Gaussovy kvadratury Gaussian Quadrature

6 GAUSSOVA-LEGENDROVA KVADRATURNÍ FORMULE 50
6.2 Konstrukce Gaussovy-Legendrovy kvadratury s danou přesností
V předchozí kapitole jsme sestavili obecný vztah, jehož prostřednictvím můžeme odhadnout
chybu aproximace složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury v případě, že se rozhodneme zkoumaný
interval rozdělit na obecně k stejně velkých subintervalů. Zabývejme se nyní opačnou situací.
Mějme zadánu absolutní hodnotu maximální požadované chyby aproximace (označme jiE)
a hledejme takový počet podintervalů intervalu, při kterém se nám podaří této přesnosti dosáhnout
za přepokladu, že počet uzlů v každém subintervalu zůstává konstantní.
Jak jsme zjistili v předchozí kapitole, pro chybu aproximace platí vztah (22). Chceme-li, aby
odhadovaná chyba nepřekročila zadanou hodnotuE, stačí, aby platilo (vzhledem k (22))
Ω (b−a) 2n+1
(2n)! 2 2n+1 k 2n I n ≤ E,
kde Ω je je libovolný horní odhad funkce |f (2n) | na intervalu 〈a,b〉. Jelikož k ∈ N, je k 2n > 0.
Rovněž platíE > 0. Hodnotu k můžeme vyjádřit jako
√
Ω (b−a)
k ≥ 2n+1
2n (2n)! 2 2n+1 E I n.
Příklad 6.6. Určete, kolik podintervalů je zapotřebí k dosažení přesnostiE = 10 −4 , jestliže platí
f(x) = e −x2 , x ∈ 〈−1,1〉,n = 2.
Hodnotuk budeme počítat pomocí vztahu
√
Ω (b−a)
k ≥ 2n+1
2n (2n)! 2 2n+1 E I n.
Nejprve je potřeba odhadnout absolutní hodnotu šesté derivace funkce f. Jak jsme již řešili
v příkladu 6.2, |f (6) (x)| ≤ 192 pro x ∈ 〈−1,1〉. Hodnotu I 3 získáme z tabulky 6.5. Po dosazení
získáme
√
192
k ≥ 6 (6)!
2 7
2 7 E
8
175 = 2,226743082.
Je tedy zapotřebí rozdělit interval〈−1,1〉 alespoň na tři subintervaly.
Pro kontrolu, v případě, že k = 3, je odhad chyby aproximace roven hodnotě 0,0000167222.
Pokud bychom zvolili k = 2, dostaneme odhad o velikosti 0,000190476, který je již větší než
požadovaná hodnota.
6.3 Srovnání chyby Gaussovy-Legendrovy kvadratury a Simpsonova pravidla
Abychom mohli plně určit přínos konstrukce složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury, budeme
dosažené výsledky porovnávat s výsledky získanými další numerickou metodou. V našem
případě budeme integrál funkce f aproximovat pomocí složené Gaussovy-Legendrovy kvadratury
se dvěma uzly v každém podintervalu a jako druhou metodu zvolíme složené Simpsonovo
pravidlo.