,...,k}. Integrál funkcef na intervalu〈a,b〉 budeme aproximovat pomocí následujícího
vzorce
∫ b
a
f(x)dx ≈ b−a
6k
V souladu s kapitolou 6.1 platí
Po dosazení
k∑
(
i=1
f(a j )+f(b j )+4f( a j +b j
)
2
a j =a+(j −1) b−a
k ,
b j =a+j b−a
k .
)
.
∫ b
a
f(x)dx ≈
≈ b−a
6k
k∑
i=1
(
f(a+(j −1) b−a
k )+f(a+jb−a k )+4f(a+jb−a − b−a )
k 2k ) .
Pokud si interval〈a,b〉 rozdělíme na obecněk subintervalů, budeme vlastně konstruovat Simpsonovu
kvadraturu na2k +1 uzlech. Pro chybu Simpsonova pravidla platí následující věta.
Věta 6.5. Necht’ f je reálná funkce, která má na intervalu 〈a,b〉 omezenou čtvrtou derivaci. Interval
〈a,b〉 rozdělíme na k stejně velkých podintervalů. Pak pro chybu složeného Simpsonova
pravidla platí vztah
|R(f)| ≤ Ω (b−a) 5
180 2 4 k 4 , (23)
kdeΩje taková hodnota, že pro každé x ∈ 〈a,b〉 platí |f (2n) (x)| ≤ Ω.
Důkaz. Důkaz je proveden v literatuře [1].
6.3.2 Složená Gaussova-Legendrova kvadratura
Zadaný interval rozdělíme na k stejně velkých subintervalů s n uzly v každém podintervalu.
Hodnotu integrálu funkcef pak budeme aproximovat pomocí vzorce
∫ b
⎛ ⎞
k∑ n∑
f(x)dx ≈ A 〈a j,b j 〉
i
f(x 〈a j,b j
k∑
〉
i
) ⎝= Q 〈a j,b j 〉 (f) ⎠,
a
j=1 i=1
kde x 〈a j,b j 〉
1 < x 〈a j,b j 〉
2 < ··· < x 〈a j,b j 〉
n jsou kořeny Legendrova polynomu L 〈a j,b j 〉
n a hodnoty
A 〈a j,b j 〉
1 ,A 〈a j,b j 〉
2 ,...,A 〈a j,b j 〉
n jim příslušné koeficienty kvadraturní formule.
j=1